BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Đông, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho luận văn hoàn chỉnh Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phạm Nguyễn Phương Duy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 Dạng dương 1.2 Dòng 1.3 Dòng liên kết với hàm đa điều hòa 13 1.4 Công cụ làm việc với dòng 15 1.5 Dung lượng tương đối hội tụ dòng 17 1.6 Nguyên lý so sánh 24 1.7 Hàm cực trị tương đối 26 1.8 Tập hợp nhỏ 29 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGEAMPÈRE 32 2.1 Bài toán Dirichlet phương trình Monge Ampère phức với liệu liên tục 32 2.2 Bài toán Dirichlet phương trình Monge Ampere phức với nghiệm hàm đa điều hòa bị chặn 40 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 MỞ ĐẦU Một nhánh giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại lý thuyết đa vị Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước, chẳng hạn Định lí Josefson tương đương tính đa cực địa phương đa cực toàn thể tập  n Tuy nhiên phát triển mạnh mẽ lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực từ năm 80 kỉ trước trở lại Các kết đặc sắc E.Berford B.A.Taylor năm 1982 việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, tìm nghiệm đa điều hòa toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức đưa khái niệm dung lượng tập Borel tập mở  n Có thể xem công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa vị Trong năm gần toán Dirichlet phương trình Monge-Ampère phức ( dd u ) c n = d µ , u = ϕ biên giải với lớp rộng rãi độ đo khác Việc đưa điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục mô tả độ đo để phương trình có nghiệm thuộc lớp rộng hàm đa điều hòa quan tâm nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu số kết lý thuyết đa vị phương trình Monge – Ampère phức nên chọn nội dung “Một số tính chất phương trình Monge – Ampère phức lý thuyết đa vị” làm đề tài luận văn Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức cách áp dụng phương pháp lý thuyết đa vị Luận văn gồm chương: Chương Dòng dương hàm đa điều hòa dưới: Giới thiệu khái niệm định lý lý thuyết đa vị Chương Bài toán Dirichlet phương trình Monge-Ampère: Mục đích đưa mô tả độ đo Borel không âm vế phải phương trình Monge Ampère phức sinh nghiệm đa điều hòa thỏa đòi hỏi tính liên tục, tính bị chặn Chương Phương trình Monge-Ampère cho hàm không bị chặn Chỉ tồn nghiệm phương trình Monge Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa không bị chặn miền siêu lồi CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Chương trình bày số khái niệm định lý lý thuyết đa vị Mục 1.1, 1.2 trình bày tính chất dòng dương Mục 1.3 giới thiệu dòng liên kết với hàm đa điều hòa Mục 1.4 giới thiệu số công cụ sử dụng làm việc với dòng định lý Stokes, bất đẳng thức Schwarz, nguyên lý địa phương hóa, đặc biệt bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg Mục 1.5 trình bày khái niệm dung lượng tương đối hội tụ theo dung lượng Nội dung mục định lý hội tụ 1.5.5, 1.5.10 Mục 1.6 trình bày công cụ hiệu lý thuyết đa vị Nguyên lý so sánh Khái niệm số tính chất hàm cực trị tương đối trình bày mục 1.7 Mục 1.8 dành cho việc trình bày tập nhỏ tập đa cực, tập không đáng kể mối liên hệ tập này, định lý Josefson trình bày mục Nội dung chương trích tài liệu tham khảo [LG], [BT1], [BT2], [X], [De], [D-H], [KO], [KLi], [Ho] 1.1 Dạng dương Kí hiệu C(∞p , p ) ( Ω ) tập hợp tất dạng vi phân trơn song bậc ( p, p ) xác định tập mở Ω ⊂  n Ta kí hiệu dạng ω C(∞p , p ) ( Ω ) = ω ip ∑ = J p= ,K p ' ω JK dz J ∧ dz K , ω JK hàm thuộc lớp C ∞ Ω , dz J = dz j ∧ dz j ∧ ∧ dz j , dz J = dz j1 ∧ dz j2 ∧ ∧ dz j p , ∑ ' tổng lấy theo đa số p J = ( j1 , , j p ) , K = ( k1 , , k p ) cho j1 < j2 < < j p ; k1 < k2 < < k p Ta gọi ω dạng Hec-mit ω = ω Khi ω ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) có biểu diễn ω = i pω1 ∧ ω1 ∧ ω2 ∧ ω2 ∧ ∧ ω p ∧ ω p , ω j ∈ C(∞1,0) ( Ω ) ω gọi dạng dương sơ cấp ( ωl có dạng dz j ± dzk dz j ± idzk ) Mệnh đề 1.1.1 Không gian dạng song bậc ( p, p) với hệ số sinh dạng dương sơ cấp Chứng minh Ta cần biểu diễn dz j ∧ dzk tổ hợp tuyến tính dạng dương sơ cấp Thật vậy, dz j = ∧ dzk s i (dz j + i s dzk ) ∧(dz j + i s dzk )  ∑ s =1 Mệnh đề 1.1.2 Nếu ω dạng dương sơ cấp Ω ' ⊂  n f : Ω → Ω ' ánh xạ chỉnh hình dạng kéo ngược (pull-back) f *ω dạng dương sơ cấp = Chứng minh Giả sử f ( f1 , , f n ) : Ω → Ω ' với f j : Ω →  ánh xạ chỉnh hình Giả sử α= n ∑ a dz j =1 j j ∈ ∞(1,0) (Ω ') Khi đó: = f *α j =1 = f *α n Do j j a jd f j ∑= j =1 ∂f j  d ωk ∂ωk   n a df ∑  ∑ a ∑= k  j j  ∑  ∑ a k  j j ∂f j  d ωk ∂ωk  ( ) f * (α ∧ α ) = f *α ∧ f *α Như ω= i pω1 ∧ ω1 ∧ ∧ ω p ∧ ω p với ω j ∈ ∞(1,0) (Ω ') * f= ω i p f *ω1 ∧ ( f *ω1 ) ∧ ∧ f *ω p ∧ ( f *ω p ) đó, f *ω dạng dương sơ cấp  Ta thường sử dụng dạng (Kahler) tắc (1,1)  n : β= i i n ∂∂ z = ∑ dz j ∧ dz j= 2 n ∑ dx j ∧ dy j Khi Vn = n β dạng thể tích  n n! Định nghĩa 1.1.3 Dạng ω ∈ ∞( p , p ) gọi dạng dương với dạng dương sơ cấp α ∈ ∞( n − p ,n − p ) ta có ω ∧α = f β n với f ≥ Mệnh đề 1.1.4 1) Dạng kéo ngược dạng dương ánh xạ song chỉnh hình dương 2) Một dạng song bậc ( p, p ) dương thu hẹp đa tạp giải tích phức p chiều tùy ý (tương đương: không gian giải tích p chiều tùy ý) với dạng thể tích đa tạp nhân với hàm không âm Chứng minh 1) Cho f : Ω → Ω ' ánh xạ song chỉnh hình cho ω dạng dương Ω ' Với dạng dương sơ cấp α ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) dạng kéo ngược ( f −1 ) *α dạng dương sơ cấp Do với hàm không âm g ( ) n f * ω ∧= α f * ω ∧ ( f −1 ) *α = f * ( g β= ) g det f ' β n 2) Từ 1) ta quy chứng minh việc kiểm tra điều kiện định nghĩa trường hợp A0= dạng dương {z : z sơ cấp = α i n − p dz p +1 ∧ dz p +1 ∧ ∧ dzn ∧ dzn không = = zn= 0} Nhưng thu hẹp A0 dạng ω song bậc p +1 i p gdz1 ∧ dz1 ∧ ∧ dz p ∧ dz p = p gV p ω ∧ α = 2n gVn n n i ( Lưu ý Vn= ∧ β=   dz1 ∧ d z1 ∧ ∧ dzn ∧ d zn )  β= β ∧  2 n! n !  n Mệnh đề 1.1.5 gian ( p, p ) 1) Dạng = (1,1) α i ∑ α jk dz j ∧ dzk dương (α jk ) dạng ma trận Héc – mit (nửa xác định) dương 2) Hơn nữa, ω dạng ( p, p ) dương α ∧ ω dạng dương Chứng minh.1) Đầu tiên ta nhận xét α dạng dương dạng Hec-mit Thật vậy, với dạng dương sơ cấp γ song bậc ( n − p, n − p ) ta có α ∧γ = α ∧γ = α ∧γ Theo Mệnh đề 1.1.1 điều cho dạng ( n − 1, n − 1) Do α = α Nếu ta xét tham số hóa đường thẳng phức L : λ → ( λω1 , λω2 , , λωn ) L *α = i ∑ α jkω jωk d λ ∧ d λ Sử dụng Mệnh đề 1.1.3 ta tương đương mong muốn ω thay đổi (= γj n ∧ γ n −1 ∑ a jk dzk ∈ C1,0 (Ω) γ ∧ = k =1 M k = det ( ast= )s 1, ,n−1 =t 1, , n ,t ≠ k n ∑M k =1 k dz1 ∧ ∧ dzk −1 ∧ dzk +1 ∧ ∧ dzn , α ∧ γ = α ∧ i n −1γ ∧ γ ∧ γ n −1 ∧ γ n −1 = n ∑α k =1 jk M k M k dVn ) 2) Ta áp dụng phép biến đổi tọa độ Unita để chéo hóa ma trận (α jk ) điểm cho trước z0 cho α ( z0 ) = i ∑ α jj dz j ∧ dz j , α jj ≥ (Giả sử P ma trận Unita, tức PT P = (δ jk ) cho B = P −1 (α jk ) P ma trận đường chéo −1 = PB ( PT ) −1 Từ = (α jk ) PBP  b1  b2 Pjl ) , B  Giả= sử P (=   0 ,α (α ) = ∑ P B P= jk jl l l lk 0  0 ta có   bn  i i ∧ dzk ∑ α jk dz j= ∑ b  ∑ P dz l jl j    ∑ Plk dz j  )   Khi với dạng dương sơ cấp γ α ∧ ω= ∧γ ∑α jj ω ∧ ( idz j ∧ dz j ∧ γ ) Do dạng dấu ngoặc dương sơ cấp ta có vế phải không âm tổng số hạng không âm  1.2 Dòng Vì hàm đa điều hòa nói chung không trơn, ta cần nghiên cứu dạng với hệ số phân bố gọi dòng Đặc biệt quan tâm nghiên cứu dòng dương Ký hiệu D( p ,q ) ( Ω ) không gian dạng thử song bậc ( p, q ) Ω trang bị tô pô Schwartz (Cho Ω ⊂  n tập mở, {Ω j } j =1 dãy tăng tập mở, compact tương đối, vét cạn Ω Với ∞ { ( ) } chuẩn ϕ k ,Ω sup D β ϕ I , J ( x) : x ∈ Ω j , β ≤ k , I , J Khi D( p ,q ) Ωj = k ≥ xét hệ nửa j không gian Frèchet với tô pô xác định hệ { k ,Ω j } : k = 0,1, Tô pô D( p ,q ) ( Ω ) giới ( ) hạn quy nạp chặt họ tô pô xác định D( p ,q ) Ωj Như {ϕ j } ⊂ D( p ,q ) ( Ω ) , ϕ o ∈ D( p ,q ) = (Ω) , ϕ j ∑ϕ j I ,J dz I ∧ d= zJ , ϕ I ,J ∑ϕ I ,J dz I ∧ d z J I ,J ϕ j → ϕ D( p ,q ) ( Ω ) 1) Tồn tập compact K ⊂ Ω cho suppϕ Ij, J ⊂ K , suppϕ I0, J ⊂ K với I , J , j ≥ 2) D β ϕ Ij, J → D β ϕ I0, J K j → ∞ với I, J β ∈  2n + Ký hiệu D(0p ,q ) (Ω) không gian dạng ( p, q) có hệ số liên tục Ω có giá compact, tô pô xác định tương tự) Định nghĩa 1.2.1 Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian D( p ,q ) ( Ω ) gọi dòng song bậc ( n − p, n − q ) (tương đương: song chiều ( p, q ) ) Ω Tập hợp tất dòng kí kiệu D '( p ,q ) ( Ω ) Những phần tử thuộc ( D(0p ,q ) (Ω)) ' gọi dòng song bậc ( n − p, n − q ) cấp Dòng song bậc (n, n) phân bố Ω Dòng song bậc (n, n) cấp độ đo Borel quy Ω Khi T ∈ D '( p ,q ) ( Ω ) ta có (T , ω ) ≥ với ω dạng thử dương sơ cấp tùy ý T gọi dòng dương Với tập đa số thứ tự tăng J ta kí hiệu J ' đa số tăng cho J ∪ J ' = n Khi đó, ta kí hiệu α JK dạng bù dz J ∧ dz K , {1, 2, , n} J + J ' = nghĩa = α JK λ dz J ' ∧ dz K ' , Vn λ chọn cho dz J ∧ dz K ∧ α JK = Nhận xét ta đồng dòng T ∈ D '( p ,q ) ( Ω ) với dạng vi phân mà có có hệ số phân bố (hàm suy rộng) = T ∑ J = n− p, K = n−q ' TJK dz J ∧ dz K Hệ số TJK xác định (TJK , φ ) = (T , φα JK ) Cũng trường hợp dạng vi phân, tính chất dương dòng không bị ảnh hướng phép biến đổi tọa độ song chỉnh hình Cho f : Ω → Ω ' ánh xạ song chỉnh hình T ' dòng dương Ω ' Khi kéo ngược T = f * T ' T ' theo f xác định (T , ω ) = (T ', ( f −1 ) * ω ) dương Cho T ∈ D '( p , p ) ( Ω ) ta đặt 10 ( f*T , ω ') = (T , f * ω ') gọi f*T ảnh trực tiếp T Khi với T dương ảnh trực tiếp f*T dương Khẳng định suy cách trực tiếp từ tính chất kéo ngược dạng dương sơ cấp dạng dương sơ cấp Ta định nghĩa tích dòng T dạng trơn ω (T ∧ ω , φ ) := (T , ω ∧ φ ) với φ dạng thử tùy ý Nếu T dương ω dạng (1,1) dương T ∧ ω dương Đặc biệt, với dòng ( p, p ) dương dạng ω dương sơ cấp song bậc ( n − p, n − p ) ta có dòng T ∧ ω độ đo Radon không âm Ta lấy vi phân dòng theo công thức ( DT , φ ) = − (T , Dφ ) với D toán tử vi phân cấp ∂ϕ ( Cho ∂ : D( p ,q ) ( Ω ) → D( p +1,q ) ( Ω ) xác định = ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂ : D( p ,q ) ( Ω ) → D( p ,q +1) ( Ω ) xác = định ∂ϕ = ϕ ∑ϕ I ,J ∂ϕ I , J ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂zk dzk ∧ dz I ∧ d z J ∂ϕ I , J ∂ zk d zk ∧ dz I ∧ d z J với dz I ∧ d z J I ,J Nếu T dòng song bậc ( p, q ) Ω (−1) p + q +1 (T , ∂φ ) , ( ∂T , φ ) = (−1) ( ∂T ,φ ) = p + q +1 (T , ∂φ ) dT = ∂T + ∂T Ta thường sử dụng toán tử d c =: i ( ∂ − ∂ ) Như dd cT= 2i∂∂T ( dd T ,ϕ ) = (T , dd ϕ ) với ϕ ∈ D( c c n − p −1, n − q −1) ( Ω ) Do 11 dd cT dòng song bậc (p+1,q+1).) Mệnh đề 1.2.2 Tác động dòng dương mở rộng liên tục đến không gian dạng có giá compact với hệ số liên tục D(0p ,q ) (Ω) Chứng minh Ta chứng minh ∑ = T = J p= ,K p ' TJK dz J ∧ dz K tất TJK độ đo Radon Ta biểu diễn α JK giới thiệu sở (ω ) gồm dạng dương sơ cấp với hệ số (xem Mệnh đề 1.1.1) j α JK = ∑ csJK ωs Khi với hàm thử tùy ý g ta có = (TJK , g ) , gα JK ) ∑ csJK (= T , gωs ) ∑ csJK (T ∧ ωs , g ) (T= Do TJK tổ hợp tuyến tính độ đo không âm Radon  Cho dòng T với hệ số độ đo ta xác định chuẩn T TJK E E = ∑ J p= = ,K q ' TJK E , biến phân toàn phần TJK tập compact E Với hai dòng S , T song bậc ( p, p ) bất đẳng thức S ≤T có nghĩa T − S dòng dương Mệnh đề 1.2.3 Tồn số C phụ thuộc vào chiều không gian cho T E ≤ C ∫ T ∧ β n− p E với dòng dương T ∈ D '( n − p ,n − p ) ( Ω ) Chứng minh Trong phần chứng minh trước ta có biểu diễn 12 = TJK ∑c sJK T ∧ ωs , ωs dạng dương sơ cấp với hệ số csJK phụ thuộc vào n Vì ωs tích dạng (1,1) ta quy việc chứng minh ước lượng hiển nhiên sau: Với dạng (1,1) ω có hệ số cho trước ta tìm C1 cho ω ≤ C1β Thường thuận tiện làm việc với dạng trơn chứng minh mệnh đề dòng ta sử dụng xấp xỉ dòng cho trước dạng trơn Để làm điều ta áp dụng quy hóa chuẩn cách nhân chập nhân trơn với hệ số TJK dòng T Cho hàm không âm, bất biến với phép quay ρ ∈ C0∞ ( B ) ( B cầu đơn vị  n ), ∫ ρ dV = Ta định nghĩa dãy quy hóa (T j )= TI , J ∗ ρ j với ρ j ( z ) := j n ρ ( jz ) Khi I ,J T j → T theo nghĩa dòng , tức với dạng thử tùy ý ω dãy (T j , ω ) hội tụ (T , ω ) Nếu không phát biểu khác khái niệm hội tụ áp dụng cho dãy dòng hiểu theo nghĩa  1.3 Dòng liên kết với hàm đa điều hòa Kí hiệu tập hợp hàm đa điều hòa Ω PSH ( Ω ) Nếu u ∈ PSH ( Ω ) dd c u ∂ 2u i ∂ 2u dz j d zk đạo hàm theo nghĩa ∂z j ∂ zk j , k =1 ∂z j ∂ zk n dòng dương đóng (1,1) ( dd cu = ∑ phân bố u) Ta định nghĩa tích dòng dd c u với điều kiện hàm đa điều hòa bị chặn địa phương Thật vậy, mệnh đề sau nói lên điều Mệnh đề 1.3.1 Cho u ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) dòng dương đóng T Ω Khi dòng dd c ( uT ) đồng dd c ( uT ) xác định tốt Hơn nữa, dòng dd c u ∧ T := uT dd c u ∧ T := thời đóng dương 13 Chứng minh Khẳng định có tính chất địa phương, nên ta quy hóa u dãy giảm hàm trơn bị chặn u j Vì hệ số phân bố T độ đo phức nên từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy u jT hội tụ yếu đến uT Do dd c ( u jT ) → dd c ( uT ) Do ( ) u jT dd c u j ∧ T dd c u ∧ T giới hạn dòng dương đóng u j trơn ta có dd c = dd c u j ∧ T Bằng cách này, sử dụng quy nạp, ta xác định dòng dương đóng dd c u1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c u N , với u j ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) Đồng thời ta xác định du ∧ d c u ∧ T u hàm đa điều hòa bị chặn địa phương T dòng dương đóng Để có điều ta giả sử u ≥ (do u hàm đa điều hòa dưới) sử dụng đồng thức du ∧= d cu ∧ T (1/ ) dd cu ∧ T − udd cu ∧ T Khi vế phải xác định tốt theo mệnh đề (1.3.1) Hơn nữa, T song bậc ( n − 1, n − 1) v hàm đa điều hòa bị chặn địa phương du ∧ d c v ∧ T = dv ∧ d c u ∧ T xác định tốt với (1/ )  d ( u + v ) ∧ d c ( u + v ) ∧ T − du ∧ d cu ∧ T − dv ∧ d c v ∧ T   Điều suy từ mệnh đề 1.4.2 bên Toán tử Monge-Ampère Μ tác động hàm đa điều hòa trơn u C cho công thức sau  ∂ 2u  = Μ ( u ) : 4n n !det =   dVn  ∂z j ∂zk  lũy thừa vế phải lấy tích 14 ( dd u ) c n , 1.4 Công cụ làm việc với dòng Định lý 1.4.1 (Định lý Stokes) Cho Ω ⊂  n miền với biên thuộc lớp C T dòng bậc 2n − xác định lân cận Ω , thuộc lớp C1 lân cận ∂Ω Khi ∫ T = ∫ dT ∂Ω Ω Chứng minh Chúng ta chứng minh cho quy hóa T j T Cố định hàm thử χ Ω biết lân cận tập hợp mà T không trơn Đặt S j = T (1 − χ ) + χT j Khi S j = T lân cận ∂Ω ta áp dụng định lý Stoke cho S j = ∫T ∂Ω S ∫ dS ∫= j ∂Ω Ω j → ∫ dT  Ω Mệnh đề 1.4.2 Nếu T dòng dương đóng Ω song bậc ( n − 1, n − 1) u, v hàm đa điều hòa bị chặn địa phương du ∧ d c v ∧ T = dv ∧ d c u ∧ T Chứng minh Với hàm trơn u v đẳng thức suy từ điều phần song bậc (1,1) du ∧ d c v dv ∧ d c u với i∂u ∧ ∂v + i∂v ∧ ∂u Trong trường hợp tổng quát ta sử dụng quy hóa  1.4.3 Bất đẳng thức Schwarz Nếu T dòng dương song bậc ( n − 1, n − 1) Ω u , v tổ hợp tuyến tính hàm đa điều hòa bị chặn địa phương 1/2 1/2     c c ∫Ω du ∧ d v ∧ T ≤  Ω∫ du ∧ d u ∧ T   Ω∫ dv ∧ d v ∧ T  c Chứng minh Ta cần nhận xét dạng ( u, v ) = ∫ du ∧ d cu ∧ T Ω 15 xác định dương du ∧ d cu= 2i∂u ∧ ∂u dạng dương sơ cấp  1.4.4 Nguyên lý địa phương hóa Nếu ta chứng minh hội tụ yếu ước lượng địa phương họ hàm đa điều hòa bị chặn địa phương không tính tổng quát ta giả sử hàm xác định cầu tất lân cận biên Chứng minh Cho tập compact K Ta phủ K cầu B ( a j , r ) Cố định chúng xét thu hẹp us hàm từ họ hàm cho lên cầu = B B ( a j , tr ) , t > , cho cầu chứa miền xét Vì us bị chặn ta giả sử us < tìm hàm đa điều hòa vét cạn h B cho nhỏ us B ( a j , r ) Để kiểm tra ước lượng theo yêu cầu ta làm việc với hs = max ( us , h ) , hs với us B ( a j , r ) với h lân cận biên B  1.4.5 Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg (CLN) Nếu K ⊂⊂ U ⊂⊂ Ω với số C C ( K ,U , Ω ) bất đẳng thức sau = dd c u0 ∧ dd c u1 ∧ ∧ dd c uk ∧ T K ≤ C u0 u1 U uk U U T U , với dòng dương đóng T tập u j ∈ PSH ∩ L∞ ( Ω ) Hơn dd c u1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk K ≤ C ( K , Ω ) u1 L1 ( Ω ) u2 Ω uk Ω , u0 ∧ dd c u1 ∧ ∧ dd c uk K ≤ C ( K , Ω ) u0 L1 ( Ω ) u1 Ω uk Ω Chứng minh Lấy hàm thử không âm φ U mà 1trong K không vượt nơi khác Áp dụng Mệnh đề 1.4.2 hai lần định lý Stokes cho dòng T song bậc ( n − j − 1, n − j − 1) ta được: dd c u0 ∧ T K ≤ C1 ∫ φ dd c u0 ∧= T ∧ β j C1 ∫ u0 dd cφ ∧ T ∧ β j U ≤ C u0 U U T U 16 C phụ thuộc vào C1 đạo hàm cấp hai φ Lặp lại chứng minh cho ta khẳng định Để có bất đẳng thức thứ hai ta áp dụng nguyên lý địa phương hóa giả sử −1 ≤ u j ≤ 0, j =1, 2, , k Cố định tập compact K= K ⊂ K1 ⊂ ⊂ K k ⊂ Ω hàm đa điều hòa trơn Ω : h, h1 , , hk cho h − h j ≥ K j −1 h = h j Ω \ K j Sau sử dụng định lý Stoke Mệnh đề 1.4.2 ta ∫ dd u c ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K ≤ ∫ ( h − h ) dd u c 1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K1 = ∫ ( −u ) dd ( h − h ) ∧ dd u c c 1 ∧ dd c u3 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K1 ≤ ∫ ( −u ) dd h ∧ dd u c c 1 ∧ dd c u3 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K1 ≤ ∫ ( h − h ) dd h ∧ dd u c c ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K2 Cứ tiếp tục ta ∫ dd u c ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k K ≤ ∫ ( −uk ) dd c h1 ∧ dd c h2 ∧ ∧ dd c hk ∧ β n − k ≤ C ∫ ( −uk ) β n Ω Xem lại Mệnh đề 1.2.3 ước lượng cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ u1 uk ) Để có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa sau lấy tích phân phần lặp lại ta được: ∫ u dd u c K ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k ≤ ∫ u0 ( dd c h ) ∧ β n − k  k Ω 1.5 Dung lượng tương đối hội tụ dòng Trong lý thuyết đa vị, lý thuyết vị cổ điển, dung lượng đóng vai trò quan trọng Đặc biệt chúng giúp ta định hội tụ hàm đa điều hòa đủ “tốt” Định nghĩa 1.5.1 17   n = cap ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) : u ∈ PSH ( Ω ) , −1 ≤ u <  E  gọi dung lượng tương đối tập Borel E (đối với Ω ) Ta xét hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng T song bậc ( n − k , n − k ) :   k = capT ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) ∧ T : u ∈ PSH ( Ω ), −1 ≤ u <  E  Theo bất đẳng thức CLN đại lượng hữu hạn Hơn nữa, cap ( E , Ω ) ≥ C ∫ Vn với E số C phụ thuộc chiều không gian đường kính Ω Một số tính chất khác liệt kê mệnh đề sau Mệnh đề 1.5.2 Cho tập Borel E j miền bị chặn Ω ta có 1) cap ( E1 , Ω ) ≤ cap ( E2 , Ω ) E1 ⊂ E2 2) cap ( E , Ω ) ≥ lim cap ( E j , Ω ) dãy tăng đến E , j →∞ 3) cap ( E , Ω ) ≤ ∑ cap ( E j , Ω ) với E = ∪ E j Trong mệnh đề ta ước lượng dung lượng tương đối tập mức hàm đa điều hòa âm Mệnh đề 1.5.3 Cho K ⊂⊂ U ⊂⊂ Ω Khi tồn số C phụ thuộc vào tập hợp cho với u ∈ PSH ( Ω ) , u < cap ( K ∩ {u < − j} , Ω ) ≤ C u j L1 (U ) Bất đẳng thức cho capT với C phụ thuộc T Chứng minh Cố định v ∈ PSH ( Ω ) với −1 ≤ v < Do bất đẳng thức CLN ∫ ( dd v ) c K ∩{u [...]... cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ u1 và uk ) Để có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa và sau đó lấy tích phân từng phần và lặp lại như trên ta được: ∫ u dd u c 0 K 1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k ≤ ∫ u0 ( dd c h ) ∧ β n − k  k Ω 1.5 Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng Trong lý thuyết đa thế vị, cũng như trong lý thuyết thế vị cổ điển, các dung lượng đóng vai trò quan... phụ thuộc vào C1 và đạo hàm cấp hai của φ Lặp lại chứng minh này cho ta khẳng định đầu tiên Để có được bất đẳng thức thứ hai ta áp dụng nguyên lý địa phương hóa và giả sử rằng −1 ≤ u j ≤ 0, j =1, 2, , k Cố định các tập compact K= K 0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ K k ⊂ Ω và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên Ω : h, h1 , , hk sao cho h − h j ≥ 1 trên K j −1 và h = h j trên Ω \ K j Sau đó sử dụng định lý Stoke và Mệnh... 1.3.1 Cho u ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) và một dòng dương đóng T trên Ω Khi đó dòng dd c ( uT ) đồng dd c ( uT ) cũng được xác định tốt Hơn nữa, dòng dd c u ∧ T := uT và dd c u ∧ T := thời đóng và dương 13 Chứng minh Khẳng định có tính chất địa phương, nên ta có thể chính quy hóa u bởi dãy giảm các hàm trơn bị chặn đều u j Vì các hệ số phân bố của T là độ đo phức nên từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy... hằng số C phụ thuộc chiều của không gian và đường kính của Ω Một số tính chất khác được liệt kê ở mệnh đề sau Mệnh đề 1.5.2 Cho tập con Borel E j của miền bị chặn Ω ta có 1) cap ( E1 , Ω ) ≤ cap ( E2 , Ω ) nếu E1 ⊂ E2 2) cap ( E , Ω ) ≥ lim cap ( E j , Ω ) nếu dãy tăng đến E , j →∞ 3) cap ( E , Ω ) ≤ ∑ cap ( E j , Ω ) với E = ∪ E j Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một. .. lượng địa phương của một họ các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng các hàm đó thì xác định trong một quả cầu và tất cả bằng nhau trên một lân cận nào đó của biên Chứng minh Cho một tập compact K Ta phủ K bởi các quả cầu B ( a j , r ) Cố định một trong chúng và xét thu hẹp us của các hàm từ họ các hàm đã cho lên quả cầu = B B ( a j , tr ) ,... ) (T= Do đó TJK là tổ hợp tuyến tính của độ đo không âm Radon  Cho một dòng T với hệ số độ đo ta có thể xác định một chuẩn T trong đó TJK E E = ∑ J p= = ,K q ' TJK E , là biến phân toàn phần của TJK trên tập compact E Với hai dòng S , T song bậc ( p, p ) bất đẳng thức S ≤T có nghĩa là T − S là một dòng dương Mệnh đề 1.2.3 Tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào chiều của không gian sao cho T E ≤ C ∫... T ' của T ' theo f được xác định bởi (T , ω ) = (T ', ( f −1 ) * ω ) cũng dương Cho T ∈ D '( p , p ) ( Ω ) ta đặt 10 ( f*T , ω ') = (T , f * ω ') và gọi f*T là ảnh trực tiếp của T Khi đó với T là dương thì ảnh trực tiếp của nó f*T cũng dương Khẳng định trên được suy ra một cách trực tiếp từ tính chất kéo ngược của dạng dương sơ cấp là dạng dương sơ cấp Ta cũng có thể định nghĩa tích ngoài của một. .. hợp tuyến tính của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì 1/2 1/2     c c ∫Ω du ∧ d v ∧ T ≤  Ω∫ du ∧ d u ∧ T   Ω∫ dv ∧ d v ∧ T  c Chứng minh Ta chỉ cần nhận xét rằng dạng ( u, v ) = ∫ du ∧ d cu ∧ T Ω 15 là xác định dương vì du ∧ d cu= 2i∂u ∧ ∂u là dạng dương sơ cấp  1.4.4 Nguyên lý địa phương hóa Nếu ta chứng minh sự hội tụ yếu hoặc ước lượng địa phương của một họ các hàm đa điều... (n, n) là một phân bố trên Ω Dòng song bậc (n, n) cấp 0 là một độ đo Borel chính quy trên Ω Khi T ∈ D '( p ,q ) ( Ω ) nếu ta có (T , ω ) ≥ 0 với mọi ω là dạng thử dương sơ cấp tùy ý thì T được gọi là dòng dương Với một tập các đa chỉ số được sắp thứ tự tăng J ta kí hiệu J ' là đa chỉ số tăng duy nhất sao cho J ∪ J ' = n Khi đó, ta kí hiệu α JK là dạng bù của dz J ∧ dz K , {1, 2, , n} và J + J '... ngoài của một dòng T và một dạng trơn ω là (T ∧ ω , φ ) := (T , ω ∧ φ ) với φ là dạng thử tùy ý Nếu T là dương và ω là dạng (1,1) dương thì T ∧ ω cũng dương Đặc biệt, với một dòng ( p, p ) dương và một dạng ω dương sơ cấp song bậc ( n − p, n − p ) ta có dòng T ∧ ω là một độ đo Radon không âm Ta lấy vi phân của dòng theo công thức ( DT , φ ) = − (T , Dφ ) với D là toán tử vi phân cấp một bởi ∂ϕ ( Cho ∂