BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu cá nhân hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Dương Quang Hòa MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích đề tài 11 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 11 Phương pháp nghiên cứu 12 Ý nghĩa khoa học đề tài 12 Bố cục nội dung luận án 13 CHƯƠNG 1: K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 15 1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 15 1.1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 15 1.1.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 17 1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 21 1.2.1 K-quỹ đạo nhóm Lie 21 1.2.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 22 1.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 24 CHƯƠNG 2: LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 45 2.1 Phân 45 2.1.1 Phân bố khả tích đa tạp vi phân 45 2.1.2 Phân 46 2.2 Tôpô phân 48 2.2.1 Không gian phân 48 2.2.2 Kiểu tôpô phân 49 2.3 Phân đo 49 2.4 Phân loại tôpô MD(5,4) – phân liên kết với MD(5,4) – nhóm 50 2.4.1 Các MD(5,4) – phân liên kết với MD(5,4) – nhóm 51 2.4.2 Phân loại tôpô MD(5,4) – phân 52 CHƯƠNG 3: K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 59 3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân 59 3.1.1 Holonomy 59 3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy phân 61 3.1.3 Không gian nửa mật độ 62 3.1.4 C*-đại số Connes liên kết với phân 64 3.1.5 Tích xiên 65 3.1.6 Các tính chất C ∗ (V , F ) 66 3.2 Phép đặc trưng C*-đại số phương pháp K-hàm tử 69 3.2.1 K-lý thuyết mở rộng C*-đại số 69 3.2.2 KK-nhóm Kasparov 71 3.2.3 Bất biến số C*-đại số 72 3.2.4 Đẳng cấu Thom-Connes tính tự nhiên 74 3.2.5 Hệ bất biến số C*-đại số 75 3.3 K − lý thuyết phân 76 3.4 K-lý thuyết MD(5,4)-phân 78 3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân 78 3.4.2 Đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F2 F3 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 PHỤ LỤC A: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ LIE 104 PHỤ LỤC B: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN C∗-ĐẠI SỐ VÀ ∗ĐỒNG CẤU 105 PHỤ LỤC C: MỘT VÀI KHÁI NIỆM KHÁC 108 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ⊕ : Tổng trực tiếp ⊗,  : Tích tenxơ tích tenxơ ■ : Kết thúc phép chứng minh Ad : Biểu diễn phụ hợp ad : Vi phân biểu diễn phụ hợp AutG : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G  A = Aρ G : Tích xiên A G tác động ρ ,  : Trường số phức, trường số thực C(X ) : C*-đại số hàm phức liên tục X C0 ( X ) : C*-đại số hàm phức liên tục X triệt tiêu vô ( )  C0  : Đơn vị hoá C*-đại số C0  Cc∞ ( H ) : Không gian hàm trơn H có giá compact, nhận giá trị phức ( ) Cc∞ ( H , Ω1/ ) : Không gian nửa mật độ H C ∗ (V , F ) : C*-đại số Connes liên kết với phân (V , F ) Cc (G, A) : Không gian ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A End(G) : Không gian đồng cấu G exp : Ánh xạ mũ exp Ext ( B, J ) : KK − nhóm Kasparov G = Lie ( G ) : Đại số Lie nhóm Lie G G* ( ) GL ( C ( S ) ) GL1 C ( S ) : Không gian đối ngẫu đại số Lie G : Tập ma trận cấp khả nghịch với phần tử thuộc C ( S ) ( ( : = exp Mat2 C ( S ) )) – thành phần liên thông đường ma trận đơn vị cấp với phần tử thuộc C ( S ) Index A : (Hệ) bất biến số C*-đại số A K i ( A) : K i − nhóm C*-đại số A K : C*-đại số toán tử compact không gian Hilbert vô hạn ( L2 H x , Ω Matn ( A ) ( P2 C ( S ) ) ) chiều tách : Không gian nửa mật độ H x bình phương khả tích : Tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A ( ( ( ))) – tập phần tử chiếu (projection) C*- : = P M2 C S2 đại số ma trận vuông cấp với phần tử thuộc C ( S ) Sn : Mặt cầu đơn vị n-chiều TV : Phân thớ tiếp xúc V (V , F ) : Không gian phân V /F : Không gian phân (V , F ) ΩF : Quỹ đạo Kirillov qua F (Ω ) 1/ x x∈V : Phân thớ nửa mật độ V : ΩF ( G ) = {F X | X ∈ G} Λ : Độ đo hoành (đối với phân lá) ( δ , δ1 ) : Cặp đồng cấu nối dãy khớp tuần hoàn thành phần MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát điểm vấn đề mà quan tâm toán “Đi tìm lớp C*-đại số có khả đặc trưng phương pháp K-hàm tử” Năm 1943, I Gelfand A Naimark ([13]) đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Toán học Vật lý Tuy nhiên vấn đề mô tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại phức tạp toán mở Năm 1975, theo gợi ý A A Kirillov việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số lớp nhóm Lie giải K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) thành công việc sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực  Năm 1976, J Rosenberg ([18]) sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng phức  C*-đại số vài nhóm Lie giải khác Trong công trình này, J Rosenberg gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số K-hàm tử BDF phương pháp Diệp (Diep’s method) Năm 1977, Đ N Diệp ([12]) cải tiến phương pháp để đặc trưng C*-đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, K-hàm tử BDF dường không thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp C*-đại số phức tạp Từ đó, cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn sau: • Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để đặc trưng lớp rộng C*-đại số • Vấn đề 2: Đi tìm khảo sát lớp rộng C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số chúng có khả đặc trưng K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov ([14]) nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quát hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử toán tử (còn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như áp dụng đầu tiên, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*đại số C*(H3) nhóm Heisenberg H3 Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với C*-đại số có cấu trúc phổ (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn bất khả quy với tôpô cảm sinh từ tôpô Jacobson) không phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ đồng với đối ngẫu unita nhóm (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn unita bất khả quy nhóm) Đặc biệt nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy tập đối ngẫu unita nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) Do đó, việc chọn lớp nhóm Lie có không gian K-quỹ đạo không phức tạp cho phép ta đặc trưng C*-đại số nhóm chúng phương pháp K-hàm tử Dựa ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đề nghị xét lớp C*-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số chúng đặc trưng nhờ KK-hàm tử Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số nguyên dương) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo không chiều có chiều số k (chẵn) không vượt n Khi k = n G gọi MDn -nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD lớp MD Đến đây, toán lớn đặt là: “Phân loại MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số MD-nhóm tương ứng phương pháp K-hàm tử” Năm 1984, H H Việt ([35]) phân loại triệt để MDn -đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán  n , đại số Lie affine thực Lie(Aff  ) đại số Lie affine phức Lie(Aff  ) Ngay sau đó, H H Việt dùng phương pháp ( )  phủ phổ dụng Aff  nhóm affine K-hàm tử để đặc trưng C* Aff phức Aff  Như vậy, với kết có trước Đ N Diệp J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp MD -đại số MD -nhóm xem giải triệt để Bài toán tương tự MD-đại số MD-nhóm toán mở Ngoài ra, phân tầng đơn giản K-quỹ đạo lớp MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: MD-nhóm, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes ([8]) Các phân gọi MD-phân liên kết với MDnhóm xét Đối với phân (V , F ) tùy ý, toán quan trọng “tôpô phân lá” nghiên cứu không gian (hay vắn tắt không gian lá) phân Tuy nhiên, đáng tiếc không gian V F thường có tôpô không Hausdorff, ta định nghĩa K-lý thuyết không gian (theo nghĩa thông thường) Đây trở ngại lớn nghiên cứu tôpô phân Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đề ý ( F ) C (V , F ) , mà từ Connes định nghĩa: K (V ) K= = ( C (V , F ) ) , ( i 0,1) F tưởng thay C0 V * * i i Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết không gian phân (hay vắn tắt K-lý thuyết phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc C*đại số Connes C * (V , F ) liên kết với phân (hay vắn tắt C*-đại số phân lá) Kể từ công trình [8] A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số phân K-lý thuyết phân trở thành hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 kỷ trước Vấn đề đặt là: “Liệu C*-đại số phân có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?” Đáng ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) dùng KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số phân Reeb xuyến chiều số phân mặt cầu đơn vị S3 Kết hợp hai hướng nghiên cứu làm nảy sinh toán “Nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số MD-phân phương pháp K-hàm tử” Năm 1990, L A Vũ ([2]) thành công việc nghiên cứu toán lớp MD4-phân Những kết ban đầu đạt lớp MD-phân tạo nên động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu Trường hợp mà nghĩ đến tiếp tục toán với số chiều cao hơn, để từ làm 10 sở cho việc phát triển công cụ cần thiết nhằm giải toán trường hợp tổng quát Ý tưởng dẫn đến đề tài “K-lý thuyết không gian lớp MD5-phân lá” tác giả hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Mục đích đề tài Mục đích đề tài “Nghiên cứu K-lý thuyết không gian lớp MD5-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại lớp MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số phân phương pháp K-hàm tử” Cụ thể sau: Trên sở định lí phân loại MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán L A Vũ K P Shum, mô tả K-quỹ đạo lớp MD(5,4)-nhóm, tức MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) chiều Phân loại tôpô MD(5,4)-phân tương ứng, tức MD-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD(5,4)nhóm xét Nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD(5,4)-phân đặc trưng C*-đại số phân phương pháp K-hàm tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp MD5-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm tương 11 ứng Cụ thể, xét toán mô tả K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân Tiếp theo, xem xét MD(5,4)-phân liên kết với MD(5,4)-nhóm xét Cuối cùng, xét C*-đại số Connes liên kết với phân khảo sát toán đặc trưng C*-đại số MD(5,4)-phân phương pháp K-hàm tử Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, áp dụng số kỹ thuật phương pháp sau:  Trước hết, dùng số kỹ thuật phương pháp quỹ đạo Kirillov ([15]), đặc biệt phương pháp mô tả Kquỹ đạo L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm  Tiếp theo, dùng số kỹ thuật lý thuyết tôpô phân  Cuối cùng, sử dụng kỹ thuật K-lý thuyết C*-đại số, đặc biệt phương pháp đặc trưng C*-đại số phân KK-hàm tử nêu tài liệu [22] A M Torpe tài liệu [2] L A Vũ với vài cải tiến cho thích hợp Ý nghĩa khoa học đề tài Đề tài góp phần lớp C*-đại số thích hợp với phương pháp Khàm tử (Vấn đề 2), lớp C*-đại số Connes liên kết với MDphân Ngoài ra, kết đề tài đóng góp cho thể hiện, minh họa Hình học không giao hoán nói chung, hướng nghiên cứu 12 K-lý thuyết không gian phân nói riêng lớp phân cụ thể Vì thế, kết đề tài có ý nghĩa khoa học Bố cục nội dung luận án Bố cục luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Phần mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài, bố cục nội dung luận án Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết kết nghiên cứu (mà nêu vắn tắt phần mục đích đề tài) với đầy đủ chứng minh chặt chẽ Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu Các kết luận án báo cáo số Hội nghị Toán học nước quốc tế: - Hội nghị Toán học quốc tế Các phương pháp Hình học Động lực học Tôpô vào tháng 4/2011 (GEDYTO 2011) Trường Đại học Sư phạm Hà Nội - Hội nghị quốc gia Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 Đại học Thái Nguyên - Hội nghị quốc tế Toán học Ứng dụng vào tháng 12/2011 (ICMAUEL 2011) Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM 13 - Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 Đại học Huế - Hội nghị Toán học Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) Đại học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013 14 CHƯƠNG 1: K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM Kết chương Định lí 1.3.1 Mục 1.3 tranh hình học K-quỹ đạo tất MD(5,4)-nhóm Kết công bố báo [3] Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết giới thiệu lớp MD(5,4)-đại số MD(5,4)-nhóm, sau khái niệm K-quỹ đạo nhóm Lie, phương pháp mô tả chúng trước vào kết chương 1.1 Các MD-nhóm MD-đại số Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm MD-đại số Đ N Diệp đưa [10], để từ giới thiệu lớp MD(5,4)-đại số MD(5,4)-nhóm 1.1.1 Các MD-nhóm MD-đại số Giả sử G nhóm Lie thực, giải với G đại số Lie G G * không gian đối ngẫu G Định nghĩa 1.1.1 Nhóm G gọi có tính chất MD MD-nhóm K-quỹ đạo không chiều có số chiều cực đại (không vượt số chiều nhóm) Trường hợp số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm G gọi có tính chất MD MD -nhóm Đại số Lie thực, giải G ứng với MD-nhóm G (tương ứng, MD nhóm) gọi MD-đại số (tương ứng, MD -đại số) 15 Các MD-nhóm MD-đại số có số chiều n ký hiệu tương ứng MDn-nhóm MDn-đại số (hay MDn-nhóm MDn-đại số) với n số nguyên dương Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số dùng Đ N Diệp năm 1980 Ngay sau đó, lớp MD-đại số MD -đại số V M Sơn H H Việt khảo sát năm 1984 ([35]) H H Việt phân loại triệt để lớp MD -đại số: MD -đại số không giao hoán đại số Lie nhóm biến đổi affine đường thẳng thực phức V M Sơn đưa điều kiện cần để đại số Lie thực, giải MD-đại số mệnh đề Mệnh đề 1.1.2 Giả sử G MD-đại số Khi G = [ G , G ] , [ G , G ] đại số giao hoán G Toàn lớp MD4-đại số liệt kê đầy đủ vào năm 1984 Đ V Trà ([1]) Năm 1990, dựa liệt kê Đ V Trà, L A Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4-đại số ([2]) Nói cách vắn tắt, toán liệt kê phân loại MD4-đại số giải trọn vẹn Khi n = , tính toán trở nên phức tạp Trong trình giải toán liệt kê phân loại, để đơn giản, L A Vũ đề nghị xét lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (1 ≤ k ≤ ) Năm 2008, L A Vũ K P Shum hoàn thành việc liệt kê phân loại lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán ([24]) Trên sở đó, nghiên cứu toán lớp MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán chiều (như đề cập phần Mở đầu) 16 Thật ra, nhờ mệnh đề hệ đây, ta thấy xét lớp MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất chiều mà không cần ý đến tính giao hoán ideal Mệnh đề 1.1.3 ([30, Theorem 2.1.5]) Cho G đại số Lie thực, giải n chiều ( n ≥ ) cho dim G1= n − G giao hoán Khi đó, G MDđại số G1 giao hoán Kết hợp Mệnh đề 1.1.2 Mệnh đề 1.1.3, ta có hệ sau Hệ 1.1.4 Không tồn MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất chiều không giao hoán Do Hệ 1.1.4, nên ta cần xét toán lớp MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán chiều mà Trong tiểu mục đây, ta giới thiệu lại MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 1.1.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều Suốt mục này, G ký hiệu để MD5-đại số Ta chọn trước sở { X , X , X , X , X } cố định G Lúc với tư cách không gian vectơ chiều, G ≅  Về phân loại lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều, ta có mệnh đề L A Vũ K P Shum [24] = G1 [ G, G ] ≅  Mệnh đề 1.1.5 Cho G MD5-đại số bất khả phân (đại số Lie giao hoán chiều) Khi đó, ta chọn sở thích hợp = cho G1 { X , X , X , X , X } G 17 X , X , X , X ≅ 4 , ad X1 ∈ End ( G1 ) ≅ Mat (  ) G đẳng cấu với đại số Lie 1) G5,4,1( λ ,λ ,λ ) : ad X 2)  λ1  λ2 = 0  0  λ1   λ2 G5,4,2( λ1 ,= λ2 ) : ad X1 0  0 0 λ3 0 0  0 ; λ1 , λ2 , λ3 ∈  \ {0,1} , λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ≠ λ1 0  1 0  0 ; λ1 , λ2 ∈  \ {0,1} , λ1 ≠ λ2 0  1 λ 0 0   λ 0  G5,4,3( λ ) : ad X1 3) = ; λ ∈  \ {0,1}  0 0    0 1 λ  0 G 4) = 5,4,4( λ ) : ad X1 0  0 0 0 0  0 ; λ ∈  \ {0,1} 0  1 1  = 0  0 0 0 0  0 0  1 5) G5,4,5 : ad X 6)  λ1   λ2 G5,4,6( λ1 ,= λ2 ) : ad X1 0  0 0 0  0 ; λ1 , λ2 ∈  \ {0,1} , λ1 ≠ λ2 1  1 18 [...]... đề tài K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5- phân lá của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ 2 Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5- nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử”... phân lá đo được theo nghĩa của A Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các MD -phân lá liên k t với các MDnhóm đã xét Đối với một phân lá (V , F ) tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V 9 F thường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K- lý. .. được xét 3 Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4) -phân lá và đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của các MD5- nhóm tương 11 ứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K- quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm... số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K- hàm tử hay không? ” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3 K t hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của các MD -phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các. .. K- lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý ( F ) bởi C (V , F ) , mà từ đó Connes định nghĩa: K (V ) K= = ( C (V , F ) ) , ( i 0,1) F tưởng là thay C0 V * * i i Như vậy, để nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K- lý thuyết đối với. .. [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp 5 Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp Khàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên k t với các MDphân lá Ngoài ra, các k t quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu 12 K- lý thuyết đối với không. .. đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các Kquỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm  Tiếp theo, chúng tôi dùng một số k thuật của lý thuyết tôpô phân lá  Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các k thuật cơ bản của K- lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A... đối với phân lá) , ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*đại số Connes C * (V , F ) liên k t với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá) K từ công trình [8] của A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K- lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế k trước... định lí phân loại các MD5- đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K- quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5- nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5- đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều 2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4) -phân lá tương ứng, tức là các MD -phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)nhóm... cùng với các k t quả có trước của Đ N Diệp và J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K- quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân