BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : LL&PP dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn: Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học, động viên để có đủ niềm tin nghị lực suốt trình nghiên cứu thực luận văn này; Tất quý thầy cô tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt lĩnh hội kiến thức tảng, truyền cho hứng thú chuyên ngành Didactic Toán Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua dẫn, gợi mở định hướng đề tài luận văn cho Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Quý thầy cô em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường THPT Phan Văn Trị, em học sinh lớp (năm học 2012 – 2013) Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre nhiệt tình hỗ trợ giúp đỡ tiến hành thực nghiệm trường; Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn: Các bạn học lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đồng hành tôi, chia sẻ khó khăn kinh nghiệm giảng dạy suốt khóa học Tôi xin dành dòng cuối để cảm ơn động viên, chia sẻ tạo điều kiện tốt từ phía gia đình, đặc biệt cha mẹ tôi, giúp tự tin công việc, học tập nghiên cứu suốt năm học cao học Trần Lê Vương Quốc MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU T 2T Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát 1 T T T Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu T T T T T T Tổ chức luận văn T T Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu T T T T 2T Chương CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG T TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC T 1.1 Mục tiêu chương T T T 2T 1.2 Nghĩa hệ số góc đường thẳng phân môn toán học 11 T T T T 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp .11 T 2T 2T T 1.2.2 Trong Đại số - Giải tích 12 T 2T 2T T 1.2.3 Trong Hình học giải tích 19 T 2T 2T T 1.3 Nghĩa hệ số góc đường thẳng môn Kinh tế lượng 25 T T T T 1.4 Kết luận chương 27 T T T 2T Chương MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC T CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 29 2T 2.1 Mục tiêu chương 29 T T T 2T 2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy T T T – học toán bậc phổ thông 30 T 2.2.1 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THCS .30 T 2T 2T T 2.2.2 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THPT .45 T 2T 2T T 2.3 Kết luận chương 64 T T T 2T Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 66 T T 3.1 Mục tiêu chương 66 T T T 2T 3.2 Thực nghiệm học sinh THCS 66 T T T T 3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.2 Mục tiêu thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.3 Nội dung câu hỏi thực nghiệm .66 T 2T 2T T 3.2.4 Phân tích thực nghiệm 67 T 2T 2T T 3.2.5 Kết luận 80 T 2T 2T 2T 3.3 Thực nghiệm học sinh THPT 80 T T T T 3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 80 T 2T 2T T 3.3.2 Mục tiêu thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.3 Nội dung toán thực nghiệm .81 T 2T 2T T 3.3.4 Phân tích thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.5 Kết luận 92 T 2T 3.4 Kết luận chương 93 T T T 2T KẾT LUẬN 94 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 T 2T PHỤ LỤC 99 T 2T DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT Chữ viết đầy đủ Chữ viết tắt CL Chiến lược ĐS-GT Đại số - Giải tích GT Giả thuyết HH Hình học HHTH Hình học tổng hợp HHGT Hình học giải tích KNV Kiểu nhiệm vụ SGK Sách giáo khoa SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp tập SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp tập SBT9.T1 Sách tập toán lớp tập ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 tr.00 Trang 00 THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Hàm số khái niệm có ý nghĩa quan trọng toán học thực tiễn Trong toán học, chủ đề hàm số có mặt xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học Đại học Trong đó, hàm số bậc dạng hàm số tất dạng hàm số trường phổ thông Nó giữ vai trò tảng để học sinh nghiên cứu dạng hàm số khác phức tạp Khái niệm hàm số nói chung hàm số bậc nói riêng học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) đến lớp học sinh học hàm số bậc dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0) Ở lớp 7, bước đầu học sinh có hiểu biết sơ lược hàm số bậc đồ thị trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0) Việc cung cấp kiến thức hình dạng đồ thị hàm số y = ax đường thẳng làm tảng để xây dựng đồ thị hàm số bậc tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), hệ số a x chưa có tên gọi thức mà sau đến lớp hệ số a x gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 9, học sinh cung cấp đầy đủ đặc trưng hàm số bậc (tập xác định, tính biến thiên) đồ thị hàm số bậc nhất, đáng ý khái niệm “hệ số góc” đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” học sinh tiếp cận qua hai phân môn Đại số lẫn Hình học Ở phân môn Đại số, việc củng cố, nhắc lại kiến thức hàm số bậc mà học sinh học lớp tập xác định, đồ thị hàm số bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách nâng cao) bổ sung thêm bảng biến thiên hàm số bậc Chính hình ảnh trực quan làm bật tính biến thiên hàm số bậc Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 mở rộng trường hợp đặc biệt hàm số bậc trường hợp a = Hàm số có dạng y = b, gọi hàm số đồ thị đường thẳng Ở phân môn Hình học, phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng xây dựng cách hơn, tổng quát thông qua việc xây dựng “phương trình đường thẳng” Ở đây, khái niệm “hệ số góc” đường thẳng lần củng cố đặt mối liên hệ với góc tạo đường thẳng với trục Ox Nhưng tồn khác biệt so với cách tiếp cận bậc THCS, hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ vectơ phương đường thẳng Hơn nữa, đến lớp 11, lần học sinh tiếp cận khái niệm “hệ số góc” đường thẳng đặt mối liên hệ với phân môn toán học Giải tích Theo đó, qua toán tiếp tuyến đường cong, người ta hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm hàm số, khái niệm Giải tích: Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số tiếp điểm Từ đây, hệ số góc đường thẳng trở thành công cụ đắc lực toán học Nó giữ vai trò quan trọng việc giải toán xác định tính biến thiên hàm số, xác định tiếp tuyến với đường cong, … Trên sở đó, nhận thấy rằng: hệ số góc đường thẳng tồn nhiều phân môn toán học Đại số, Hình học Giải tích Với xuất đa dạng phạm vi khác làm lên mối liên hệ mật thiết phân môn toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại Số - Giải tích (h.1): Hình Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại số - Giải tích Xuất phát từ ghi nhận trên, tự hỏi tồn phong phú đa dạng hệ số góc đường thẳng mối liên hệ sinh thái phân môn toán học có nghĩa gì? với cách tiếp cận chương trình giảng dạy toán THCS THPT hành (gọi chung bậc phổ thông) học sinh hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Vì định chọn đề tài cho luận văn “Nghĩa hệ số góc đường thẳng dạy học toán trường phổ thông” Dưới góc độ toán học hai phạm vi Hình học Đại số - Giải tích mang nhiều kiến thức sâu rộng Vì khuôn khổ luận văn này, mục tiêu tìm nghĩa hệ số góc đường thẳng Để làm điều đó, không sâu phân tích mối liên hệ sinh thái Hình học Đại số - Giải tích Thay vào đó, tập trung nghiên cứu khái niệm hệ số góc đường thẳng, nghĩa hệ số góc đường thẳng với cách hiểu xuất tồn mối liên hệ với phân môn toán học, mối liên hệ với số đối tượng tri thức khác toán học liên môn (chẳng hạn môn Kinh tế lượng) Trong đó, 0F P P Liên môn hiểu phân môn khác lĩnh vực toán học có liên quan sử dụng đến kiến thức toán học tập trung nghĩa hệ số góc đường thẳng phạm vi HH ĐS-GT Đặc biệt, qua phân tích chương trình SGK bậc phổ thông hành Việt Nam, xuất hình thành nghĩa hệ số góc đường thẳng học sinh Cụ thể, nghiên cứu khởi đầu với câu hỏi sau đây: - Trong phân môn toán học liên môn, hệ số góc đường thẳng có nghĩa gì? nghĩa có mối liên hệ với đối tượng toán học nào? - Nghĩa hệ số góc đường thẳng chương trình sách giáo khoa phổ thông trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thông có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng? Học sinh phổ thông hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu Để có giải thích thỏa đáng cho vấn đề nêu điều quan trọng mà cần làm trước tiên tìm kiếm công cụ lý thuyết làm sở cho việc đưa câu trả lời cho câu hỏi Và tìm công cụ phạm vi Didactic toán “Didactic mang lại công cụ hữu hiệu lí giải tượng giảng dạy học tập” [1, tr.9] Nếu gọi đối tượng O hệ số góc đường thẳng; I thể chế dạy học hành trường phổ thông Việt Nam vấn đề mối quan hệ cách tiếp cận O phạm vi toán học, việc dạy học hệ số góc đường thẳng trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” Thuyết nhân học Chevallard (1998) đặt móng Câu hỏi “Học sinh phổ thông hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ cá nhân” lý thuyết Cá nhân xét đối tượng học sinh học hệ số góc đường thẳng Câu hỏi “Nghĩa hệ số góc đường thẳng sách giáo khoa chương trình phổ thông trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thông có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” lý thuyết Sau đây, trình bày tóm lược khái niệm cố gắng giải thích tính hợp lý lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu luận văn Phần trình bày khái niệm trích lọc từ sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố Didactic Toán” (2009) Chúng sử dụng khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” “tổ chức toán học” Mối quan hệ thể chế R(I,O) quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thông qua nghiên cứu tổ chức toán học, praxéologie khái niệm Chevallard (1998) đưa mà qua việc phân tích chúng, cho phép xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O 2.1 Quan hệ thể chế R(I, O) Quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trò gì, tồn sao,… I 2.2 Quan hệ cá nhân R(X,O) Quan hệ R(X, O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao,… Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Với đối tượng O mà quan tâm (hệ số góc đường thẳng), phân tích R(I, O) cho phép rút nghĩa O I từ làm rõ vai trò, phạm vi tác động mối liên hệ lựa chọn thể chế I đường tiếp cận nghĩa O, đặc biệt bậc trung học sở trung học phổ thông Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh O lại cần phải nghiên cứu R(I, O) lựa chọn thể chế O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân O Vì lẽ đó, nhận thấy cần thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” “quan hệ cá nhân” đối tượng tri thức mà quan tâm Mặt khác, theo Bosch Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O) cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học” 6 2.3 Tổ chức toán học Theo Chevallard (1998), praxéologie phận gồm bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] T KNV, τ kỹ thuật cho phép giải KNV T, θ công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ Θ lý thuyết giải thích cho công nghệ θ Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O Do đó, việc lựa chọn Thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu hoàn toàn thỏa đáng Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, cụ thể hóa câu hỏi ban đầu trình bày lại câu hỏi mà việc tìm kiếm số yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn Gọi đối tượng O hệ số góc đường thẳng; I thể chế dạy học hệ số góc đường thẳng theo chương trình phổ thông hành Việt Nam CH1 Về mặt tri thức luận, đối tượng O nghiên cứu phân môn nào, phạm vi toán học? Trong phạm vi đó, đối tượng O hiểu nào? Nó có nghĩa gì? Nó liên hệ với đối tượng toán học nào? CH2 Trong I, cách tiếp cận đối tượng O trình bày nào? Trong cách tiếp cận đó, nghĩa O thể sao? Những mong muốn ràng buộc thể chế O cách tiếp cận này? Có tổ chức toán học thể chế nhằm làm rõ nghĩa O? Chúng tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 CH2 thông qua việc nghiên cứu giáo trình đào tạo bồi dưỡng giáo viên, phân tích kết từ công trình nghiên cứu có, phân tích sách giáo khoa môn toán giảng dạy trường phổ thông theo chương trình hành Việt Nam (bao gồm sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao Hình học 10 nâng cao) Trước phân tích R(I, O), thực phân tích O góc độ tri thức bác học Bởi để tồn thể chế tri thức phải biến đổi cho phù hợp Chính biến đổi tạo nên khoảng cách tri thức trình bày SGK tri thức bác học Vì để có hiểu biết đầy đủ O phân tích O góc độ tri thức bác học thật cần thiết Phạm vi hoạt động tri thức toán học thường lớn đối tượng hệ số góc đường thẳng không ngoại lệ Do đó, thực nghiên cứu khoa học hệ số góc cách đầy đủ Thay vào đó, tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp kết có đường thẳng hệ số góc đường thẳng Kết thu từ việc nghiên cứu tri thức bác học hệ số góc đường thẳng phân tích sách giáo khoa môn toán giảng dạy trường phổ thông theo chương trình hành Việt Nam làm sở cho phép đưa giả thuyết nghiên cứu hiểu biết học sinh nghĩa hệ số góc đường thẳng Từ đó, xây dựng hai thực nghiệm (một THCS THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu nêu Tổ chức luận văn Chương Các nghĩa hệ số góc đường thẳng phân môn toán học mối liên hệ với số đối tượng tri thức khác Chúng phân tích tính chất toán học đường thẳng hệ số góc đường thẳng góc độ toán học Qua việc phân tích tính chất này, có nhìn rõ khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa mặt phẳng Từ trả lời câu hỏi CH1 Chương Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy – học toán trường phổ thông Trong chương này, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ số góc đường thẳng chương trình SGK môn Toán THCS THPT hành Qua đó, làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc đường thẳng, nghĩa hệ số góc đường thẳng Kết nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho phép trả lời câu hỏi CH2 nêu lên giả thuyết nghiên cứu 8 Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm Chúng tiến hành nghiên cứu thực nghiệm việc xây dựng hệ thống câu hỏi toán Đối tượng thực nghiệm học sinh lớp lớp 11 học hệ số góc đường thẳng Mục đích việc xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thích đáng giả thuyết nghiên cứu nêu lên cuối chương 9 Chương CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC 1.1 Mục tiêu chương Như đề cập phần mở đầu, đường thẳng nghiên cứu nhiều phân môn toán học Hình học (HH), Đại số (ĐS) Giải tích (GT) Sự xuất đa dạng phạm vi khác tìm thấy mối liên hệ mật thiết phân môn toán học (h.1) Ta biết, “đường thẳng” đối tượng nghiên cứu toán học Trong HH lẫn ĐS-GT, “đường thẳng” tập hợp vô số điểm thẳng hàng Nhưng HH, “đường thẳng” tập hợp vô số điểm thẳng hàng thỏa mãn tiên đề hình học Hilbert Còn ĐS-GT, “đường thẳng” tập hợp vô số điểm thẳng hàng điểm phải thỏa mãn “phương trình đại số” - Trong HH, “Góc” tạo hai đường thẳng đối tượng quan trọng – đối tượng huy động kiến thức lượng giác Còn ĐS-GT đặc trưng đường thẳng “Hệ số góc” Dù xét phạm vi toán học, HH hay ĐS-GT, hai khái niệm “Góc” “Hệ số góc” đường thẳng có mối liên hệ với thông qua “Lượng giác” - Trong ĐS-GT, “Hệ số góc đường thẳng” giữ vai trò công cụ hữu hiệu việc xác định phương trình đường thẳng, xác định phương trình tiếp tuyến với đường cong (liên quan đến công cụ “Đạo hàm hàm số”) Tuy nhiên, ĐS-GT, quan hệ hình học đối tượng toán học đại số hóa Điều làm cho số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt nghĩa Như ẩn chứa sau mối liên hệ HH ĐS-GT đối tượng toán học, cụ thể “Đường thẳng” “Hệ số góc” mặt phẳng, có tính chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc đường thẳng mặt phẳng hiểu nào? Nghĩa toán học gì? 10 Chính vậy, mục tiêu chương nhằm phân tích tính chất toán học đường thẳng hệ số góc đường thẳng góc độ toán học Qua việc phân tích tính chất này, có nhìn rõ khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa mặt phẳng Để đạt mục tiêu đó, tham khảo giáo trình toán cao cấp công trình nghiên cứu có liên quan đến đồ thị hàm số, đường thẳng hệ số góc đường thẳng Với tư cách đối tượng toán học, hệ số góc đường thẳng đề cập nhiều phân môn toán học trình bày sơ đồ (h.1) Câu hỏi đặt là: Trong phân môn khác toán học, hệ số góc đường thẳng mang ý nghĩa gì? Trong chương này, sử dụng giáo trình, tài liệu tham khảo kết nghiên cứu trước có liên quan sau: - Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh - Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho khối tài ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh - Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích phổ thông, lý thuyết thực hành tính toán, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội - Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội - Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp, Nxb Đà Nẵng - Ngô Thúc Lanh – Đoàn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển toán học thông dụng, Nxb Giáo dục - Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ hình học tổng hợp giải tích dạy học hình học lớp 12 Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh - S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập 11 1, 2, Nxb Giáo dục - Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phương trình nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 1.2 Nghĩa hệ số góc đường thẳng phân môn toán học 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp Trong HH, khái niệm mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng, tia, góc; mối quan hệ: liên thuộc, song song, vuông góc, …; khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn, … xây dựng dựa hệ tiên đề Hilbert Xét khuôn khổ luận văn này, trình bày vấn đề có liên quan đến đường thẳng mà Theo hệ tiên đề Hibert, đường thẳng đồng với tập hợp tất điểm thẳng hàng với Vì thế, với hai đường thẳng cắt chúng cắt điểm Khi ta có khái niệm “góc hai đường thẳng” Từ điển toán học thông dụng định nghĩa góc hai đường thẳng phép cộng góc sau: […] Góc định hướng hai đường thẳng mặt phẳng Cặp đường thẳng có thứ tự qua O mặt phẳng (d,δ), d đường thẳng đầu, δ đường thẳng cuối; O gọi đỉnh góc Phép cộng góc định hướng hai đường thẳng có hệ thức Chasles: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆); (d,δ) = -(δ,d) (d, δ, ∆ ba đường thẳng mặt phẳng qua O) Sau mặt phẳng định hướng: số đo độ số thực xác định sai khác cộng k.1800 (k ∈  ), số đo radian xác định sai khác cộng kπ (k ∈  ) P P Do đó: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆) + kπ; (d,δ) = -(δ,d) + kπ (k ∈  ) Sau định hướng mặt phẳng, có hàm số tang xác định tập góc định hướng cặp đường thẳng không vuông góc là: tan( d , δ ) = sin(Ou , Ov ) cos(Ou , Ov ) Trong đó, O đỉnh góc (d,δ), Ou tia d, Ov tia δ; tập giá trị hàm số tang  [12,tr.270-273] 12 • Nhận xét Trong HH, đường thẳng khái niệm Nó tập hợp điểm thẳng hàng với Trong mặt phẳng có định hướng, góc định hướng ( d , δ ) đường thẳng không vuông góc d δ tan( d , δ ) = sin(Ou , Ov) cos(Ou , Ov) , O đỉnh góc (d,δ), Ou tia d, Ov tia δ Như khái niệm “Góc” HH xây dựng dựa tỉ số lượng giác góc tạo hai đường thẳng Đặc trưng khái niệm “Góc” gắn với định hướng hai đường thẳng không vuông góc mặt phẳng Vậy lại có ràng buộc đó? Rõ ràng từ định nghĩa cho ta thấy có hai lí Lí thứ nhất, ràng buộc “hai đường thẳng không vuông góc” tức cos (Ou, Ov) ≠ làm cho tan (d,δ) xác định Lí thứ hai, ràng buộc “mặt phẳng định hướng” làm cho góc tạo thành hai đường thẳng không bị thu hẹp giới hạn góc nhọn (lớn 00 nhỏ 900) mà trái lại đạt giá trị rộng (giá trị góc sai P P P P khác k.1800 tính theo độ sai khác k.π tính theo radian) P P 1.2.2 Trong Đại số - Giải tích Trong ĐS-GT, khái niệm quan trọng toán học “Hàm số” “Đồ thị hàm số” Từ điển bách khoa phổ thông toán học, viết: […] Hàm số khái niệm toán học, biểu diễn phụ thuộc đại lượng biến thiên đại lượng biến thiên khác Từ “đại lượng” định nghĩa hàm số hiểu với ý nghĩa rộng, [ ] nói chung phần tử tập hợp bất kỳ” [18, tr.324] […] Đồ thị hàm tập hợp điểm mặt phẳng có tọa độ vuông góc (x, y), y = f(x) hàm x miền xác định E hàm Ở y = f(x) hàm biến x Nhưng đồ thị xác định đường cắt đường thẳng song song với trục Oy điểm Để thoát khỏi hạn chế đó, người ta cho đường dạng ẩn nhờ phương trình: F(x, y) = 0, F(x, y) hàm số hai biến x y [18, tr 356] 13 […] Đồ thị hàm số y = f(x) cho đoạn [a, b] , khoảng (a, b), đường liên tục hàm số f(x) liên tục; trơn hàm số f(x) có đạo hàm liên tục.[18,tr.134] Như vậy, ĐS-GT, đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm có tọa độ (x ;f(x )) với x thuộc tập xác định hàm số Do đó, với hàm số bậc R R R R R R y = ax + b, người ta chứng minh đồ thị đường thẳng Tuy vậy, điều nghĩa đường thẳng đồ thị hàm số bậc y = ax + b Chẳng hạn, đường thẳng song song với trục tung không đồ thị hàm số Do vậy, đường thẳng không thẳng đứng mặt phẳng tọa độ biểu diễn hàm số dạng y = ax + b có hệ số góc Theo đó, hệ số góc đường thẳng định nghĩa sau: Định nghĩa [về hệ số góc đoạn thẳng] y Nếu P = (x , y ) P = (x , y ), P1P2 không R R R R R R R R R R R R thẳng đứng, hệ số góc y2 − y1 P1P2 y1 Định lý 13-1 O a= x2 − x1 P2 y2 P1 H x Trên đường thẳng không thẳng đứng, x1 x2 Hình 1.1 đoạn thẳng có hệ số góc Chứng minh: Nếu đường thẳng nằm ngang rõ ràng ta có điều khẳng định trên, đoạn thẳng đường thẳng có hệ số góc Trong trường hợp lại, ta quan sát hai hình đây: Hình 1.2 14 Trong trường hợp 1, ta có ∆RP P ∽ ∆R’P ’P ’ (g-g) R RP2 Vì R ' P '2 P1R = R R RP2 hay R = P1R P '1 R ' R R ' P '2 RP P R RP P P '1 R ' Do P1P2 P '1 P '2 có hệ số góc Trong trường hợp 2, ta có ∆ RP P ∽ ∆ R’P ’P ’ R Điều cho ta giống R R R RP2 R = P1R R ' P '2 R R R P '1 R ' Như ta có điều phải chứng minh hệ số góc hai đoạn thẳng số đối hai tỉ lệ […] Định nghĩa [về hệ số góc đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc đường thẳng không thẳng đứng hệ số góc đoạn thẳng đường thẳng” [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22] Qua trích dẫn cho thấy nghĩa hệ số góc đường thẳng bộc lộ định nghĩa Theo định nghĩa hệ số góc đoạn y −y f ( x2 ) − f ( x1 ) , tỉ số gọi tỉ số biến thẳng, với x ≠ x , ta có a = hay a = x2 − x1 x2 − x1 R R R R thiên hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) Do đó, cách tổng quát: hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) tỉ số biến thiên hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Mặt khác, ta gọi x x hai giá trị tập xác định hàm số R R R R y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) Do vai trò bình đẳng x x nên ta giả sử x < x R R R R R R R R Khi đó, f(x ) – f(x ) = a.(x – x ) Vì x – x > nên: + Nếu a > f(x ) – f(x ) > hay f(x ) > f(x ) Ta suy hàm số y = f(x) = ax + b đồng biến  + Nếu a < f(x ) – f(x ) < hay f(x ) < f(x ) Ta suy hàm số y = f(x) = ax + b nghịch biến  R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Như vậy, ta nói hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) công cụ để xác định biến thiên hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Cụ thể hơn, dấu hệ số góc đường thẳng cho biết biến thiên hàm số y = ax + b (a ≠ 0)  1F P P Vì biết tập xác định hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0)  nên để đơn giản, từ trở nói đến biến thiên hàm số y = ax + b (a ≠ 0) không nhắc lại tập xác định [...]... chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên […] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng bất kỳ của đường thẳng [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22] Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó... trình nghiên cứu đã có liên quan đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1) Câu hỏi đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường thẳng mang những ý nghĩa gì? Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình,... sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1 Chương 2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở trường phổ thông Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT hiện hành Qua... xây dựng hai thực nghiệm (một ở THCS và một ở THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên 4 Tổ chức của luận văn Chương 1 Các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác Chúng tôi sẽ phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học Qua việc phân tích những... kết quả đã có về đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng Kết quả thu được từ việc nghiên cứu tri thức bác học về hệ số góc của đường thẳng và phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam sẽ làm cơ sở cho phép chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu về hiểu biết của học sinh đối với nghĩa của hệ số góc của đường thẳng Từ đó, chúng... hình học giữa các đối tượng trong toán học đều được đại số hóa Điều này làm cho một số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt là nghĩa của nó Như vậy ẩn chứa sau mối liên hệ giữa HH và ĐS-GT thì các đối tượng toán học, cụ thể là Đường thẳng và Hệ số góc của nó trong mặt phẳng, có những tính chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu như thế nào? Nghĩa của nó trong. .. hệ số góc Theo đó, hệ số góc của đường thẳng được định nghĩa như sau: Định nghĩa [về hệ số góc của đoạn thẳng] y Nếu P 1 = (x 1 , y 1 ) và P 2 = (x 2 , y 2 ), và P1P2 không R R R R R R R R R R R R thẳng đứng, thì hệ số góc của y2 − y1 P1P2 là y1 Định lý 13-1 O a= x2 − x1 P2 y2 P1 H x Trên một đường thẳng không thẳng đứng, mọi x1 x2 Hình 1.1 đoạn thẳng đều có cùng hệ số góc Chứng minh: Nếu đường thẳng. .. đích của việc xây dựng thực nghiệm là nhằm kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu lên ở cuối chương 2 9 Chương 1 CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC 1.1 Mục tiêu của chương Như chúng tôi đã đề cập ở phần mở đầu, đường thẳng được nghiên cứu trong nhiều phân môn của toán học như Hình học. .. ấy ta có khái niệm góc giữa hai đường thẳng Từ điển toán học thông dụng đã định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và phép cộng các góc như sau: […] Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Cặp đường thẳng có thứ tự đi qua O trong mặt phẳng (d,δ), d là đường thẳng đầu, δ là đường thẳng cuối; O gọi là đỉnh của góc Phép cộng các góc định hướng giữa hai đường thẳng và có hệ thức Chasles: (d,δ)... bách khoa phổ thông toán học Tập 11 1, 2, Nxb Giáo dục - Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 1.2 Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp Trong HH, các khái niệm cơ bản như mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng, tia, góc; các