BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ quý báu nguồn tài liệu PGS TS Trần Tuấn Nam Tôi xin gởi đến thầy lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Tôi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình tất quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học Đại số lý thuyết số khóa 22 1 MỤC LỤC trang Mục lục Bảng kí hiệu MỞ ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 1.2 Vành môđun thương 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết đối ngẫu Matlis 1.4 Iđêan nguyên tố đối liên kết 10 1.5 Hàm tử Ext hàm tử Tor 11 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 12 1.7 Số chiều 14 Chương - MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER 15 2.1 Môđun môđun đế 15 2.2 Môđun compắc tuyến tính 19 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 T T T 0T T 0T T T T T T T T T T T T T T T T 0T T T T T T T T T 0T 0T BẢNG KÍ HIỆU vành đầy đủ R R vành thương R theo tập nhân S RS R R RP R vành địa phương hoá R iđêan nguyên tố P R môđun thương M theo tập nhân S MS R R MP R môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố P R tập tất iđêan tối đại R Ω K M K nhỏ M M⊆ e E M môđun cốt yếu E E R (M) bao nội xạ R-môđun M Ass(M) tập tất iđêan nguyên tố liên kết M Coass(M) tập tất iđêan nguyên tố đối liên kết M Ann M ( ) {x M {x R xn } {r R rM M} R R R R I(M) x=0} P P Ass(M) giao tất iđêan nguyên tố liên kết M Ass(M) giao tất iđêan nguyên tố đối liên kết M Ass(M) hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Coass(M) hợp tất iđêan nguyên tố đối liên kết M R R R R R R R R Soc(M) đế M Rad(M) M L(M) tổng tất môđun artin M P(M) môđun lớn M L (M) R R thành phần - nguyên sơ M tích trực tiếp tổng trực tiếp tổng trực tiếp MỞ ĐẦU Trong toàn luận văn này, nhắc đến vành, hiểu vành giao hoán có đơn vị Khái niệm compắc tuyến tính giới thiệu Lefschetz vào năm 1940 không gian vectơ vô hạn chiều Vào năm 1950, Zelinsky mở rộng khái niệm sang môđun sau môđun compắc tuyến tính tiếp tục phát triển xa nhờ Macdonald [3] Zöschinger [10] Trên vành R, R-môđun M gọi compắc tuyến tính M có tính chất: Nếu {x i +U i } R R R (x i +U i ) R R R R R R R R R họ đối tập môđun M cho với tập hữu hạn J ⊆ I ta có R (x i +U i ) R R R R R Những nghiên cứu môđun compắc tuyến tính mối liên hệ thú vị môđun hữu hạn sinh, môđun artin môđun compắc tuyến tính: Mỗi môđun artin compắc tuyến tính vành địa phương (R, ), R- môđun hữu hạn sinh compắc tuyến tính đầy đủ tôpô - adic Và trường hợp M R- môđun compắc tuyến tính rời rạc, [10], Zöschinger tìm lời giải cho toán ngược: Trên vành noether, môđun compắc tuyến tính mở rộng môđun hữu hạn sinh theo môđun artin Mục đích luận văn trình bày lại làm rõ kết xung quanh vấn đề vừa nêu thông qua nghiên cứu cẩn thận báo [15] số tài liệu khác Chương đầu luận văn dành trình bày phần kiến thức chuẩn bị, nhắc lại khái niệm trình bày số kết dùng đến Trong mục 1.1, đưa định nghĩa số kết liên quan đến mở rộng cốt yếu bao nội xạ Trong trường hợp (R, ) vành địa phương noether, bao nội xạ E trường thặng dư R/ môđun nội xạ đối sinh, đồng thời môđun artin compắc tuyến tính Cấu trúc thương nhắc đến mục Có đôi khi, số kết khó chứng minh cách khéo léo cách thu hẹp toán trường hợp vành địa phương trước giải tổng quát, phương pháp áp dụng thường xuyên chương 4 Các mục 1.3 1.4 dành trình bày kết liên quan đến iđêan nguyên tố liên kết đối liên kết Các tập Ass Coass đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc môđun nói chung môđun compắc tuyến tính nói riêng Nếu M môđun compắc tuyến tính M có số chiều Goldie số chiều lõm hữu hạn Ass(M) Coass(M) tập hữu hạn Phần đầu chương giới thiệu môđun môđun đế Một môđun gọi môđun (đế) môđun tối đại (đơn) Môđun tối đại môđun M tồn kí hiệu P(M) Tổng tất môđun artin M kí hiệu L(M) Các tập P(M) L(M) đóng vai trò quan trọng nghiên cứu sau liên quan tới môđun compắc tuyến tính Một môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun môđun đế thường có tính chất đặc biệt, đối tượng nghiên cứu phần sau Nếu M môđun compắc tuyến tính, đồng thời môđun đế vành noether Ass(M)=Coass(M), có R Ass(M= R R = R R Coass(M) R Phần lại chương dành trình bày kết Các mệnh đề 2.2.10, 2.2.35, 2.2.37, 2.2.39, 2.2.47 kết mang tính chất bổ trợ cho việc chứng minh định lý 2.2.57: Trên vành noether giao hoán, môđun compắc tuyến tính mở rộng môđun hữu hạn sinh theo môđun artin Tức môđun compắc tuyến tính M có môđun U cho M/U môđun artin Dù thân có nhiều cố gắng hoàn thành luận văn, phần khó khăn ngôn ngữ, phần hạn chế thân kiến thức kỹ nên luận văn hẳn không tránh khỏi thiết sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh 5 Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun, R-môđun E M gọi mở rộng cốt yếu M U ∩ M với môđun U E Một mở rộng cốt yếu E M gọi tối đại không tồn R-môđun K E đồng thời K mở rộng cốt yếu M Nếu E ⊆ M mở rộng cốt yếu ta gọi M môđun cốt yếu E ký hiệu M ⊆ e E Đồng cấu f:M E gọi mở rộng cốt yếu f đơn cấu Im f ⊆ e E Mệnh đề 1.1.2 Cho M, E, K R-môđun Khi (1) M ⊆ e E với phần tử E, tồn r a R cho M (2) Nếu M ⊆ e E E ⊆ e K M ⊆ e K Mệnh đề 1.1.3 Cho R-môđun M i ⊆ E i (1 R R R R i n) Khi Mi ⊆e R R Ei R R M i ⊆ e E i với i R R R R Định lý 1.1.4 Đối với R-môđun M ⊆ E, điều kiện sau tương đương (1) E mở rộng cốt yếu tối đại M (2) E môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M (3) E môđun nội xạ tối tiểu chứa M Định nghĩa 1.1.5 Nếu R-môđun M ⊆ E thỏa điều kiện tương đương 1.1.4 E gọi bao nội xạ M ta ký hiệu E = E R (M) E=E(M) trường hợp vành R R ngầm hiểu 1.2 Vành môđun thương Định nghĩa 1.2.1 Một tập S R gọi tập nhân x,y S xy S S Định nghĩa 1.2.2 Cho S tập nhân R Vành thương R S tập tất lớp tương đương R S quan hệ tồn u S cho us'r=usr' Phép cộng R S Phép nhân Đồng cấu tắc i:R RS, r R R r Định nghĩa 1.2.3 Cho P iđêan nguyên tố R, vành thương R theo tập nhân RP gọi địa phương hóa R P kí hiệu R P R R Bổ đề 1.2.4 Nếu R miền nguyên S=R{0} R S trường Định nghĩa 1.2.5 Trường R S 1.1.4 gọi trường thương R Mệnh đề 1.2.6 Cho R miền nguyên K trường thương R Khi K=E R (R) R Định nghĩa 1.2.7 Cho f:R R A đồng cấu vành Đối với iđêan J A, iđêan thu hẹp f-1(J), kí hiệu J ∩ R Đối với iđêan I R, iđêan mở P P rộng f(I)A, kí hiệu IA Mệnh đề 1.2.8 Cho S tập nhân R i:R R S đồng cấu tắc Khi (1) Mỗi iđêan R S có dạng R S với iđêan R (2) Mỗi iđêan nguyên tố R S có dạng PR S với P iđêan nguyên tố R Hệ 1.2.9 Nếu R vành noether S tập nhân R R S vành noether Mệnh đề 1.2.10 Cho S tập nhân R M R-môđun hữu hạn sinh Khi M S R R Ann R (M) ∩ S= R R Mệnh đề 1.2.11 Cho S tập nhân, iđêan R M R-môđun Khi (1)(R/ ) S =R S / R S R R R R (2)( M) S R RSM S R R R Định nghĩa 1.2.12 Cho S tập nhân R M R-môđun Môđun thương M S tập tất lớp tương đương M S quan hệ R R tồn u S cho us'x=usx' Phép cộng M S R S - phép nhân vô hướng R R Đồng cấu tắc i:M MS, x R R x Bổ đề 1.2.13 Cho S tập nhân R f:M N đồng cấu R- môđun Khi đồng cấu R S - môđun R R Mệnh đề 1.2.14 Cho dãy khớp R-môđun Khi dãy dãy khớp R S - môđun R R Mệnh đề 1.2.15 Cho S tập nhân R M, N môđun Rmôđun, (1) (M ∩ N) S =M S ∩ N S R R R R