BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T 3T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU T T MỞ ĐẦU T 3T Chương - NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT 3T T 1.1 Sơ lược không gian phân thớ T 3T 3T T 1.1.1 Ví dụ mở đầu T 3T 3T 3T 1.1.2 Không gian phân thớ 10 T 3T 3T T 1.1.3 Đồng cấu đẳng cấu phân thớ; phạm trù phân thớ 11 T 3T 3T T 1.2 Đa tạp phức Stiefel đa tạp phức Grassman 12 T 3T 3T T 1.3 Phạm trù T 3T 3T 3T Bund 13 1.4 Xây dựng phép toán phân thớ vec-tơ 16 T 3T 3T T 1.5 Các hàm tử liên tục phép toán Bund (B) 18 T 3T 3T T 1.6 Nửa vành Vect (B) 23 T 3T 3T 3T 1.7 Nhóm thứ T 3T 3T 3T K - lý thuyết tôpô, K ( X ) 26 T T 1.7.1 Định lý phân loại 26 T 3T 3T T 1.7.2 Hàm tử K ( X ) 27 T 3T 3T 3T  X 27 1.7.3 Hàm tử K ( ) T 3T 3T 3T 1.7.4 Mô tả K ( X ) 31 T 3T 3T 3T Chương - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC T KHÔNG GIAN TÔPÔ 35 2.1 Sử dụng định lý tích để tính K - nhóm 35 T 3T 3T T T T 2.1.1 Tích cho K ( X ) 35 T 3T 3T 3T  S2 ; K 2.1.2 Ứng dụng tính K (S ) ; K (P ) ; K ( )  (P ) 38 T 3T 3T 3T 2.2 Sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott 40 T 3T 3T T 2.2.1 Một số khái niệm 40 T 3T 3T T 2.2.2 Các dãy khớp K - nhóm 43 T 3T 3T T T T 2.2.3 Tích rút gọn 46 T 3T 3T T 2.2.4 Tuần hoàn Bott 47 T 3T 3T 3T 2.3 Sử dụng đối đồng điều 51 T 3T 3T T 2.3.1 Đối đồng điều 51 T 3T 3T 3T 2.3.2 Tính K - nhóm thông qua đối đồng điều 53 T 3T 3T 3T 3T T Chương - LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU 55 T 3.1 T 3T K  lý thuyết lý thuyết đồng điều C*-đại số 55 3T T 3.1.1 Đại số Banach C*-đại số 55 T 3T 3T T 3.1.2 Hàm tử K 58 T 3T 3T 3T 3.1.3 Hàm tử K 60 T 3T 3T 3T 3.1.4 Lý thuyết đồng điều 61 T 3T 3T T 3.1.5 Lý thuyết đối đồng điều 62 T 3T 3T T 3.1.6 Liên hệ K − lý thuyết tôpô với K − lý thuyết C*-đại số 66 T 3T 3T 3T T T T T 3 3.2 Mối liên hệ tuần hoàn Bott K  lý thuyết 72 T 3T 3T T T T 3.2.1 Tuần hoàn Bott 72 T 3T 3T 3T 3.2.2 Nhóm đồng luân p n 72 T 3T 3T T 3.2.3 Liên hệ nhóm đồng luân K  lý thuyết 74 T 3T 3T T T T KẾT LUẬN 76 T 3T TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 T 3T LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Trước trình bày nội dung luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn động viên bạn bè, gia đình bên tôi, động viên giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp TP Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 12 năm 2013 Học viên: Trần Phong DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Set Phạm trù tập hợp Top Phạm trù không gian tôpô CW Phạm trù phức CW Grp Phạm trù nhóm Ab Phạm trù nhóm Aben SemiRng Phạm trù nửa vành Bundn Phạm trù phân thớ vec-tơ n chiều Bundn  B Phạm trù phân thớ vec-tơ n chiều có đáy B Vect  B Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vec-tơ B Vectk  B Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vec-tơ k chiều trên B f   Lớp đồng luân ánh xạ f n n Phạm trù không gian vec-tơ n chiều trường  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài K  lý thuyết tôpô (còn gọi K  lý thuyết hình học) lý thuyết đối đồng điều suy rộng công cụ mạnh Tôpô đại số Công cụ cho phép giải nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô nhiều lĩnh vực khác toán học Năm 1958, Grothendieck nghiên cứu định lý Riemann – Roch Hình học đại số khởi xướng ý tưởng K  lý thuyết tôpô Đến năm 1961, K  lý thuyết tôpô thức hình thành công trình nghiên cứu độc lập Atiyah Hirzebruch K  lý thuyết tôpô xây dựng nhờ không gian phân thớ, cho phép chuyển loạt toán giải tích tôpô thành toán đại số K  lý thuyết tôpô nảy sinh cách tự nhiên K  lý thuyết đại số K  lý thuyết tôpô xuất trước liên quan tới phân thớ vec-tơ phức đáy không gian tôpô Đối tượng K  lý thuyết tôpô lớp tương đương ổn định phân thớ vec-tơ (phức) Bằng phép toán tổng Whitney phân thớ vec-tơ, ta xây dựng vị nhóm Abel, thông qua nhóm Grothendieck, ta xây dựng nhóm K K không gian tôpô K  lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng Năm 1962, Swan để ý thấy có tương ứng phạm trù không gian tôpô (như không gian compắc, Hausdorff) với phạm trù đại số Banach C   đại số Ý tưởng chỗ tập nhát cắt liên tục phân thớ vec-tơ không gian tôpô X C X   môđun Điều dẫn tới việc nghiên cứu môđun xạ ảnh, K  nhóm đại số xuất phát điểm K  lý thuyết đại số Điều đặc biệt K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số có mối liên hệ mật thiết với thông qua định lý kinh điển Từ mối liên hệ ta chuyển từ việc tính toán K  nhóm từ bên (tôpô) sang bên (đại số) việc tính toán bên khó bên kia, ngược lại Thông qua việc tìm hiểu sơ vấn đề trên, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu K  lý thuyết mà cụ thể K  lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ mật thiết K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số Tuy nhiên, việc nghiên cứu K  lý thuyết tầm tổng quát khó khăn phải dùng đến nhiều kiến thức Đại số Giải tích Vì vậy, giới hạn việc tìm hiểu phạm vi nhỏ đề tài mang tên : “Nhập môn K  lý thuyết liên quan tới lý thuyết đồng điều” Nội dung phương pháp nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ tuần hoàn Bott với K  lý thuyết K  lý thuyết lý thuyết đồng điều Đại số Banach Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng công cụ mạnh Đại số đồng điều Giải tích hàm, chừng mực có thể, cách trình bày theo tinh thần Toán học đại – ngôn ngữ Phạm trù Hàm tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị K  lý thuyết như: mô tả không gian phân thớ - tảng xây dựng K  lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, phép toán phân thớ vec-tơ tổng Whitney tích ten-xơ, sau xây dựng K  lý thuyết Chương 2: Trình bày số phương pháp tính K  nhóm số không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích bản; Sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K  nhóm Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể mối liên hệ K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số, nội dung chương trình bày hai vấn đề sau: K  lý thuyết lý thuyết đồng điều đại số Banach mối liên hệ tuần hoàn Bott với K  lý thuyết Nhờ định lý kinh điển nói mối liên hệ mật thiết K  lý thuyết tô pô K  lý thuyết đại số, ta chuyển từ việc tính toán K  nhóm từ bên (tôpô) sang bên (đại số) việc tính toán bên khó bên kia, ngược lại Ký hiệu luận văn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, tác giả dùng ký hiệu quan thuộc Chẳng hạn, ghi “1.2.1” có nghĩa xin xem mục 1.2.1 Chương 1; ghi “2.1.2” có nghĩa xin xem mục 2.1.2 Chương 2; ghi “[10, tr.110]” có nghĩa xin xem trang 110 Tài liệu tham khảo số 10 9 Chương NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT Trong chương này, nội dung chủ yếu tác giả trình bày nét K  lý thuyết tô pô phức Sơ lược nội dung sau: Mô tả không gian phân thớ, tảng xây dựng K  lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại đẳng cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) tích ten-xơ Các định nghĩa nhóm không rút gọn K X  nhóm  X  K  lý thuyết tô pô Bên cạnh đó, cung rút gọn K cấp thêm mô tả tầm thường mô tả hình học nhóm, đồng thời hai nhóm trang bị cấu trúc vành Các định nghĩa nội dung tham khảo từ [4], [11], [13] 1.1 Sơ lược không gian phân thớ Trước vào định nghĩa không gian phân thớ, ta xét ví dụ sau để hình dung khái niệm 1.1.1 Ví dụ mở đầu • Mặt trụ hai chiều: T  S1     x  xS1 • Lá mobius: M  0 , 1 0 ,t  1,  t • Mặt xuyến: p  S1 S1   xS xS1 • Lấy M n đa tạp vi phân M n x là: Tx M n n chiều, với x  M n ta có không gian tiếp xúc 10 TM Đặt TM n :  xM n x n , gọi phân thớ tiếp xúc M n Trong trường hợp ta khó hình dung tích trực tiếp ví dụ trên, chất phân thớ Nhận xét đặc điểm chung không gian nêu • Mỗi không gian phân thành hợp họ “thớ” • Mỗi “thớ” đồng phôi với (nếu xét mặt topo chúng một) • Trên không gian toàn thể tích trực tiếp không, xét địa phương chúng luôn tích trực tiếp Từ ta có khái niệm không gian phân thớ sau 1.1.2 Không gian phân thớ Định nghĩa 1.1.1 Cho ba không gian topo B, F , E ánh xạ liên tục p : E  B Khi đó, ba x   E, p, B gọi không gian phân thớ tầm thường địa phương hay phân thớ (với thớ mẫu F ) tính chất tầm thường địa phương sau thỏa mãn: x  B tồn tập mở U  B chứa x   p1 U  đồng phôi cho tam j : U  F  giác sau giao hoán j U  F   p1 U   E prU   p p1U  U tức prU  p p 1 U   j , prU : U  F  U , u, f   prU u, f  : u phép chiếu tự nhiên Tên gọi nhận xét 11 • E : gọi không gian toàn thể phân thớ (ta thường đồng x với E gọi E không gian phân thớ) : gọi đáy hay sở phân thớ • B • p : gọi phép chiếu (không gian toàn thể lên đáy) dễ thấy p toàn ánh • F • x  B, p1  x F  : gọi thớ : gọi thớ mẫu x ta có E   p 1  x  x B p U    p  y , j  y, f   p1  y yU •   p1 U  gọi đồng phôi theo thớ cặp U,j  gọi j : U  F  đồ địa phương xung quanh • Đặc biệt ta chọn (đồng phôi j  Id ), E  B F E x phân thớ E chắn chắn thỏa mãn định nghĩa gọi phân thớ tầm thường 1.1.3 Đồng cấu đẳng cấu phân thớ; phạm trù phân thớ Định nghĩa 1.1.2 Cho hai phân thớ x1   E1 , p1 , B , x2   E2 , p2 , B đáy Ánh xạ liên tục h : E1  E2 gọi đồng cấu phân thớ từ x1 đến x2 B tam giác sau giao hoán h E1   E2 p1   p2 tức B p1  p2  h Định nghĩa 1.1.3 Một đẳng cấu phân thớ đồng cấu phân thớ đồng thời đồng phôi Chú ý: h : E1  E2 Ta thường viết đẳng cấu phân thớ  h : E1   E2 h1 : E2  E1 đẳng cấu phân thớ 12 Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù phân thớ) Đặt Bund  B phạm trù phân thớ B , vật Ob : họ không gian phân thớ B cấu xạ MorBundB  E1 , E2  : tập đồng cấu phân thớ từ E1 đến E2 Phân thớ x   E, p, B (thớ mẫu F ) gọi phân thớ tầm thường E  B F 1.2 Đa tạp phức Stiefel đa tạp phức Grassman Giả sử tôpô tất đa tạp giới thiệu phần thừa hưởng tôpô thông thường  Định nghĩa 1.2.1 Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel sau: Wn  k    A  M kn |A * A  I n ,n  k A* ma trận chuyển vị liên hợp A Nói theo cách khác, Wn  k  tập tất n hệ tọa độ ( n phức vec-tơ trực chuẩn)  k với n  k Xét khía cạnh tôpô không gian compắc, không gian đóng tích trực tiếp n mặt cầu S k1 Định nghĩa 1.2.2 Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman sau: Gn  k   { không gian vec-tơ tức tập tất mặt phẳng n n chiều  k , n  k } chiều  k qua gốc tọa độ Ví dụ 1.2.3 Ma trận G1  k  tập tất đường thẳng  k qua gốc tọa độ Để hiểu rõ đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:  p Wn  k    Gn  k      v1 , ,vn  v1 , ,vn    13 cho phép ta xem Gn  k  không gian compắc với tôpô thương Một CW  cấu trúc xác định cho Wn  k  phức với số ô hữu hạn ta Gn  k  đa tạp Hausdorff với số chiều k  k  n Ta có  k   k1   Dãy cảm sinh dãy đa tạp phức Stiefel Wn  k   Wn  k 1   dãy đa tạp phức Grassman phức sau Gn  k   Gn  k 1   Ta đặt: Wn  :  lim Wn  k  Gn  :  limGn  k  k k ta thu hai không gian tôpô giới hạn trực tiếp 1.3 Phạm trù Bund Định nghĩa 1.3.1 Một phân thớ vec-tơ phức ba x   E, p, B E B không gian tôpô thỏa mãn điều kiện sau: (i) Ánh xạ (ii) Với b  B , không gian p1 b có cấu trúc không gian vec-tơ p : E  B liên tục toàn ánh; phức V ; (iii) Điều kiện tầm thường địa phương: vơi b  B , tồn lân cận mở Ub b đồng phôi: jUb : U b  V   p1 U b  thỏa mãn p  jUb b,v  b , với b,v  U b  V Hơn nữa, j phù hợp với cấu trúc không gian vec-tơ thớ, tức jU b bV : b V   p1 b đẳng cấu không gian vec-tơ với b  B 14 Một số thuật ngữ:  Với phân thớ vec-tơ x   E, p, B , ta gọi E không gian tổng thể, B không gian đáy, p ánh xạ chiếu phân thớ;  Với b , không gian p1 b thớ phân thớ vec-tơ b  B , ta ký hiệu lại Eb Chú ý số chiều: Cho x   E, p, B phân thớ vec-tơ phức Nếu với b  B , số chiều thớ phân thớ vec-tơ phức Eb giống số n  , ta nói x n chiều ta thay không gian vec-tơ phức V n định nghĩa Chú ý 1.3.2 Ta định nghĩa phân thớ vec-tơ thực n chiều theo cách tương tự (thay n  n ) Tuy nhiên, tập trung vào phân thớ vec-tơ phức, “phức” không nhắc đến không gây nhầm lẫn Một số ví dụ phân thớ vec-tơ Ví dụ 1.3.3 Phân thớ tầm thường n chiều n chiều B e   Bn , p, B p : B  n  B b,v b phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ Ví dụ 1.3.4 Cho Gn  k  đa tạp phức Grassman Ta định nghĩa En  k   V , v  G   n k k phép chiếu p : En  k   Gn  k  V ,v  V |v  V  15 Bộ ba g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  phân thớ phức tắc n chiều Ví dụ 1.3.5 Ta định nghĩa E'n  k   V ,u  G   n k k |u  V   phép chiếu tương ứng lên thành phần p : E'n  k   Gn  k  V ,u  V n chiều Khi phép toán tổng Bộ ba hn ,k   E'n  k  , p ,Gn  k  phân thớ phức  k  trực tiếp phân thớ xác định, ta thấy hai phân thớ có mối liên hệ với nhau, cụ thể hn ,k  g n ,k phân thớ tầm thường k chiều Gn  k  Chú ý 1.3.6 Hai ví dụ ta xét k   Một đồng cấu phân thớ vec-tơ ánh xạ bảo toàn thớ ánh xạ tuyến tính thớ Ta có định nghĩa xác sau: Định nghĩa 1.3.7 Cho x   E, p, B x'   E', p', B' hai phân thớ vec-tơ Một đồng cấu phân thớ f : E   E' g : B   B'  x'  f , g : x  xác định hai ánh xạ cho biểu đồ sau giao hoán: f E   E' p  p' g  B' B  tức p' f  g  p thu hẹp f : p  p  f b b  ánh xạ tuyến tính với b  B Chú ý 1.3.8 Trong định nghĩa trước ta xét B  B' Khi phân thớ x x' có đáy B đồng cấu  f ,idB  : x   x' thỏa tam giác giao hoán sau: 16 f E   E' p  p'  B Định nghĩa 1.3.9 Hai phân thớ x x' không gian đáy B gọi đẳng cấu với tồn đồng cấu phân thớ f : E  E'  f ,idB  : x  x' cho đồng phôi thu hẹp f : p b  p  f b đẳng cấu tuyến tính thớ, với b  B Ở mục này, ta đề cập đến phạm trù phân thớ vec-tơ phức, mà ta ký hiệu Bund Vật phạm trù xạ định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa 1.3.7 Luật kết hợp phần tử đơn vị xạ giống với phạm trù Top n Chú ý với B  Top , Bund cho phạm trù Bund  B phạm trù phân thớ vec-tơ B Cuối số chiều bảo toàn, tức với n  , phân thớ vec-tơ phức n chiều tạo phạm trù mà ta ký hiệu Bund 1.4 Xây dựng phép toán phân thớ vec-tơ Định nghĩa 1.4.1 Cho x   E, p, B phân thớ vec-tơ phức f : Y  B ánh xạ liên tục Phân thớ cảm sinh từ f từ x - ký hiệu f * x , xác định sau: Đặt pY : Y B E  Y pE : Y B E  E, ta muốn biểu đồ sau giao hoán pE Y B E  E pY  p f Y  B 17 Chú ý Y B E :  f *  E không gian tổng thể f * x , xác kéo lùi pY pE Mệnh đề 1.4.2 Các thu hẹp phân thớ vec-tơ p : E  B I B1 B0 đẳng cấu với B không gian compắc Hausdorff Định lý 1.4.3 Cho phân thớ vec-tơ p : E  B ánh xạ đồng luân f , f1 : A  B Khi phân thớ cảm sinh f0 *  E f1 *  E đẳng cấu với A không gian Hausdorff compắc Định nghĩa 1.4.4 Cho x   E, p, B x'   E', p', B'  Bund Ta định nghĩa phân thớ sau: x  x' :   E1  E2 , p1  p2 , B E1  E2 :  e1 ,e2   E1  E2 |p1 e1   p2 e2  ánh xạ chiếu p1  p2 : E1  E2  B xác định e1 ,e2   p1 e1   p2 e2  Phép toán x  x' gọi tổng Whitney x x' tích phạm trù Bundn  B Như đề cập phần trước, ta định nghĩa đẳng cấu:  f : hn,k  g n,k  ek V ,x ,V , y  V ,x  y 18 V  Gn  k  ,V , x  En  k  ,V , y  E'n  k  Vì với z   k , có phân tích z  x  y x  V y  x Do phân tích liên tục V (tổng trực tiếp không gian vec-tơ), ánh xạ f đẳng cấu Gn  k  Để kết thúc Định nghĩa 1.4.4, với x x' trên, ta có: E1  E2  E1 B E2 tính chất kéo lùi biểu đồ Định nghĩa 1.4.4, ta có biểu đồ: 1.5 Các hàm tử liên tục phép toán Bund (B) Tổng Whitney mà vừa định nghĩa cho phân thớ vec-tơ không gian đáy B bảo toàn từ tổng trực tiếp không gian vec-tơ, phép toán tích phạm trù Bund  B Điều cho phép ta tổng quát hóa cho phép toán khác: phép toán liên tục không gian vec-tơ cho phép ta xác định phép toán tương ứng phân thớ vec-tơ cách tự nhiên Phần mục giải thích rõ khẳng định Trong định nghĩa đây, ta xét    Nhắc lại vật n không gian vec-tơ hữu hạn chiều  [...]... sao cho mỗi Wn  k  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể chỉ ra rằng Gn  k  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k  k  n Ta có  k   k 1   Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel Wn  k   Wn  k 1   và dãy các đa tạp phức Grassman phức sau Gn  k   Gn  k 1   Ta đặt: Wn  :  lim Wn  k  và Gn  :  limGn  k  k k ta thu được hai không gian tôpô giới...  k  là một đa tạp phức Grassman Ta định nghĩa En  k   V , v  G   n k k và phép chiếu p : En  k   Gn  k  V ,v  V |v  V  15 Bộ ba g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức chính tắc n chiều Ví dụ 1.3.5 Ta định nghĩa E'n  k   V ,u  G   n k k |u  V   và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên p : E'n  k   Gn  k  V ,u  V n chiều Khi... nhóm đầu tiên không rút gọn được K X  và nhóm  X  của K  lý thuyết tô pô Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung đầu tiên rút gọn được K cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13] 1.1 Sơ lược về không gian phân thớ Trước khi vào định nghĩa không gian...9 Chương 1 NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về K  lý thuyết tô pô phức Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là nền tảng xây dựng K  lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và tích ten-xơ Các định... phân thớ vec-tơ phức là một bộ ba x   E, p, B trong đó E và B là các không gian tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Ánh xạ (ii) Với mọi b  B , không gian p1 b có cấu trúc của một không gian vec-tơ p : E  B liên tục và toàn ánh; phức V ; (iii) Điều kiện tầm thường địa phương: vơi mọi b  B , tồn tại một lân cận mở Ub của b và một đồng phôi: jUb : U b  V   p1 U b  thỏa mãn p  jUb b,v...  M k n |A * A  I n ,n  k trong đó A* là ma trận chuyển vị liên hợp của A Nói theo một cách khác, Wn  k  là tập của tất cả n hệ tọa độ ( n phức của các vec-tơ trực chuẩn) trong  k với n  k Xét về khía cạnh tôpô nó là một không gian compắc, như một không gian con đóng của tích trực tiếp của n bản sao của mặt cầu S k 1 Định nghĩa 1.2.2 Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau: Gn  k ... Khi phép toán tổng Bộ ba hn ,k   E'n  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức  k  trực tiếp trên các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ với nhau, cụ thể là hn ,k  g n ,k là phân thớ tầm thường k chiều trên Gn  k  Chú ý 1.3.6 Hai ví dụ trên vẫn đúng nếu ta xét k   Một đồng cấu phân thớ vec-tơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên mỗi... cái k o lùi của pY và pE Mệnh đề 1.4.2 Các thu hẹp của một phân thớ vec-tơ p : E  B I trên B1 B0 và là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian compắc Hausdorff Định lý 1.4.3 Cho một phân thớ vec-tơ p : E  B và các ánh xạ đồng luân f 0 , f1 : A  B Khi đó các phân thớ cảm sinh f0 *  E và f1 *  E là đẳng cấu với nhau nếu A là không gian Hausdorff compắc Định nghĩa 1.4.4 Cho x   E, p, B và. ..   { các không gian vec-tơ con tức là tập tất cả các mặt phẳng n n chiều của  k , n  k } chiều trong  k cùng đi qua gốc tọa độ Ví dụ 1.2.3 Ma trận G1  k  là tập tất cả các đường thẳng trong  k đi qua gốc tọa độ Để hiểu rõ hơn về đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:  p Wn  k    Gn  k      v1 , ,vn  v1 , ,vn    13 cho phép ta xem Gn  k  như một không gian... các không gian nêu trên • Mỗi không gian đều được phân ra thành hợp của một họ các “thớ” • Mỗi “thớ” đều đồng phôi với nhau (nếu xét về mặt topo thì chúng là một) • Trên không gian toàn thể có thể là tích trực tiếp hoặc có thể không, nhưng khi xét ở địa phương thì chúng luôn luôn là tích trực tiếp Từ đây ta có các khái niệm về không gian phân thớ sau 1.1.2 Không gian phân thớ Định nghĩa 1.1.1 Cho ba không