Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA – P4 (Tham khảo) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CĐ, CT VÀ ỨNG DỤNG Phương pháp tìm pt đường thẳng qua CĐ, CT hàm bậc 3: Thực phép chia đa thức y cho y ' ta y = y '.h( x) + r ( x) r(x) phần dư phép chia Khi y = r(x) gọi phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy tọa độ điêm cực đại, cực tiểu, toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại cực tiểu Ứng dụng đường thẳng qua CĐ, CT: +) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu +) Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử đường thẳng viết có dạng ∆ : y = ax + b Ta có số trường hợp thường gặp a = A ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B  b ≠ B ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B a A = −1 ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B góc φ cos φ = nd n∆ nd n∆ = aA + bB a + b A2 + B Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn cực đại, cực tiểu ta giá trị cần tìm tham số m x3 − mx + (5m − 4) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng Ví dụ 1: [Video] Cho hàm số y = d : x + y + = Ví dụ 2: [Video] Cho hàm số y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : x + y + = Ví dụ 3: [Video] Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + y − = góc 450 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số: y = − x3 + 3mx + (1 − m2 ) x + m3 − m2 Xác định m để hàm số cho có cực đại, cực tiểu A, B cho ∆OAB vuông O Lời giải: Ta có: y ' = −3x + 6mx + (1 − m ) , y ' = ↔ − x + 2mx + (1 − m2 ) = ( ∗) 2 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Nhận xét: ∆ (∗) = > 0, ∀m Vậy hàm số cho có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực đại, '  x1 + x2 = 2m cực tiểu thỏa mãn:   x1 x2 = m − m 1 Thực phép chia cho y ' ta được: y = y '  x −  + x − m + m 3 3 Vậy đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu có dạng: y = x − m2 + m Vậy tọa độ điểm cực đại, cực tiểu là: A ( x1 ; y1 ) = ( x1 ;2 x1 − m + m ) ; B ( x2 ; y ) = ( x2 ;2 x2 − m2 + m ) Để điểm cực đại, cực tiểu A, B tạo với O tam giác vuông O thì: OA.OB = ⇔ x1 x2 + ( x1 − m + m )( x2 − m2 + m ) = ⇔ x1 x2 − 2m ( x1 + x2 ) + 2m ( x1 + x2 ) + m − 2m3 = ⇔ m − 6m3 + 9m − =  1± m = ⇔ ( m − 5m + )( m − m − 1) = ⇔   5± m =  1 ± 5 ±  ; Vậ y m ∈   giá trị cần tìm   Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx − x + m + Chứng minh với m hàm số cho có cực đại, cực tiểu Xác định m cho khoảng cách điểm cực đại, cực tiểu nhỏ Lời giải: Đạo hàm y ' = x − 2mx − 1, y ' = ⇔ x − 2mx − = Ta có: ∆ ' = m + > 0, ∀m ⇒ Hàm số cho có cực đại, cực tiểu với m hoành độ điểm  x1 + x2 = 2m cực đại, cực tiểu thỏa mãn:   x1 x2 = −1 m 2 1 Thực phép chia cho y ' ta được: y = y '  x −  − ( m + 1) x + m + 3 3 3 2 Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu có dạng: y = − ( m + 1) x + m + 3 2 2     Vậy tọa độ điểm cực đại, cực tiểu là: A  x1 ; − ( m + 1) x1 + m + 1 ; B  x2 ; − ( m + 1) x2 + m + 1 3 3     Do đó, khoảng cách điểm cực đại, cực tiểu là: 2 2 2  2   AB = ( x1 − x2 ) +  ( m + 1) ( x1 − x2 )  = ( x1 − x2 ) 1 + ( m + 1)  = ( 4m + ) 1 + ( m + 1)  3        Đặt: t = m + ≥ ⇒ AB = 4t 1 + t  = ( 4t + 9t ) Để AB nhỏ ⇔ ( 4t + 9t ) nhỏ   Xét hàm f ( t ) = 4t + 9t D = [1; +∞ ) → y ' = 12t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số đồng biến D Suy f ( t ) ≥ f (1) = 13 Vậy ABMin = Vậy m = giá trị cần tìm 13 ⇔ t =1↔ m = Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx − 3mx + Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + góc 450 Lời giải: Đạo hàm: y ' = x − 2mx − 3m, y ' = ⇔ x − 2mx − 3m = ( ∗) 2 Để hàm số có cực đại cực tiểu phương trình ( ∗) có nghiệm phân biệt: m > ⇔ ∆ ' = m2 + 3m > ⇔  ( • ) Với điều kiện hàm số có cực đại cực tiểu  m < −3   m2  1 Thực phép chia cho y ' ta được: y = y '  x − m  −  m + x + + m2     3 m2   Vậy đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có dạng: y = −2  m + x + + m2    m   Đặt: k = −2  m + → y = kx + + m ( ∆ )    Để ( ∆ ) tạo với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + góc 45o :  k= 2  ⇔ cos ( ∆ ) ; ( d )  = cos 45 = = ⇔ ( k + 1) = ( k − ) ⇔ 3k + 8k − = ⇔  k +  k = −3 o k −2 (**Cách khác: Sử dụng CT : tan ( ∆ ) ; ( d )  = a1b2 − a2b1 ) a1a2 + b1b2  −3 ± m2   = → − + = ⇔ m + 6m + = ⇔ m = k m (l )    3    Kết hợp với điều kiện ( • ) ↔  −3 ± 3  k = −3 ⇔ 2m + 6m − = ⇔ m = (TM )  Vậy m = −3 ± 3 thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 + 3m x + (với m tham số thực) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho a) đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : x + y + = b) AB = 5, với A, B tọa độ điểm cực trị c) xCÑ + xCT = Hướng dẫn: PT đường thẳng qua CĐ, CT y = 2m x + 1, Đ/s: a) m = ± b) m = ±1 (∆) c) m = −2 Lời giải Ta xét hàm: y = − x3 + 3m x + , y ' = −3 x + 6m x; y '' = −6 x + 6m Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = ⇒ y =1 y' = ⇔   x = 2m ⇒ y = 4m + Để hàm số có cực đại cực tiểu 2m ≠ hay m ≠ y '' ( ) = 6m > ⇒ điểm cực tiểu A ( 0;1) ; y '' ( 2m2 ) = −6m < ⇒ điểm cực đại B ( 2m ; 4m6 + 1) a) Để AB vuông góc với d AB.ud = ⇔ ( 2m ; 4m6 ) (1; −2 ) = ⇔ 2m − 8m6 = ⇔ m = ± b) AB = ⇔ ( 2m ) + ( 4m ) 2 = ⇔ 4m + 16m12 = 20 ⇔ ( m − 1)( 4m8 + 4m + ) = ⇔ m = ±1 c) x 2CD + 2cCT = ⇔ 4m = ⇔ m = ± Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + (với m tham số thực) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Lời giải x = Ta có y = x3 − 3mx + , y ' = x − 6mx Cho y ' = ⇔   x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu y ' = có hai nghiệm phân biệt, tức m ≠ Ta có y = ( x − m ) y '+ 2m2 x + ⇒ phương trình qua cực trị y = 2m2 x + Tại x = ⇒ y = , y = ⇒ x = − m2 1 Nên diện tích tam giác tạo với trục S = 2 = ⇔ m = ± m Vậy m = ± giá trị cần tìm Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + (với m tham số thực) Tìm m để hàm số có đạt cực trị A, B cho AMB = 900 với M (−2; 2) Lời giải Ta có y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + , y ' = x − 6mx + ( m2 − 1)  x = m − ⇒ y = −3m + Cho y ' = ⇔   x = m + ⇒ y = −3m − Từ ta tìm điểm cực trị A ( m − 1; −3m + 3) B ( m + 1; −3m − 1) Trung điểm AB I ( m; −3m + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Để AMB = 900 IM = AB ⇔ ( m + ) + ( 3m + 1) 2 = Facebook: LyHung95 m = ⇔ 10m + 10m = ⇔   m = −1 Vậy m = m = −1 giá trị cần tìm Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3x + (m − 6) x + m − (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm A(1; −4) đến đường thẳng 12 qua hai điểm cực trị 265 Lời giải Ta có: y′ = x − x + m − Hàm số có điểm cực trị ⇔ PT y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 32 − 3(m − 6) > ⇔ m < (*) 2  Ta có: y = ( x − 1).y′ +  m −  x + m − 3 3  2  ⇒ PT đường thẳng qua điểm cực trị ∆: y =  m −  x + m − 3  m = 6m − 18 12 ⇒ d ( A, ∆) = = ⇔  1053 (thoả (*)) m=  265 4m − 72m + 333 249  Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!