Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 điểm) : Cho hàm số y = x − x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 24x – y – = Câu (1,0 điểm) : Giải phương trình sin x(2sin x + 1) = cos x(2 cos x + 3) Câu (1,0 điểm) : Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i + 3) z + 2+i = (2 − i) z Tìm mô đun số phức i w = z −i Câu (1,0 điểm) : Trong cụm thi xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phái thi môn có môn buộc Toán, Văn Ngoại ngữ môn thi sinh tự chọn số môn: Vật lí Hóa học Sinh học, Lịch sử Địa lý Một trường THPT có 90 học sinh đăng kí dự thi 30 học sinh chọn môn Vật lí vả 20 học sinh chọn môn Hóa học Chọn ngẫu nhiên học sinh trường Tính xác suất để học sinh có học sinh chọn môn Vật lí học sinh chọn môn Hóa học Câu (1,0 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA BD Câu (1,0 điểm) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = x−6 y −2 z −2 = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(4;3;4), song song với −3 2 đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) đường thẳng ∆ : Câu (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d: x + 2y – = 0, điểm M(1;1) thuộc cạnh BD Biết hình chiếu vuông góc điểm M cạnh AB AD nằm đường thẳng ∆: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh C Câu (1,0 điểm) : Giải bất phương trình: ( x + 2)( x + − x + 1) + x + x + ≥ Câu (1,0 điểm) : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 5( x + y + z ) = 9( xy + yz + zx) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x − y + z ( x + y + z )3 HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu a) y = x − x + +TXĐ: D = ℝ +Sự biến thiên: –Chiều biến thiên: y ' = 3x − x x = y ' =  x = Các khoảng đồng biến: (–∞;0) (2;+∞); khoảng nghịch biến (0;2) –Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = 2; đạt cực tiểu x = 2; yCT = –2 –Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ +Bảng biến thiên +Đồ thị b) Ta có: y ' = 3x − x Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M(a;b) ∈ (C) có dạng y = (3a − 6a )(x − a) + b(d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 24x – nên suy 3a − 6a = 24 a − 2a − = ⇔ a = a = –2 Thử lại: a = ⇒ M(4;18); (d): y = 24x – 78 (thỏa mãn) a = –2 ⇒ M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (thỏa mãn) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 24x – 78 y = 24x + 30 Câu sin x(2sin x + 1) = cos x(2 cos x + 3) 2sin x + sin x = cos x + cosx sinx − cosx = cos x sin x − cos x = cos x 2 π sin( x − ) = cos x 5π cos(x − ) = cos x  5π  x − = x + k 2π   x − 5π = −2 x + k 2π  −5π   x = + k 2π   x = 5π + k 2π  18 −5π   x = + k 2π Vậy  (k ∈ Z )  x = 5π + k 2π  18 Câu Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ) Suy z = a − bi Ta có: 2+i (i + 3) z + = (2 − i) z i (2 + i )i (i + 3)(a + bi ) + = (2 − i)( a − bi) −1 (3a − b) + (a + 3b)i + − 2i = (2a − b) − (a + b)i (a + 1) + (2 a + b − 2) i = a + =   2a + 5b − =  a = −1   b = => z = −1 + i => w = z − i = −1 − i Vậy môđun số phức w | w |= (−1) + ( −1 26 ) = 5 Câu Gọi A biến cố “Trong học sinh chọn có học sinh chọn môn Vật lí học sinh chọn môn Hóa học.” +Tính số phần tử không gian mẫu: Số cách chọn học sinh từ 90 học sinh C90 +Tính số kết có lợi cho A: –TH1: Trong học sinh chọn, có học sinh chọn môn Vật lí học sinh chọn môn Hóa học: Số cách chọn học sinh chọn môn Vật lí: C30 Số cách chọn học sinh chọn môn Hóa học: C20 Số cách chọn học sinh lại (không chọn Vật lí hay Hóa học): C40 1 Theo quy tắc nhân, số học sinh TH là: C30 C20 C40 –TH2: Có học sinh chọn môn Vật lí, học sinh chọn môn Hóa học Số cách chọn học sinh chọn Vật lí: C30 Số cách chọn học sinh chọn Hóa học: C20 Theo quy tắc nhân, số học sinh TH là: C30 C20 –TH3: Có học sinh chọn môn Hóa học học sinh chọn môn Vật lí Số cách chọn học sinh chọn Hóa học: C20 Số cách chọn học sinh chọn Vật lí: C30 Theo quy tắc nhân, số học sinh TH là: C20 C30 Theo quy tắc cộng, số cách chọn học sinh cho có học sinh chọn môn Vật lí học sinh 1 2 chọn môn Hóa học C30 C20 C40 + C30 C20 + C20 C30 =38400 Xác suất cần tính là: PA = 38400 320 = C903 979 Câu +Tính thể tích Gọi N trung điểm CD Ta có SM ⊥ (ABCD) nên (SMN) ⊥ (ABCD) MN // BC ⇒ MN ⊥ CD Mà SM ⊥ CD nên CD ⊥ (SMN) Mà CD ⊂ (SCD) nên (SCD) ⊥ (SMN) Vậy mặt phẳng (SMN) vuông góc với (ABCD) (SCD) (SMN) ∩ (ABCD) = MN; (SMN) ∩ (SCD) = SN ⇒ Góc (SCD) (ABCD) SNM=600 Vì MNCB hình chữ nhật nên MN = BC = 2a Tam giác SMN vuông M: SM = MN tan 60o = 2a 1 8a 3 => VSABCD = SM S ABCD = 2a 3(2a ) = 3 +Tính khoảng cách: Qua A kẻ đường thẳng song song BD H hình chiếu vuông góc M đường thẳng Vẽ MI ⊥ SH I Vì AH ⊂ (SAH) nên BD // (SAH) Do d(BD; SA) = d(BD; (SAH)) = d(B; (SAH)) = d(M; (SAH)) Vì SM ⊥ AH, MH ⊥ AH nên (SMH) ⊥ AH Suy MI ⊥ AH Mà MI ⊥ SH nên MI ⊥ (SAH) Suy d(M; (SAH)) = MI MA a = Tam giác AHM vuông cân H nên MH = 2 Tam giác SMH vuông M: 1 2a = + => MI = 2 MI MH MS 4a => d ( SA; BD) = 2.MI = Câu r Gọi vectơ pháp tuyến (P) n(a; b; c ) r Đường thẳng ∆ có vectơ phương u = (−3; 2; 2) ,đi qua điểm N(6;2;2) rr 3a ∆ / / P => n.u = −3a + 2b + 2c = c = −b 3a Phương trình mặt phẳng ( P ) : a( x − 4) + b( y − 3) + ( − b)( z − 4) = Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d ( I ;( P )) = 3a | a (1 − 4) + b(2 − 3) + ( − b)(3 − 4) | =3 3a 2 a + b + ( − b) | −3a |= 13a − 12ab + 8b 9a = 13a − 12ab + 8b a − 3ab + 2b = Chọn b = a = a = a = ⇒ (P): 2x + 2y + z – 18 = (loại N ∈ (P) ⇒ ∆ ⊂ (P)) a = ⇒ (P): 2x + y + 2z – 19 = (thỏa mãn ∆ // (P)) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 2x + y + 2z – 19 = Câu Gọi H, K hình chiếu vuông góc M AB, AD KM cắt BC F, CM cắt KH E Tam giác KMD vuông K có góc MKD 45o nên tam giác vuông cân Suy KM = KD KDCF hình chữ nhật nên KD = FC ⇒ KM = FC (1) Tam giác MBF vuông cân F nên MF = BF MFBH hình chữ nhật nên BF = MH ⇒ MF = MH (2) Từ (1) (2) suy ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có cạnh góc vuông tương ứng nhau) =>MKE=MCF =>MKE+EMK=MCF+FMC=900 Suy ∆ MKE vuông E ⇒ MC ⊥ HK uuur uuur Đường thẳng HK có vectơ pháp tuyến nHK = (1;1) => uHK = (1; −1) uuur Phương trình đường thẳng MC qua M(1;1) nhận u HK = (1; −1) làm vectơ pháp tuyến: (MC): x – y = Tọa độ C nghiệm hệ: x − y = => C (2; 2)  x + y − = Vậy tọa độ điểm C (2;2) Câu ( x + 2)( x + − x + 1) + x + x + ≥ (1) ĐK: x ≥ –1 Đặt a = x + 3; b = x + 1(a ≥ 1; b ≥ 0) (1) trở thành a − 2b = 1; x + x + = ab; x + = a + b (a − b )(a − 2b) + ab ≥ (a − b)(a + b)(a − b) + ab − ≥ (a − b)(a − 2b − ab) + ab − ≥ (a − b)(1 − ab) + ab − ≥ (a − b − 1)(1 − ab) ≥  a − b − = 0(2) 1 − ab = 0(3)   a − b − > (I)   1 − ab >  a − b − <  (II)  1 − ab < Giải (2): 2x + − x +1 −1 = x + = x + + x + = x + x + 1( x + − 2) = ⇔ x = –1 x = (thỏa mãn) Giải (3): − x2 + 5x + = x + x + = −1 x = (thỏa mãn) x = –2 (loại) Giải (I):  x ≥ −1 x >  x + > x + +   (I)   x + > x +  −1 (loại) 2 x + x + <  −1 < x <  x + x + <  Giải (II):  x ≥ −1  −1 ≤ x <  x + < x + +  −1  (II)   x + < x +  < x < (thỏa mãn điều kiện) − 2  x + x + > 2 x + 5x + >  x >  −1 ≤ x≤3 Vậy nghiệm BPT (1) x = –1 Câu Đặt t=y+z; t ≥ , ta có bất đẳng thức sau: ( y + z )2 t ( y + z )2 t y +z ≥ = ; yz ≤ = 2 4 Do từ điều kiện đề suy ra: 2 ( y + z )2 ( y + z )2 ≤ 5( x + y + z ) = x( y + z ) + 18 2 => x − xt − 2t ≤ ( x − 2t )(5 x + t ) ≤ x ≤ 2t Do đó: x 2t P= − ≤ − = − 2 t y + z ( x + y + z) (2t + t ) t 27t Xét hàm số: f (t ) = − (0;+∞) t 27t −4 f '(t) = + t 9t 1 f '(t ) = = t = t = t 9t 36 Ta có: f ( ) = 16 Bảng biến thiên: x + Căn bảng biên thiên, ta có f (t) ≤ 16, ∀ t ∈ (0; +∞) Suy P ≤ 16   y = z x =   Dấu xảy ⇔  x = 2( y + z )   y = z = 1  y + z = 12  Vậy giá trị lớn P 16