BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI   PHẠM ANH NGHĨA           PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN       LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC               HÀ NỘI, 2015             BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI   PHẠM ANH NGHĨA       PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02         LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC   Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH       HÀ NỘI, 2015       - 1 -    LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới  sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng  dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác  giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.    Tác giả xin bày  tỏ  lòng biết  ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.  Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà  Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo  dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi  cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.    Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phạm Anh Nghĩa                       - 2 -      LỜI CAM ĐOAN   Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với  đề  tài:  “  Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến”  là công trình nghiên cứu của riêng tác giả  dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.  Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế  thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.                                  Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả     Phạm Anh Nghĩa                           - 3 -    MỤC LỤC Mở đầu………………………………………… ………………………… Chương Một số kiến thức chuẩn bị………………… …………… 1.1  Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co……….……… … .      7  1.1.1 Không gian metric………………………………………       7  1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co…………………………… ………   18  1.2 Không gian Banach…………………… ……………………     20  1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach…… ……………    23  Chương Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến……………… .… ………………… 29 2.1.Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến…… …    29      2.1.1. Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến…… …   29      2.1.2. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến… …   37       2.2.    Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi  tuyến………………………………………… …………………………     45           2.2.1. Phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình toán tử phi  tuyến ……………………………………… ………………………     45           2.2.2. Phương pháp Newton  - Kantorovich   giải hệ phương trình phi  tuyến trong  n ……………………………… …………………………    51       2.3.    Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton –  Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến ………………… …………   56  Chương Ứng dụng………………………………………… ……… 61 3.1.    Giải hệ phương trình phi tuyến ………………………………   61           3.1.1. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến …… .  61           3.1.2.  Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi  tuyến ……………………………………………………………………   64      - 4 -    3.2.    Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến.……  75  Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89                                                     - 5 -      MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như  chúng  ta  đã  biết  khi  giải  số  phương  trình  vi  phân,  phương  trình  tích  phân  thường  dẫn  đến  giải  hệ  phương  trình  phi  tuyến;  có  nhiều  vấn  đề,  nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn  đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có  dạng tổng quát  A.x  f   (1), trong  đó  A  là  các  toán tử  đi  từ  không  gian định  chuẩn   n vào không gian định chuẩn   n     Trong thực tế  người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương  trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) là một vấn đề được quan  tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề  xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng,  phương pháp biến phân ….Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể  chọn phương pháp  xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp  lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng  để  chứng  minh  sự  tồn  tại  nghiệm  của  phương  trình  và  tìm  nghiệm  xấp  xỉ  thông  qua  phép  lặp  đơn.  Để  sử  dụng  phương  pháp  này  người  ta  phải  đưa  phương trình (1) về dạng x = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn  không gian   n  , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của  ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm  bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và  các  mở  rộng  của  nó  như  Newton  –  Raphson,  Newton  –  Kantorovich  cho  ta  cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải  những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu  điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ  chứa nghiệm.      - 6 -    Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu  hơn về các phương pháp  giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực hiện luận văn của mình.  Mục đích nghiên cứu     Luận  văn  trình  bày  một  số  phương  pháp  giải  hệ  phương  trình  đó  là   phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  –  Kantorovich,  sự  kết  hợp  của  hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực   và hệ phương  trình phi tuyến trong không gian   n  Ứng dụng giải một số phương trình và  hệ phương trình cụ thể.  Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich   giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu    -  Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến.     -  Phạm  vi  nghiên  cứu:  Phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  –  Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến  trong không gian   n ; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình  cụ thể.  Phương pháp nghiên cứu     - Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và  áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ thị .  Dự kiến đóng góp đề tài Hệ  thống  lại  phương  pháp  lặp  đơn  và  phương  pháp  Newton  –  Kantorovich  giải  phương  trình  và  hệ  phương  trình  phi  tuyến.  Áp  dụng  giải  một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể.      - 7 -    CHƯƠNG I  MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1.Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập hợp  X    cùng với một ánh xạ  d : X  X      thoả mãn các tiên đề sau đây:  1) d  x, y   0,(x, y  X)  ,  d  x, y   x  y                 ( tiên đề đồng nhất);  2) d  x, y   d  y, x  ,(x, y  X)                                        ( tiên đề đối xứng);  3) d  x, y   d  x, z   d  z, y  ,  x, y, z  X                          ( tiên đề tam giác).  Khi đó tập hợp  X cùng với ánh xạ  d gọi là một không gian metric. Ánh xạ  d gọi là một metric trên  X , số  d  x, y   gọi là khoảng cách giữa hai phần tử  x, y   Các  phần  tử  của  X gọi  là  các  điểm;  các  tiên  đề  1),  2),  3)    gọi  là  hệ  tiên  đề  metric.  Không gian metric được kí hiệu là  X   X,d   .  Định nghĩa 1.1.2.  Cho  không  gian  metric  X   X,d        Một  tập  con  bất  kỳ  X0    của tập hợp  X  cùng với metric  d  trên  X  lập thành  một không gian  metric.  Không  gian  metric  X   X , d    gọi  là  không  gian  metric  con  của  không gian metric đã cho.  Ví dụ 1.1.1  Với hai phần tử  bất kỳ x,y ∈ℝ ta đặt:                                                d  x, y   x  y (1.1.1)  Từ  tính  chất  của  giá  trị  tuyệt  đối  trong  tập  hợp  số  thực  ℝ,  suy  ra  hệ  thức  (1.1.1)xác định một metric trên   , không gian tương ứng được ký hiệu là  1   Ta gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên         - 8 -    Ví dụ 1.1.2.    Với  hai  phần  tử  bất  kỳ  x   x1 , x , , x k  , y   y1 , y2 , , yk      thuộc     không gian véc tơ thực k chiều   k  ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt:  k d  x, y   x j  y j                                          (1.1.2)  j1                                   Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Để kiểm  tra  hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất  đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski:    Với 2k số thực  a j ,bj ,   j  1, 2, , k    ta có   k k            Thật vậy  k  a 2j  a jb j  j1 j1 b j1 j (1.1.3)                                                               k  k k k k k k k 2     a i b j  a jbi     a i2 b2j  2 a i bi a jb j   a 2j bi2   i 1  j1 i 1 j1 i 1 j1  i1 j1  k  k   k     a 2j    b 2j     a j b j                                          j1   j1   j1 Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3).  Với 3 véc tơ bất kỳ   x   x1 , x , , x k  , y   y1 , y2 , , yk  , z   z1 , z2 , , zk  thuộc   k   ta có :  k k d  x, y     x j  y j     x j  z j    z j  y j     j1 k j1 k k j1 j1    x j  z j   2  x j  z j  z j  y j     z j  y j    j1 =  d2  x, z   2d  x, z  d  z, y   d2  z, y      d  x, z   d  z, y      d  x, y   d  x, z   d  z, y    Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric.      - 75 -    3.2 Lập trình Maple giải số hệ phương trình Bài tập 1.    Giải hệ phương trình sau  trên miền  D   5;5   5;5    y  xy2  6x                           2 1  x y  5x  Lời giải: Trước  tiên  ta  dùng  Maple  vẽ  đồ  thị  hai  hàm  số F(x, y)  y  xy2  6x2 và  G(x, y)   x2 y2  5x  trong miền  D   5;5   5;5  trên cùng một hệ trục toạ độ  như hình 3.1.  >with(plots);  [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,    conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d,    cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot,    fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d,     inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot,      listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,      pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d,      polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions,     setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata,      textplot, textplot3d, tubeplot]  > with(plottools);  [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder,    disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron,    hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point,    polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate,    tetrahedron, torus, transform, translate]  >implicitplot({y+x*y^2-6*x^2=0,1+x^2*y^2-5*x^2=0},x=-5 5,y=-5 5);        - 76 -      Hình 3.1  T T Từ đồ thị của hàm số hình 3.1, chọn xấp xỉ ban đầu  u   x, y   1, 2;1,5   Ta có :   f1  x   x f ' x    f  x    x f1  x    y   y  12x  2xy     f  x    2xy  10x 2x y   y   11,16 5,32     4, 224 5,184  Với  u như trên, ta có f '  u        - 77 -     det  f '  u     11,16  5,184  5,32.(4, 224)  35,38176    1  f  u     5,184 5,32     35,38176  4, 224 11,16   2, 952     1,5344  Ta lại có   f  u    Áp dụng thuật toán Newton – Kantorovich với công thức   1 u n 1  u n   f  u n   f  u n     Tìm nghiệm u1  Ta có:  1 u1  u  f '  u   f  u    1,   5,184 5,32   2,952  1,   7,14016  1  u1               1,8  35,38176  4, 224 11,16   1,5344   1,8  35,38176  4, 65465   1,   6, 20177   0, 9982   u1          1,8   0,13155  1,93155   Tìm nghiệm  u  . Ta có:     8, 2475 4,8561  ' f '  u1      det f  u1   19, 443    2, 5336 3,8492   1  f '  u1      3,8492 4,8561      19, 443  2,5336 8, 2475  1  0,3227   ,  do      u  u1  f '  u1   f  u1      0, 2645   Lại có :  f  u1     0,9982   3,8492 4,8561   0,3227   1, 00037   u2           1,93155  19, 443  2,5336 8, 2475   0, 2645   2, 00169   Tìm nghiệm  u  . Ta có:     7,9977 5, 0048  f u2      det  f '  u    22, 0956    1,9872 4, 0063  1   f   u       4, 0063 5, 0048     22, 0956  1,9872 7, 9977    - 78 -    1  0, 0055   , do  u  u  f   u  f  u      0, 006  Lại có :   f  u     1, 00037   4, 0063 5, 0048   0, 0055   1, 00001   u3            2, 00169  22, 0956  1,9872 7, 9977   0, 006   1, 99999   1, 00001     1, 99999   Lặp lại quá trình trên ta có :   u    x  1, 00001    y  1, 99999 Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình đã cho là:  Bài tập 2. Giải hệ phương trình sau trên miền  D   0;2  0;1  :    cos x  0, 4y  x  y2  1,              y2 1,5x  1   0,36  Lời giải:   F  x, y   cos x  0, 4y  x  y  1,  Dùng Maple vẽ đồ thị 2 hàm số     y2 G  x, y   1,5x  1  0,36  trong miền  D   0;2   0;1  trên cùng một hệ trục tọa độ như hình 3.2  > with(plots);  [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,      conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d,      cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot,      fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d,      inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot,      listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,      pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d,      polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions,      setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata,      textplot, textplot3d, tubeplot]  > with(plottools);      - 79 -    [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder,      disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron,      hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point,      polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate,      tetrahedron, torus, transform, translate]  >implicitplot({cos(x^2+0.4*y)+x^2+y^2-1.6=0,1.5*x^2-y^2/0.361=0},x=0 2,y=0 1,numpoints=1000);    Hình 3.2  Nhìn vào đồ thị hình 3.2  ta chọn xấp xỉ ban đầu      - 80 -    T T u   x, y   1, 04;0, 47     f1  x   x Ta có  f '  u     f  x    x  f1  x    y    f  x    y    2x  sin x  0, 4y                     =  3x      0, 4sin x  0, 4y  2y      y  0,18   0, 9364 0,55801     3,12 2, 61111 T Với  u  1,04;0, 47   f '  u     det  f '  u    1,98549;     0, 00084 0,55801  1, 04  0, 0136  1, 03864   x  1, 04  1,98549 0, 00879 2, 61111    u1     0, 09364 0,00084  y  0, 47    0, 47  0, 00173  0, 47173   0, 00879 1,98549 3,12    0, 09483 0,56172   f   u1      3,11592 2, 62072     det  f   u1    1,99889  0, 00000  x  1, 03864  1,98549 0, 00002  u2    0, 09483  y  0, 47173   1,98549 3,11592   0,56172  1, 03864  0, 00000  1, 03864  2, 62072    0, 00000  0, 47173  0, 00000  0, 47173  0, 00002  F  x, y   0, 000003    G  x, y   0,00002 Qua 2 bước lặp ta có :   x  1, 03864    y  0, 47173 Vậy nghiệm đúng của hệ phương trình đã cho trong miền D là:          - 81 -     F1 (x, y, z)  x  y2  z   Bài tập 3. Giải hệ phương trình  F2 (x, y, z)  x  2y  3z     F (x, y, z)  x  2y  z   Lời giải: Trước tiên ta dùng phần mềm Maple để vẽ đồ thị của 3 hàm số   F1(x, y,z)  x2  y2  z2 ,  F2 (x, y,z)  x2  2y2  3z ,  F3 (x, y,z)  x2  2y  z trên cùng  một trục toạ độ như hình 3.3 > with(plots);  [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,    conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d,    cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot,     fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d,     inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot,    listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,    pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d,      polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions,     setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata,      textplot, textplot3d, tubeplot]  > with(plottools);  [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder,    disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron,    hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point,     polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate,    tetrahedron, torus, transform, translate]  > impliicitplot3d ({x^2+y^2+z^2=1,x^2+2*y^2-3*z=0,x^2-2*y+z=0},x=3 3,y=-3 3,z=-3 3);      - 82 -    Hình 3.3   x  y  z  1 x  2x 2y 2z      Đặt  u   y  ,f  x    x  2y  3z   f   u    2x 4y 3    z  2x 2   x  2y  z        Ta có thể chọn điểm xấp xỉ  ban đầu là :  u0   x, y, z    0,5;0,5;0,5  .  Khi đó ta có:   0,52  0,52  0,52  1  0, 25      f  u    0,52  2.0,52  3.0,5    0, 75     0,52  2.0,5  0,5   0, 25        - 83 -    1 1    f '  u    3     2    Ta có thể tính định thức và ma trận nghịch đảo nhờ phần mềm Maple như sau:  > J : matrix  3,3, 1,1,1,1, 2, 3,1, 2,1 ;   1 1  J : 1 3   1 2   det  J 0 ;      -12   NI : inverse  J 0 ;   1 3  NI :  3  1    12   1    3    12  1 3  1   f ' x                   Vậy           1 1  3  12      3    12  Ta tính nghiệm   x1   như sau:   F : matrix  3,1,  0, 25; 0, 75; 0, 25 ;    0, 25 F :  0, 75     0, 25  T1: multiply  N1, F  ;       - 84 -     0,3750000000    T 1:    0,1250000000   X : matrix  3,1,  0.5, 0.5, 0.5 ;   0.5 X : 0.5   0.5  X  T 1;   X  T1    X1: evalm  % ;    0,8750000000    X 1:  0,5   0,3750000000  1   0,5      u1   0,5      0,5     1    3  12   0, 25   0,875        0, 75    0,5        0, 25   0,375     12   0,8752  0,52  0,3752  1  0,15625      f  u1    0,8752  2.0,52  3.0,375    0,140625     0,8752  2.0,5  0,375   0,140625    1, 75 0, 75    f   u1   1, 75 3    1, 75 2    J 1: matrix  3,3, 1.75,1,0.75,1, 75, 2, 3,1.75, 2,1 ;   1.75 0.75 J 1: 1.75 3    1.75 2   det ( J 1);     - 85 -           -19.2500   N : inverse  J1 ;   0.2337662338   0.2077922078 0.1298701299  N : 0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909    0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091 0.2337662338   0.2077922078 0.1298701299  Vậy   f '  u1    0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909     0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091 1  F1: matrix  3,1,  0.15625, 0.140625, 0.140625 ;    0.15625  F1: 0.140625   0.140625  T1: multiply  N 2, F1 ;    0.08360389612  T 1: 0.00568181817     0.00568181818   X  T 1;   X  T1    X : evalm  %  ;   0.7913961039  X :  0.4943181818    0.3693181818 1 Ta có nghiệm: u  u1  f   u1   f  u1  ;   0.2337662338   0,15625   0,875   0.2077922078 0.1298701299      u   0,5    0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909   0,140625     0,375   0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091  0,140625           - 86 -     0, 7913961039      0, 4943181818                0, 3693181818   0, 79139610392  0, 49431818182  0,36931818182  1  0, 0070541775      f  u    0, 79139610392  2.0, 49431818182  3.0,3693181818    0, 0070541775   0, 79139610392  2.0, 4943181818  0,3693181818   0, 0069896114     1,5827922078 0, 9886363636 0, 7386363636     f '  u    1, 5827922078 1, 9772727272 3   1,5827922078      J : matrix (3, 3, [1.5827922078, 0.9886363636, 0.7386363636,   1.5827922078,1.9772727272,  3,1.5827922078, 2,1]);   1.5827922078 0.9886363636 0.7386363636    J : 1.5827922078 1.9772727272 3  1.5827922078  2  det  J 2 ;   17.27622601   N 3: inverse  J 2 ;   0.2562130540   0.2328475716 0.1427342459  N :  0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275     0.3643849228 0, 2738092420 0.09057568077  Ta có:  0.2562130540   0.2328475716 0.1427342459  f   u     0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275     0.3643849228 0, 2738092420 0.09057568077    1  F : matrix  3,1,  0.0070541775, 0.0070541775, 0.0069896114 ;    0.0070541775  F :  0.0070541775     0.069896114   T : multiply  N 3, F 2 ;       - 87 -     0.004440250490  T :  0.000022115298     0.0000058481191  X  T 2;   X T 2   X 3: evalm  %  ;    0.7869558534  X :  0.4942960665    0.3693123337  1 Theo công thức :  u  u  f   u  f  u  , ta có 0.2562130540   0.0070541775   0.7913961039   0.2328475716 0.1427342459      u   0.4943181818    0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275   0.0070541775   0.3693181818   0.3643849228 0.2738092420 0.09057568077   0.069896114       0.7869558534       0.4942960665            0.3693123337  Vậy sau 3 bước lặp ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là:                                          x  0.7869558534   y  0.4942960665    z  0.3693123337        - 88 -    KẾT LUẬN   Luận văn đã trình bày một số nội dung sau:       Trong chương 1trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm một khái niệm của  Giải tích hàm như không gian metric và nguyên lí ánh xạ co, không gian định  chuẩn và phép tính vi phân trong không gian định chuẩn. Một số ví dụ về các  khái niệm đó.    Trong chương 2 trình bày:      -  Cơ sở  lí  thuyết  của  phương pháp lặp và phương pháp Newton,  Newton –  Kantorovich;   - Phương pháp lặp để giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến;   -  Phương  pháp  Newton  để  giải  phương  trình  và  hệ  phương  trình  phi  tuyến  ứng dụng vào giải một số phương trình cụ thể;   - Áp dụng các phương pháp trên để giải một số phương trình và hệ phương  trình cụ thể;     Trong  chương  3  trình  bày  ứng  dụng  của  các  phương  pháp  nêu  trong  chương 2 với việc áp dụng Maple trong tính toán.     Trên đây là luận văn với đề tài :“ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến”      Em rất  mong được các thầy cô nhận xét,  hướng dẫn chỉ bảo để luận văn  của em được chi tiết, hoàn chỉnh hơn      Em xin chân thành cảm ơn!      - 89 -    TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội.  [2]Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.  [3]Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán họctrên Maple, NXB. Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.               [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB. Khoa học và Kỹ thuật   Hà Nội.  [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB. Đại học Quốc   gia Hà Nội.  B.Tài liệu Tiếng Anh Tiếng Nga [6]I.K. Argyros (2008), Convergence and Applications of Newtontype Iterations, Department of Mathematical Sciences, Lawton,   Ok 73505.Springer Science + Business Media, LLC.  [7]J.M. Ortega and W.C. Rheinboldt(1970),Iterative solution of nonlinear equations of several variables, Academic Press, New York  andLondon.  [8] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer-  Verlag-Berlin Heidelberg.  [8] A.M.Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Methods and Applications,  Higher  Education  Press,  Springer-Verlag-Berlin  Heidelberg.  [9]Н.В.Копенова, И.А Марон (1972), Вычислительнаяматематика в примерах и задачах, Москва, Наука