BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Viết Huy MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Viết Huy MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán-Tin, quý thầy cô môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng trình viết luận văn Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn trình nghiên cứu Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Tp.Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Phạm Viết Huy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 MỘT SỐ KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .6 A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.2 Bao đóng nguyên 1.3 Vành Noether 10 1.4 Miền Dedekind 11 1.5 Một số kết vành giao hoán 24 B MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND 24 1.6 Module tự miền Dedekind 24 1.7 Cấp phần tử module miền Dedekind 26 1.8 Module cyclic miền Dedekind 32 CHƯƠNG II MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .41 2.1 Định nghĩa module tựa tự miền Dedekind 41 2.2 Cơ sở module tựa tự miền Dedekind 43 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind 50 2.4 Điều kiện cần đủ để P-module miền Dedekind module tựa tự 52 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .60 MỘT SỐ KÝ HIỆU A[ x], A[ x1 ,x2 , ,xn ] Vành đa thức miền nguyên A Q( A) Trường thương miền nguyên A AB Bao đóng nguyên A B PR P ideal vành R S −1R Vành thương vành R theo tập nhân S p Ideal sinh p OK Vành số K nguyên Z ord P ( A) Cấp ideal A ứng với ideal nguyên tố P A B Ideal A chia hết cho ideal B BA Ideal B ước ideal A ( A, B ),[A, B ] Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ hai ideal A, B DP Vành địa phương hóa vành D theo ideal nguyên tố P X Module sinh tập hợp X X Lực lượng tập hợp X O( x) Cấp phần tử x MP Thành phần P-nguyên sơ module M MT Phần xoắn module M M ⊗N Tích tenxơ hai module M, N LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết module tự do, đặc biệt module tự miền ideal có vai trò đặc biệt quan trọng Trong lý thuyết module nói riêng đại số nói chung có nhiều kết đẹp thú vị module tự miền ideal Như ta biết, miền Dedekind xem mở rộng gần gũi miền ideal chính, bảo lưu nhiều tính chất “giống” miền ideal chính, bên cạnh có nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal Module tự định nghĩa tổng trực tiếp họ module cyclic không xoắn Từ đây, cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi sau: “Tại định nghĩa module tự lại có yêu cầu module cyclic không xoắn? Nếu ta bỏ điều kiện không xoắn kết thay đổi nào? Và ta thay miền ideal thành miền Dedekind kết thay đổi nào?” Chúng gọi module mà phân tích thành tổng trực tiếp module cyclic module tựa tự Như module tựa tự xem khái niệm mở rộng module tự kết nghiên cứu chưa nhiều Chính mà định chọn đề tài “Module tựa tự miền Dedekind” để nghiên cứu tìm hiểu Trong luận văn này, xây dựng mở rộng số kết module miền ideal sang module miền Dedekind, giới thiệu tính chất module tựa tự miền Dedekind, đặc biệt khảo sát, giống khác module tựa tự miền ideal module tựa tự miền Dedekind Luận văn chia thành chương: Chương 1: Các khái niệm Trong chương này, trình bày kiến thức miền Dedekind, xây dựng nghiên cứu tính chất cấp phần tử module miền Dedekind, tính chất module cyclic miền Dedekind Chương 2: Module tựa tự miền Dedekind Là chương luận văn, trình bày số kết module tựa tự miền Dedekind Vì thời gian khả hạn chế, luận văn có thiếu sót định Kính mong quý thầy cô bạn vui lòng bảo lượng thứ 6 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.1.1 Định nghĩa Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi phần tử nguyên A tồn đa thức đơn khởi f ( x) ∈ A [ x ] ,deg f ≥ nhận b làm nghiệm Nói cách khác, b nguyên A tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = 1.1.2 Định nghĩa Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Nếu phần tử b ∈ B nguyên A ta nói B nguyên A 1.1.3 Mệnh đề Cho tháp miền nguyên A ⊂ B Nếu B A-module hữu hạn sinh B nguyên A Chứng minh Giả sử b1 , b2 , , bm hệ sinh A-module B 1, 2, , m) cho Với b ∈ B* , tồn aij ∈ A(i, j = b1b= a11b1 + + a1mbm b b= a b + + a b  21 2m m   bm= b am1b1 + + ammbm Do hệ phương trình (a11 − b) x1 + a12 x2 + + a1m xm = a x + (a − b) x + + a x =  21 22 2m m   am1 x1 + am x2 + + (amm − b) xm = có nghiệm không tầm thường ( x1 , x2 , , xm ) = ( b1 , b2 , , bm ) Vì vậy, định thức ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính 0, a11 − b a12 a1m a21 a22 − b a2 m =0     am1 am amm − b Khai triển định thức, ta phương trình b m + am−1b m−1 + + a1b + a0 = với a0 , a1 , , am−1 ∈ A Vì b nguyên A 1.1.4 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b nguyên A ii) A [b ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b nguyên A Khi đó, tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = { } Ta chứng minh 1, b, , b n−1 hệ sinh A [b ] A Đầu tiên, ta chứng minh quy nạp (theo k) b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A 8 Giả sử bi biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 ,với i ≤ k (k ≥ n) Nhân với b k +1− n , ta hai vế b n + an −1b n −1 + + a1b + a0 = b k +1 + an−1b k + + a1b k + 2−n + a0b k +1−n = Suy b k +1 =−an−1b k − − a1b k + 2−n − a0b k +1−n Vì b k , , b k + 2− n , b k +1− n biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 (giả thiết quy nạp), nên b k +1 biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Vậy b k (k ∈ N ) biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Với x ∈ A [b ] , x = a0 + a1b + + ak b k ,(ai ∈ A) Vì 1, b, , b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A Vậy A[b ] A-module hữu hạn sinh 1.1.5 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b1 , , bn ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b1 , , bn nguyên A ii) A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b1 , , bn ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b1 , , bn nguyên A, ta chứng minh A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh quy nạp theo n Mệnh đề n = (hệ 1.1.4) Giả sử mệnh đề với n-1 Khi đó, A [b1 , , bn−1 ] A-module hữu hạn sinh Vì bn nguyên A nên bn nguyên A [b1 , , bn−1 ] Vì thế, theo hệ 1.1.4, ta có A [b1 , , bn −1 ][bn ] = A [b1 , , bn ] A [b1 , , bn−1 ] -module hữu hạn sinh Do vậy, A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh 1.1.6 Hệ Cho tháp miền nguyên A ⊂ B Nếu b1 , b2 ∈ B nguyên A b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên A Nói cách khác, tập hợp phần tử B nguyên A, AB= {b ∈ B / b nguyên A} vành B chứa A Chứng minh Vì b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 phần tử A [b1 , b2 ] A [b1 , b2 ] nguyên A (hệ 1.1.5) nên b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên A 1.1.7 Hệ Cho tháp miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C Vì c nguyên B nên có b0 , , bn −1 ∈ B cho c n + bn−1c n−1 + + b1c + b0 = Suy c nguyên A [b0 , , bn −1 ] Vì thế, theo hệ 1.1.4, A [b0 , , bn−1 , c ] A [b0 , , bn −1 ] -module hữu hạn sinh Mặt khác, b0 , , bn −1 nguyên A nên A [b0 , , bn −1 ] A-module hữu hạn sinh (hệ 1.1.5).Do đó, A [b0 , , bn−1 , c ] A-module hữu hạn sinh Vậy c nguyên A 1.2 Bao đóng nguyên 1.2.1 Định nghĩa Cho A, B miền nguyên A ⊂ B AB= {b ∈ B / b nguyên A} gọi bao đóng nguyên A B B gọi nguyên A AB = B A gọi đóng nguyên B AB = A 1.2.2 Nhận xét A ⊂ AB ⊂ B 10 1.2.3 Định nghĩa Cho A miền nguyên, Q( A) trường thương A Bao đóng nguyên A Q( A) gọi bao đóng nguyên A Miền nguyên A gọi đóng nguyên AQ ( A) = A 1.3 Vành Noether Trong phần này, ta giả sử R vành giao hoán 1.3.1 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dãy tăng ideal I1 ⊂ I ⊂ dãy dừng, nghĩa tồn số tự nhiên n cho = I n I= n +1 1.3.2 Định nghĩa Một vành R gọi vành Noether R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng 1.3.3 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa điều kiện tối đại tập hợp không rỗng gồm ideal R chứa phần tử tối đại 1.3.4 Mệnh đề Cho R vành Khi mệnh đề sau tương đương i )R vành Noether ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại iii) Mọi ideal R hữu hạn sinh Chứng minh (xem [11], định lý 7.1.1, trang 189-190) 1.3.5 Bổ đề i) P ideal nguyên tố vành R với ideal B, C R, BC ⊂ P B ⊂ P C ⊂ P ii) P ideal nguyên tố vành R P ⊃ B1 Bk ( Bi  R ) P ⊃ Bi , với i ∈ {1, 2, , k} 1.3.6 Mệnh đề Mọi ideal khác vành Noether R chứa tích hay nhiều ideal nguyên tố 11 Chứng minh Giả sử ngược lại Gọi S tập tất ideal khác R không chứa tích ideal nguyên tố Vì S ≠ ∅ R vành Noether nên S có phần tử tối đại A Do A ∈ S nên A không ideal nguyên tố Vì thế, tồn ideal B, C  R cho BC ⊂ A B ⊄ A C ⊄ A (bổ đề 1.3.5) Vì B ⊄ A nên A ⊆ A + B Tương tự, ta có A ⊆ A + C Mặt khác, tính tối đại A S nên A + B ∉ S A + C ∉ S Vì vậy, A + B ⊃ P1 Pk A + C ⊃ Q1 Qt với Pi , Q j ideal nguyên tố R Khi đó, A ⊃ ( A + B )( A + C ) ⊃ P1 Pk Q1 Qt , suy A ∉ S (điều mâu thuẫn với cách chọn A) Vậy giả sử sai Ta có điều phải chứng minh 1.3.7 Mệnh đề Cho R vành Noether, S tập nhân R Khi đó, vành a  thương S −1R=  / a ∈ R, s ∈ S  vành Noether s  Chứng minh Lấy J ideal S −1R Đặt I = f −1 ( J ) , với f : R → S −1R đồng cấu R-module xác định f (a ) = a , ∀a ∈ R Dễ thấy I ideal vành Noether R, I hữu hạn sinh Giả sử a1 , , an ∈ R phần tử sinh I Lấy a a s a a ∈ J Vì= ∈ J nên a ∈ f −1   ⊂ I Do đó, tồn phần tử s 1 s 1 n ti ∈ R (i = 1, n) cho a = ∑ ti Vì i =1 n n t a a a f= (a) f (∑ ti= = = ) ∑ i i s s s s i =i s = Suy J sinh hữu hạn phần tử a a1 , , n 1 Vậy S −1R vành Noether 1.4 Miền Dedekind 1.4.1 Định nghĩa Cho D miền nguyên D gọi miền Dedekind điều kiện sau đồng thời thỏa mãn 12 i)D vành Noether ii) Mọi ideal nguyên tố khác tối đại iii) D vành đóng nguyên 1.4.2 Ví dụ Ví dụ Miền ideal miền Dedekind, thật vậy: Trong miền ideal chính, ideal sinh phần tử nên hữu hạn sinh, miền ideal vành Noether Giả sử p ideal nguyên tố khác miền ideal X, có ideal q cho p ⊂ q ⊂ X Suy tồn a ∈ X cho p = aq , aq ∈ p kết hợp với p ideal nguyên tố suy a ∈ p q ∈ p điều tương đương a = bp (với b ∈ X ) q = cp (với c ∈ X ) Vậy p = q q = X , tức p tối đại Giả sử X miền ideal chính, Q(X) trường thương X Ta có X ⊂ X Q ( X ) , ngược lại lấy α ∈ X Q ( X ) , ta có α ∈ Q( X ) nên α = ( a, b ) = Vì α a , với a, b ∈ X b nguyên X nên tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ X cho n a a   + an −1   b b n −1 a + + a1   + a0 = b Suy a n + an −1a n −1b + + a1ab n −1 + a0b n = hay an = − an−1a n−1b − − a1ab n−1 − a0b n Vậy a n b mà ( a, b ) = nên b = 13 Do đó, α= a ∈ X Do đó, ta có X Q ( X ) ⊂ X Ví dụ Cho K trường cho Q ⊂ K ⊂ C , Q C trường số hữu tỷ trường số phức, [ K : Q ] = n Ta gọi OK vành số K nguyên Z, tức O= K {α ∈ K / α nguyên Z } Khi đó, OK miền Dedekind 1.4.3 Định nghĩa Cho D miền nguyên Q( D) trường thương D Tập A khác rỗng Q( D) gọi ideal phân D i) a + b ∈ A , với a, b ∈ A ii) ax ∈ A , với a ∈ A, x ∈ D iii) Tồn α ∈ D, α ≠ cho α A ⊂ D 1.4.4 Chú ý Để tránh nhầm lẫn ideal ideal phân D, ta gọi ideal D ideal nguyên 1.4.5 Mệnh đề (tính chất ideal phân) i)Nếu A ideal nguyên D A ideal phân D Ngược lại, A ideal phân D A ⊂ D A ideal nguyên D ii) Mỗi ideal phân A D viết dạng A = I α , với α ∈ D, I  D iii) Nếu D miền Noether ideal phân D D-hữu hạn sinh, tức tồn α1 , , α n ∈ A a1 , , an ∈ D cho x= a1α1 + + anα n , với x∈ A iv) Nếu A, B ideal phân D A+B, AB ideal phân D 1.4.6 Định nghĩa Cho D miền Dedekind, P ideal nguyên tố D Q(D) = trường thương D Ta định nghĩa P {α ∈ Q( D) / α P ⊂ D}  ideal phân D Khi đó, P 14 1.4.7 Bổ đề Cho D miền Dedekind P ideal nguyên tố D Khi đó,  ⊃ D P ≠D P  Suy P  ⊃ D Chứng minh Lấy a ∈ D Vì aP ⊂ D nên a ∈ P Lấy β ∈ P \ {0} , ta có ≠ β ⊂ P Theo mệnh đề 1.3.6, tồn P1 , , Pk ideal nguyên tố D cho P1 Pk ⊂ β ⊂ P Gọi k số tự nhiên bé để tồn ideal nguyên tố P1 , , Pk D thỏa P1 Pk ⊂ β ⊂ P Xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1:k=1 Do P1 ideal nguyên tố miền Dedekind D nên P1 ideal tối đại D P1 Vì P1 ⊂ β ⊂ P nên = = β P Đặt δ =  Hơn nữa, δ ∉ D (nếu δ ∈ D = δ ∈P Vậy δ= β β β 1 P = β D , tức Khi đó,= β β β ∈ P , vô lý) \D ∈P Trường hợp 2: k ≥ Vì P1 Pk ⊂ β ⊂ P P ideal nguyên tố nên tồn i để Pi ⊂ P Không tính tổng quát, giả sử P1 ⊂ P Suy P1 = P ( P1 ideal nguyên tố nên ideal tối đại) Do cách chọn k nên P2 Pk ⊄ β Chọn α ∈ P2 Pk \ β Khi đó, δ= α  ∈ P \ D Thật vậy, ta có β α 1 β = D ( Pα ) ⊂ P1 ( P2 Pk ) ⊂ P1 = β β β β Suy δ= α  α α α β ∈ β , điều mâu thuẫn với ∈ P Nếu ∈ D thì= β β β cách chọn α Vậy δ= α  ∈P\ D β 15  \ D Vì P  ≠ D Trong hai trường hợp, ta có phần tử δ ∈ P  ⊃ D P  ≠ D Tóm lại, ta có P 1.4.8 Bổ đề Cho D miền Dedekind P ideal nguyên tố khác D Khi đó,  P = D P  ideal phân D nên P  P ideal phân D Mặt khác, Chứng minh Vì P, P  nên P  P ⊂ D Vậy P  P  D α P ⊂ D, ∀α ∈ P  P Do tính tối đại P, ta có P  P = P  nên P ⊂ P Vì ∈ D ⊂ P  P = D P  , ta có  P = P Khi đó, P  đóng với phép nhân Thật vậy, lấy α , β ∈ P Giả sử P (αβ= ) P α ( β P ) ⊂ α P ⊂ P ⊂ D Do đó, αβ ∈ P Điều cho ta  miền P  ideal phân D nên D-hữu hạn nguyên Q(D) chứa D Mặt khác, P  D-module hữu hạn sinh Vì thế, P  nguyên D Tuy nhiên, ta sinh Do đó, P  = D , mâu thuẫn với bổ đề 1.4.7 lại có D đóng nguyên, P =D Vậy P.P 1.4.9 Mệnh đề Nếu D miền Dedekind ideal nguyên khác khác D D phân tích cách thành tích hữu hạn ideal nguyên tố Chứng minh Giả sử tồn ideal khác khác D D không phân tích thành tích ideal nguyên tố Gọi S tập ideal Vì S ≠ ∅ D vành Noether nên S có phần tử tối đại A Gọi k số tự nhiên bé để tồn k ideal gồm P1 , , Pk cho A ⊃ P1 Pk A ≠ P1 Pk Khi đó, tồn ideal tối đại P D cho P ⊃ A ⊃ P1 Pk Do P ideal nguyên tố nên tồn i để Pi ⊂ P , suy P= P ⊃ A Không tính tổng i  A  D Mặt khác, ta có  A ⊂ PP  = D Vì vậy, P quát, giả sử P1 ⊃ A Khi đó, P 1 1  A ⊃ A P  A ≠ A (nếu P  A = A thì=  A ⊃ P P , mâu thuẫn với cách chọn P A P 1 1 k 16  A ∉ S , tức tồn ideal Q , , Q cho P  A = Q Q Từ đây, k) Do đó, P 1 l 1 l suy = = A DA = P1 P PQ 1A 1 Ql , mâu thuẫn với A ∈ S Vậy giả sử sai Ta phân tích Giả = sử A P= Q1 Ql , với k ≤ l Pk Vì A ⊂ Q1 nên tồn i cho Pi ⊂ Q1 Không tính tổng quát, giả sử P1 ⊂ Q1  với hai vế đẳng thức Do tính tối đại P1 nên P1 = Q1 Nhân P P1 Pk = Q1 Ql , ta P = Q2 Ql ⊂ Q2 Lặp lại tương tự trên, ta có Pk = D Qk +1 Ql ⊂ Ql , vô lý Do k = l = P2 Q= Q3 , Nếu k < l sau k bước , P3 Pi= Qi (∀i= 1, k ) Vậy phân tích A Như vậy, ideal nguyên A miền Dedekind D ( A ≠ 0, A ≠ D ) phân tích cách A = P1k1 Pmkm , với Pi ideal nguyên tố D ki ≥ Đây gọi dạng phân tích tiêu chuẩn A Xét A ideal phân D Khi A = I α , với α ∈ D, I  D Ta có phân = P1l1 Pmlm (li ≥ 0) Vì α A = I nên = α tích I P1k1 Pmkm (ki ≥ 0) P1l1 Pmlm A = P1k1 Pmkm Khi đó,= quy ước A P1k1 −l1 Pmkm −lm , ki − li ∈ Z Định nghĩa hợp lý = Thật vậy, A ' ' I J = ( J= P1k1 Pmkm ) β = P1l Pml ) α ' β P1k1 −l1 Pmkm −lm= A= P1k1 −l1 Pmkm −lm ' ' ' ' Vì I α= = A, J β A nên β I = α J Suy P1l1 + k1 Pmlm + km= A= P1l1 + k1 Pmlm + km ' ' ' ' Do , li' + ki =li + ki' , tức ki − li = ki' − li' , ∀i = 1, m ' m 17 Vậy ideal ( ideal nguyên ideal phân ) A khác khác D D phân tích cách dạng A = P1k1 Pmkm , với ki số nguyên khác Pi ideal nguyên tố khác D 1.4.10 Định nghĩa Cho A ideal ( nguyên phân ) khác miền Dedekind D A = P1k1 Pmkm với ki ∈ Z \ {0} Cấp ideal A ứng với ideal nguyên tố P, viết ord P ( A) , định nghĩa ord P ( A) = ki P = Pi ord P ( A) = P ≠ Pi , ∀i =1, m Quy ước P = D , với P ideal nguyên tố D 1.4.11 Mệnh đề (Tính chất ord P ) Cho D miền Dedekind , P ideal nguyên tố, A, B ideal phân D α , β ∈ Q( D) Khi i )ord= ord P ( A) + ord P ( B ) P ( AB ) A B ord P ( A) ≥ ord P ( B ) , với P ideal nguyên tố D ii )ord P ( A + B ) = {ord P ( A), ord P ( B )} iii )ord= ord P (α ) + ord P ( β ) , ord P (α ) = ord P ( α ) P (αβ ) iv)ord P (α + β ) ≥ {ord P (α ), ord P ( β )} {ord P (α ), ord P ( β )} v) Nếu ord P (α ) ≠ ord P ( β ) ord P (α + β ) = Chứng minh i)Hiển nhiên ( A B )C −1 = AC −1 + BC −1 ii) Đặc C = A + B Ta có D =+ Do A ⊂ C nên AC −1 ⊂ C Vậy AC −1  D Tương tự, ta có BC −1  D Mặt khác , P ideal nguyên tố cho P AC −1 P BC −1 P AC −1 + BC −1 , vô lý Do đó, P không đồng thời có mặt phân tích AC −1 BC −1 Suy 18 {ord P ( AC −1 ), ord P ( BC −1 )}= 0= ord P ( D)= ord P (( A + B )C −1 ) Do ord P (C ) + {ord P ( AC −1 ), ord P ( BC −1 )} = ord P (C ) + ord P (( A + B )C −1 ) {ord P ( A), ord P ( B )} Vì ord P ( A + B ) = iii) Ta có ord= ord P ( α= β ) ord P (α ) + ord P ( β ) P (αβ ) β ) ord P ( α + β ) α + β ⊂ α + β nên iv) Vì ord P (α += ord P (α + β ) ≥ ord P ( α + β ) = {ord P (α ), ord P ( β )} v) Không tính tổng quá, giả sử ord P (α ) > ord P ( β ) Khi ord P ( β ) ord P (α + β ) ≥ {ord P (α ), ord P ( β )} =  )} ord P (α + β ) ord P ( β ) ≥ {ord P (α + β ), ord P (−α= β ) ord P= ( β ) {ord P (α ), ord P ( β )} Vậy ord P (α += 1.4.12 Mệnh đề Cho A ideal phân miền Dedekind D, giả sử có phân tích = A P1k1 Pmkm , ki ∈ Z Khi i ) A−1 = P1− k1 Pm− km ii) A ideal nguyên D ord P ( A) ≥ với P ideal nguyên tố iii) A = D ord P ( A) = với P ideal nguyên tố iv) Nếu AB = AC B = C ( A, B, C ideal ( nguyên phân) D ) [...]... vành Noether 1.4 Miền Dedekind 1.4.1 Định nghĩa Cho D là miền nguyên D được gọi là miền Dedekind nếu các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn 12 i)D là vành Noether ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại iii) D là vành đóng nguyên 1.4.2 Ví dụ Ví dụ 1 Miền các ideal chính là miền Dedekind, thật vậy: Trong miền các ideal chính, mọi ideal đều sinh bởi một phần tử nên hữu hạn sinh, do đó miền các ideal... nguyên trên A (hệ quả 1.1.5) nên b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên trên A 1.1.7 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B thì C nguyên trên A Chứng minh Lấy c ∈ C Vì c nguyên trên B nên có b0 , , bn −1 ∈ B sao cho c n + bn−1c n−1 + + b1c + b0 = 0 Suy ra c nguyên trên A [b0 , , bn −1 ] Vì thế, theo hệ quả 1.1.4, A [b0 , , bn−1 , c ] là A [b0 , , bn −1 ] -module. .. hữu hạn sinh Mặt khác, vì b0 , , bn −1 nguyên trên A nên A [b0 , , bn −1 ] là A -module hữu hạn sinh (hệ quả 1.1.5) .Do đó, A [b0 , , bn−1 , c ] là A -module hữu hạn sinh Vậy c nguyên trên A 1.2 Bao đóng nguyên 1.2.1 Định nghĩa Cho A, B là những miền nguyên và A ⊂ B AB= {b ∈ B / b nguyên trên A} được gọi là bao đóng nguyên của A trong B B được gọi là nguyên trên A nếu AB = B A được gọi là đóng nguyên trong...9 có A [b1 , , bn −1 ][bn ] = A [b1 , , bn ] là A [b1 , , bn−1 ] -module hữu hạn sinh Do vậy, A [b1 , , bn ] là A -module hữu hạn sinh 1.1.6 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên A ⊂ B Nếu b1 , b2 ∈ B nguyên trên A thì b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 cũng nguyên trên A Nói cách khác, tập hợp các phần tử của B nguyên trên A, AB= {b ∈ B / b nguyên trên A} là một vành con của B chứa A Chứng minh Vì b1 + b2 , b1 −... D do α P ⊂ D, ∀α ∈ P  P Do tính tối đại của P, ta có P  P = P hoặc  nên P ⊂ P Vì 1 ∈ D ⊂ P  P = D P  , ta có  P = P Khi đó, P  đóng với phép nhân Thật vậy, lấy α , β ∈ P Giả sử P (αβ= ) P α ( β P ) ⊂ α P ⊂ P ⊂ D Do đó, αβ ∈ P Điều này cho ta  là một miền P  là ideal phân của D nên là D-hữu hạn nguyên con của Q(D) chứa D Mặt khác, vì P  là D -module hữu hạn sinh Vì thế, P  nguyên trên. .. trường sao cho Q ⊂ K ⊂ C , trong đó Q và C lần lượt là trường các số hữu tỷ và trường các số phức, [ K : Q ] = n Ta gọi OK là vành các số của K nguyên trên Z, tức là O= K {α ∈ K / α nguyên trên Z } Khi đó, OK là miền Dedekind 1.4.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên và Q( D) là trường các thương của D Tập con A khác rỗng của Q( D) được gọi là ideal phân của D nếu i) a + b ∈ A , với mọi a, b ∈ A ii) ax... k) Do đó, P 1 1 l 1 1 l suy ra = = A DA = P1 P PQ 1A 1 1 Ql , mâu thuẫn với A ∈ S Vậy giả sử trên là sai Ta chỉ ra sự phân tích trên là duy nhất Giả = sử A P= Q1 Ql , với k ≤ l 1 Pk Vì A ⊂ Q1 nên tồn tại i sao cho Pi ⊂ Q1 Không mất tính tổng quát, giả sử P1 ⊂ Q1  với cả hai vế của đẳng thức Do tính tối đại của P1 nên P1 = Q1 Nhân P 1 P1 Pk = Q1 Ql , ta được P = Q2 Ql ⊂ Q2 Lặp lại tương tự như... tính tối đại của P1 nên P1 = Q1 Nhân P 1 P1 Pk = Q1 Ql , ta được P = Q2 Ql ⊂ Q2 Lặp lại tương tự như trên, ta có 2 Pk = D Qk +1 Ql ⊂ Ql , vô lý Do đó k = l = P2 Q= Q3 , Nếu k < l thì sau k bước 2 , P3 và Pi= Qi (∀i= 1, k ) Vậy sự phân tích của A là duy nhất Như vậy, mọi ideal nguyên A của miền Dedekind D ( A ≠ 0, A ≠ D ) được phân tích một cách duy nhất A = P1k1 Pmkm , với Pi là các ideal nguyên... −1 + BC −1 ii) Đặc C = A + B Ta có D =+ Do A ⊂ C nên AC −1 ⊂ C Vậy AC −1  D Tương tự, ta cũng có BC −1  D Mặt khác , nếu P là một ideal nguyên tố sao cho P AC −1 và P BC −1 thì P AC −1 + BC −1 , vô lý Do đó, P không đồng thời có mặt trong sự phân tích của AC −1 và BC −1 Suy ra 18 min {ord P ( AC −1 ), ord P ( BC −1 )}= 0= ord P ( D)= ord P (( A + B )C −1 ) Do đó ord P (C ) + min {ord P ( AC −1... phân A của D đều viết được dưới dạng A = I α , với α ∈ D, I  D iii) Nếu D là miền Noether thì mọi ideal phân của D đều là D-hữu hạn sinh, tức là tồn tại α1 , , α n ∈ A và a1 , , an ∈ D sao cho x= a1α1 + + anα n , với mọi x∈ A iv) Nếu A, B là ideal phân của D thì A+B, AB cũng là ideal phân của D 1.4.6 Định nghĩa Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D và Q(D) là = trường các thương của D