Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P7 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, AB = a; BC = a Cạnh SA vuông góc với đáy Gọi H hình chiếu vuông góc A lên SB, K trung điểm SC Tính thể tích khối chóp AHKBC biết a) ( SB; ABC ) = 600 b) d ( A; SBC ) = a Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt đáy trọng tâm tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh SD cho SM = a MD; O tâm đáy Biết khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC) Tính a) thể tích khối chóp S.ABCD b) thể tích khối chóp AMCD c) thể tích khối chóp SABM Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a góc hợp đường thẳng AN mặt phẳng (ABCD) 300 Lời giải: +) Trong (SAC) kẻ AG cắt SC M, (SBD) kẻ BG cắt SD N +) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên dễ có S SG = suy G trọng tâm tam giác SBD SO Từ suy M, N trung điểm N SC, SD 1 +) Dễ có: VS ABD = VS BCD = VS ABCD = V 2 D A Theo công thức tỷ số thể tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 = = 1.1 = ⇒ VS ABN = V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 = = = ⇒ VS ABN = V VS BCD SB SC SD 2 M G O B C Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Từ suy ra: VS ABMN = VS ABN + VS BMN = V +) Ta có: V = SA.dt ( ABCD) ; mà theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) nên góc hợp AN với mp(ABCD) góc NAD , lại có N trung điểm SC nên tam giác NAD cân N, suy NAD = NDA = 300 Suy ra: AD = SA =a tan 300 1 3 Từ ta có V = SA.S ABCD = a.a.a = a 3 3 5 3a Thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS ABCD − VS ABMN = V − V = V = 8 24 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với BAD = 1200 , BD = a > Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (α) qua BD vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (α) tạo cắt hình chóp Hướng dẫn giải: Gọi V, V1 V2 thể tích hình chóp S.ABCD, K.BCD phần lại hình chóp S.ABCD V S ABCD SA SA Ta có = = = 13 V1 S BCD HK HK V V1 + V2 V V Suy = = + = 13 ⇔ = 12 V1 V1 V1 V1 Ví dụ 5*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải: Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P trọng tâm ∆SCM, Q trung điểm MB VMDPQ MD MP MQ 1 • = = = ⇒ VDPQCNB = VMCNB VMCNB MC MN MB 6 • Vì D trung điểm MC nên d ( M , (CNB )) = 2d( D, (CNB )) ⇒ VMCNB = 2VDCNB = VDCSB = VS ABCD V 7 ⇒ VDPQCNB = VS ABCD ⇒ VSABNPQ = VS ABCD ⇒ SABNPQ = 12 12 VDPQCNB Ví dụ 6*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, cạnh a, ABC = 600 , chiều cao SO hình chóp a , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M trung điểm AD, mặt phẳng (P) chứa BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp K.BCDM Hướng dẫn giải: Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N trọng tâm ∆ABD Kẻ NK // SA (K ∈ SC) Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD) Vậy VK BCDM = KI S BCDM Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒ KI CK = (1), SO CS ∆KNC ~ ∆SAC ⇒ Facebook: Lyhung95 CK CN = CS CA (2) CO + CO 2 a 3 = ⇒ KI = SO = 2CO 3 a 3 Ta có: ∆ADC ⇒ CM ⊥ AD CM = ⇒ S BCDM = ( DM + BC ).CM = a 2 a3 ⇒ VK BCDM = KI S BCDM = Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình KI CN CO + ON = = = Từ (1) (2) ⇒ SO CA 2CO chóp Cho AB = a; SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích hình chóp OAHK Lời giải:  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH Ta có:   BC ⊥ SA Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự ta chứng minh AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AHK ) Gọi M = SO ∩ HK , I = AM ∩ SC Vì SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI Mà AC = SA = a ⇒ I trung điễm SA d ( O, ( AHK ) ) = 1 d ( C , ( AHK ) ) = d ( S , ( AHK ) ) 2 ⇒ VOAHK = VSAHK Ta có: SH SA2 SH SK = =2⇒ = , tương tự ta có = HB AB SB SD VSAHK SA SH SK 2 4 1 = = = ⇒ VSAHK = VSABD = VSABCD ⇒ VOAHK = VSAHK = VSABCD VSABD SA SB SD 3 9 9 1 a3 a3 Mà VSABCD = SA.S ABCD = a 2.a.a = ⇒ VOAHK = 3 27 Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 SA2 SM SB SM 4a SM Ta có: = = ⇒ = BM AB BM SB BM a ⇒ SM SM SN =4⇒ = Tương tự = BM SB SC Ta có: VSAMN SA SM SN 4 16 = = = VSABC SA SB SC 5 25 VSAMN = 16 VSABC ⇒ VABCMN = VSABC − VSAMN 25 = VSABC − 16 VSABC = VSABC 25 25 Mà VSABC 1 a2 a3 = SA.S ABC = 2a = 3 ⇒ VSBCMN = 3a VSABC = 25 50 Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Lời giải: Ta có: ( SB, ( ABCD ) ) = SBA = 600 tan SBA = Mà AM = SA ⇒ SA = AB.tan SBA = a AB a ⇒ SM = SA Vì MN / / BC / / AD ⇒ SN SM = = SD SA Ta có: VSBCNM = VSABM + VSMNC VSABM SM 2 = = ⇒ VSABM = VSABC = VSABCD VSABC SA 3 VSMNC SM SN SC 2 4 = = = ⇒ VSMNC = VSACD = VSABCD VSACD SA SD SC 3 9 ⇒ VSBCNM = VSABM + VSMNC = VSABCD + VSABCD = VSABCD 9 1 2a 3 10a 3 Mà VSABCD = SA.S ABCD = a 3.a.2a = ⇒ VSBCNM = VSABCD = 3 27 Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B; SA = a vuông góc với (ABC) Biết AB = BC = a Kẻ AH ⊥ SB AK ⊥ SC Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABC tam giác vuông b) Tính thể tích khối chóp S.ABC c) Chứng minh SC ⊥ (AHK) d) Tính VS.AHK Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ AB, SA ⊥ AC ⇒ ∆SAB, ∆SAC tam giác vuông A  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB Ta có :   BC ⊥ SA ⇒ ∆SBC tam giác vuông B b) Ta có : VSABC 1 a3 = SA.S ABC = a 3.a.a = 3 c) Ta có : BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC Mà SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK ) d) AC = Ta có: AB + BC = a + a = a SA2 SH SB SH SH 3a SH = = ⇒ = =3⇒ = BH SB BH BH SB AB a SA2 SK SC SK SK 3a SK = = ⇒ = = ⇒ = CK SC CK CK 2a SC AC Ta có: VSAHK SA SH SK 3 9 a 3 3a 3 = = = ⇒ VSAHK = VSABC = = VSABC SA SB SC 20 20 20 20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: • CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá nên tham khảo) Bài 1: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạch AB = a, cạch bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 Gọi D giao điểm SA với mp (α) qua BC vuông góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC Đ/s: a) V1 = ; V2 b) V = 5a 3 96 Bài 2: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạch a, SA = 2a SA vuông góc (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính VA.BCNM Đ/s: V = 3a 3 50 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B '; C '; D ' Biết AB = a; SB ' = SB a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C ' D ' S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S A ' B ' C ' D ' Đ/s: a) V1 = ; V2 b) V = a3 18 Bài 4: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B’ D’ trung điểm AB AD (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Đ/s: V1 = V2 Bài 5: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình vuông tâm O cạch a, có mặt bên tạo với đáy góc 600 a) Tính thể tích tứ giác S.ABCD tính khoảng cách từ từ O đến (SCD) b) M trung điểm cạnh SB, mặt phẳng (α) qua CD trung điểm M SB chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Đ/s: V = a3 a V1 , d= , = V2 Bài 6: [ĐVH] Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF tỉ số thể tích CDEF DABC Đ/s: VCDEF a VCDEF = , = 36 VD ABC Bài 7: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD có cạnh a Lấy điểm B '; C ' AB AC cho a 2a AB = ; AC ' = Tính thể tích tứ diên AB ' C ' D a3 Đ/s: V = 36 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!