Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Trường THPT – chuyên LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ ĐỢT MÔN: Toán – Thời gian 180 phút Ngày thi 30/01/2016 Bài (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = (2 x + 1) ( x − 2) 2x + m với m ≠ Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ x +1 thị với trục tung tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích (đvdt) Bài (1,0 điểm) Cho hàm số y = Bài (1,0 điểm) Giải phương trình sin x + sin x + cos x = sin x + cos x −1 Bài (1,0 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số khác Chọn ngẫu nhiên hai số từ S, tính xác suất để hai số chọn mà số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số (ví dụ ab ba ) 3x − ln(2 x + 1) + x →0 tan x Bài (1,0 điểm) Tính giới hạn L = lim Bài (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = a, AD = 2a Biết hai mặt phẳng (SBD) (SAC) vuông góc với đáy, góc (SCD) đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;2;0), B(–1;1;4) C(3;–2;1) Viết phương trình mặt cầu S có tâm I, qua ba điểm A, B, C biết OI = Bài (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD với CD = 2AB Biết phương trình đường thẳng AB x + y – = 0, phương trình đường thẳng BD x – 3y + 13 = đường thẳng AC qua điểm M(3;8) Tìm tọa độ điểm C  y (2 x + y + 5) = x ( y + 5) − 10 x  ( x, y ∈ R ) Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2  y + + y + x + = (3 x + y − x + 30)  Bài 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương Tìm giá trị lớn biểu thức 232a + 135b + 54( ab + bc + abc ) P= + (a + b + c)2 ĐÁP ÁN Bài 1 y = (2 x + 1) ( x − 2) = x3 − x − x − 2 + Tập xác định : D = ℝ + Sự biến thiên: −1  x=  2 Chiều biến thiên: y ' = x − x − ; y ' =  x =  −1 −1 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; ) ( ; +∞) , nghịch biến ( ; ) 6 Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = −1 −125 , yCĐ = 0; đạt cực tiểu x = , yCT = 27 Bảng biến thiên: + Đồ thị: Giao với Ox ( Bài −1 ;0) (2;0) Giao với Oy (0;–1) 2−m 2x + m với m ≠ Tập xác định: D = ℝ \ {–1} Có y ' = ( x + 1) x +1 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A(0;m) Có y’(0) = – m Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số A có dạng: y=(2-m)x+m (d) m ;0) cắt Oy A(0;m) Ta có: Vì m ≠ nên (d) cắt Ox B ( m−2 1 m SOAB = OA.OB = | m | | |= 2 m−2 m2 | |= m−2  m − m + = 0(1)   m + m − = 0(2)  m = −2 (1) (m − ) + = vô nghiệm; (2) (m + 2)(m − 1) =  m = Vậy m = –2 m = Bài sin x + six + cos x = sin x + cos x − Xét hàm số y = 2sin x cos x + cos 2 x − = sin x + cos x − sin x(2 cos x − 1) + cos x(2 cos x − 1) = (2 cos x − 1)(sin x + cos x) =  cos x = (1)    − sin 3x = cos x(2) π π (1) x = ± + k 2π x = ± + kπ π  x = − + k 2π  π π (2) cos(3 x + ) = cos x x + = ±2 x + k 2π  2  x = − π + k 2π  10 π π k 2π Vậy nghiệm phương trình cho x = ± + kπ ; x = − + (k ∈Z ) 10 Bài Gọi A biến cố “Hai số chọn có tính chất số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số kia” Số phần tử không gian mẫu: Có cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị, có 9.9 = 81 số có hai chữ số khác Vậy số phần tử không gian mẫu C81 = 3240 Số kết thuận lợi cho A số cặp chữ số a, b khác chữ số từ đến 9, C9 = 36 36 = Xác suất cần tính PA = 3240 90 Bài Ta có: f ( x) = 3x − ln(2 x + 1) + x 3x − 1 − ln(2 x + 1) + = ( + ) tan x tan x x x x =1 x → tan x 3x − eln − eln − lim = lim(ln ) = ln 3.lim = ln x→0 x →0 x → ln x ln − ln(2 x + 1) + − ln(2 x + 1) −2 ln(2 x + 1) lim = lim = lim lim x→0 x →0 x[1 + ln(2 x + 1) + 1] x →0 + ln(2 x + 1) + x →0 x 2x lim = −2.1 = −2 x 3x − 1 − ln(2 x + 1) + lim( + ) = ln − x → tan x x → x x Vậy lim f ( x) = lim x→0 Bài Gọi E trung điểm AD ABCE hình vuông, suy EA = ED = EC = a ⇒ ∆ ACD vuông C ⇒ DC ⊥ CA Gọi H giao AC BD ⇒ SH = (SAC) ∩ (SBD) Mà (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SH ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ SC ⇒ Góc (SCD) (ABCD) (SC;CH)=SCH=600 ∆ ABC vuông B ⇒ CA = AB + BC = AB = a CH CB CA a = = => CH = = HA AD 3 a ∆ SHC vuông H ⇒ SH = CH tan 60o = 3a Vì ABCD hình thang ⇒ S ABCD = AB( BC + AD ) = 2 a Thể tích khối chóp: VS ABCD = SH S ABCD = Gọi M, I trung điểm SC, AC Trong mặt phẳng (SAC), đường trung trực SC cắt AC J, đường trung trực AC cắt IJ O Vì OM // SH (cùng nằm mặt phẳng (SAC) vuông góc AC) nên OM ⊥ (ABCD) Mặt khác M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC nên OM trục đường tròn Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC HC 2a a ∆ SHC vuông H ⇒ SC = = => CI = = CH o cos 60 3 Vì BC // AD ⇒ 2a a , JI = SH = 3 AC a a Có MC = = ; JM = JC− MC = 2 OM JM IC.JM a Có ∆JOM ~ ∆JCI ( g g ) => = => OM = = IC JI JI 18 ∆SHC = ∆JIC (g.c.g) => JC = SC = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC R = OC = OM + MC = a 42 Bài −1 ; ; 2), E (1; − ; ) 2 uuur 2 Phương trình mặt phẳng trung trực AB qua D nhận AB = (−1; −1; 4) làm vectơ pháp tuyến: -x-y+4z-7=0 (P) uuur Phương trình mặt phẳng trung trực BC qua E nhận BC = (4; −3; −3) làm vectơ pháp tuyến: 4x-3y-3z+2=0 (Q) Gọi d giao tuyến (P) (Q) d trục đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Xét điểm M(1;0;2) thuộc (P) (Q) nên M ∈ d Vì d ⊥ AB, d ⊥ BC nên vectơ phương d uuur uuur  AB; BC  = (15;13;7)   Gọi D, E trung điểm AB, BC Suy D( Suy phương trình giao tuyến (P) (Q): Gọi I(1+15t;13t;2+7t) ∈ ( d ) Ta có: x −1 y x − = = (d ) 15 13 OI = (1 + 15t ) + (13t ) + (2 + 7t ) = 443t + 58t = t =  I (1;0; 2)  =>  −427 −754 480 t = − 58 I ( ; ; ) 443   443 443 443 Gọi R bán kính mặt cầu cần tìm Nếu I(1;0;2) =>R=IA=3 Phương trình (S): ( x − 1) + y + (z − 2)2 = −427 −754 480 7003 ; ; ) => R = IA = Phương trình (S): 443 443 443 443 427 754 480 7003 (x + ) + (y + ) + (z − ) = 443 443 443 443 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn toán, có phương trình ( x − 1) + y + (z − 2) = 427 754 480 7003 (x + ) + (y + ) + (z − ) = 443 443 443 443 Bài Nếu I ( Qua M kẻ đường thẳng song song BD cắt AB N Vẽ MH ⊥ AN H I giao AC BD Vì ABCD hình thang cân nên ∆ABC = ∆BAD (c.g.c) => IAB = IBA = INA Suy ∆ AMN cân M ⇒ H trung điểm AN x + y − = => B (−1; 4) Tọa độ điểm B nghiệm hệ:   x − y + 13 = Phương trình MN qua M song song BD x-3y+21=0 x + y − = => N (−3;6) Tọa độ N nghiệm hệ   x − y + 21 = uuur Phương trình MH qua H nhận u AB (1; −1) làm vectơ pháp tuyến: x-y+5=0 x + y − = => H (−1; 4) H trung điểm AN ⇒ A(1;2) Tọa độ H nghiệm hệ  x − y + = Phương trình đường thẳng AC qua A M 3x-y-1=0 3 x − y − = => I (2;5) Tọa độ I nghiệm hệ   x − y + 13 = uuur uur AI AB = = => AC = AI = (3;9) => C (4;11) Vì AB // CD nên ICr CD uuur uu Tương tự BD = 3.BI = (9;3) => D (8;7) Vậy A(1;2), B(–1;4), C(4;11), D(8;7) Bài  y (2 x + y + 5) = x ( y + 5) − 10 x(1)  (I )  2  y + + y + x + = (3 x + y − x + 30)  Điều kiện: y ≥ –4 Với điều kiện ta có: (1) (y + 5) (2 x + y − x ) = { ≥1 y = x − x  y = x − x ( I )   x − x + + 12 x + x + = x − x + x − x + 30(2) Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho số dương bất đẳng thức Cô–si cho số dương, ta có: 2.2 x − x + ≤ + ( x − x + 4) = x − x + 3.2.2 x + x + = + + x + x + = x + x + 18 Do đó: (2) => x − x3 + x − x + 30 ≤ x − x + 26 x − x3 + x − x + ≤ ( x − 2) ( x + 1) ≤ x = Thử lại x = nghiệm (2) Suy y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2;0) Bài 10 232a + 135b + 54( ab + bc + abc ) P= + (a + b + c)2 Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho số dương bất đẳng thức Cô–si cho số dương, ta có: 54 ab = 9.2 a.9b ≤ 9( a + 9b) 54 bc = 9.2 b.9c ≤ 9(b + 9c) 54 abc = 2.3 a.9b.81c ≤ 2(a + 9b + 81c ) + (a + b + c) ≥ 2(a + b + c) 232a + 135b + 9(a + 9b + b + 9c ) + 2(a + 9b + 81c) 243(a + b + c) 243 => P ≤ = = 2(a + b + c) 2(a + b + c)  a = 9b = 81c 81 a = ; b = ;c = Dấu xảy  91 91 91 a + b + c = 243 Vậy GTLN P