CHỦ ĐỀ PHÁT HIỆN VÀ LIÊN HỢP BÀI TOÁN CHỨA NGHIỆM KÉP HỮU TỶ I, Lý thuyết Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm phương trình, tính chất nghiệm kép Cách Dùng bảng TABLE ( Mode ) để khảo sát đồ thị hàm số Ví dụ Ta xét toán phương trình sau x   x  x   x   Sử dụng chức TABLE ( mode ) với điều kiện x  X 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 nên ta có bảng sau: F(X) 0.5857 0.1362 0.4395 0.8377 1.2998 1.8088 2.3542 2.9289 3.5178 Từ bảng giá trị trên, ta nhận đồ thị có dấu hiệu parabol tiếp xúc với trục hoành nghiệm Cách Dùng tính chất đạo hàm Ví dụ Ta xét toán phương trình sau x   x  x   x   Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức SHIFT CALC để tìm nghiệm phương trình, với d 2x   x  2x  ta tìm nghiệm x  Sau ta xét giá trị hiểu thay giá trị x  dx x 1   vào biểu thức đạo hàm cấp hàm số f  x   x   x  x  d 2x   x  2x 1 dx    x 1 Do kết luận x  nghiệm kép phương trình II, Các toán ví dụ  x  y   x  y  x  y Ví dụ Giải hệ phương trình   x, y    2  x  y   y   x  y   y   x  3 PHÂN TÍCH CASIO Quan sát phương trình hai hệ, phương trình dài phức tạp nên ta xét phương trình để tìm mối quan hệ x, y Xét phương trình  x  y   x  y  x  y  Chọn y  suy  x  1 x   x  Dùng máy tính CASIO với chức SHIFT CALC ta nghiệm x     y   Chọn y  100 suy  x  98 x  100  x  300 Dùng máy tính CASIO với chức SHIFT CALC ta nghiệm x  104  100   y  Do nhân tử cần tìm x  y   Chính ta ghép biểu thức liên hợp ta sau:  x  y   x  y  x  y   x  y     x  y  2    x y 2  x y 2   x y 2 0   x y 2  x y40 x  y với     x  y  x  y  x  y   x  y   x  y  x  y   x  y  x  y  Thế xuống phương trình thứ hai hệ, có  x   x   2 x   x  29 x  55   Với SHIFT CALC không khó để thấy phương trình   có nghiệm x  ta kiểm tra tính chất nghiệm cách xét đạo hàm hàm số f  x    x   x   2 x   x  29 x  55 , ta có:  x  4  x  29 có f '    x 1 2x  Đến ta khẳng định phương trình   có nghiệm kép x  Khi biết tính chất nghiệm, đến cách để giải toán nghiệm kép sau:  Cách Phương pháp liên hợp kép Do phương trình   chứa hai thức bậc hai nên ta có hai biểu thức liên hợp, là: ax  b  x  1 x 5  a ;b Đặt ax  b  x  , giải hệ phương trình  4  ax  b  '  x  '  x 5 Biểu thức liên hợp cần tìm x   x  mx  n  x  x 5   m  1; n  4 Đặt mx  n  x  , giải hệ phương trình   mx  n  '  x  '  x 5 Biểu thức liên hợp cần tìm x   x  f ' x  x 1           Do đó, phương trình   tương đương với:  x     x   x   x   x   x    x4  2   x  5       x   y  x   x  x   2x    x4 Vì    0; x  x   x  x   2x  Cách Phương pháp đưa tổng đại lượng không âm Do tìm nghiệm kép x  nên suy  x    x  x   đó, ta có được: 2  x    x  2 x      x    x  1     x   x   Cách Phương pháp đánh giá qua bất đẳng thức Do với nghiệm x  hay nói cách khác với 4  x   x    x   x  3 điểm rơi x  , áp dụng bất đẳng thức AM – GM, có:  2 x   x    x        Nên suy    x  29 x  55   x   x  3  x    x     x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    5;1 81 2 x2  x   x 1 x  PHÂN TÍCH CASIO Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức khó khăn Ví dụ Giải phương trình x  10 x  19  Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm nghiệm phương trình x  kiểm tra tính chất 81 nghiệm cách xét đạo hàm hàm số f  x   x  10 x  19  2 x2 x 1 x    811   x2  Ta có f '  x   x  10    f '    nên suy x  nghiệm kép phương x  x 1 x    trình cho Vì thế, trước tiên ta tạo đẳng thức  x   sau giải phương trình lại để tìm nhân tử chung  x   , sau: 81 81  x    x  12 x  36   x  17  2 x2 0 x 1  x  x 1  x  2 x  23x  106   x  16  x  81   2   x     x  17  x     x   0    x 1 x   x 1 x   x  10 x  19  Bây giờ, ta cần xét đến phương trình x  23x  106   x  16  x      ax  b  x  a  1 x 6   nên nhân tử cần tìm  Ta lại xét   x2  x   2   ax  b  '  x  ' b  x 6       Do    x  46 x  212   x  16  x    x  60 x  180   x  16  x   x    x  16  x    x  16 x  26  2    x  6        x  6 x24 x2 x24 x2  x24 x2  x  26 2 Nên phương trình cho   x     x      x  6   x  x   x  x 1 x  x  26 Vì   0; x  x   x  x 1 x    x  6    LỜI GIẢI Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với:  x  12 x  36   x  17    x  6  81 2 x2 0 x 1 x  2 x  23x  106   x  16  x  0 x 1 x  x  26 2   x  6   x  6    x  6   x  x   x  x 1 x  Vì  x  26 x   x2  x   x2   0; x  Nên phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x x    x  1  3x  x   x   PHÂN TÍCH CASIO Như thường lệ, ta dùng chức SHIFT CALC máy tính CASIO để dò nghiệm phương trình f  x   x x    x  1  3x  x    3 Nhập máy, ta thấy với điều kiện x    ;  ta gán giá trị nguyên x từ 1  máy báo  2  hai nghiệm x  0; x  1 Tuy nhiên, đến thứ chưa rõ ràng có nghiệm ta loay hoay chưa biết liên hợp Vậy nên ta có thêm bước xác định tính chất nghiệm phương trình Tính chất nghiệm có phải nghiệm bội hay không, không khó khăn ta tính 3x  x  1 2x2 đạo hàm cấp f  x  f '  x   x     3x2  6 x2   3x  Với x  suy f '          Với x  1 suy f '  1  2.2     Do đó, ta có x  1 nghiệm kép phương trình cho Và khẳng định phương trình có nghiệm x  nghiệm kép x  1 Mục đích ta “ tìm biểu thức liên hợp với hai “ mà với nghiệm tìm ta đưa kết luận sau  Với biểu thức x x  chứa nghiệm x  nên ta cần liên hợp biểu thức x  với ax  b  ax  b  x  a   x 1  cho xuất nghiệm kép x  1 Do ta có hệ phương trình:    ax  b  '  x  ' b  x 1     Và biểu thức liên hợp x     x   Với biểu thức  x  1  x chứa nghiệm x   nên ta cần liên hợp biểu thức  3x với m  mx  n   3x mx  n cho xuất hai nghiệm x  0; x  1 Do ta có   n   x  0; x  1 Và biểu thức liên hợp  3x   x   Khi ghép biểu thức liên hợp, đại lượng dư x   x    x  1 x    x  Do phương trình f  x   tương đương với: x  x     x     x  1   3x   x         2 2 x   x  3    x    x  1   3x   x    3x  x  1 x  x  1       0  0 x2    x  3x  x  2 x2    x  3x  x   x  x  1    2  x  x  1   0 2      3x  x    x 3 3 x   3x  x  2 x   3 x Với phương trình   , ta chứng minh vô nghiệm cách khảo sát tính chất đại lượng âm hay dương TABLE ( mode ), dễ dàng cho việc chứng minh vô nghiệm   Nhập F  X   X2 3 3 X  3X  X   Nhập Start  0.8  End  0.8  Step  0.2  Ta thấy tất giá trị cho F  X   Nên ta có         3x  x   x    x    3x  x   x   3    9 x   3x2   x  x2     3x   15 x  192 x  x2   vô nghiệm  3 LỜI GIẢI Điều kiện: x    ;   2  Phương trình cho tương đương với: x  x     x     x  1   3x   x         2 2 x   x  3    x    x  1   3x   x    3x  x  1 x  x  1       0  0 x2    x  3x  x  2 x2    x  3x  x   x  x  1    2  x  x  1   0 2  0  3x  x    x 3 3 x   3x  x  2 x   3 x  x  0; x  1  x  0; x  1    9 x 15 x  192 2     3  3x  x   x     3x  x  x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0; x  1 Ví dụ Các toán đưa tổng đại lượng không âm Câu Giải phương trình x  12  x   x x    x      x   Lời giải: Điều kiện:  x  Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm kép x  5 2   x    x  x  x   x  x   x x   x    x Khi  suy     x    x    x   13  x   x  đẳng thức cần tạo nên phương trình cho tương đương với:    4x       x   x x   13  x   x  x   2 x  x    x  5x    5x   x      5x   x    x   Vậy phương trình cho có nghiệm x     Câu Giải phương trình       x   x   x  13 x   x  x   Lời giải:     Điều kiện: x  Ta có  x     x  1  x    x  x    x Nên phương trình cho tương đương với:       x   x  13 x   x  x  x       x x   13x x   12 x  12 x  x         x  x   x  13  12  x  1    x   1   x x   x   12 x     x   1   x x   x   12 x      x   1   x x   x   3   x   1    x x  x      nên phương trình  trở thành:  x 1       x   1    x x x   13 x   12 x  12  x    2 2 2 Vì x   x 2 x   x 1   x 1 1    x 2 x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  Câu Giải phương trình  x  3  x  x    x  1 x   x  11 2  Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với:   x    pt   x  3 x  x   x  1 x   x  22  x  x  x x  x   x  1 x   x  22  x  x   x  1 x   x x  12 x  22      x  x    x  1 x   x  1  x x  3x  12 x  20   2      x  2   x   2x     nên phương trình   trở thành: x 5 0   x  5 x      x   2x   x  Vì x   2  x   x  x   2x   x      x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   Câu Giải phương trình x  x  x   x x  x   3x  x  Lời giải:   x    x2  2x x   x   x  x   Điều kiện: x  1 Ta có  4 x  x 3x  x   x  x   x  3x  x   Khi phương trình cho tương đương với:       pt  x  x3  x  x   x  x   x  3x  x       2 0  x  x  x  1   x3  x  1  x  x   x  3x  x   0     x  x  x  1   x  1  x  x  1  x  x   x  3x  x  2      x  x  1  x  x   x  3x  x    0 0  x2  x   x  1   x  x   x x  x 1   2 x  x  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  x   Ví dụ Giải phương trình x  x    x  1 x   x3  x  x  PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng SHIFT SOLVE với x  ta nghiệm x  3.302774567 Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode ) Xét F  X   X  X    X  1 X   X  X  X  Nhập giá trị  Start ? START  3.1  End ? END   Step ? STEP  0.1 Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm lân cận giá trị 3.3 đồng thời hàm số F  X  có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì nghiệm x  3.302774567 nghiệm kép F  X   Đồng thời ta lại có: x3  x  x    x  3  x  x   BẢNG GIÁ TRỊ X FX  3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0.0228 5.919.103 4.346.106 5.366.103 0.0222 0.0507 0.0911 0.1435 0.208 0.2849 Thay x  3.302774567 vào thức ta được:  x   2.302775405  x   3.302774567   x     x   2.510532726   x   x  x   x  x   2.510531957  Vậy ta tạo đẳng thức để có biểu thức x   x     x   x2  x  LỜI GIẢI Điều kiện: x  2 Vì x  2 nên x   x3  x  x   Khi đó, phương trình cho tương đương với:  x  3  x  x    x  x  x  pt  x  x    x  1 x   x  x  x      x  x    x  1 x   x    x   x  x  x   x  x    x   x   13 0 x 2  x   x  x   13 Vậy phương trình cho có nghiệm x    x 1 x  2    x   x2  x  