BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, nhận giúp đỡ nhiều thầy cô giáo, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho trình học tập trường Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2014 Đỗ Thị Phương Thanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1: VÀNH ĐA THỨC §2: MODULE 10 Chương CƠ SỞ GRöBNER 13 §1: IDEAL ĐƠN THỨC 13 §2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23 §3: CƠ SỞ GRöBNER 30 §4: VAI TRÒ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa K ( x) Vành đa thức nhiều biến K [ x1 , , xn ] f1 , , f n Ideal sinh f1 , , f n ≤lex Thứ tự từ điển ≤ glex Thứ tự từ điển phân bậc ≤ rlex Thứ tự từ điển ngược G(I ) Tập hợp tất đơn thức sinh tối tiểu I in ( f ) Từ khởi đầu đa thức f lm ( f ) Đơn thức đầu f lc ( f ) Hệ số đầu f in ( I ) Ideal khởi đầu ideal I S ( f ,g) S − đa thức f g IR I ideal R  Tập thực ⊆ Tập nhỏ ■ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Một toán quan trọng vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] là: Cho f ∈ R I = f1 , , f s  R, xác định xem f có thuộc I hay không? Điều đòi hỏi f phải biểu diễn dạng f = q1 f1 + + qs f s Để có biểu diễn này, cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1 , , f s Đối với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa thức dư áp dụng thuật toán chia f cho f1 , , f s khác Ví dụ Cho f1 =x y + y, f =xy + x Ta có f = x y + x 2= xf hay f ∈ f1 , f ( ) 2 f = yf1 + x − y tức đa thức dư f chia cho f1 , f r = x − y ≠ Vấn đề đặt liệu có hệ sinh g1 , , gt I mà chia f cho g1 , , gt theo thuật toán đa thức dư f ∈ I đa thức dư Điều dẫn tới khái niệm sở Gröbner thuật toán Buchberger giúp ta tìm sở Gröbner từ hệ sinh Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: Vành đa thức module Chương cung cấp kiến thức vành đa thức biến nhiều biến Đồng thời đưa số tính chất số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether Chương Cơ sở Gröbner Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Ideal đơn thức Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức vài lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức Tiết 2: Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu tính chất ideal khởi đầu Tiết 3: Cơ sở Gröbner Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner Tiết 4: Vai trò sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Trình bày định lí thuật toán chia vai trò sở Gröbner việc ổn đinh đa thức dư phép chia đa thức Tiết 5: Thuật toán Buchberger Trình bày khái niệm S − đa thức thuật toán Buchberger để tìm sở Gröbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà không nói thêm ta hiểu vành đa thức trường 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = ∑ xi i =0 , i = 0, , n, số thực Nếu a0= 1, a1= = an= đa thức kí hiệu n m i =0 j =0 i Hai đa thức f ( x ) = ∑ x g ( x ) = ∑ b j x j ( ≠ 0, bi ≠ ) xem m = n = a j với i = j Phép cộng đa thức định nghĩa sau:  m  n  m i j k  + = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ( ak + bk ) x  ( giả sử m > n ) =  i 0=  j 0=   k Phép nhân đa thức định nghĩa sau: m  n  n+ m k  i  j = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ck x  với ck = ∑ b j i+ j= k =  i 0= j0 =   k Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu vành K [ x ] Sau định nghĩa đa thức biến, việc thứ tự số hạng đơn thức cần thiết nên liền xuất khái niệm bậc đa thức: Định nghĩa 1.1.2: Bậc đa thức khác f ( x= ) a0 x0 + + an−1 x n−1 + an x n Như ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức không ta bảo bậc Định lí 1.1.3: Giả sử f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác (i) Nếu bậc f ( x ) khác bậc g ( x ) , ta có: f ( x ) + g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) + g ( x )) = max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x ) , thêm f ( x ) + g ( x ) ≠ 0, ta có: Bậc ( f ( x ) + g ( x )) ≤ max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) (ii) Nếu f ( x ) g ( x ) ≠ 0,thì ta có bậc ( f ( x ) g ( x ) ) ≤ bậc f ( x ) + bậc g ( x ) ) Định lí 1.1.4: Nếu K miền nguyên f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác vành K [ x ] , f ( x ) g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) g ( x ) ) = bậc f ( x ) + bậc g ( x ) Hệ 1.1.5: Nếu K miền nguyên, K [ x ] miền nguyên Để giải vấn đề đặt ra: đa thức f có thuộc ideal I sinh hệ đa thức { f1 , , f n } Trong trường hợp đặc biệt, vành K [ x ] vành biến, K trường, K [ x ] vành I ideal sinh đa thức g ( x ) Nếu f ( x ) ∈ I f ( x ) phải biểu diễn f ( x ) = q ( x ) g ( x ) Để có biểu diễn ta phải lấy f ( x ) chia cho g ( x ) , để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức: Định lí 1.1.6: Giả sử K trường, f ( x ) g ( x ) ≠ vành K [ x ] ; có hai đa thức q ( x ) r ( x ) thuộc K [ x ] cho = f ( x ) g ( x ) q ( x ) + r ( x, ) với bậc r ( x ) < bậc g ( x ) r ( x ) ≠ Do đa thức dư đa thức thương nên điều kiện cần đủ để f thuộc I dư phép chia f ( x ) cho g ( x ) 5 Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn đa thức f1 , , f n ∈ K [ x ] đa thức h cho: (i) h chia hết f1 , , f n , nghĩa f1 q= = qn h; q1 , , qn ∈ K [ x ] 1h , , f n (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f1 , , f n , p chia hết h Trong trường hợp ta viết h = UCLN ( f1 , , f n ) Mệnh đề 1.1.8:Cho f1 , , f n ∈ K [ x ] , n ≥ Khi đó: (i) UCLN ( f1 , , f n ) tồn với sai khác số khác K (ii) ( f1 , , f n ) = (UCLN ( f1 , , f n ) ) (iii) Nếu n ≥ UCLN ( f1 , , f n ) = UCLN (UCLN ( f1 , , f n −1 ) , f n ) Thuật toán 1.1.9: (Thuật toán Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực phép chia đa thức biến: = f p0 g + s0 , = g p1 s0 + s1 , = s0 p2 s1 + s2 , , đến lúc ta sm = pm+1sm+1 (ở sm+2 = ) thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , xn ( n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có n dạng x1a xna ,trong ( a1 , , an ) ∈  gọi số mũ đơn thức Nếu n a= = a= , đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức n định nghĩa sau: (x a1 xnan )( x1b1 xnbn ) = x1a1 +b1 xnan +bn Từ biểu thức có dạng a x1a xna ,trong α ∈ R gọi hệ số từ Thông n thường phần tử R gọi phần tử vô hướng Hai từ khác không a x1a xna n β x1a xna đồng dạng với Như xem đơn thức từ với hệ số , n phần tử vô hướng α từ α = xn ) , a ( a1 , , an ) ∈  n ( x1 , , Để cho tiện ta kí= hiệu x x a = x1a1 xnan Đa thức n biến x1 , , xn vành K tổng hình thức từ: f ( x) = ∑a a xa , a∈ n Trong có số hữu hạn hệ số a a ≠ Từ a a x a với a a ≠ gọi từ đa thức x a đơn thức f ( x ) Hai đa thức f ( x ) = ∑a a x a g ( x ) = a∈ n ∑β a x a xem nhau, a a = β a a∈ n với a ∈  n Phép cộng đa thức định nghĩa sau:   a a ∑n (aa + βa ) x a  ∑n a a x  +  ∑n β a x  =  a∈   a∈  a∈ Phép nhân đa thức định nghĩa sau:  a  a a  ∑n a a x   ∑n β a x  = ∑n γ a x  a∈   a∈  a∈ γ a = ∑ ab bc b ,c∈ n ;b + c = a Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị đơn thức Tập kí hiệu vành K [ x1 , , xn ] hay K [ x ] Định nghĩa 1.1.11: Bậc tổng thể đa thức deg f= ( x ) max {a1 + + an | a a ≠ 0} Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thông thường Đôi bậc tổng thể đa thức nhiều biến gọi tắt bậc, hiểu nhầm xảy Để xếp hạng tử đa thức f ( x ) khác không, ta xếp theo thứ tự từ gọi thứ tự từ: Định nghĩa 1.1.12: Thứ tự từ ≤ thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức K [ x ] thỏa mãn tính chất sau: (i) Với m ∈ M ,1 ≤ m (ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 Từ định nghĩa ta thấy vành đa thức biến có thứ tự từ Đó thứ tự xác định bậc đơn thức Dưới ta thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự từ số biến từ hai trở lên Trước hết ta thiết lập số tính chất chung thứ tự từ Mệnh đề 1.1.13: Một thứ tự toàn phần ≤ M thứ tự tốt dãy đơn thức thực giảm: m1 > m2 > m3 > dừng (sau hữu hạn phần tử) Mệnh đề 1.1.14: Mọi thứ tự từ thứ tự tốt Ngược lại thứ tự tốt M thỏa điều kiện (ii) định nghĩa 1.1.12 thứ tự từ Một số thứ tự từ Cho ≤ thứ tự từ Sau đổi số biến giả thiết: x1 > x2 > > xn Sau số thứ tự từ quan trọng: Định nghĩa 1.1.15:Thứ tự từ điển thứ tự ≤ lex xác định sau: x1α xnα < lex x1β xnβ n thành phần khác không kể từ bên trái vector (α1 − β1 , , α n − β n ) n βi , cho α1 β= số âm (Nói cách khác, tồn ≤ i < n = , , α i αi +1 < βi +1 ) Thứ tự từ điển tương tự cách xếp từ từ điển, có tên gọi Định nghĩa 1.1.16: Thứ tự từ điển phân bậc thứ tự ≤ glex xác định sau: x1α1 xnαn < glex x1β1 xnβn deg ( x1α xnα ) < deg ( x1β xnβ n n ) deg ( x1α1 xnαn ) = deg ( x1β1 xnβn ) thành phần khác không kể từ bên trái α β vector (α1 − β1 , , α n − β n ) số âm (Nói cách khác, x1 xn n < glex x1 xn n α β a1 + + an < β1 + + β n a1 + + an = β1 + + β n x1α xnα βi +1 ) cho α1 β= , , α i Mệnh đề 1.1.18: Ba thứ tự kể thứ tự từ Sau xếp hạng tử đa thức, ta mở rộng phép chia đa thức nhiều biến xét chương sau Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến có số tính chất mở rộng trực tiếp từ vành đa thức biến Mệnh đề 1.1.19: Nếu K miền nguyên vành đa thức K [ x ] miền nguyên Mệnh đề 1.1.20: Nếu K miền nguyên, với đa thức f ( x ) , g ( x ) ∈ R [ x ] có: deg ( f ( x= ) g ( x ) ) deg f ( x ) + deg g ( x ) deg ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ max {deg f ( x ) ,deg g ( x )} Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt deg f ( x ) = deg g ( x ) f deg f ( x ) = − gdeg g ( x ) 10 §2: MODULE Với định nghĩa module tính chất module học đại số đồng điều, tiết ta xem xét vài module đặc biệt Module tự module hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.1: Cho S ⊆ M Tập phần tử {r1s1 + + rn sn | n ∈ }, r1 , , rn ∈ R; s1 , , sn ∈ S } lập thành module M gọi module sinh S kí hiệu S Tập ∅ ≠ S ⊆ M gọi tập sinh hay hệ sinh M M = S Tập gọi tập sinh tối tiểu (hay hệ sinh tối tiểu) không thực chứa hệ sinh khác M Ta gọi M module hữu hạn sinh có hệ sinh hữu hạn Định nghĩa 1.2.2: Họ phần tử S = {ei }i∈I gọi sở R − module M tập sinh M phần tử m ∈ M biểu diễn dạng: m = ∑ re i i i∈I ri ∈ R ri = trừ số hữu hạn số i ∈ I Khác với không gian vector, module có sở Một module có sở module tự Nếu e ∈ F phần tử sở module tự F module Re ≅ R Khi ta có ngay: Mệnh đề 1.2.3: F R − module tự với sở {ei }i∈I F đẳng cấu với tổng trực tiếp ⊕i∈I Ri ,trong Ri = R với i ∈ I Module tự có sở hữu hạn số phần tử sở không thay đổi: 11 Mệnh đề 1.2.4: Cho R vành không tầm thường F mdule tự với sở hữu hạn Khi sở F hữu hạn hai sở tùy ý F có số phần tử Hệ 1.2.5: Mọi module hữu hạn sinh đẳng cấu với module thương module R n , n ≥ Định lí 1.2.6: Giả sử R vành có ideal cực đại M M R − module hữu hạn sinh Khi x1 , , xn tập sinh M ảnh x1 , , xn tập sinh không gian vector M = M / MM R / M Do tập sinh tối tiểu M có số phần tử Module Noether Định nghĩa 1.2.7: Cho R vành M module R Các điều kiện sau tương đương: (i) (ii) Mọi tập khác rỗng module M có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức) Mọi dây chuyền tăng module M M ⊆ M ⊆ ⊆ M n ⊆ M n +1 ⊆ , Mk M = dừng sau hữu hạn bước, tức tồn k để = k +1 (iii) Mọi module M hữu hạn sinh Module thỏa mãn ba điều kiện gọi module Noether Từ định nghĩa ta suy ngay: R vành Noether module Noether Mệnh đề 1.2.8: Cho M module vành R N module M module Noether hai module N M / N R − module Noether Định lí 1.2.9: R − module M Noether M hữu hạn sinh R / Ann ( M ) Noether Từ bổ đề định lí suy ra: R vành Noether vành thương Noether 12 Định lí Hilbert sở: Cho K vành Noether x tập n biến Khi vành K [ x ] vành Noether Khi ta có hệ quả: Mọi ideal vành đa thức K [ x ] trường K hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.10: Một ideal I vành R gọi có phân tích nguyên sơ có hữu hạn ideal Q1 , , Qn R cho: i) Q1 , , Qn ideal nguyên sơ ii) I = Q1 ∩ ∩ Qn ` Định lý 1.2.11 (Lasker-Noether): Trong vành Noether ideal thực có phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1.2.12: Một ideal thực vành R gọi bất khả quy giao ideal chứa thực Nói cách khác ideal I R bất khả quy I ≠ R với ideal I M ∩ N I = M hay I = N M , N = Mệnh đề 1.2.13: Mỗi ideal thực vành nơte R giao số hữu hạn ideal bất khả quy Mệnh đề 1.2.14: (i) Nếu ideal vành Noether bất khả quy ideal nguyên sơ (ii) Mỗi ideal bất khả quy vành Noether nguyên sơ 13 Chương CƠ SỞ GRöBNER Chương chủ yếu giải toán đặt vành đa thức nhiều biến Để có khái niệm sở Gröbner, ta cần nghiên cứu ideal đơn thức, ideal khởi đầu Sau có khái niệm sở Gröbner, ta tìm hiểu vai trò việc xác định phần tử ideal Từ đó, ta có thuật toán tìm sở Gröbner để giải hoàn toàn toán đặt §1: IDEAL ĐƠN THỨC Trong lớp ideal vành đa thức nhiều biến, có lớp ideal quan trọng ideal đơn thức, sở giúp ta đưa khái niệm ideal khởi đầu hay sở Gröbner trình bày mục sau Định nghĩa 2.1.1: Ideal I gọi ideal đơn thức sinh đơn thức = I Như ideal đơn thức có dạng x a ; a ∈ A ,trong A ⊆  n Chú ý định nghĩa không yêu cầu tập A hữu hạn Tuy nhiên kết sau cho ta thông tin xác số phần tử tập sinh Tập sinh ideal đơn thức Nghiên cứu đơn thức dễ dàng đơn giản đa thức Chẳng hạn, xét quan hệ chia hết hai đa thức ta cần làm phép chia đa thức, đơn thức ta cần xét số mũ biến hai đa thức không tồn ướcchung lớn đơn thức có ước chung lớn Cụ thể ta có: Mệnh đề 2.1.2: (i) Đơn thức x chia hết cho đơn thức x b1 ≥ a1 , , bn ≥ an (ii) UCLN ( x a , xb ) = x1 .xn (iii) BCNN ( x a , xb ) = x1 .xn b a min{a1 ,b1} Chứng minh: max{a1 ,b1} min{an ,bn } max{an ,bn } 14 (i) Đơn thức x chia hết cho đơn thức x tồn đơn thức x cho x b = x a x c ⇔ x b = x a + c ⇔ x1b x bn = x1a + c x na + c Suy ra: b a a1 + c1 b1 = b1 ≥ a1   ⇔   b = b ≥ a n  n an + cn  n ( n 1 c n n ) c a b (ii) Gọi x = UCLN x , x Khi x c | x a x c | xb , suy a1 ≥ c1 , ,a n ≥ cn b1 ≥ c1 , , b n ≥ cn Mặt khác x d | x a x d | xb x d | x c nghĩa a1 ≥ d1 , ,a n ≥ d n b1 ≥ d1 , , b n ≥ d n c1 ≥ d1 , ,c n ≥ d n Vậy = c1 = {a1 , b1} , , cn {an , bn } (iii) Tương tự (ii) ta có điều phải chứng minh ■ = I Mệnh đề 2.1.3: Cho x a ; a ∈ A ideal đơn thức Đơn thức x b ∈ I x b chia hết cho đơn thức x a với a ∈ A Chứng minh: Rõ ràng xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức x a với a ∈ A Ngược lại xb ∈ I tồn hi ∈ K [x ] a ( i ) ∈ A , i = 1, , s cho: s x b = ∑ hi x a(i ) i =1 Xem hi tổng hữu hạn từ khai triển vế phải đẳng thức ta thấy từ phải chia hết cho x a(i ) Sau giản ước, số lại phải x b Vậy xb phải có tính chất từ đó, tức chia hết cho x ■ a(i ) Mệnh đề 2.1.4: Cho I ideal đơn thức f ∈ K [ x ] Các điều kiện sau tương đương: (a) f ∈ I (b) Mọi từ f thuộc I (c) f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I 15 Chứng minh: Hiển nhiên có ( c ) ⇒ ( b ) ⇒ ( a ) Đối với ( a ) ⇒ ( c ) nhận xét tương tự chứng minh mệnh đề ta có từ f phải chia hết cho x a với a ∈ A Mà đơn thức chia hết cho x a lại thuộc I Do từ f tích đơn thức I phần tử từ K , tức có ( c ) ■ Hệ 2.1.5: Hai ideal đơn thức vành đơn thức chúng chứa tập đơn thức Mệnh đề 2.1.6: Ideal I ideal đơn thức với f ∈ I , từ f thuộc I Chứng minh: Điều kiện cần suy từ mệnh đề 2.1.4 Từ giả thiết suy tập đơn thức đa thức I sinh I Do điều kiện đủ chứng minh ■ Theo định nghĩa, ideal đơn thức sinh đơn thức, tập không hữu hạn Nhưng định lí Hibert sở cho ta kết đẹp ideal vành đa thức K [ x ] với K trường hữu hạn sinh Vậy ideal đơn thức hữu hạn sinh Điều phát biểu dạng bổ đề sau: = I Mệnh đề 2.1.7: (Bổ đề Dickson) Mọi ideal đơn thức x a ; a ∈ A viết dạng I = x a(1) , , x a( s ) , a (1) , , a ( s ) ∈ A Nói riêng I hữu hạn sinh Chứng minh: (ta chứng minh trực tiếp bổ đề Dickson) Chứng minh quy nạp theo số biến n Khi n = ta có A ⊆  Chọn b ∈ A số nhỏ Khi x1b chia hết cho đơn thức x1a với a ∈ A Từ có I = xb Giả sử bổ đề chứng minh ≤ n − biến Kí hiệu x ' = ( x1 , , xn −1 ) Như đơn thức K [ x ] viết dạng x 'α xnq , α ∈  n−1 q ∈  Gọi J ideal vành K [ x '] sinh đơn thức x 'α cho tồn xnm x 'α ∈ I Theo giả thiết qui nap, J sinh hữu hạn đơn thức vậy, tức J= x 'αα ' (s) (1) , , x [...]... 1.2.14: (i) Nếu ideal 0 trong vành Noether là bất khả quy thì nó là ideal nguyên sơ (ii) Mỗi ideal bất khả quy trong vành Noether là nguyên sơ 13 Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER Chương này chủ yếu giải quyết bài toán đặt ra trên vành đa thức nhiều biến Để có khái niệm cơ sở Gröbner, ta cần nghiên cứu ideal đơn thức, ideal khởi đầu Sau khi có khái niệm cơ sở Gröbner, ta sẽ tìm hiểu vai trò của nó trong việc xác định... toán tìm cơ sở Gröbner để giải quyết hoàn toàn bài toán đặt ra §1: IDEAL ĐƠN THỨC Trong các lớp ideal của vành đa thức nhiều biến, có một lớp ideal rất quan trọng là ideal đơn thức, là cơ sở giúp ta đưa ra các khái niệm ideal khởi đầu hay cơ sở Gröbner được trình bày trong các mục sau Định nghĩa 2.1.1: Ideal I được gọi là ideal đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức = I Như vậy một ideal đơn thức có... từ Sau khi sắp xếp được các hạng tử của đa thức, ta sẽ mở rộng phép chia đa thức nhiều biến sẽ xét ở chương sau Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến cũng có một số tính chất được mở rộng trực tiếp từ vành đa thức một biến Mệnh đề 1.1.19: Nếu K là miền nguyên thì vành đa thức K [ x ] cũng là miền nguyên Mệnh đề 1.1.20: Nếu K là miền nguyên, thì với mọi đa thức f ( x ) , g ( x ) ∈ R [ x ] đều có:... ngay: Mệnh đề 1.2.3: F là R − module tự do với cơ sở {ei }i∈I khi và chỉ khi F đẳng cấu với tổng trực tiếp ⊕i∈I Ri ,trong đó Ri = R với mọi i ∈ I Module tự do có cơ sở hữu hạn thì số phần tử của một cơ sở là không thay đổi: 11 Mệnh đề 1.2.4: Cho R là vành không tầm thường và F là mdule tự do với cơ sở hữu hạn Khi đó mọi cơ sở của F cũng hữu hạn và hai cơ sở tùy ý của F có số phần tử như nhau Hệ quả... =  a∈   a∈  a∈ Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:  a  a a  ∑n a a x   ∑n β a x  = ∑n γ a x  a∈   a∈  a∈ trong đó γ a = ∑ ab bc b ,c∈ n ;b + c = a Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 Tập này được kí hiệu là vành K [ x1 , , xn ] hay K [ x... mệnh đề 2.1.4 Từ giả thiết suy tập các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng minh ■ Theo định nghĩa, ideal đơn thức được sinh bởi các đơn thức, nhưng tập này có thể không hữu hạn Nhưng định lí Hibert về cơ sở đã cho ta một kết quả đẹp là mọi ideal của vành đa thức K [ x ] với K là trường đều hữu hạn sinh Vậy một ideal đơn thức là hữu hạn sinh Điều đó được phát biểu... thức có dạng x a ; a ∈ A ,trong đó A ⊆  n Chú ý rằng trong định nghĩa này không yêu cầu tập A hữu hạn Tuy nhiên các kết quả sau đây cho ta các thông tin chính xác hơn về số phần tử của tập sinh của nó 1 Tập sinh của ideal đơn thức Nghiên cứu một đơn thức thì dễ dàng và đơn giản hơn đa thức Chẳng hạn, xét quan hệ chia hết của hai đa thức ta cần làm phép chia đa thức, đối với đơn thức ta chỉ cần xét số... M ) là Noether Từ bổ đề và định lí suy ra: nếu R là vành Noether thì mọi vành thương của nó cũng là Noether 12 Định lí Hilbert về cơ sở: Cho K là vành Noether và x là tập n biến Khi đó vành K [ x ] cũng là vành Noether Khi đó ta có ngay hệ quả: Mọi ideal của vành đa thức K [ x ] trên trường K là hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.10: Một ideal I của một vành R được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có... thức n biến x1 , , xn trên vành K là một tổng hình thức của các từ: f ( x) = ∑a a xa , a∈ n Trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số a a ≠ 0 Từ a a x a với a a ≠ 0 được gọi là từ của đa thức và x a là đơn thức của f ( x ) Hai đa thức f ( x ) = ∑a a x a và g ( x ) = a∈ n ∑β a x a được xem là bằng nhau, nếu a a = β a a∈ n với mọi a ∈  n Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:   a a ∑n (aa + βa... 1.2.2: Họ phần tử S = {ei }i∈I được gọi là cơ sở của R − module M nếu nó là tập sinh của M và mỗi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: m = ∑ re i i i∈I trong đó ri ∈ R và ri = 0 trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I Khác với không gian vector, không phải module nào cũng có cơ sở Một module có cơ sở là module tự do Nếu e ∈ F là một phần tử của cơ sở của module tự do F thì module con Re ≅ R