S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp – Tù do – H¹ng phóc =======***&***======= B¶n s¸ng KiÕn kinh nghiÖm VÏ h×nh phô lµm xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc d¹ng a=b+c Gi¸o viªn: NGuyÔn H÷u Tµi Trêng THCS Lý Tù Träng B×nh Xuyªn –VÜnh PhVÜnh Phóc N¨m häc 2007 –VÜnh Ph 2008 PhÇn 1 PhÇn më ®Çu 1 Lý do chän ®Ò tµi: a) Khi gi¶i mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc trõ mét sè bµi dÔ, cßn l¹i phÇn lín c¸c bµi ®Òu ph¶i vÏ thªm h×nh phô míi t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n H×nh phô cã mét vai trß quan träng trong chøng minh h×nh häc Cã n¾m kiÕn thøc mét c¸ch ch¾c ch¾n, biÕt vËn dông linh ho¹t míi biÕt khai th¸c c¸c d÷ kiÖn cña bµi ra mµ t×m c¸ch vÏ h×nh phô thÝch hîp ®Ó gi¶i bµi to¸n Nh vËy vÏ 1 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng h×nh phô trong gi¶i to¸n h×nh häc còng lµ mét kü n¨ng cÇn ®îc rÌn luyÖn; nhng SGK phæ th«ng kh«ng cã bµi cô thÓ nµo ®Ó híng dÉn HS vÏ h×nh phô ®Ó gi¶i to¸n Do ®ã ®©y lµ viÖc lµm thêng xuyªn cña GV to¸n khi d¹y HS gi¶i to¸n b) Trªn thùc tÕ, vÏ h×nh phô nh thÕ nµo vµ vÏ nh»m môc ®Ých g×, khi nµo th× vÏ? ®ã lµ c©u hái mµ ®¹i ®a sè HS muèn biÕt ®èi víi mçi bµi to¸n, lo¹i to¸n cô thÓ KÓ c¶ khi ®äc s¸ch tham kh¶o cã c¸c bµi gi¶i mÉu hoÆc lêi híng dÉn chøng minh thÊy t¸c gi¶ vÏ thªm h×nh phô, nhng kh«ng biÕt t¹i sao hä l¹i nghÜ ra mµ vÏ ®îc nh vËy? MÆt kh¸c, trªn thùc tÕ còng kh«ng cã mét ph¬ng ph¸p chung nµo cho viÖc vÏ h×nh phô trong gi¶i to¸n chøng minh h×nh häc Ngay víi mét bµi to¸n cô thÓ còng cã thÓ cã nh÷ng c¸ch vÏ h×nh phô kh¸c nhau tuú thuéc vµo sù ph¸t hiÖn cña ngêi gi¶i to¸n h×nh häc Víi nh÷ng lý do trªn ®©y trong ®Ò tµi nµy t«i ®a ra mét c¸ch ph©n tÝch cã chñ ý ®Ó t×m c¸ch vÏ thªm ®îc h×nh phô thÝch hîp nh»m xuÊt hiÖn c¸c cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc d¹ng A = B + C hoÆc A = B –VÜnh Ph C ë ®©y A, B, C lµ c¸c biÓu thøc tÝch chøa ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng §Ò tµi cã tªn: “ VÏ h×nh phô lµm xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc d¹ng A = B + C ” 2 Ph¹m vi, ®èi tîng, môc ®Ých cña ®Ò tµi: a) Ph¹m vi cña ®Ò tµi: Lµ ph¬ng ph¸p chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc THCS nhng ë ph¹m vi hÑp, cô thÓ lµ dïng tam gi¸c ®ång d¹ng chøng minh mét sè hÖ thøc nh : xy = ab + cd , x2 = ab + cd , x2 = ab - cd, x2 = a2 + cd , x2 = a2 + b2 vµ c¸c d¹ng t¬ng øng mµ mét vÕ lµ mét tæng b) §èi tîng cña ®Ò tµi : Lµ häc sinh kh¸, giái vµ c¶ HS trung b×nh líp 8; 9, gi¸o viªn míi ra nghÒ d¹y ë trêng THCS c) Môc ®Ých cña ®Ò tµi : Gióp gi¸o viªn híng dÉn häc sinh t¹o ra h×ng phô ®Ó chøng minh hÖ thøc h×nh häc d¹ng A = B + C vµ ®Æt biÖt rÌn luyÖn häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch t×m lêi gi¶i tù nhiªn cho c¸c d¹ng to¸n thuéc d¹ng nãi trªn 2 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng * * * ** V× thêi gian cã h¹n , n¨ng lùc cu¶ b¶n th©n cßn cã nh÷ng h¹n chÕ nhÊt ®Þnh nªn qu¸ tr×nh nghiªn cøu vµ viÕt ®Ò tµi nµy kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiªó sãt KÝnh mong héi ®ång khoa häc c¸c cÊp vµ c¸c thÇy c« ®ång nghiÖp ®ãng gãp x©y dùng Xin tr©n thµnh c¶m ¬n ! PhÇn 2: NéI DUNG Cña ®Ò tµi A Néi dung: I C¬ së lÝ luËn, khoa häc cña ®Ò tµi: §Ó nghiªn cøu vµ viÕt ®îc ®Ò tµi nµy t«i ®· c¨n cø vµo nh÷ng c¬ së lÝ luËn sau : 1 Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh ®¼ng thøc A = B + C (A = B –VÜnh Ph C), ë ®©y A, B, C cïng lµ ®o¹n th¼ng a) Ph¬ng ph¸p 1: §Æt B lªn A ( hoÆc B lªn A ) ®Ó xuÊt hiÖn A’ = A –VÜnh Ph B Sau ®ã chøng minh A’ = C b) Ph¬ng ph¸p 2: §Æt A’ = B + C , Chøng minh A’ = A c) Ph¬ng ph¸p 3: - Do tÝnh to¸n mµ A = A’, B + C = A’ - Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu d) Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông ®Þnh lÝ Talet , tam gi¸c ®ång d¹ng , Pytago , vv TÊt nhiªn kh«ng ph¶i lµ dïng tÊt c¶ c¸c ph¬ng ph¸p trªn ®Ó viÕt vµo ®Ò tµi nµy mµ ®ã lµ c¬ së chung ®Ó nghiªn cøu 2 Mét sè c¸ch vÏ h×nh phô trong gi¶i to¸n h×nh häc: a) VÏ h×nh phô ®Ó t¹o ra mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®iÒu kiÖn ®· cho hoÆc gi÷a c¸c yÕu tè trong kÕt luËn cña bµi to¸n víi nhau b) VÏ thªm h×nh phô ®Ó t¹o ra yÕu tè trung gian cã tÝnh chÊt b¾c cÇu gi÷a c¸c yÕu tè cÇn chøng minh hoÆc cÇn so s¸nh víi nhau c) VÏ h×nh phô ®Ó t¹o nªn mét h×nh míi biÕn ®æi bµi to¸n ®Ó bµi to¸n dÔ chøng minh h¬n d) Thªm nh÷ng ®¹i lîng b»ng nhau hoÆc thªm vµo nh÷ng ®¹i lîng b»ng nhau mµ bµi ®· ra ®Ó t¹o mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng cÇn chøng minh gióp cho viÖc chøng minh ®îc dÔ dµng e) Thªm h×nh phô ®Ó bµi to¸n cã thÓ ¸p dông mét ®Þnh lÝ nµo ®ã ( vÝ dô : Talet , pitago , vv) §©y lµ c¬ së cã tÝnh chÊt khoa häc mµ ngêi gi¸o viªn to¸n vµ häc sinh ph¶i n¾m ®îc 3 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng 3 Nh÷ng ®iÓm cÇn lu ý khi vÏ h×nh phô: a) VÏ h×nh phô ph¶i cã môc ®Ých kh«ng vÏ tuú tiÖn, ph¶i n¾m thËt v÷ng ®Ò bµi, ®Þnh híng chøng minh tõ ®ã mµ t×m xem vÏ ®êng phô nµo phôc vô cho môc ®Ých chøng minh cña m×nh b) VÏ h×nh phô ph¶i chÝnh x¸c vµ ph¶i tu©n thñ theo ®óng c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n c) Víi mçi bµi to¸n nh÷ng c¸ch vÏ h×nh phô kh¸c nhau th× c¸ch chøng minh còng kh¸c nhau Cã khi cïng mét ®êng phô nhng c¸ch vÏ còng kh¸c nhau Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®Ò tµi nµy c¸c chó ý trªn lu©n lu©n tån t¹i 4 Mét sè lo¹i ®êng phô thêng vÏ nh sau a) KÐo dµi mét ®o¹n th¼ng b»ng ®o¹n th¼ng cho tríc b) VÏ mét ®êng th¼ng song song víi ®o¹n th¼ng cho tríc tõ mét ®iÓm cho tr- íc c) Tõ mét ®iÓm cho tríc vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng cho tríc d) Nèi hai ®iÓm cho tríc hoÆc x¸c ®Þnh trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc e) Dùng ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc g) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc hay b»ng nöa gãc cho tríc h) VÏ tiÕp tuyÕn víi mét ®êng trßn cho tríc tõ mét ®iÓm cho tríc i) VÏ tiÕp tuyÕn chung , d©y chung hoÆc ®êng nèi t©m khi cã hai ®êng trßn giao nhau hay tiÕp xóc ngoµi víi nhau Trªn ®©y lµ nh÷ng c¬ së lÝ luËn khoa häc mµ t«i sö dông ®Ó nghiªn cøu vµ viÕt ®Ò tµi nµy vµ ch¾c ch¾n r»ng nÕu kh«ng cã nh÷ng c¬ së lÝ luËn khoa häc tèi thiÓu trªn th× kh«ng thÓ vÏ ®îc h×nh phô phôc vô cho gi¶i to¸n h×nh häc II §èi tîng phôc vô cho qu¸ tr×nh nghiªn cøu, x©y dùng ®Ò tµi nµy lµ: 1 VÒ con ngêi: Lµ nh÷ng gi¸o viªn giái ,gi¸o viªn l©u n¨m trong nghÒ cã kinh nghiÖm ®Ó häc hái, trao ®æi vÊn ®Ò n¶y sinh trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu -Gi¸o viªn míi ra nghÒ d¹y to¸n ®Ó ®Ò xuÊt c©u hái : “T¹i sao vÏ thªm h×nh phô nh thÕ trong chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc” -Lµ häc sinh trung b×nh vµ kh¸ giái m«n to¸n líp 8 ,9 trêng THCS H¬ng Canh, trêng THCS LÝ Tù Träng ®Ó kh¶o s¸t ban ®Çu vµ d¹y thö nghiÖm ®Ò tµi 2 VÒ kiÕn thøc : V× thêi gian cã h¹n n¨ng lùc cã h¹n chÕ nªn ®èi tîng vÒ kiÕn thøc t«i chän ë ®©y chØ lµ c¸c ®Þnh lÝ vµ c¸c bµi to¸n h×nh häc nãi vÒ ®¼ng thøc d¹ng xy = ab + cd, xy = ab –VÜnh Ph cd vµ nh÷ng d¹ng t¬ng tù mµ vÕ ph¶i lµ mét tæng .Nghiªn cøu chñ yÕu c¸ch vÏ h×nh phô ®Ó nh»m xuÊt hiÖn c¸c cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó rót ra c¸c ®¼ng thøc ( hoÆc tØ lÖ thøc ) phôc vô cho kÕt luËn cña bµi to¸n III Néi dung ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: *VÒ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: -B»ng quan s¸t thùc tÕ gi¶ng d¹y c¸c giê to¸n chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc cña gi¸o viªn trêng THCS -B»ng kinh nghiÖm ®øng líp vµ båi dìng häc sinh ®¹i trµ líp 8, båi dìng HSG phÇn tam gi¸c ®ång d¹ng vµ d¹y häc sinh líp 9 trong nh÷ng n¨m tríc ®©y thÊy häc sinh rÊt Ýt em ph¸t hiÖn ®îc h×nh phô ®Ó chøng minh víi nh÷ng bµi to¸n cÇn ph¶i vÎ thªm h×nh phô, chØ cã 1, 2 em lµ gi¶i quyÕt ®îc; nhng hái v× sao l¹i vÏ nh thÕ th× häc sinh nµy tr¶ lêi kh«ng ®îc râ rµng,cha ng¾n gän 4 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng -B»ng ®äc tµi liÖu ®Ó n¾m ®îc nh÷ng c¬ së lÝ luËn khoa häc vÒ ph¬ng ph¸p vÏ h×nh phô nh trªn §Æc biÖt t×m c¸ch gi¶i ®¸p cho c©u hái “v× sao l¹i vÎ h×nh phô nh vËy” trong c¸c bµi gi¶i cã vÏ thªm h×nh phô trong c¸c tµi liÖu -B»ng viÖc tham kh¶o vµ häc hái ý kiÕn cña ®ång nghiÖp nhÊt lµ thÇy c« d¹y giái to¸n trong huyÖn - B»ng thö nghiÖm ®Ò tµi cña m×nh trong bµi d¹y gi¶i to¸n ë trªn líp , c¸c buæi «n tËp ®¹i trµ, båi dìng HSG, luyÖn thi vµo THPT - B»ng ph¬ng ph¸p t¬ng tù ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ ®Ó nªu lªn c¸c bíc vÏ h×nh phô vµ chøng minh - Vµ cuèi cïng lµ b»ng viÖc ®i tõ vÊn ®Ò ®¬n gi¶n ®Õn c¸c ®Þnh lÝ vµ bµi to¸n khã h¬n , phøc t¹p h¬n Tõ c¸c ph¬ng ph¸p trªn ®©y ®èi chiÕu víi lÝ luËn vµ thùc tÕ rót ra kinh nghiÖm nhá trong qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n bëi néi dung cô thÓ nh sau: * Néi dung nghiªn cøu : 1 Ngay tõ líp 6 häc sinh ®· ®îc biÕt : NÕu ®iÓm M n»m gi÷a A vµ B th× AB = AM + MB VËy ®Ó chøng minh mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng cña hai ®o¹n th¼ng kh¸c : AB = CD + EF, ta t×m c¸ch ph©n chia ®o¹n AB thµnh hai ®o¹n bëi ®iÓm M sao cho AM = CD, c«ng viÖc cßn l¹i lµ chøng minh MB = EF 2 Líp 7 ®· ®îc tiÕp cËn ®Þnh lý Pytago (c«ng nhËn vµ vËn dông), ®Õn líp 8 khi häc xong tam gi¸c ®ång d¹ng, mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ Py-ta-go ®îc kh«ng? vµ lµm nh thÕ nµo? Sö dông ý tëng trªn víi ®¼ng thøc BC2 = AB2 + AC2 (ë ®©y AB, BC, CA lµ ba c¹nh  ABC vu«ng ë A) VÕ ph¶i cña hÖ thøc cÇn chøng minh lµ mét tæng, a vËy vÕ tr¸i cã thÓ viÕt thµnh tæng bëi ®iÓm M trªn ®o¹n BC nh thÕ nµo? Ta cã : BC2 = AB2 +AC2  BC BC = AB2+AC2  (BM+MC).BC = AB2+AC2 ( M  [BC] ) BC] )  MB.BC+MC.BC=AB2+AC2  2 MB AB b m c MB.BC AB    BMA BAC Suy ra AMˆ B 90o   AB BC MC.BC AC2 (tuong tu) VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh Tãm l¹i, chøng minh ®Þnh lÝ Pytago ta ®· lÊy ®iÓm M thuéc c¹nh BC sao cho BM.BC=AB2  BM  AB , suy ra BMA vµ BAC AB BC ®ång d¹ng nªn BMˆ A 90 o Tõ ®ã M lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ A xuèng BC - Hoµn chØnh chøng minh ®Þnh lÝ Pytago nh sau : H¹ AM  BC, v× c¸c gãc B ,C ®Òu nhän nªn M thuéc ®o¹n BC Ta cã: BMA ®ång d¹ng BAC (g g)  BM  AB  AB2 = BM BC (1) AB BC T¬ng tù CMA ®ång d¹ng CAB (g.g)  AC2 = CM.BC Céng theo tõng vÕ c¸c hÖ thøc (1) vµ (2) ®îc : (2) AB2+AC2=BC.(BM+CM)=BC2  - VËy ý tëng ®Çu tiªn ®îc sö dông ®Ó vÏ h×nh phô chøng minh ®¼ng thøc d¹ng x2 = a2+b2 3 TiÕp tôc ta xÐt tíi viÖc chøng minh ®Þnh lÝ Pt«lªmª: Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O Chøng minh r»ng: 5 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng AC.BD=AB.CD+AD.BC -T¸ch vÕ tr¸i thµnh tæng b»ng viÖc lÊy ®iÓm M thuéc c¹nh AC (HoÆc M thuéc c¹nh BD) Gi¶ sö M thuéc c¹nh AC b sao cho AM.BD=AB.CD  AM  AB , mµ BAˆ C BDˆ C o c CD BD do ®ã hai tam gi¸c ABM vµ DBC ®ång d¹ng, nªn suy ra ABˆM DBˆC VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh lµ : M[BC] ) AC ] vµ ABˆM DBˆC m a d - VËy ta tr×nh bµy chøng minh ®Þnh lÝ Pt«lªmª nh sau : V× CBˆD  CBˆA nªn trong ®o¹n AC tån t¹i ®iÓm M sao cho ABˆM DBˆC + VËy trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm M sao cho ABˆM CBˆD KÕt hîp víi BAˆ M BDˆ C ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BC ) suy ra ABM ®ång d¹ng DBC (theo trêng hîp thø ba: g.g ) Suy ra AB  AM AM.BD=AB.CD (1) BD CD + MÆt kh¸c dÔ chøng minh ®îc BCˆM BDˆ A vµ CBˆM DBˆA nªn BMC ®ång d¹ng BAD (theo trêng hîp thø ba: g.g) Suy ra: MC  BC AD BD  MC.BD=AD.BC (2) Céng vÕ theo vÕ c¸c ®¼ng thøc (1) vµ (2) ta ®îc: AB.CD+AD.BC=AC.BD  - Chó ý : Víi ®èi tîng häc sinh líp 8 ®Þnh lÝ trªn cã thÓ ph¸t biÓu díi d¹ng ®Æc biÖt ho¸ nh sau: “ Cho h×nh thang c©n ®¸y nhá AD, ®êng chÐo AC vµ BD Chøng minh r»ng: AC2=AD.BC+AB.CD.” a b Víi bµi to¸n trªn , viÖc x¸c ®Þnh ®iÓm M ®Ó vÏ h×nh phô t¬ng tù nh trªn ( H×nh vÏ bªn) v× AC = BD (T/c h×nh thang c©n) nªn cã ®pcm m d c 4 Nh vËy, ý tëng ®Çu tiªn còng ®îc sö dông ®Ó chøng minh ®¼ng thøc d¹ng xy = ab+cd vµ c¸c trêng hîp riªng qua c¸c bíc nh sau: a) Chia ®o¹n th¼ng ®é dµi x thµnh hai ®o¹n th¼ng bëi ®iÓm chia trong M ®Ó cã x = x1+x2 sao cho x1y = ab (1) ®Ó ph©n tÝch t×m ra ®îc mét cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng b) T×m c¸ch chøng minh hÖ thøc x2.y = cd (2) c) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ®Ó ®îc chiÒu ph¶i chøng minh 6 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng *Chó ý: 1) ë bíc a) còng cã thÓ chia ®o¹n dµi x bëi ®iÓm chia ngoµi M víi d¹ng to¸n chøng minh ®¼ng thøc x.y = ab –VÜnh Ph cd hoÆc víi mét sè bµi to¸n cô thÓ dÉn tíi c¸ch chøng minh kh¸c 2) ë hai bíc sau cã bµi cã thÓ chøng minh ®¼ng thøc kh¸c ®Ó phï hîp víi gi¶ thiÕt cña bµi to¸n hoÆc phï hîp víi ®iÓm chia ngoµi ®o¹n th¼ng ®é dµi x VËy bíc cuèi cã thÓ thay thÕ vµo hÖ thøc ®· chøng minh ®îc ë trªn 3) còng cã thÓ x¸c ®Þnh ®iÓm M tõ viÖc x¸c ®Þnh ®iÓm N tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµo ®ã ®Ó sö dông ®îc gi¶ thiÕt cña ®Ò bµi Vµi vÝ dô minh ho¹ VÝ dô 1 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD ( AC AD2 = AB.AC –VÜnh Ph DB.DC 8 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng VÝ dô 3 (VÝ dô lµm s¸ng tá thªm chó ý 3): Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®êng trßn D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa A Gäi I , K vµ H lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn c¸c ®êng th¼ng BC AB vµ AC Chøng minh r»ng : BC  AB  AC DI DK DH a) Ph©n tÝch t×m h×nh phô : a Gi¶ sö ®iÓm M thuéc c¹nh BC sao cho BM  AB , kÕt hîp DI DK h víi ABˆM IDˆ K (cïng bï víi gãc IBM ), suy ra DKI vµ BAM ®ång d¹ng bi o  B Aˆ M = D Kˆ I nhng DKˆI DBˆI ( Do tø gi¸c DIBK néi tiÕp )  BAˆ M DBˆI mc  s®CD = s®BN (N lµ giao ®iÓm kh¸c A k cña AM víi ®êng trßn )  DN// BC VËy ta x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm N vµ tõ ®ã cã ®idÓm M n b) Bµi gi¶i: t¹i ®iÓm - Qua D kÎ ®êng th¨ng song song víi BC, ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn thø hai lµ N ( N cã thÓ trïng víi D) AN c¾t BC t¹i N Ta cã   KD ˆ I  AB ˆ M (cung bu voi goc KBI )   BA ˆ M (cung bang so do DB ˆ C )   DK ˆ I Suy ra DKI vµ BAM ®ång d¹ng (theo trêng hîp thø ba: g-g)  BM  AB (1) DI DK MÆt kh¸c ta thÊy : Tø gi¸c DIHC néi tiÕp suy ra IDˆ H MCˆA vµ IHˆD CAˆ M ( IHˆD ICˆD CBˆN CAˆ N ) Do ®ã ACM vµ HDI ®ång d¹ng (theo trêng hîp thø ba: g.g )  CM  AC (2) DI DH - Céng hai vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc : BC  AB  AC  DI DK DH * Víi trêng hîp nµy còng cã thÓ ®a ra vÝ dô ®¬n gi¶n h¬n cho häc sinh líp 8, ch¼ng h¹n vÝ dô sau: VÝ dô 4: Cho h×ng b×nh hµnh ABCD ,kÎ mét ®êng th¼ng d tuú ý, d c¾t AB, AC, AD theo thø tù t¹i B’ ,C’ ,D’ Chøng minh : AC'' AC  AB AB'  AD AD' 9 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng a) Ph©n tÝch t×m h×nh phô: dd c m - Gi¶ sö ®iÓm M thuéc c¹nh AC sao cho d’ b AM  AB c’ n AC' AB' a b’ Suy ra ACM vµ AB’C’ ®ång d¹ng => ABˆM  ABˆ 'C' mµ hai gãc nµy cã vÞ trÝ ®ång vÞ nªn suy ra BM // B’C’ VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh - T¬ng tù ta x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm N lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng qua D song song víi C’D’ vµ AC b) Bµi gi¶i : - Qua B vµ D kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng d c¾t AC lÇn lît t¹i M vµ N Ta chøng minh ®îc : ABM vµ AB’C’ ®ång d¹ng suy ra: AM  AB (1) AC' AB' T¬ng tù ta chøng minh ®îc : AN  AD (2) AC' AD' - Céng vÕ theo vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc: AC'' AC  AB AB'  AD AD'  VÝ dô 5 (VÝ dô minh ho¹ thªm cho chó ý 2): Cho tam gi¸c ABC ,biÕt r»ng 3Aˆ  2Bˆ 1800 chøng minh r»ng : AB2 = BC2 + AB.AC a) Ph©n tÝch t×m h×nh phô: c Gi¶ sö ®iÓm M thuéc c¹nh AB sao cho BM.AB = BC2 Suy ra BM  BC ®Ó suy ra BC AB BMC vµ BCA ®ång d¹ng => BCˆM BAˆ C ,kÕt hîp víi 3Aˆ  2Bˆ 1800 (g.t) a M b vµ Aˆ  Bˆ  ACˆB 1800 (®Þnh lÝ tæng 3 gãc cña 1 tam gi¸c) ta suy ra ®îc ACˆM  AMˆ C hay tam gi¸c ACM c©n víi ®¸y CM VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh lµ: M[BC] ) AB] vµ AC = AM 10 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng b) Bµi gi¶i: -Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC => ACM c©n ®¸y CM Tõ gi¶ thiÕt suy ra Cˆ 2Aˆ  Bˆ tõ ®©y suy ra: ACˆM  1 (1800  Aˆ)  1 ( Aˆ  Bˆ  Cˆ  Aˆ )  1 (Bˆ  Cˆ ) 1 (Bˆ  2Aˆ  Bˆ )  Aˆ  Bˆ 2 2 2 2 vµ do ®ã: BCˆM  ACˆB  ACˆM  ACˆB  AMˆ C ( ACˆM  AMˆ C v× ACM c©n ®¸y CM) BCˆM  ACˆM  BCˆM  BCˆM  Bˆ (Do ACˆB  ACˆM  BCˆM vµ AMˆ C BCˆM  Bˆ = Aˆ  Bˆ  Bˆ ( ACˆM  Aˆ  Bˆ chøng minh trªn)  Aˆ - XÐt hai tam gi¸c BCM vµ BAC cã gãc B chung vµ BCˆM BAˆ C (chøng minh trªn) nªn chóng ®ång d¹ng Suy ra BM  BC => BM.AB = BC2 (1) BC AB MÆt kh¸c tõ Cˆ 2Aˆ  Bˆ => Cˆ  Bˆ => AB >AC hay AB > AM do ®ã => BM = AB –VÜnh Ph AM hay BM = AB –VÜnh Ph AC (2) Thay (2) vµo (1) ta ®îc : (AB-AC).BC =BC2 => AB2 = BC2 + AB.AC  VÝ dô 6 (VÝ dô minh ho¹ thªm cho vÝ dô 1): Cho tam gi¸c ABC ,kÎ ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc A lµ AD (DBC) Chøng minh r»ng: AD2 = AB.AC –VÜnh Ph BD.DC a)Ph©n tÝch vµ vÏ h×nh phô: Gi¶ sö trªn tia AD lÊy ®iÓm M sao cho AD.AM = AB.AC  AD  AC AB AM suy ra ADC vµ ABM ®ång d¹ng A suy ra ACˆD  AMˆ B hay ACˆB  AMˆ B mµ C vµ M cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê chøa ®o¹n AB nªn suy ra tø gi¸c ABMC néi tiÕp o VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n giac AD vµ ®êng Bd c trßn ngo¹i tiÕp ABC b) Bµi gi¶i : Dùng ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC ,gäi giao ®iÓm cña tiamph©n gi¸c AD víi ®- êng trßn nµy lµ M suy ra D n»m gi÷a A vµ M, do ®ã AM = AD + DM §Ó chøng minh ®îc ADC vµ ABM ®ßng d¹ng ( theo trêng hîp thø ba: g.g) => AD  AC => AD.AM = AB.AC => AD (AD+DM) = AB.AC AB AM 11 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng => AD2 + AD.DM = AB.AC => AD2 = AB.AC –VÜnh Ph AD.DM (1) MÆt kh¸c ta còng chøng minh ®îc ADC vµ BDM ®ånd d¹ng (theo trêng hîp thø ba: g.g) => AD  DC BD DM => AD.DM = BD.DC (2) Thay (2) vµo (1) ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh * §èi víi mét bµi to¸n cô thÓ còng cã thÓ cã c¸ch vÏ h×nh phô kh¸c nhau Ch¼ng h¹n nh vÝ dô sau: VÝ dô 7: Cho tam gi¸c ABC cã Aˆ 2Cˆ Chøng minh r»ng: BC2 = AC2 + AC.AB - C¸ch 1: a)Ph©n tÝch : Trªn AC lÊy ®iÓm M sao cho CA.CM = CB2 => CA  CB => CAB vµ CBM m a CB CM ®ång d¹ng (theo trêng hîp thø ba: g.g) => ABˆC  AMˆ C , mµ BAˆ C 2 ABˆC vµ BAˆ C  ABˆM  AMˆB gãc ngßai ABM nªn AMˆ B  ABˆM => AMB c©n t¹i A =>AM = AB VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh b c b)Bµi gi¶i: Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm M sao cho AM = AB => AMB c©n t¹i A nªn Mˆ  ABˆM ,kÕt hîp víi BAˆ C 2ABˆC vµ gãc BAC lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c ABM t¹i ®Ønh A ta suy ra: BAˆ C 2ABˆC  ABˆC  ABˆM CBˆM do ®ã ABC vµ BMC ®ång d¹ng (theo trêng hîp thø ba: g.g) => BC  AC MC BC => BC2 = AC(AC+AB) ,hay BC2 = AC2 + AC.AB  * TÊt gnhiªn ta vÉn cã thÓ x¸c ®Þnh ®iÓm M n»m trªn c¹nh BC nh sau : - C¸ch 2 a) Ph©n tÝch : a Gi¶ sö lÊy ®iÓm M thuéc c¹nh BC sao cho: MC.CB = AC2 => MC  AC AC CB => CAM vµ CBA ®ång d¹ng b m c12 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng => CAˆ M CBˆA b) Bµi gi¶i: 2 ABˆC Qua A kÎ ®êng th¼ng c¾t BC t¹i M sao cho CAˆ M CBˆA V× CAˆ B (gt) => CAˆ B  ABˆC nªn CAˆ B  CAˆ M Do ®ã M n»m gi÷a B vµ C hay BC = BM + MC DÔ chøng minh CAM vµ CBA (theo trêng hîp thø ba: g.g) Suy ra AC CM => AC2 = CB.CM (1) BC CA MÆt khaÐ theo gi¶ thiÕt BAˆ C 2 ABˆC mµ CAˆ M  ABˆC nªn BAˆ M CAˆ M => AM lµ ph©n gi¸c cña gãc CAB, do ®ã : MC  AC => MC  AC hay MC  AC MB AB MB  MC AC  AB BC AC  AB => MC  AC.BC (2) AC  AB Thay (2) vµ (1) ta ®îc: AC2 BC AC.BC AC  AB => AC(AC+AB) = BC2 => AC2+AC.AB = BC2  * ë ®©y cã thÓ nhËn x¸t tõ gi¶ thiÕt ®Ó cã c¸ch vÏ thªm h×nh phô nhanh h¬n; ®¬n gi¶n h¬n - C¸ch 3: Ph©n tÝch vÏ h×nh phô : Tõ Aˆ 2Bˆ (gt) gîi cho ta nghÜ tíi viÖc t¹o ra mét gãc b»ng gãc B mét c¸ch ®¬n gi¶n nhÊt , b»ng c¸ch kÎ ph©n gi¸c AM cña tam gi¸c ABC, ta cã: a Aˆ1  Aˆ2 Bˆ VËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh C¸ch gi¶i : (Gi¶i t¬ng tù nh c¸ch 2 trªn) b m c ***** Trong mçi bµi to¸n nªu trªn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c vµ còng cã thÓ lµ c¸ch gi¶i hay va ng¾n gän h¬n nhng ën ®©y t«i kh«ng tr×nh bµy v× môc ®Ých cña c¸c vÝ dô nµy lµ lµm sÊng tá viÖc ph©n tÝch t×m h×nh phô thÝch hép ®Ó chøng minh ®¼ng thøc dùa vµo tam gi¸c ®ång d¹ng IV Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu tæng hîp vµ viÕt hoµn thiÖn ®Ò tµi nµy , t«i thu ®îc kÕt qu¶ kh¸ kh¶ quan : 13 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng - Tù m×nh tr¶ lêi ®îc c©u hái : “ T¹i sao hä l¹i vÏ ®îc h×nh phô ®ã ? “ khi ®äc mçi ®Þnh lý , bµi to¸n khã cã vÏ thªm h×nh phô - Thªm cho m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p chøng minh ®Þnh lý vµ gi¶i to¸n chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc ( A=B+C ) cã vÎ tù tin h¬n , t duy thªm nhanh vµ s¸ng t¹o h¬n - §Æc biÖt lµ gióp cho gi¸o viªn thªm ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh chøng minh ®Þnh lý , gi¶i to¸n vµ híng dÉn häc sinh tù ®äc tµi liÖu tham kh¶o víi bµi to¸n cã vÏ thªm h×nh phô V VËy lµ trong ®Ò tµi nµy gi¶i ph¬ng ph¸p míi vµ s¸ng t¹o lµ : ph©n tÝch ®Ó t×m ra h×nh phô t¹o thµnh tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®Þnh lý, bµi to¸n hinh häc cã kÕt luËn lµ ®¼ng thøc d¹ng A =B + C ( Cô thÓ lµ ®¼ng thøc xy = ab + cd vµ c¸c d¹ng t¬ng tù ) qua c¸c bíc nh sau : Bíc 1 : Gi¶ sö ®iÓm M lµ ®iÓm chia trong hay chia ngoµi mét ®o¹n th¼ng nµo ®ã cã mÆt trong hÖ thøc cÇn chøng minh thµnh hai ®o¹n th¼ng theo mét tØ sè lien quan ®Õn c¸c ®o¹n th¼ng kh¸c trong hÖ thøc cÇn chøng minh nh»m xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng Bíc 2: VÏ h×nh cã ®iÓm M, sau ®ã: Dùa vµo c¸ch vÏ h×nh trªn vµ gi¶ thiÕt ®Ò bµi ®Ó chøng minh c¸c cÆp tam gi¸c nµo ®ã ®ång d¹ng råi rót ra hÖ thøc (TØ lÖ thøc ) cÇn thiÕt (HoÆc còng cã thÓ b»ng c¸c tÝnh chÊt h×nh häc kh¸c chøng minh ®îc hÖ thøc cßn l¹i cÇn thiÕt) Bíc 3: Cã thÓ céng (trõ) theo tõng vÕ cña c¸c hÖ thøc chøng minh ®îc ë trªn; hoÆc thay thÕ; vv ®Ó ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh C¸i s¸ng t¹o ë ®©y lµ t×m ®îc h×nh phô ®Ó vÏ vµ chøng minh cã vÎ tù nhiªn h¬n B øng dông vµo thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y : 1 Qu¸ tr×nh ¸p dông : “VÏ h×nh phô lµm xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc d¹ng A = B + C “ - Trªn líp víi c¸c bµi to¸n cã vÏ h×nh phô chøng minh ®¼ng thøc nãi trªn ®Òu nªu vÊn ®Ò: Ph©n tÝch t×m c¸ch vÏ h×nh phô nh»m xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ? - Khi häc ®Õn tam gi¸c ®ång d¹ng ®Þnh lÝ Pytago ®· ®îc chøng minh víi líp 8 trêng THCS Lý Tù Träng +) Híng thø nhÊt : Häc sinh ®· sö dông c«ng cô diÖn tÝch ®Ó chøng minh (Ch¼ng han , h×nh phô lµ dùng ra ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng c¹nh lµ c¹nh cña tam gi¸c vu«ng ; Dùa vµo h×nh vu«ng, vv; Chøng minh b»ng ph¶n chøng) +) Híng thø 2 : Lµ häc sinh ®· biÕt h¹ ®êng vu«ng gãc tõ ®Ønh gãc vu«ng xuèng c¹nh huyÒn ®Ó xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ( D¹y nh ë phÇn néi dung viÕt trªn).T×m ®îc ®iÓm M lµ ch©n ®êng cao xuÊt ph¸t tõ ®Ønh gãc vu«ng -TiÕp ®ã ®óc rót kinh nghiÖm, viÕt ®Ò c¬ng ®Ò tµi nµy vµ b¸o c¸o tríc tæ chuyªn m«n; §îc ®ång nghiÖp gãp ý thªm nhÊt trÝ vµ thùc hiÖn d¹y minh ho¹ Sau 14 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng khi d¹y minh ho¹ thùc sù hoc sinh n¾m ®îc con ®êng ph©n tÝch t×m h×nh phô rÊt tù nhiªn vµ høng thó -Vµ cuèi cïng lµ t«i viÕt hoµn thiÖn ®Ò tµi nµy víi kÕt qu¶ kh¶o s¸t ¸p dông ®Ò tµi cña Héi ®ång khoa häc trêng THCS Lý Tù Träng §· ®îc c¸c gi¸o viªn to¸n cña trêng ¸p dông cho c¸c bµi to¸n cïng d¹ng ë líp 8 vµ 9 cuèi n¨m häc 2005- 2006 2 HiÖu qu¶ khi ¸p dông: a) VÒ t©m lÝ häc sinh khi häc kh«ng thô ®éng ph¸t huy ®îc tÝnh ®éc lËp, s¸ng t¹o trong t×m lêi gi¶i bµi to¸n bëi vÎ tù nhiªn xuÊt hiÖn cña ®êng phô vµ tam gi¸c ®ång d¹ng b) Sè lîng, cô thÓ vÒ chÊt lîng: (theo kÕt qu¶ kh¶o s¸t líp 8B trêng THCS Lý Tù Träng) -Tríc khi d¹y chuyªn ®Ò kh¶o s¸t : Häc sinh líp 8B tæng sè 20 häc sinh (theo ®Ò vÝ dô 3 trong ®Ò tµi nµy) ®¹t yªu cÇu : 11 häc sinh Kh«ng t×m ®îc lêi gi¶i : 5 häc sinh Gi¶i c¸ch kh¸c ( cha ra kÕt qu¶ ) : 4 hoc sinh -Sau khi d¹y song chuyªn ®Ò ra ®Ò kh¶o s¸t häc sinh 8B §Ò lµ :VÝ dô 4 trong ®Ò tµi nµy (tÊt nhiªn vÝ dô nµy cha d¹y cho häc sinh khi häc chuyªn ®Ò) §¹t yªu cÇu : 19 häc sinh, trong ®ã kh¸ giái 10 häc sinh Kh«ng ®¹t yªu cÇu : 1 häc sinh (lµ do kh«ng sö dông ®îc tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam gi¸c gi¶ thiÕt 3Aˆ  2Bˆ 1800 ) -D¹y chuyªn ®Ò ®Ò nµy ë ®éi tuyÓn To¸n häc sinh tiÕp thu ®îc kinh nghiÖm gi¶i to¸n c) Ngoµi kÕt qu¶ lµ häc sinh biÕt c¸ch chøng minh bµi to¸n d¹ng A = B+C th× ta cßn cã thÓ dïng ®êng phô ®Ó khai th¸c bµi to¸n: -Khai th¸c 1: Khai th¸c c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau b»ng viÖc vÏ ®êng phô kh¸c nhau, t¹o ra cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng kh¸c nhau : VÝ dô : Nh vÝ dô 6 HoÆc còng cã thÓ sö dông hÖ thøc ®· chøng minh ®îc ®Ó gi¶i bµi to¸n tiÕp theo Ch¼ng h¹n, tõ vÝ dô 6 sö dông kÕt qu¶: BC2 = AC2 + AC.AB = AC (AC+AB) ®Ó gi¶i bµi to¸n : “TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC cã Aˆ 2Bˆ biÕt r»ng sè ®o c¸c c¹nh lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp” Híng gi¶i: §Æt AB=a, AC=b, AB=c m Chøng nh vÝ dô 6 ®îc BC2 = AC2 + AC.AB = AC (AC+AB) a hay a2 = b2+bc = b(b+c) (*) Ta cã a>b nªn chØ cã hai kh¶ n¨ng lµ a=b+1 hoÆc a=b+2 NÕu a=b+1 th× tõ (*) suy ra (b+1)2 = b2+bc b c => 2b+1=bc => b(c –VÜnh Ph 2)=1, lo¹i, 15 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng v× b=1, c=2, a=3 kh«ng lµ c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c NÕu a=b+2 th× tõ (*) suy ra (b+2)2=b2+bc => 4b+4=bc => b(c –VÜnh Ph 4)=4 XÐt b=1, 2, 4 chØ cã b=4, c=5, a=6 tho¶ m·n bµi to¸n -Khai th¸c 2: Dïng h×nh phô ®Ó ®Ò xuÊt c©u hái cña mét bµi to¸n nµo ®ã: VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC , ®êng ph©n gi¸c AD T×m mèi quan hÖ gi÷a ®é dµi ®êng ph©n gi¸c AD vµ ®é dµi 2 c¹nh AB, AC: Ta cã thÓ ph©n tÝch nh sau: Gi¶ sö trªn ®êng th¼ng CA lÊy ®iÓm M sao cho CM.CA= CB.CD  CM CB , suy ra CMB ®ång d¹ng víiCAD CD CA m  CMˆ B CAˆ D (1)  BM // DA a VËy M ®îc x¸c ®Þnh lµ giao ®iÓm cña®êng th¼ng qua B song song víi AD vµ CA Do ®ã MBˆA Aˆ1 (2) (so le trong) b d c Tõ (1) vµ (2) kÕt hîp víi Aˆ1 Aˆ2 (do ®ã AD lµ ph©n gi¸c) ta suy ra Mˆ ABˆM do vËy AMB c©n ®¸y DM  AB=AM Tõ CMB ®ång d¹ng CAD  AD  AC  AD = AC BM MB MC CM hay AD = AC BM ; AB  AC Nhng thÊy MB < 2AB nªn AD< 2AC.AB hay ma < 2BC AB  AC B C +) Ta cã bµi to¸n : “Tam gi¸c ABC cã AB = c , AC = b Chøng minh ®é dµi ®êng ph©n gi¸c cña gãc BAC nhá h¬n 2bc ? bc +) H¬n n÷a do vai trß b×nh ®¼ng cña 3 ph©n gi¸c trong víi hai c¹nh cu¨ gãc nªn ta cã thÓ chøng minh ®îc bµi to¸n : “Cho tam gi¸c ABC ®é dµi 3 c¹nh a, b, c vµ ®é dµi 3 ph©n gi¸c lµ: AD= ma , BE = mb ,CF = mc Chøng minh r»ng : 1  1  1`  1  1  1 ” a b c ma mb mc ( §Ó chøng minh h·y sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n trªn ) 16 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng 3 Qua ®Ò tµi nµy t«i rót ra ®îc bµi häc kinh nghiÖm cho chÝnh b¶n th©n lµ cã t×m ®îc h×nh phô th× gi¶i to¸n míi nhanh, míi tho¶i m¸i vµ cã thÓ thay ®æi ®êng phô ®Ò xuÊt bµi to¸n míi khi day båi dìng cho häc sinh giái Qua c¸ch vÏ h×nh phô ph¸t hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh ®¼ng thóc h×nh häc d¹ng A = B+C th× còng cã thÓ më ra híng nghiªn cøu c¸ch vÏ h×nh phô ®Ó ph¸t hiÖn c¸c cÆp tam gi¸c b»ng nhau ®Ó chøng minh ®¼ng thøc hoÆc, còng cã thÓ vÏ h×nh phô ®Ó xuÊt hiÖn tø gi¸c néi tiÕp ®Ó sö dông kÕt qu¶ trong gi¶i to¸n h×nh häc (ý tëng nµy xuÊt hiÖn qua vÝ dô cña ®Ò tµi nµy ) PhÇn 3 : KÕt luËn 1 Qua viÖc quan s¸t, ®äc tµi liÖu, viÕt, b¸o c¸o vµ d¹y minh ho¹ ,viÖc t×m c¸ch vÔ h×nh phô ®Ó ph¸t hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng vËn dông vµo chøng minh ®¼ng thøc t«i thÊy ®îc gi¸ trÞ lÝ luËn , ý nghÜa thùc tiÔn vµ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi nµy nh sau: -Trong rÌn luyÖn nghiÖp vô: §©y lµ mét trong nh÷ng h×nh thøc tù häc tù båi dìng cña ngêi gi¸o viªn : Víi gi¸o viªn chØ cã ®äc, häc hái tÝch luü kinh nghiÖm vµ d¹y cho häc sinh míi cã thÓ n©ng cao ®îc n¨ng lùc gi¶i to¸n ,ph¬ng ph¸p míi ®îc ®æi míi s¸ng t¹o Bªn c¹nh ®è còng cã thÓ nãi r»ng ®Ò tµi nµy lµ t liÖu cÇn thiÕt gióp c¸c gi¸o viªn míi ra trêng tham kh¶o khi d¹y h×nh häc cho häc sinh vµ gióp gi¸o viªn d¹y to¸n më híng nghiªn cøu tiÕp -Trong thùc tiÔn gi¶ng d¹y: viÖc vÏ ®îc h×nh phô ®Ó gi¶i to¸n ®em l¹i høng thó cho ngêi gi¶i to¸n nhÊt lµ häc sinh bëi vÎ h×nh phô vÏ ®îc cã c¬ së mµ l¹i tù nhiªn, c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng ®îc xuÊt hiÖn ®Ó sö dông chøng minh ®¼ng thøc VÏ h×nh phô trong gi¶i to¸n gióp gi¸o viªn khai th¸c bµi to¸n cho häc sinh bëi h×nh phô vÏ kh¸c nhau cã thÓ cã c¸ch gi¶i kh¸c nhau ; vÏ thªm h×nh phô l¹i ®Ò xuÊt ®îc néi dung bµi to¸n míi liªn quan bëi c¸c cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng xuÊt hiÖn -Tãm l¹i vÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc lµ kh«ng thÓ thiÕu trong ngêi thÇy ®Ó båi dìng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vµ n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh Tuy ®Ò tµi dõng l¹i ë m¶ng nhácñ chøng minh h×nh häc nhng phÇn nµo lµm s¸ng tá ý nãi trªn ®©y 2 Nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o khi x©y dùng ®Ò tµi: * “S¸ch gi¸o khoa To¸n líp 8 ;9” * “C¸c ®Þnh lÝ vµ bµi to¸n vÒ ®o¹n th¼ng tØ lÖ” (Tµi liÖu BDTX chu kú 97- 2000) * “To¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn 8 ;9” cña t¸c gi¶ Vò H÷u B×nh * “Chøng minh h×nh häc” cña NguyÔn Phóc Tr×nh * “500 bµi to¸n vÒ c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh h×nh häc” cña t¸c gi¶ Vi Quèc Dòng * “ VÏ thªm yÕu tè phô ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 8; 9” cña t¸c gi¶ NguyÔn §øc TÊn 17 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - VÏ h×nh phô xuÊt hiÖn tam gi¸c ®ång d¹ng H¬ng Canh, th¸ng 05 n¨m 2008 Ngêi viÕt NguyÔn H÷u Tµi 18 GV: NguyÔn H÷u Tµi – THCS LÝ Tù Träng ... cách vẽ hình phụ phát tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thúc hình học dạng A = B+C mở hớng nghiên cứu cách vẽ hình phụ để phát cặp tam giác để chứng minh đẳng thức hoặc, vẽ hình phụ để xuất. .. nghiệm - Vẽ hình phụ xuất tam giác đồng dạng Những điểm cần lu ý vẽ hình phụ: a) Vẽ hình phụ phải có mục đích không vẽ tuỳ tiện, phải nắm thật vững đề bài, định hớng chứng minh từ mà tìm xem vẽ đờng... C - Trên lớp với toán có vẽ hình phụ chứng minh đẳng thức nói nêu vấn đề: Phân tích tìm cách vẽ hình phụ nhằm xuất tam giác đồng dạng ? - Khi học đến tam giác đồng dạng định lí Pytago đà ®ỵc