Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG ĐH VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 –LẦN MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số y = −x +1 x−2 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm hàm số f ( x ) = 3x − x − 12 x Câu 3: (1,0 điểm) a Cho hàm số f ( x) = e x + e −2 x Tìm x để f '( x ) + f(x) = b Cho số phức z thoả mãn ( + i ) = − 4i Tìm phần thực phần ảo z  3x +  Câu : (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫  sin π x + ÷dx x −5 ÷ 0  Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho m ặt phẳng (P): x + y + z – = điểm I(1;2;3) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ tiếp điểm (S) (P) Câu 6: (1,0 điểm) sin 3a − sin a a) Cho cos a = Tính giá trị biểu thức P = sin 2a b) Nam Hùng chơi đá bóng qua lưới, đá thành công nhiều người thắng Nếu để bóng vị trí A xác suất đá thành công Nam 0,9 Hùng 0,7; để bóng vị trí B xác suất đá thành công Nam 0,7 Hùng 0,8 Nam Hùng người đá vị trí A vị trí B Tính xác suất để Nam thắng Câu 7: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 450, hình chiếu A lên mặt phẳng (A’B’C’) trung điểm A’B’ Gọi M trung điểm B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a cosin góc hai đường thẳng A’M,AB’ Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A D, AB = AD = CD Giao điểm AC BD E(3;-3); điểm F(5;-9) thuộc cạnh AB cho AF = 5FB Tìm toạ độ đỉnh D, biết đỉnh A có tung độ âm Câu 9: (1,0 điểm) Giải phương trình x +1 ( ) log x + x + = x.log (3 x) Câu 10: (1,0 điểm) Tìm số thực m lớn cho tồn số thực không âm x, y, z thoả mãn: x + y + z 3 2 = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = m ĐÁP ÁN Câu (1 điểm) - TXĐ: R\{2 } - Sự biến thiên: - Giới hạn tiệm cận: (0,5) y = +∞; lim+ y = −∞ đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị (H) Ta có xlim → 2− x →2 y = −1; lim y = −1 nên đường thẳng y = -1 tiệm cận ngang đồ thị (H) Vì xlim →−∞ x →+∞ > 0, ∀x ≠ ( x − 2) Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) Bảng biến thiên + Đồ thị 0,5 Chiều biến thiên: Ta có y ' = Đồ thị Đồ thị (H) cắt Oy điểm (0; −1 ) , cắt Ox điểm ( ; nhận giao điểm I (2;-1) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Câu Hàm số xác định với x ∈ R Ta có f’(x) = 12x3 – 12x2 – 24x; f’(x) =  x1 = - 1; x2 = 0; x3 = f’’(x) = 12(3x2 – 2x – 2) Ta lại có f’’(-1) > 0, f’’(0) < 0; f’’(2) > 0,5 Suy x = -1; x = điểm cực tiểu; x = điểm cực đại hàm số Chú ý: Học sinh lập Bảng biến thiên để đưa kết luận Câu 3: a Hàm số xác định với x ∈ R f’(x) = ex – 2e-2x, ∀ x ∈ R Khi f’(x) + 2f(x) = 3 ex - 2e-2x + 2ex + 2e-2x =  ex = x=0 0,5 − 4i − 4i = = − = −2 − i 0,5 b Từ giả thiết ta có z = (1 + i ) 2i i Vậy phần thực z -2; phần ảo z = -1 Câu 4: Ta có 1 0 I = ∫ s inπ xdx + ∫ + ∫ s inπ xdx = Tính ∫ Đặt 0,5 3x + dx x −5 −1 cosπ x = π π 0,5 3x + dx x −5 3x + = t Khi x = suy t = 1; x = suy t = x = t −1 2t => dx = dt 3 Suy ∫ 2 3x + t2 2 dx = 2∫ dt = ∫ (1 + − )dt x−5 t − 16 t −4 t +4 1 =(2t+4ln|t-4|-4ln|t+4|) Từ ta I = 0,5 = − 8ln + ln + − 8ln + ln π Câu : Ta có R = d(I,(P)) = Suy (S): (x-1)2 + (y-2)2 + (y-3)2 = 0,5 Gọi H tiếp điểm (S) (P) Khi H hình chiếu I lên (P) uuu r uur x −1 y − z − = = Ta có u IH = nP = (1;1;1) => IH : 1 Do H(t+1; t+2; t + 3) H ∈ P nên 0,5 (t +1) + (t +2) + (t +3) – = t = -1 Suy H(0;1;2) Câu 6: sin 3a − sin a cos 2a sin a cos 2a cos a − −7 a Ta có P = 0,5 = = = = sin 2a 2sin a cos a cos a cos a b Gọi X biến cố Nam thắng cuộc, Ni (i = 0,1,2) biến cố Nam đá thành công i quả; Hi (i= 0,1,2) biến cố Hùng đá thành công i Khi X = ( N1 ∩ H ) ∪ ( N ∩ H ) ∪ ( N ∩ H1 ) 0,5 Theo giả thiết ta có: P( N1 ∩ H ) = P(N1).P(H0) = (0,9.0,3+0,1.0,7)(0,3.0,2) = 0,0204 P( N ∩ H ) = P(N2).P(H0) = (0,9.0,7)(0,3.0,2) = 0,0378 P( N ∩ H1 ) = P(N2).P(H1) = (0,9.0,7)(0,7.0,2 + 0,3.0,8) = 0,2394 Suy P(X) = 0,0204 + 0,0378+ 0,2394 = 0,2976 Câu 7: Gọi H trung điểm A’B’ Khi AH ⊥ (A’B’C’) Suy AA’H=(AA’,(A’B’C’))=45o a a a3 Do AH = A’H = Suy VABC A ' B 'C ' = a.a.sin 60o = 2 · · Gọi N trung điểm BC Khi ( A ' M , AB ') = ( AN , AB ') Trong tam giác vuông HAB’ ta có: a a a AB ' = AH + HB '2 = ( )2 + ( ) = 2 a Gọi K trung điểm AB Khi B’K // AH nên B’K ⊥ KN a a a Suy B’N = B ' K + KN = ( ) + ( ) = 0,5 2 Áp dụng hệ định lý hàm số cosin tam giác AB’N ta có 2a 3a 2a | + − | 4 = · cos( · A ' M , AB ') =| cosNAB ' |= 4 a a 2 Câu 8: Tam giác ABC cạnh a nên AN = Gọi I = EF ∩CD Ta chứng minh tam giác EAI vuông cân E Đặt 0,5 uuur r uuur r AB = a; AD = b r r | a |=| b | =>  r r  a.b = uuur uuur uuur r r AC = AD + DC = b + 3a uuu r uuur uuur uuur uuur r r r r r FE = AE − AF = AC − AB = (b + 3a ) − a = (3b − a ) 6 12 uuur uuur r r => AC.EF = (3 | b |2 −3 | a |2 ) = => AC ⊥ EF (1) 12 ¶ = 45O (2) Từ (1) suy tứ giác ADIE nội tiếp Suy Iµ = D 0,5 Từ (1) (2) suy tam giác EAI vuông cân E uuur uuur Ta có nAC = EF (2; −6) nên AC: x – 3y – 12 = suy A(3a + 12; a) Theo định lý Talet ta có: uur uuu r EI EC CD = = = => EI = 3FE => I (−3;15) 0,5 EF EA AB a = Khi EA = EI  (3a +9)2 + (a+3)2 = 360   a = −9 Vì A có tung độ âm nên A(-15; -9) uuur uuur Ta có nAD = AF (20;0) nên AD: x = -15 => CD: y = 15 Do D(-15;15) Câu 9: ĐK:x > Phương trình cho tương đương với x+ x +1 log (2 + x + 1) = 23 x log (3 x)(1) Xét hai trường hợp sau: TH1: < x < Khi đó: x + x +1 log (2 + x + 1) > > > 23 x log (3 x) 0,5 Suy (1) không thoả mãn TH2: x ≥ Ta có x + x + 3x thuộc khoảng [1;+ ∞ ) Xét hàm số f(t) = 2t log2t khoảng [1;+ ∞ ) t t > với t thuộc khoảng [1;+ ∞ ) Ta có f '(t ) = ln 2.log t + t ln Suy f(t) đồng biến khoảng [1;+ ∞ ) Do (1) tương đương với x + x + =3x Từ giải x = 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 10: Giả sử tồn số thực x, y, z thoả mãn yêu cầu toán đặt Không tính tổng quát ta giả sử y nằm x z Kết hợp với giả thiết ta có ≤ y ≤ x(y-x) (y-z) ≤ Từ ta xy2 + yz2 + zx2 ≤ y(x+z)2 Mặt khác x, z không âm nên x3 + z3 ≤ (x +z)3 0,5 Do m ≤ (x +z)3 + y3 + 8y(x +z)2 = (4-y)3 + y3 + 8y(4-y)2 = 8y3 – 52y2 + 80y + 64 (1) Xét hàm số f(y) = 8y3 – 52y2 + 80y + 64, ≤ y ≤ Ta có f’(y) = 24y2 – 104y + 80 = 8(3y2 – 13y + 10) f’(y) = , ≤ y ≤ y=1 ta có f(0) = 64; f(1) = 100; f(2) = 80 0,5 Suy f(y) ≤ f(1) = 100, ∀y ∈ [0; 2] (2) Từ (1) (2) ta m ≤ 100 Khi x = 0, y = 1, z = ta có dấu đẳng thức Vậy số m lớn cần tìm 100