Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN – LỚP 12 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (1,00 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x − 1  Câu (1,00 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − ln x đoạn  ;e  e  Câu (1,00 điểm) a) Cho hai số phức thỏa mãn | z1 |=| z |= 1;| z1 + z2 |= Tính | z1 − z2 | b) Giải phương trình; 3|3 x −4| = 92 x −2 π Câu (1,00 điểm) Tính tích phân I = + tanx dx ∫0 cos x x − y +1 z + = = mặt phẳng −2 (P): x+y-z+5=0 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (∆) với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (∆) vuông góc với mặt phẳng (P) Câu (1,00 điểm) + sin α a, Cho tan α = Tính A = cos 2α b, Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để hai em nữ đứng cạnh · · · Câu (1,00 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SAB = SAD = BAD = 60o cạnh bên SA = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD AB Câu (1,00 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M trung điểm BC, phương trình đường thẳng DM: x-y-2=0, đỉnh C(3;-3), đỉnh A nằm đường thẳng (d): 3x+y-2=0 Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông Câu (1,00 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng (∆): 2  y ( x + x + 2) = x ( y + 6) Câu (1,00 điểm) Giải hệ phương trình:  2 ( y − 1)( x + x + 7) = ( x + 1)( y + 1) Câu 10 (1,00 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 y2 z2 + + x + y2 y + z z + x2 Câu Câu ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đáp án Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x − + Tập xác định: D = R x = + y ' = x − x; y ' =  x =  x = −1 Điểm 1,0 0,25 + Hàm số tăng (−1;0) (1; +∞) Hàm số giảm khoảng (−∞; −1) (0;1) +Hàm số đạt cực đại x=0;yCĐ= -1 Hàm số đạt cực tiểu x= ± 1;yCT= -2 lim = +∞; lim = +∞ 0,25 + Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị: Đồ thị hàm số qua điểm: (-2;7),(2;7) 0,25 x →−∞ x →+∞ Câu 1  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x − ln x đoạn  ;e  e  x −1 Ta có: f '( x ) = − = x x 1  Ta có: f '(x) = x = ∈  ; e  e  1 Tính f ( ) = + 1; f (1) = 1; f (e) = e − e e 1  Hàm số liên tục đoạn  ;e  e  max f ( x) = e − f ( x) = Vậy: x∈ ;e x=e; x∈ ;e x=1 e  Câu 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 e  a) Cho hai số phức thỏa mãn | z1 |=| z |= 1;| z1 + z2 |= Tính | z1 − z2 | Ta có: z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i (a1 ;a ; b1 ; b2 ∈ R ) 2 2 | z1 | + | z2 |= a1 + b1 = a2 + b2 = =>   2 | z1 + z2 |= ( a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) = 2(a1b1 + a2b2 ) = => (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) = Vậy | z1 − z2 |= b Giải phương trình; 3|3 x − 4| = 92 x − Phương trình: 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 3|3 x − 4| = 92 x − 3|3 x −4| = 32(2 x −2) | x − |= x − 4( x ≥ 1)  x = 0( L) 3 x − = x −   x = x − = − x +   0,25 Vậy nghiệm phương trình x= Câu π 1,0 Tính tích phân I = + tanx dx ∫0 cos x π π π tanx Ta có: I = + tanx dx = ∫0 cos x ∫0 cos x dx + ∫0 cos x dx π π ∫0 cos x dx = tan x = 0,25 π 0,25 π π tanx 1 ∫0 cos x dx = ∫0 tan xd (tan x) = tan x = Vậy I=1 + = 2 Câu Câu 0,25 x − y +1 z + = = mặt phẳng −2 (P): x+y-x+5=0 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (∆) với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (∆) vuông góc với mặt phẳng (P) -Tìm giao điểm đường thẳng (∆) với mặt phẳng (P): x = + t x − y +1 z +  (∆) : = = =>  y = −1 − 2t −2  z = −3 + 2t  Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng (∆): Thay vào (P) ta được: -3t+9=0t=3 Vậy A(5;-7;3) -Viết phương trình mp (Q) chứa (∆) vuông góc với mp (P): uu r uur Với u∆ = (1; −2; 2) nP = (1;1; −1) uu r uur uur Ta có: u∆ , nP  = (0;3;3) => nQ = (0;1;1) véc tơ pháp tuyến (Q) (Q) qua A có phương trình : 0(x-5)+1(y+7)+1(z-3)=0 Vậy (Q): y+z+4=0 + sin α a Cho tan α = Tính A = cos 2α + tan α Ta có: A = cos α 11 =1 + tan α = + 2.( ) = 2 b Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để hai em nữ đứng cạnh Không gian mẫu có |Ω|=P13 = 13! Cách xếp hàng dọc Số cách xếp bạn nam vào hàng P8 = 8! 9! 9! Số cách xếp bạn nữ vào vị trí xen kẽ: A9 = =>| Ω A |= 8! 4! 4! 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 9!.8! 14 = 4!.13! 143 · · · Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SAB = SAD = BAD = 60o cạnh bên SA = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD AB Vậy PA = Câu Theo giả thiết: ∆ABD, ∆SAB, ∆SAD tam giác =>SA = SB = SD = AB = BD = DA = a SABD hình tứ diện đều, hình chiếu H trọng tâm tam giác ABD AH = 1,0 0,25 2 a a AO = = => SH = SA2 − AH = a 3 3 Ta lại có: AC = AO = a => S ABCD = 1 AC BD = a 3.a = a 2 a3 Vậy VS ABCD = SH S ABCD = (đvtt) Gọi M, N trung điểm SD AB Do SABD tứ diện nên MN đường cao ∆MAB, ∆NSD Vậy, MN đoạn vuông góc chung SD AB Ta có: MN = AM − AN = 3a a a − = 4 a 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M trung điểm BC, phương trình đường thẳng DM: x-y-2=0, đỉnh C(3;-3), đỉnh A nằm đường thẳng (d): 3x+y-2=0 Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông Giả sử A(t;2-3t) ∈ d Từ giả thiết toán suy : t = | 4t − | 2.4 d ( A, DM ) = 2d (C , DM) =  2  t = −1 0,25 0,25 0,25 Vậy d(SD,AB)= Câu 1,0 0,25 Câu  A(3; −7) =>   A(−1;5) Mặt khác, A C nằm hai phía DM nên có A(-1 ;5) thỏa mãn uuur uuur Gọi D(m;m-2) ∈ DM => AD = (m + 1; m − 7), CD = (m − 3; m + 1) 0,25 0,25 ABCD hình vuông nên uuur uuur  DA.DC = (m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) =  m =  2 2 ( m + 1) + ( m − 7) = ( m − 3) + ( m + 1)  DA = DC  uuur uuur Suy D(5 ;3) ; AB = DC => B(−3; −1) 0,25 Vậy A(-1;5);B(-3;-1);C(5;3)  y ( x + x + 2) = x ( y + 6) Giải hệ phương trình:  2 ( y − 1)( x + x + 7) = ( x + 1)( y + 1) a = x + Đặt  ,hệ trở thành b = y 1,0 0,25 2 2 b(a + 1) = (a − 1)(b + 6) (a − 1)(b + 6) = b(a + 1)(1)   2 2 (b − 1)(a + 6) = a (b + 1) (b − 1)(a + 6) = a(b + 1)(2) Trừ vế theo vế (1) (2): (a-b)(a+b-2ab+7)=0 a = b   a + b − 2ab + = + Trường hợp 1: a = b Thay vào phương trình (1) ta : (a − 1)(a + 6) = a( a + 1) 0,25 a − 5a + = a =  a = x =  x = Suy hệ có hai nghiệm (1;2), (2;3) + Trường hợp 2: a+b-2ab+7=0 Cộng vế theo vế hai phương trình (1) (2) rút gọn ta được: 5 (a − ) + (b − ) = 2  a + b − 2b + =  Ta có hệ phương trình đối xứng loại I:  5 (a − ) + (b − ) =  a = a = ; Giải hệ ta có nghiệm:  b = b = Câu 10 Từ nghiệm (x;y) là: (2;2);(1;3) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;2), (2;2); (2;3); (1;3) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2 x y z + + 2 x+ y y+z z + x2 0,25 0,25 1,0 Ta có: P= 0,25 x2 y2 z2 xy yz zx + + = ( x − ) + (y − ) + (z − ) x + y y + z z + x2 x + y2 y + z2 z + x2 => P = x + y+ z− ( xy yz zx + + ) x + y2 y + z z + x2 Lại có : x + y ≥ y x => xy xy y x y x + xy + y ≤ = ≤ = x+ y 2 2y x 0,25 Tương tự : z y yz + z zx yz x z xz + x ≤ ≤ ; ≤ ≤ 2 y+z z+x x + y + z + xy + yz + zx => P ≥ x + y + z − P ≥ ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx) = − ( xy + yz + zx) 4 4 Để ý: ( x + y + z ) = x + y + z + 2( xy + yz + zx ) ≥ 3( xy + yz + zx ) => xy + yz + zx ≤ => P ≥ − = 4 2  x = y ; y = z ; z = x2   x = 1; y = 1; z = x = y = z = Dấu = xảy  x = y = z  x + y + z = Vậy GTNN P x=y=z=1 0,25 0,25