Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian TÂM BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình ch nh t AB  a , BC  a 3, SA  a SA vuông góc v i m t đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : CB  AB Ta có   CB  ( SAB)  CB  SB hay CBS  900 CB  SA Ch ng minh t ng t ta đ c CDS  900 M t khác SA  ( ABCD)  SA  AC hay CAS  900 Nh v y CBS  CDS  CAS  90 Ngh a m B, D, A nhìn CS d I A i góc vuông D Do m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I trung m c a SC có bán kính : SC SA2  AC SA2  AB2  BC R   2  B C 5a  a  3a 3a 3a  V y R 2 Bài Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng  vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i A l y m S M t ph ng qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t t i B1 , C1 , D1 1) Ch ng minh r ng m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t m t c u Tính di n tích c a m t c u th tích c a kh i c u 2) Xác đ nh v trí c a S  cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t Tính th tích Gi i : G i O giao m c a AC BD S CB  AB  CB  ( SAB)  CB  AB1 1) Ta có  CB  SA C1 Mà AB1  SC , suy AB1  (SCB)  AB1  BC Ch ng minh t ng t ta c ng đ D1 B1 c AD1  D1C  AC1C  AD1C  ADC  ABC  900 Khi ta có : ABC Suy m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t c u H tâm O ( O trung m c a AC ) có bán kính B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! D A T ng đài t v n: 1900 69-33 O C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian  Smc  4 R2  2 a AC a   R   a3 2 Vkc   R  3  2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H  AC ( H  AC ), C1H // SA, suy C1H  ( ABCD) a2 V y VABCDC1  VC1 ABCDC  C1H SABCD  C1H 3 Trong tam giác vuông HC1O có C1H  C1O , suy C1H l n nh t H  O hay C1H  C1O  R  a 2 Lúc C1H đ Khi VABCDC1  ng trung bình tam giác SAC , suy SA  2C1H  a a2 a a3  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD n a l c giác đ u AB  BC  CD  a , AD  2a C nh bên SA  2a SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : Cách : G i O trung m c a AD , O tâm c a n a l c giác đ u ABCD Suy ABD vuông t i B I  DB  AB Khi   DB  ( SAB)  DB  SB hay SBD  90  DB  SA Ch ng minh t ng t ta đ c SCD  900 Nh v y SBD  SCD  SAD  900 Ngh a B, C , A nhìn SD d i góc vuông O A Do tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD trung m I c a SD Khi m t c u có bán kính : B SD SA2  AD 12a  4a R    2a 2 Cách : D C +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD , :  IA  IB  IC  ID (1) IA  IB  IC  ID  IS hay   IA  IS (2) +) G i O trung m c a AD , ABCD n a l c giác đ u nên ta có OA  OB  OC  OD  a hay O tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD D ng d qua O vuông góc ( ABCD) , d tr c c ađ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian T (1) suy I  d (*) S +) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ ng trung tr c  c a SA Khi đó, t (2) suy I   (2*) d K I A +) T (*) (2*), suy d D O   I  Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO  KA   a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R  IA  OA2  IO2  a  3a  2a C B Bài Cho tam giác ABC vuông cân t i A BC  a T B C d ng đo n BD, CE vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) v m t phía c a ( ABC ) cho BD  CE  a Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình chóp ABCED th tích c a kh i c u Gi i : D E G i I giao m c a DC BE CA  AB  CA  ( ABD)  CA  AD hay CAD  900 Ta có  CA  BD I Khi CED  CBD  CAD  900 , ngh a m E, B, A nhìn CD d i góc vuông, m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp B C ABCED có tâm I trung m c a DC bán kính : R DC DB2  BC a  2a a    2 2 A a Suy S( S )  4 R2  3 a V( S )   R3  3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD t giác có S AB  a , BC  a 3, CD  a 2, DA  a 2, AC  2a C nh bên SA vuông góc v i đáy SA  2a Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD  IA  IB  IC  ID (1) IA  IB  IC  ID  IS hay   IA  IS (2) d K I A B D O +) Ta có C Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian 2 2 2   AB  BC  a  3a  4a  AC  ABC  ADC  900  2 2 2   AD  DC  2a  2a  4a  AC Khi trung m O c a AC tâm c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD) Suy d tr c c a t giác ABCD d / / SA T (1), suy I  d (*) +) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA d , ta d ng đ ng th ng trung tr c  c a SA T (2), suy I   (2*) T (*) (2*), suy d   I  +) Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO  KA   a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R  IA  OA2  IO2  a  3a  2a Chú ý : toán ta có th ch B, D, A nhìn SC d i m t góc vuông, suy tâm I trung SC  2a Bài Cho hình l ng tr đ ng ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông t i A AC  a , m c a SC bán kính R  ACB  600 ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 1) Tính th tích kh i l ng tr 2) Xác đ nh tâm bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr Gi i :  BA  AC Ta có   BA  ( AA' C ' C )   BC ', ( AA' C ' C )   AC ' B  300  BA  AA' Ta có AB  AC tan 600  a  SABC  A' C' O2 a2 1 AB AC  a 3.a  2 300 Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có : B' AC '  AB.cot 30  a 3  3a I Khi CC '  AC '2  AC  9a  a  2a a2 1) Suy VABC A' B'C '  CC '.SABC  2a  a3 2) G i O1 , O2 l n l t trung m c a BC, B ' C ' Do ABC A' B ' C ' tam vuông l n l a A t t i A B nên O1 , O2 l n l 600 O1 t tâm B đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC A' B ' C ' Khi O1O2 tr c c a hai đáy Suy tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr trung m c a O1O2 Th t v y :  IA  IB  IC Do I  O1O2   (*)  IA'  IB '  IC ' M t khác : I trung m c a O1O2 nên IC  IC ' (2*) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian T (*) (2*), suy I tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A' B ' C ' BB ' CC '2  BC CC '2  AB2  AC 8a  3a  a    a Khi bán kính R  IB  2 2 Bài Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) ( DBC ) vuông góc v i Bi t BC  a , BAC  600 BDC  300 Tính bán kính th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD Gi i : *) D ng tâm A d1 G i O1 , O2 l n l t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC G i E trung m c a BC Ta có O1E  BC  O1E  ( ABC ) (do ( DBC )  ( ABC) ) T d2 O2 ng t ta có O2 E  ( BCD) Qua O1 d ng đ B D ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD) O1 E d1 tr c c a tam giác BCD d1 // O2 E Qua O2 d ng đ I ng th ng d vuông góc v i ( ABC ) C d tr c c a tam giác ABC d // O1 E Khi giao m I c a d1 d tâm c a m t c u ngo i ti p t n ABCD Th t v y :  I  d1  IB  IC  ID  IA  IB  IC  ID , suy I tâm c a m t c u c n xác đ nh   I  d  IA  IB  IC *) Tính bán kính R c a m t c u Ta có EO1IO2 hình ch nh t, suy IE  O1E  O2 E G i R1 , R2 l n l t bán kính c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC , đó:   BC  2 2 O1 E  O1C  EC  R1    2 BC BC    2 2 2 2  IE  R1  R2   R  IC  IE  EC  R1  R2   2 BC    2 2     O E O C EC R 2       Áp d ng đ nh lý sin tam giác BCD ABC ta có : BC a  2 R1  sin BDC  sin 300  2a  R1  a a a 13a a 39 2 R a     R  12 2 R  BC  a  2a  R  a 2  3 sin BAC sin 60 4  a 39  13 a 39 Khi th tích c a kh i c u : V   R3      3   54 Bài Cho hình chóp đ u S ABC có đ ngo i ti p hình chóp cho ng cao SH  h , SAB  450 Xác đ nh tâm bán kính m t c u Gi i : Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian S +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD IA  IB  IC  ID  IS hay  IA  IB  IC  ID (1)   IA  IS (2) M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH  ( ABCD) I 450 B Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I  SH (*) +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  trung tr c c a SA T (2), suy I   (2*) T (*) (2*), suy SH A H C D   I  +) G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2   SI    2SH 2SH SA SH SH Tam giác SAB cân t i S có SAB  450 , suy SAB vuông cân t i S t SA  x , : AB  x HA AB x  3 Trong tam giác vuông SHA có : x2 3h2 3h 2 SA  HA  SH  x   h  x  3h  R   2h 3h V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R  2 2 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi m t vuông góc G i G tr ng tâm c a tam giác ABC I tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC GI 1) Nêu cách d ng tâm I 2) Ch ng minh ba m S,G,I th ng hàng tính t s GS Gi i A 1) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC c n d ng IS  IB  IC (1) IS  IA  IB  IC   (2) IS  IA d M G i O trung m c a BC Do tam giác SBC vuông t i S nên O tâm đ ng tròn ngo i ti p SBC T O d ng đ ng th ng d cho d  (SBC) I G S Suy d tr c c a tam giác SBC d / /SA (do SA  (SBC)) T (1), suy I  d (*) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! C O B T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng (d,SA) d ng đ Chuyên đ : Hình h c không gian ng trung tr c  c a SA Khi đó, t (2)  I   (2*)   I  T (*) (2*), suy d 2) M t khác SOIM hình ch nh t (v i M trung m c a AS ), IO  MS  IO AS   AS 2 Trong m t ph ng (d , SA) , g i AO SI  G ' Áp d ng đ nh lý Ta – lét ta có: G ' O G ' I IO     G ' O  2G ' A  G ' tr ng tâm tam giác ABC  G '  G G ' A G ' S AS GI G ' I GI V y ba m S, G, I th ng hàng ta có   hay  GS G ' S GS Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a C nh bên SA vuông góc v i m t đáy ABCD SA  a G i E trung m c a CD Tính di n tích m t c u qua b n m S, A, B, E Gi i:  G i I tâm c a m t c u qua b n m S, A, B, E S   IA  IB  IE (1) Khi đó: IS  IA  IB  IE   (2)  IS  IA G i F trung m c a AB O tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB Do EAB cân t i E nên O  EF D ng đ ng th ng d qua O vuông góc ( EAB) Suy d tr c c a tam giác EAB Theo (1)  I  d (*) Ta có d / / SA (do SA  ( ABCD)  ( EAB) ) A  Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ d K I D F E O B ng th ng C trung tr c  c a SA Theo (2)  I  (2*)  T (*) (2*), suy d   I  Ta có AB  a , AE  BE  abc a Áp d ng công th c R  , ta có: 4S AB AE.BE  OA  4SABE a a a 2  5a a AKIO hình ch nh t (v i K trung m c a SA) nên IO  KA  SA a  2 a 25a a 41  R  OA  IO  AO    64 2 41 a Suy di n tích m t c u c n tính là: Smc  4 R  16 Giáo viên Ngu n Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | -