BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn kết làm việc nghiêm túc cần mẫn, hoàn thành giúp đỡ nhiều người Đầu tiên, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ lời động viên, hỗ trợ quý báu, để vượt qua giai đoạn khó khăn trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS Đặng Đức Trọng, người giới thiệu vào lĩnh vực Toán tài Lý thuyết toán ngược với hướng dẫn tận tình thời gian làm luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, cho tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ dành thời gian đọc luận văn cho nhận xét quý báu Cuối xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khóa học Nguyễn Vũ An MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức toán tài .6 1.2 Một vài kiến thức giải tích .9 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 14 2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire .14 2.2 Sự tồn nghiệm toán parabolic 16 2.3 Các tính chất quan trọng toán tử F(⋅) 19 2.4 Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương 28 2.4.1 Bài toán ngược định giá quyền chọn châu Âu .28 2.4.2 Sự không chỉnh toán ngược .29 2.5 Một tổng kết vấn đề xác định độ biến động địa phương 29 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 32 3.1 Chỉnh hóa lồi cho toán xác định độ biến động địa phương 33 3.1.1 Sự tồn ổn định nghiệm chỉnh hóa .33 3.1.2 Sự hội tụ nghiệm chỉnh hóa 36 3.1.3 Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman 38 3.1.4 Sự hội tụ với qui tắc Morozov .44 3.2 Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler 47 3.2.1 Định nghĩa kết biết 47 3.2.2 Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler 49 CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 58 4.1 Chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 (Ω) 58 4.2 Chỉnh hóa lặp Landweber L2(Ω) 61 4.3 Thực thi số 68 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cho toán xác định tham biến khếch tán phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh lĩnh vực tài định lượng Đó toán xác định độ biến động địa phương định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu Bài toán thuận ban đầu viết dạng phương trình mang tên Black-Scholes Năm 1973, công thức nhanh chóng trở thành công cụ hiệu cho việc định giá quyền chọn; sau phát triển thành phương trình Dupire Bruno Dupire, năm 1994 Năm 1997, Scholes Merton nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho đóng góp quan trọng Luận văn tập trung vào khía cạnh lý thuyết toán xác định độ biến động từ quan sát giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu thị trường Đây toán không chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm cần đến phương pháp chỉnh hóa Chúng ta tập trung trình bày chỉnh hóa lồi Tikhonov chỉnh hóa lặp Landweber cho toán ngược Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trình bày cách khái niệm, kết lĩnh vực toán tài giải tích cần thiết sử dụng luận văn Chương 2: Ở phần đầu 2.1, trình bày vài tính chất toán thuận theo mô hình Black-Scholes việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu Ở mục 2.2, trình bày kết tồn tại, ước lượng liên quan đến nghiệm phương trình parabolic toán thuận; vài kết phát biểu tài liệu khác trích dẫn mà không chứng minh chi tiết Ở mục 2.3, phát biểu tính chất quan trọng toán tử F từ dẫn đến tính không chỉnh toán ngược; tính chất quan trọng liên quan đến toán tử đạo hàm F', kết quan trọng để thu tốc độ hội tụ chỉnh hóa Tikhonov trình bày chương Một kết quan trọng khác chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h , kết sử dụng cho chỉnh hóa lặp chương Cuối chương, trình bày ngắn gọn vài kết khác liên quan đến toán xác định độ biến động địa phương Chương 3: Luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov công cụ hàm chỉnh hóa lồi mở rộng toán chỉnh hóa Tikhonov toàn phương Do đó, xem xét toán ngược khía cạnh giải tích lồi độ đo Bregman Trong mục 3.1, chứng minh tồn tại, ổn định, hội tụ nghiệm chỉnh hóa với qui tắc chọn tham số chỉnh hóa cách tiên nghiệm hậu nghiệm Mặt khác, mục này, tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm xác phát biểu việc sử dụng độ đo Bregman Ở mục 3.2, luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với hàm entropy Kullback-Leibler cho toán ngược Chương 4: Luận văn phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho toán ngược xác định độ biến động địa phương Ở mục 4.1, phát biểu kiểm tra lại giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 dẫn đến tính toán F  · với * tích vô hướng không gian cho bước lặp Tuy nhiên, phức tạp tích vô hướng lại gây khó khăn cho việc thực thi số Do đó, mục 4.2, tiếp tục phân tích hội tụ chỉnh hóa lặp Landweber cách sử dụng luật phân kỳ không gian L2 , điều làm đơn giản cho việc xây dựng phương pháp số để tính toán F  · Và mục 4.3, trình bày sơ * lược vài kết thực thi số để minh họa cho kết lý thuyết mục 4.2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức toán tài Định nghĩa 1.1.1 Quyền chọn mua kiểu châu Âu hợp đồng cho phép người ta sở hữu quyền, mà không bắt buộc, để mua cổ phần chứng khoán với giá thực thi K>0 thời điểm đáo hạn T>0 tương lai Các điều kiện hợp đồng là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng muốn thực thi hợp đồng trả cho người viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp đồng • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi người giữ trả, người viết phải giao cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn Để mô hình giá tài sản S với trình chuyển động Brown hình học, ta cho (,U , F , P) không gian xác suất với lọc F  ( Ft )t  không gian mẫu U s -đại số , P độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.2 Một lọc họ s -đại số Ft t0 cho Ft  Fs với 0t  s Định nghĩa 1.1.3 Một trình ngẫu nhiên tập hợp biến ngẫu nhiên xt tT định nghĩa không gian xác suất (,U , P) Ánh xạ w  xt w  với t  T cố định biến ngẫu nhiên t  xt w  với w   gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4 Một trình ngẫu nhiên Wt t0 tương ứng với lọc Ft t0 không gian xác suất (,U , F , P) gọi trình Wiener hay chuyển động Brown điều kiện sau thỏa mãn: * W0  hầu chắn * Các số gia Wt độc lập hay nói cách khác với  t1  t2   tn biến ngẫu nhiên Wt2  Wt1 ,Wt3  Wt2 , ,Wtn  Wtn1 độc lập * Wt  Ws ~ N (0, t  s ) với  s  t * Wt t0 có quỹ đạo liên tục hầu chắn Một phương án đầu tư (portfolio) tổ hợp số hữu hạn chứng khoán với trọng số Giả sử có n chứng khoán với giá trị thời điểm t S1 (t ), S2 (t ), , S n (t ) Một phương án đầu tư cách chọn a1 (t ) chứng khoán S1 , , an (t ) chứng khoán Sn thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị phương án thời điểm t, ký hiệu V a (t ) xác định là: n V a (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t )   (t ) Si (t ) i1 Vì giá chứng khoán S1 (t ), S2 (t ), , Sn (t ) trình ngẫu nhiên, nên giá trị phương án đầu tư trình ngẫu nhiên Các (t ) hàm số tất định t Một phương án đầu tư gọi danh mục đầu tư, ký hiệu f  (a, S ) Định nghĩa 1.1.6 Một phương án đầu tư (a, S ) gọi phương án bán chứng khoán Si thời điểm t (t )  gọi phương án mua đối chứng khoán (t )  Giá chứng khoán Si thời điểm t ký hiệu Si (t ) Tại thời điểm t, phương án đầu tư cân đối lại, tức điều chỉnh lại việc mua bán chứng khoán Si (1  i  n) Điều có nghĩa thay đổi trọng số chúng từ a1 (t ), , an (t ) sang b1 (t ), , b n (t ) Nếu sau cân đối lại mà giá phương án đầu tư không thay đổi, tức là: b1 (t ) S1 (t )   b n (t ) Sn (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t ), ta gọi cân đối cân đối tự tài trợ (self-financing) Điều có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, muốn tăng đầu tư vào chứng khoán phải giảm đầu tư chứng khoán khác Vậy điều chỉnh tự tài trợ thời điểm t phương án đầu tư làm tăng giảm vốn đầu tư: (a, S )  (b , S )  V b (t )  V a (t ) , xét thời điểm t * Xét mô hình thị trường M gồm chứng khoán S họ phương án đầu tư tự tài trợ   f  a, S  Ta kí hiệu M   S ,  Các giá chứng khoán St S xem trình ngẫu nhiên xét không gian xác suất có lọc (,U , F , P ) , với F  Ft  lọc hay nói cách khác luồng thông tin thị trường, ghi nhận biến cố xảy thị trường Các trình giá tài sản tài giả thiết thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với t, giá đo Ft Định nghĩa 1.1.7 Một phương án đầu tư tự tài trợ f   gọi hội có độ chênh lệch thị giá trình giá Vt f  thỏa mãn điều kiện: * P V0 f   0  1; * P VT f   0  1; * P VT f   0  0; Với T thời điểm đáo hạn hợp đồng Điều kiện nói lên hầu chắn thời điểm ban đầu, vốn đầu tư không; điều kiện có nghĩa hầu chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận  ; điều kiện nói có khả kiếm lời thực thời điểm kết thúc hợp đồng Cả ba điều kiện có nghĩa phương án f phương án tay không mà kiếm lợi nhuận Định nghĩa 1.1.8 Ta nói thị trường M   S ,  thị trường độ chênh lệch thị giá, không tồn phương án đầu tư tự tài trợ  mà có độ chênh lệch thị giá Định nghĩa 1.1.9 Cho (, F , G ) không gian xác suất, G s - đại số F , G  F X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ (, F ) vào ( , B (  )) , B(  ) s - đại số tập Borel đường thẳng thực  Khi đó, biến ngẫu nhiên Y gọi kỳ vọng có điều kiện X s - đại số G , nếu: *Y biến ngẫu nhiên đo G *Với tập A  G ta có  YdP   XdP A A Biến ngẫu nhiên Y ký hiệu E  X G  Định nghĩa 1.1.10 Một độ đo xác suất Q (,U , P ) gọi xác suất rủi ro trung tính nếu: *Q tương đương với P, có nghĩa Q(A)=0 P(A)=0 với A  U *Hầu chắn ta có  S  S EQ  rTtt  Fs   rTss với  s  t  T  e  e EQ · Fs  kỳ vọng có điều kiện Fs theo xác suất Q Định lý 1.1.1 (19, Định lý định giá tài sản) Một thị trường độ chênh lệch thị giá tồn xác suất rủi ro trung tính Q 1.2 Một vài kiến thức giải tích Định nghĩa 1.2.1 Hai đại lượng dương a b gọi tương đương tồn hai số < c < C <  , cho c.b  a  C.b ta kí hiệu a ~ b Định nghĩa 1.2.2 Cho f(x) g(x) hai hàm số định nghĩa tập  , ta có f ( x)  O  g ( x) x  tồn hai số dương d M cho f ( x)  M g ( x) với x  d Định nghĩa 1.2.3 [Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard] Cho X Y không gian định chuẩn, ánh xạ K : X  Y (tuyến tính phi tuyến) Bài toán Kx=y gọi đặt điều kiện sau thỏa mãn: *Sự tồn tại: Với y  Y tồn phần tử x  X cho Kx  y *Sự nhất: Với y  Y tồn tối đa phần tử x  X thỏa mãn Kx  y *Sự ổn định: Nghiệm x phụ thuộc cách liên tục vào y, theo nghĩa với dãy ( xn )  X cho Kxn  K x n   ta có xn  x n   Ngược lại, ba điều kiện không thỏa mãn toán gọi không chỉnh Định nghĩa 1.2.4 Cho K : X  Y toán tử ( tuyến tính phi tuyến) không gian Hilbert X Y Khi đó, ta định nghĩa chỉnh hóa họ toán tử liên tục (không thiết tuyến tính) Ra : Y  X với a  cho lim Ra Kx  x với x  X a0 Mệnh đề 1.2.1 Cho xn dãy không gian tô pô X Khi xn  x  X dãy xn xn có dãy hội tụ đến x Định nghĩa 1.2.5 Cho X không gian Banach F : X   , ta nói hàm F nửa liên tục yếu liminf F  xn   F ( x) với xn  x Định lý 1.2.1 Định lý biểu diễn Riesz] Với vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert X, hệ thức f ( x )  a, x (1.2.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) không gian X, với f  a (1.2.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) không gian Hilbert X biểu diễn cách dạng (1.2.1) a vectơ X thỏa mãn (1.2.2) Định lý 1.2.2 [Bất đẳng thức Schwartz] Cho x y không gian tiền Hilbert X, ta có: x, y  x y (1.2.3) Định lý 1.2.3 [Bất đẳng thức Holder] Nếu f  Lp , g  Lp với / p  / p   f g  L1 ta có: f g L1  f Lp g Lp  (1.2.4) Định lý 1.2.4 [Không gian liên hợp Lp với  p   ] 10 Cho không gian độ đo  X , m  Ta có: *Nếu g  Lp  X , m  j ( f ) :  f ( x) g ( x)d m với f  Lp ( X , m ) (1.2.5) X phiếm hàm tuyến tính liên tục Lp j  g p *Nếu m độ đo s -hữu hạn j   Lp  X , m  tồn g  Lp  X , m  * cho ta có (1.2.5) Và ánh xạ J : j  g song ánh, tuyến tính đẳng cự Ta thường đồng  Lp   Lp * Định nghĩa 1.2.6 Cho I   khoảng mở, T>0, ta kí hiệu  : 0,T  I  p   Khi đó, ta định nghĩa W p1,2  không gian hàm u t , y  thỏa mãn u : u W p1,2 (  ) Lp (  )  ut Lp (  )  uy Lp (  )  u yy Lp (  )   (1.2.6) Định nghĩa 1.2.7 [Không gian Sobolev với bậc số thực không nguyên] Cho    N , p  [1, ) s  k  s với k  số nguyên s  [0,1) Khi ta định nghĩa không gian Sobolev W s, p   D a v( x)  Da v( y )   k,p p    L (), a : a  k   : v  W  sN / p   x y   với chuẩn p   D a v( x)  Da v( y )  p v W s , p    v W k , p     dxdy s p N   x y a k   1/ p Khi p=2, H s ()  W s ,2 () không gian Hilbert với tích vô hướng u, v s ,  u, v với u , v k , k ,     Dau ( x)  Dau ( y) Dav( x)  Dav( y)dxdy x y a k   D u ( x) D v( x)dx a a  a k 11 2s  N Định nghĩa 1.2.8    N , p  [1, ) s  Ta định nghĩa W0s , p () bao đóng C0 () W s , p () Khi p=2, ta có không gian Hilbert H 0s ()  W0s ,2 () Định nghĩa 1.2.9 Cho    N , p  [1, ) s  p  số liên hợp p theo nghĩa 1   Khi đó, ta định nghĩa W s , p () không gian đối ngẫu p p W0s , p () Đặc biệt, H 1 ()  W 1,2 () Ví dụ 1.2.1 Bất kỳ l  H 1 () toán tử tuyến tính bị chặn H 01 (), chuẩn l cho l H () | l (v ) | \end{vidu} v vH 01 (  )  sup Định nghĩa 1.2.10 Cho V W không gian Banach với V  W Ta nói V nhúng liên tục vào W viết V  W v W  C v V , v  V Nếu V  W ta coi hàm V trơn hàm lại W Định lý 1.2.5.[17, Định lý 9.38] Giả sử    N tập mở với biên Lipschitz Cho j , l    0  p   *Nếu lp  n p  q  np phép nhúng i : W jl , p   W j ,q  n  lp liên tục Đặc biệt, phép nhúng i : W l , p   Lq  liên tục *Nếu lp  n p  q   phép nhúng i : W jl , p   W j ,q  liên tục Đặc biệt, phép nhúng i : W l , p   Lq  liên tục *Nếu lp  n phép nhúng i : W jl , p   CBj  liên tục Định lý 1.2.6 [17, Định lý 9.39] Cho    N tập mở với biên Lipschitz, cho 0   miền bị chặn Và j    0 , l    p   , phép nhúng sau compact: *Phép nhúng i : W jl , p   W j ,q 0  với lp  n  q  np / n  lp  *Phép nhúng i : W jl , p   W j ,q 0  với lp  n  q   12 *Phép nhúng i : W jl , p   C j 0  với lp  n Định nghĩa 1.2.11 Một hàm f : X     với X không gian vec tơ gọi lồi f l x  1  l  y   l f ( x)  1  l  f ( y ), x, y  X , l  0,1 Định nghĩa 1.2.12 Cho hàm lồi f : X     Miền (domain) D( f ) f định nghĩa sau D( f ) :  x  X : f ( x)   Và f gọi thường (proper) D( f )   Định nghĩa 1.2.13 Cho hàm lồi f : X     với X không gian lồi địa phương Khi đó, x*  X * gọi subgradient f x f ( y )  f ( x )  x * , y  x , y  X Tập hợp f ( x) tất subgradient f x gọi vi phân f x Định lý1.2.7 [16, Định lý 2.22] Cho không gian Banach X hàm lồi f , g : X     Nếu tồn điểm thuộc D( f )  D( g ) cho f liên tục với x  X ta có   f  g  x  f ( x)  g ( x) 13 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Trong chương này, trình bày toán thuận định giá quyền chọn, toán tử F(⋅) miền xác định Tiếp theo, phát biểu tính chất quan trọng toán tử F(⋅) mà tảng lý thuyết cho chỉnh hóa toán ngược trình bày sau Cuối chương, điểm lại vài kiện bật liên quan đến việc xác định độ biến động địa phương 2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire  độ đo  không gian xác suất với lọc F = (Ft )t∈ thích hợp P Cho (Ω ,U ,F,P) xác suất trung tính rủi ro Chúng ta có giá cổ phiếu xác định mô hình sau dS(t) = S0 > ν (t,S(t))S(t)dt + σ (t,S(t))S(t)dW (t),t ∈ [0,T ],S(0) = (2.1.1) Với {W(t)}t∈R chuyển động Brown hay trình Wiener, ν độ dịch chuyển σ độ biến động hàm số xác định theo biến (t,S) ∈ [0,∞ ) × [0,∞ ) Mặt khác, giá hợp đồng quyền chọn châu Âu thời điểm T > với giá đáo hạn K ≥ xác định nghiệm phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes Ut + σ (t,S)S 2U SS + (r − q)SU S − rU= 0, t < T , S ≥ (2.1.2) với điều kiện cuối U(t= T ,S) = (S − K )+ (2.1.3) Trong đó, r q lãi suất cổ tức, nói chung chúng hàm phụ thuộc vào biến thời gian t Hơn nữa, cố định t=0 S ( ) = S0 giá hợp đồng quyền chọn U phụ thuộc T K, ta có U(S0 ,T ,K ) thỏa mãn phương trình Dupire −UT + σ K 2U KK − (r − q)KU K − qU= 0, T > 0, K ≥ với điều kiện đầu 14 (2.1.4) U(T = 0,K ) =− (S0 K ) + , K > (2.1.5) Do điều kiện không chênh lệch thị giá có từ môi trường trung tính rủi ro, ta có U KK > với K>0, có σ (K ,T ) xác định từ U(S0 ,T ,K ) thông qua công thức σ (K ,T ) = UT + (r − q)KU K + qU K 2U KK (2.1.6) Nói cách khác, công thức (2.1.6) trình bày Dupire cho cách xác định trực tiếp σ hàm số (t,S) t=T S=K từ giá hợp đồng quyền chọn châu Âu Tuy nhiên công thức (2.1.6) lại thô theo nghĩa chứa đạo hàm liệu nên nhạy với thay đổi giá, mặt khác có lượng thông tin rời rạc giá hợp đồng quyền chọn mà nói chung bị nhiễu Do đó, biểu thức dấu âm chí không bị chặn Vì vậy, cần phải tìm cách thay để xác định σ σ công cụ quan trọng cho việc định giá xác thị trường tài Để áp dụng kỹ thuật cổ điển lý thuyết PDE parabolic, thực việc đổi biến y = log(K / S0 ) τ= T − t Do đó, đặt u(τ ,y) := U(τ + t,S0 e y ), a(τ ,y) := σ (τ + t,S0 e y ), b(τ ) := q(τ ) − r(τ ) u(τ ,y) thỏa mãn −uτ + a(τ ,y) ( uyy − uy= ) + buy 0, τ > 0, y ∈  (2.1.7) với điều kiện đầu u(0,y) = S0 (1 − e y ) + , y∈ (2.1.8) Ở đây, σ a xem dương quan hệ với thông qua song ánh trơn cách đặt a Do đó, làm việc với tham biến a thay tham biến độ biến động σ điều làm đơn giản hóa phân tích toán thuận toán ngược Cho I ⊂  khoảng mở không bị chặn, và= Ω : (0,T ) × I miền xác định toán (2.7), (2.8) Với a1 ,a2 ∈  số cho < a1 ≤ a2 < ∞ 15 hàm cố định a0 ∈ H 1+ε (Ω ) , ε > thỏa mãn a1 ≤ a0 ≤ a2 , ta định nghĩa D(F) := { a ∈ a0 + H 1+ε (Ω ) : a1 ≤ a ≤ a2 } (2.1.9) Điều kiện a ∈ D(F) cho ta biết a không âm bị chặn Ω lưu ý tập D(F) lồi đóng yếu H 1+ε (Ω ) ([5]) Bây định nghĩa toán tử F(⋅) phi tuyến sau F : D(F) ⊂ H 1+ε (Ω ) ™ W21,2 (Ω ), (2.1.10) a ∈ D(F)  u(a) − u(a0 ) ∈ W21,2 (Ω ) với u(a) u(a0 ) nghiệm (2.7), (2.8) với tham biến khếch tán a a0 tương ứng, ý a0 cho cố định Thật cần thiết a0 vào định nghĩa toán tử F(⋅) nghiệm u(a) (2.7), (2.8) tương ứng 1,2 với tham biến khếch tán a thuộc W2,loc (Ω ) Do đó, u(a) − u(a0 ) ∈ W21,2 (Ω ) Mặt khác, tính tuyến tính (2.7), (2.8) nên u(a) − u(a0 ) thỏa mãn toán parabolic với điều kiện biên Theo trên, phát biểu toán thuận cho định giá quyền chọn sau: Cho hàm a ∈ D(F) , xác định F(a) = u(a) − u(a0 ) với u(a) nghiệm toán (2.7), (2.8) với tham biến khuếch tán a 2.2 Sự tồn nghiệm toán parabolic 1,2 Trong phần này, trình bày tồn nghiệm u(τ ,y) ∈ W2,loc (Ω ) toán parabolic (2.7), (2.8) thông qua phát biểu sau Mệnh đề 2.2.1 Cho a hàm liên tục Holder với a1 ≤ a ≤ a2 , b ∈ L∞ (Ω ) , f ∈ L2 (Ω ) Khi − vτ + avyy + bvy = f, (2.2.1) v ( 0, y ) = 0, (2.2.2) có nghiệm v ∈ W21,2 (Ω ) Hơn nữa, v W21,2 ( Ω ) ≤C f L2 ( Ω ) ( ) , vôùi C = C a L∞ ( Ω ) , b L∞ ( Ω ) 16 (2.2.3) Chứng minh Tham khảo Định lý 9.2 [14] Mệnh đề 2.2.2 Cho a ∈ D(F), b ∈ L∞ (Ω ), f ∈ L2 (Ω ) Khi đó, toán (2.11), (2.12) có nghiệm v ∈ W21,2 (Ω ) Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn (2.13) Chứng minh Do không gian hàm liên tục Holder trù mật H 1+ε (Ω ) nên tồn dãy {an } hàm liên tục Holder cho an → a ∈ D(F) ⊂ H 1+ε (Ω ) theo ⋅ H 1+ ε (Ω ) Theo Mệnh đề 2.2.1 với hàm an liên tục Holder tồn nghiệm v n ∈ W21,2 (Ω ) toán − vτn + an vyyn + bvyn = f, (2.2.4) v n (0,y) = 0, thỏa mãn W21,2 ( Ω ) ≤ Cn f L2 ( Ω ) ( , với Cn = Cn an L∞ ( Ω ) ,b L∞ ( Ω ) ) (2.2.5) Do tuyến tính (2.2.4), w n = vyn thỏa mãn ( − wτn + an wyn ) + ( bw ) n y y = fy , (2.2.4) w n (0,y) = 0, w n W20 ,1 T ≤ c1 ∫ f y (τ ) W −1 (  ) dτ ≤ c2 f L2 ( Ω ) (2.2.6) với c1 , c2 số mà việc xác định phụ thuộc vào cận a, a b L∞ ( Ω ) Hơn nữa, từ an → a (2.2.6), v n L2 ( Ω ) bị chặn, 17 L∞ ( Ω ) , v τ n L2 ( Ω ) d n2 v dτ d Ω Ω dτ = ∫∫ τ { } = ∫ ∫ an vyyn + bvyn − f v n dτ d Ω Ω { ≤ c(T ) vyyn ≤ C(T ) f L (Ω ) L2 ( Ω ) + vyn L (Ω ) L2 ( Ω ) + f }v L2 ( Ω ) n L2 ( Ω ) Suy L2 ( Ω ) ≤ C(T ) f (2.2.7) L2 ( Ω ) với C(T) số mà việc xác định phụ thuộc vào cận a, a b L∞ ( Ω ) L∞ ( Ω ) , Mặt khác, vτn L2 ( Ω ) bị chặn, (2.2.4), (2.2.6), an → a Và theo (2.2.6), (2.2.7), ta có v n bị chặn theo chuẩn không gian Hilbert W21,2 (Ω ) W21,2 ( Ω ) ˆ ≤C f  với C phụ thuộc vào cận a, a {v } ⊂ {v } cho v nk n nk (2.2.8) L2 ( Ω ) L∞ ( Ω ) , b L∞ ( Ω ) nên tồn dãy ˆ  v ∈ W21,2 (Ω ) Do đó, với ψ ∈ C0∞ (Ω ) , ta có ˆ ˆ ∫Ω ( −vτ + av yy ˆ + bvy )ψ d Ω = lim ∫ − vτnk + avyynk + bvynk ψ d Ω = k →∞ Ω ( ) ∫Ω fψ d Ω ˆˆ Bằng quy hóa lời giải yếu (tham khảo [8], Mệnh đề A1), v nghiệm toán (2.2.1), (2.2.2) Hơn tính nửa liên tục yếu ⋅ W 1,2 (Ω ) ˆ ˆ (2.2.8), v n  v ∈ W21,2 (Ω ) , ta có v k W21,2 ( Ω ) ˆ ≤C f L2 ( Ω ) , ■ Trong hệ sau, phát biểu nghiệm toán (2.1.7), (2.1.8}) Hệ 2.2.1 Cho a ∈ D(F), b ∈ L∞ (Ω ) Khi đó, toán (2.1.7), (2.1.8) có nghiệm u ∈ W21,2 (Ω ) thỏa mãn u ∞ ≤ S0 uy 18 W20 ,1 ( Ω ) ≤C (2.2.9) [...]... tại x Định lý1.2.7 [16, Định lý 2.22] Cho không gian Banach X và các hàm lồi f , g : X     Nếu tồn tại một điểm thuộc D( f )  D( g ) sao cho f liên tục tại đó thì với mọi x  X ta có   f  g  x  f ( x)  g ( x) 13 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Trong chương này, đầu tiên chúng ta trình bày bài toán thuận của định giá quyền chọn, toán tử F(⋅) và miền... giản hóa sự phân tích bài toán thuận và bài toán ngược Cho I ⊂  là một khoảng mở có thể không bị chặn, và= Ω : (0,T ) × I miền xác định của bài toán (2.7), (2.8) Với a1 ,a2 ∈  là các hằng số sao cho 0 < a1 ≤ a2 < ∞ và 15 một hàm cố định a0 ∈ H 1+ε (Ω ) , ε > 0 thỏa mãn a1 ≤ a0 ≤ a2 , ta định nghĩa D(F) := { a ∈ a0 + H 1+ε (Ω ) : a1 ≤ a ≤ a2 } (2.1.9) Điều kiện a ∈ D(F) cho ta biết a không âm và bị... thỏa mãn bài toán parabolic với điều kiện biên thuần nhất Theo trên, bây giờ chúng ta sẽ phát biểu bài toán thuận cho định giá quyền chọn như sau: Cho một hàm a ∈ D(F) , hãy xác định F(a) = u(a) − u(a0 ) với u(a) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.7), (2.8) với tham biến khuếch tán a 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic 1,2 Trong phần này, chúng ta trình bày sự tồn tại và duy nhất... trên Ω và lưu ý tập D(F) là lồi và đóng yếu trong H 1+ε (Ω ) ([5]) Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử F(⋅) phi tuyến sau F : D(F) ⊂ H 1+ε (Ω ) ™ W21,2 (Ω ), (2.1.10) a ∈ D(F)  u(a) − u(a0 ) ∈ W21,2 (Ω ) với u(a) và u(a0 ) là các nghiệm duy nhất của (2.7), (2.8) với các tham biến khếch tán a và a0 tương ứng, chú ý rằng a0 đã được cho cố định Thật sự cần thiết để cho a0 vào trong định nghĩa của toán. .. *Sự ổn định: Nghiệm x phụ thuộc một cách liên tục vào y, theo nghĩa với mỗi dãy ( xn )  X sao cho Kxn  K x khi n   ta đều có xn  x khi n   9 Ngược lại, nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán sẽ được gọi là không chỉnh Định nghĩa 1.2.4 Cho K : X  Y là toán tử ( tuyến tính hoặc phi tuyến) giữa các không gian Hilbert X và Y Khi đó, ta định nghĩa sự chỉnh hóa là... miền xác định của nó Tiếp theo, chúng ta phát biểu các tính chất quan trọng của toán tử F(⋅) mà là nền tảng lý thuyết cho sự chỉnh hóa bài toán ngược được trình bày sau đó Cuối chương, chúng ta điểm lại một vài sự kiện nổi bật liên quan đến việc xác định độ biến động địa phương 2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire  là độ đo  là không gian xác suất với lọc F = (Ft )t∈ thích hợp và P Cho (Ω ,U... không gian vec tơ được gọi là lồi nếu f l x  1  l  y   l f ( x)  1  l  f ( y ), x, y  X , l  0,1 Định nghĩa 1.2.12 Cho hàm lồi f : X     Miền chính (domain) D( f ) của f được định nghĩa như sau D( f ) :  x  X : f ( x)   Và f được gọi là chính thường (proper) nếu D( f )   Định nghĩa 1.2.13 Cho hàm lồi f : X     với X là không gian lồi địa phương Khi đó, x*  X *...  0 nếu tồn tại hai số dương d và M sao cho f ( x)  M g ( x) với x  d Định nghĩa 1.2.3 [Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard] Cho X và Y là những không gian định chuẩn, và ánh xạ K : X  Y (tuyến tính hoặc phi tuyến) Bài toán Kx=y được gọi là đặt đúng nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: *Sự tồn tại: Với mỗi y  Y tồn tại ít nhất một phần tử x  X sao cho Kx  y *Sự duy nhất: Với mỗi y  Y... khi và chỉ khi tồn tại một xác suất rủi ro trung tính Q 1.2 Một vài kiến thức cơ bản về giải tích Định nghĩa 1.2.1 Hai đại lượng dương a và b được gọi là tương đương nếu tồn tại hai hằng số 0 < c < C <  , sao cho c.b  a  C.b và ta kí hiệu a ~ b Định nghĩa 1.2.2 Cho f(x) và g(x) là hai hàm số được định nghĩa trên cùng tập con của  , ta có f ( x)  O  g ( x) khi x  0 nếu tồn tại hai số dương d và. .. 1.2.1 Bất kỳ l  H 1 () là toán tử tuyến tính bị chặn trên H 01 (), chuẩn của l được cho bởi l H 1 () | l (v ) | \end{vidu} v vH 01 (  )  sup Định nghĩa 1.2.10 Cho V và W là các không gian Banach với V  W Ta nói V được nhúng liên tục vào W và viết V  W v W  C v V , v  V Nếu V  W thì ta coi các hàm trong V là trơn hơn các hàm còn lại trong W Định lý 1.2.5.[17, Định lý 9.38] Giả sử   