B MễN DUYT Ch nhim B mụn CNG CHI TIT BI GING (Dựng cho 75 tit ging) Hc phn: GII TCH I Nhúm mụn hc: Gii tớch B mụn: Toỏn Khoa: Cụng ngh Thụng tin Tụ Vn Ban Thụng tin v nhúm mụn hc TT H tờn giỏo viờn Tụ Vn Ban Nguyn Xuõn Viờn Nguyn c N V Thanh H T Ngc nh Bựi Vn nh Bựi Hong Yn Nguyn Th Thanh H Nguyn Vn Hng 10 Nguyn Thu Hng 11 o Trng Quyt 12 Nguyn Hng Nam Hc hm PGS PGS Ging viờn chớnh Ging viờn chớnh Ging viờn Ging viờn Ging viờn Ging viờn Ging viờn Ging viờn Ging viờn Ging viờn Thay mt nhúm mụn hc Tụ Vn Ban Hc v TS TS TS TS TS ThS ThS ThS ThS ThS ThS ThS a im lm vic: B Mụn Toỏn, P1301, Nh S4 in thoi, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com Bi ging1: Gii hn Liờn tc o hm Chng I: Gii hn, liờn tc, phộp tớnh vi phõn ca hm mt bin Đ 1.1 s thc (2 tit) Đ 1.2 gii hn dóy s (3 tit) Tit th: 1-5, Tun th: - Mc ớch, yờu cu: Mc: Nm s lc v Hc phn, cỏc chớnh sỏch riờng ca giỏo viờn, a ch Giỏo viờn, bu lp trng Hc phn Nm c vi khỏi nim v s nh sup, inf, nh lý v cn trờn; Tỡm gii hn ca dóy thụng thng, dóy n iu; Tỡm gii hn ca hm dựng cỏc phộp thay tng ng; - Hỡnh thc t chc dy hc: Hỡnh thc ch yu: Lý thuyt, tho lun - t hc, t nghiờn cu - Thi gian: Lý thuyt, tho lun: 5t - T hc, t nghiờn cu: 7t - a im: Ging ng P2 phõn cụng - Ni dung chớnh: Gii thiu hc phn GII TCH I (15 phỳt) Gii tớch toỏn hc l b mụn ca toỏn hc liờn quan n nhng ca bin i v chuyn ng Phng tin ch yu ca nú l nghiờn cu cỏc i lng vụ cựng Nú cp n chuyn nhng i lng n tin n nhng i lng Hai nhỏnh chớnh ca gii tớch l phộp tớnh vi phõn v phộp tớnh tớch phõn c liờn h vi bi nh lý c bn ca gii tớch Di dng toỏn gii tớch, I Newton ó gii thớch chuyn ng ca cỏc hnh tinh xung quanh mt tri Ngy nay, gii tớch dựng tớnh toỏn qu o ca cỏc v tinh, d bỏo kớch c qun th, cỏc ch s kinh t, d bỏo thi tit, o thụng s tim mch, tớnh toỏn phớ bo him Mt s chng minh nh lý c lc gin, nhng dung lng kin thc, tm sõu trớ tu t lụ gớc hon ton m bo, sinh viờn k thut v cụng ngh d sc lnh hi c dung lng cỏc mụn hc khỏc m nhiu ngy mt ln - bc i hc Chỳng tụi chỳ trng n khớa cnh ỏp dng ca Nhng vớ d, bi cú tớnh ng dng cao tr li cho ngi hc cõu hi hc phn ny, lm gỡ, tỏc dng vi cỏc mụn hc tip, vi nng lc ngi k s tng lai Chỳng ta s thy rt nhiu vớ d, bi liờn quan n thc tin Cỏc khỏi nim, nh lý, tớnh cht thng c phỏt biu bng li v kt hp vi cụng thc Chớnh sỏch riờng Mi ln lờn bng cha bi ỳng c ghi nhn, cng vo im quỏ trỡnh 0.5 im Cha bi sai khụng b tr im Ht Chng np Bi lm ca Bi Chng S hin din trờn lp: Khụng i hc bui s khụng c thi Ti liu tham kho TT Tờn ti liu Tỏc gi Nxb Nm xb Giỏo trỡnh Gii tớch I Tụ Vn Ban Giỏo dc 2012 Toỏn hc cao cp Nguyn ỡnh Trớ v Giỏo dc 2007 (T2,3) Gii tớch Trn Bỡnh KH v KT 2007 Bi gii tớch Nguyn Xuõn Viờn HVKTQS 2006 Bi Gii sn gii Trn Bỡnh KH v KT 2007 tớch I Calculus (Early Jon Rogawski W.H.Freeman 2007 Transcendentals), and Co BI TP V NH GT I (Vớ d: T c; Bi tp: Cha trờn lp) CHNG I Tr: 3; 4(b); 7; 11; 17(b); 25(b) Chớnh: 8(a, b, c); 9; 12(11 31, Cha: 11, 14, 16, 18, 24, 27, 29, 31 ); 13(d i: Cha: e, f, i); 14( a-f, Cha: a, b, d, f); 15; 19(a, b); 20; 23 Vớ d cui chng (b, d, e) CHNG II Tr: 1(1, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 17, 19); 18(a, d, e); 34; 36(a, b); 41, 42 Chớnh: 1(13, 21); 3; 6(a, b); 7(b); 9(a,b); 12(a, b, c, d); 13(d); 15(a, c); 16; 18(a); 21; 22(a, b); 25(c); 32(a, b, c, d); 38(a, b); 39(b) BS Nghim li nh lý Rolle vi cỏc hm s sau, ch rừ im trung gian c on [-1,1] nh lý nu nú tn ti: x x f (x) x (b) f (x) x x BS Bit rng hm n y y(x) t phng trỡnh xy ln y kh vi v y(2) Hóy tớnh y ti x VD 2.8; VD 2.16(a, b); 2.21; 2.26(a, b, d); 2.30(d); 2.33; VD 39; VD 2.40 (hỡnh 2.32 a: r arc sin ) CHNG III Tr: 1(2, 3, 4, 10, 14, 15, 25, 34) ; 14 (a); 15(a); 18; 25(a, c) Chớnh: 1(7, 19, 21, 22, 24, 27, 29, 30); 3(g); 2(c,d); 4(a, b); 10(c); 18 19(c, d, e, f); 20(b, c); 21 (a, b); 22; 34(h, i, j, k, l); 35(a f, Cha: a, b,c)); 36(a i, Cha: a, b, d, h, i ) BS Xột s hi t ca ỏc ctớch phõn suy rng x5 ex dx , x sinx x dx ; dx ; x x dx ; x x x arctan x 1 x sin x dx ; x x dx ; sin 2x x dx VD 3.26; VD 3.27; VD 3.28 VD 3.32; VD 3.38 (a, b); VD 3.39; VD 3.40; VD 3.41; VD 3.42; VD 3.43; VD 3.44(a) CHNG IV Tr: 1( 2, 5, 11, 12, 13, 18, 26); 2, 3( 1, 5, 9, 12); 5(b, f) Chớnh: 1(28, 29, 30); 11(f); 12(c); 14 (c l, Cha: c, e, f, i, j, l); 15(a, b, c); 16(a, b); 18(d, e); 21; 23 (c, e); 24(a, b); 26(a i, Cha: a, c, e, h) 27(a f, Cha: a, c, d, f); 33(a, c); 34(a, b, c) BS f (x) ln(1 2x) Tớnh o hm f (2000) (0) BS Xột s hi t n 12 12 25 n5 BS Cho chui hm 1n x 2n 2x n n a) Tớnh tng riờng th ti x = b) Tỡm hi t ca chui VD 4.19 (b); VD 4.23(b); VD 4.24 (b, c, d); VD 4.25(a, b, c, d)); 4.5.7 (Vớ d khỏc) (a, b, c); VD 4.27; VD4.29 (b) Ti liu tham kho cho Hc phn GTI TT Tờn ti liu Tỏc gi Nxb Nm xb Giỏo trỡnh Gii Tụ Vn Ban Nxb Giỏo dc 2012 tớch I Gii tớch I Trn Bỡnh KH v KT 2007 Toỏn hc cao cp Nguyn Giỏo dc 2007 (T 2) ỡnh Trớ v Bi Gii tớch Nguyn HV KTQS 2006 Xuõn Viờn Bi Gii sn Trn Bỡnh KH v KT 2007 gii tớch Tp Calculus (Early Jon W.H.Freeman and Co 2007 Transcendentals), Rogawski CU TRC THI, CCH THC CHO IM Cõu s V phn S im Cõu Lý thuyt Cõu Chng 1: Gii hn, liờn tc Cõu Chng 2: o hm Cõu Chng 3: Tớch phõn Cõu Chng 4: Chui im bi thi 10 im quỏ trỡnh 10 im chuyờn cn 10 Tng im = im chuyờn cn x 10% 10 + im quỏ trỡnh x 20% + im bi thi x 70% Hỡnh thc thi: Thi vit Bu lp trng lp hc phn Kt qu: S in thoi giỏo viờn: a ch Email cn: Webside cn: Danh sỏch SV (t nht ct kim tra s s) Gii thiu bng ch cỏi Hy lp (Greek Alphabet) Chng GII HN, LIấN TC Đ 1.1 S THC (2 tit) 1.1.1 M u a Gii thiu v cỏc s * 1, 2, , n, : * ; * 0, 1, , n, : * , 2, 1, 0, 1, 2, : p q * , q * , p : ( l mt trng) Trong khụng cú cỏc phn t kiu nh 2, e, , , gi l cỏc s vụ t Cn a vo cỏc s vụ t c - cỏc s thc - rng hn b Tiờn s thc Chỳng ta cụng nhn s tn ti v nht hp cỏc s thc, ký hiu l , ú cú trang b phộp cng + , phộp nhõn , v mt quan h th t tha cỏc tiờn (i) (iv) di õy: (i) ( , , ) l mt trng, c th l: (Xem [1]) (ii) l mt quan h th t ton phn , c th l: 1) cú tớnh cht phn x: a , a a 2) cú tớnh cht phn i xng: a b a, b , a b b a a b a c b c 3) cú tớnh cht bc cu: a, b, c , a b b a 4) l quan h th t ton phn: a, b Nu a, b v a b, a b , ta núi a nh hn b v vit a b (iii) Gia cỏc phộp toỏn , v quan h th t cú mi liờn h sau õy: 1) a b a c b c 2) d 0, a b a d b d (iv) Mi khụng trng v b chn trờn u cú cn trờn ỳng Riờng tiờn (iv) cn cú nhng gii thớch t m hn sau õy c Cn, b chn Ta núi x l mt cn trờn (hay biờn trờn) ca hp A nu a A, a x Ta núi y l mt cn di (hay biờn di) ca hp A nu a A, y a Ta núi x l phn t ln nht (hay giỏ tr ln nht) ca hp A nu x A v x l mt cn trờn ca A: x A a A, x a Ký hiu phn t ln nht ca hp A l Max(A) Tng t i vi khỏi nim phn t nh nht; ký hiu l Min(A) Khi A l hu hn, ta dựng ký hiu Max(a1 , , a n ) hay Max a i i n Tp A c gi l b chn trờn nu tn ti (ớt nht) mt cn trờn ca nú Tng t ta cú th hiu khỏi nim b chn di Tp hp A c gi l b chn nu nú va b chn trờn, va b chn di Supremum Phn t nht cỏc cn trờn ca hp A, nu tn ti, c gi l cn trờn ỳng ca A, ký hiu l Sup(A) Phn t ln nht cỏc cn di ca hp A, nu tn ti, c gi l cn di ỳng ca A, ký hiu l Inf(A) Cú th xy trng hp Sup(A) A hoc (v) Inf (A) A Chng hn A (a; b) D thy tiờn iv) tng ng vi: iv') Mi khụng trng v b chn di u cú cn di ỳng d Nhỳng vo () () Hỡnh 1.1 Mi s hu t xem l mt s thc e Cỏc loi khong Cú loi khong suy rng sau õy 1) a, b x : a x b , 6) (a, ) x : a x , 2) [a, b) x : a x b , 7) (, a] x : x a , 3) (a, b] x : a x b , 8) ( , a) x : x a 4) (a, b) x : a x b , 9) (, ) 5) [a, ) x : a x , Cỏc khong a, b ; (, a]; [b, ); (, ) : úng, (a, b); ( , a); (b, ); ( , ) : m, : na úng, na m; [a, b); (a, b] a, b : (u) mỳt ca khong 1.1.2 Cỏc tớnh cht c bn ca cỏc s s thc a Cỏc bt ng thc thng gp ; x x x y x, y, u, v , xu yv u v Bt ng thc Cauchy: Vi x1 0, , x n thỡ x1 x n n x1 x n n Bt ng thc Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz: n n n x y i i x i yi i1 i1 i1 b Giỏ tr tuyt i Giỏ tr tuyt i ca s thc x l mt s thc, ký hiu l |x|, xỏc nh bi x x 0, | x | x x c Khong cỏch thụng thng d Cn trờn Chỳng ta nhc li tiờn v cn trờn ỳng: Mi A khụng trng v b chn trờn u cú cn trờn ỳng Sup(A) H qu Mi A khụng trng v b chn di u cú cn di ỳng Inf(A) nh lý 1.1 Cho A l khụng trng Khi ú M lmột cận trê n , M Sup(A) 0, a A : M a M (*) (**) Chng minh (i) iu kin cn Gi s M Sup(A) Vy M l mt cn trờn Ta gi s khụng xy (**), ngha l 0, a A, a M Nh vy, M cng l cn trờn ca A Rừ rng M M Vy M khụng l cn trờn nh nht, mõu thun (ii) iu kin Gi s xy (*) v (**) Nh vy M l mt cn trờn Gi s M khụng l cn trờn nh nht Vỡ A b chn trờn (ớt bi M) nờn tn ti cn trờn nh nht M' v M M t M M Theo (**), a A : M M (M M) M a M Vy M khụng l cn trờn, mõu thun Lu ý im a núi (**) cú th chớnh l Sup(A) hoc khụng Bn c cng d dng phỏt biu khng nh tng t vi Inf(A) Vớ d 1.1 Tỡm cn trờn ỳng, cn di ỳng, giỏ tr ln nht, giỏ tr , n * n nh nht (nu cú) ca hp E e Cn bc n ca s dng () () Mnh a 0, n nguyờn dng, ! b cho b n a Phn t b ny c ký hiu bi n a hay a1/n v gi l cn bc n ca a Vi n 2, ta ký hiu a thay cho a c gi cú th t x lý tng t vi cn bc l ca s õm: 2n a , a f Tớnh cht Archimede - Phn nguyờn nh lý 1.2 cú tớnh cht Archimede sau õy: 0, A 0, n * : n A A n nh lý 1.3 Vi mi x , tn ti nht s nguyờn n cho n x n S nguyờn ny c gi l phn nguyờn ca x, ký hiu l [x] g S trự mt () nh ngha Cho hai hp s thc A, B, hn na A B Ta núi hp A trự mt hp B nu b B, 0, a A : b a b H qu: Cho x v y l hai s thc bt k, hn na x y Tn ti s hu t a x a y Hỡnh nh trc quan: Hai s thc - dự gn bao nhiờu chng na - luụn cú ớt mt s hu t gia () h S vụ t Mt s thc c gi l s vụ t nu nú khụng l s hu t (Tp s vụ t l ) x y Lu ý x , y xy x / y (Tng, tớch, thng mt s hu t vi mt s vụ t l mt s vụ t) nh lý 1.5 Tp hp cỏc s vụ t trự mt 1.1.3 Tp s thc m rng 1.1.4 Lc lng ca , () nh ngha Cho hai bt k A v B A c gi l cú lc lng hn lc lng ca B nu tn ti mt n ỏnh f : A B A v B c gi l cú cựng lc lng (cú lc lng nh nhau) nu tn ti song ỏnh f : A B Lc lng ca hp A ký hiu l Card(A) (cú ti liu ghi l #A) Nu A l hu hn n phn t: A {a1 , , a n } thỡ quy c Card(A) n Nu lc lng ca A hn lc lng ca B thỡ ta vit Card(A) Card(B) Tp hp A c gi l cú lc lng m c, gi tt: A l m c, nu cú th sp xp cỏc phn t ca A thnh dóy; c th l, tn ti mt song ỏnh f : * A Tp hp vụ hn khụng phi l m c c gi l cú lc lng khụng m c (gi tt: khụng m c) Tớnh cht Lc lng ca cỏc s hu t trờn [0, 1] l m c Ngoi chỳng ta cú: Tp cỏc s hu t l m c Tp cỏc im trờn hỡnh vuụng n v [0, a] [0, a] vi c hai ta hu t l m c Đ 1.2 GII HN DY S (2 tit) 1.2.1 S hi t - Phõn k a Nhng khỏi nim v kt qu m u a.1 Dóy s Mt ỏnh x xỏc nh trờn cỏc s nguyờn dng v nhn giỏ tr thc u : , n u(n) c gi l mt dóy s u1 u(1) : s hng th nht, , u n u(n) : s hng th n hay s hng tng quỏt Ký hiu dóy s bi {u n , n 1, 2, } hay {u n , n 1} hay n gin {u n } Dóy s cng c vit di dng khai trin: u1, u , , u n , Cng hay xột cỏc dóy , n , , n , , n n n n Chỳng ln lt l 1 , , , , 1 , , , , 1, 1 , , a.2 S hi t, phõn k ca dóy s nh ngha Dóy {u n } c gi l hi t n gii hn (hay cú gii hn ) nu vi mi s , tn ti N cho | u n | , n N Khi ú ta vit lim u n hay u n (n ) n Hỡnh nh trc quan ca iu ny l: T ch s N ln tr i, u n s "ri" vo lõn cn ( , ) {u n } l dóy hi t nu {u n } l dóy phõn k nu: Chỳ ý Rt d dng nhn c kt qu: lim u n lim | u n | n n nh lý 1.6 (Tớnh nht ca gii hn) Gii hn ca dóy s, nu tn ti thỡ nht C th l: lim u n lim u n n n ( | ) ( | ) Chng minh Chỳ ý Mi dóy dng (ngha l khụng i t mt s hng no ú tr i) l dóy hi t, hi t n s khụng i ó nờu Hai dóy s trựng t mt s hng no ú tr i cựng hi t hay cựng phõn k Nu ta thay i mt s hu hn s hng, hay thờm vo hoc bt i mt s hu hn s hng ca dóy thỡ c mt dóy cựng hi t hay cựng phõn k nh dóy dóy cho a.3 Dóy b chn Ta núi dóy { u n } l b chn (tng ng: b chn trờn, b chn di) nu hp {u n , n 1, 2, } l b chn (tng ng: b chn trờn, b chn di) nh lý 1.7 Dóy hi t thỡ b chn Chng minh a.4 Gii hn vụ hn Ta núi dóy {u n } tin n + (hay {u n } cú gii hn + ) nu: L 0, N : n N, u n L Khi ú ta vit lim u n hoc u n (n ) n Chỳng ta d hiu ý ngha ca ký hiu u n (n ) Ta núi dóy {u n } tin n (hay {u n } cú gii hn , {u n } nhn lm gii hn) nu: L 0, N : n N, | u n | L nh lý 1.8 Mi dóy dn u b chn di Tng t, mi dóy dn u b chn trờn Chng minh b Tớnh cht v th t ca gii hn 10 * Xột ti x c chui n 1n , chui phõn kỡ vỡ S: ( , 1) (1, 1) (1, ) lim a n n # 4.5.3 Tớnh cht ca chui ly tha Cho chui ly tha (4.12) vi khong hi t (-R, R) v tng ca chui l hm S(x) trờn (-R, R) nh lý 4.19 Chui (4.12) hi t tuyt i trờn khong hi t (-R, R) nh lý 4.20 Vi [a, b] ( R, R) tựy ý, chui (4.12) hi t u trờn [a, b] (Chui ly tha hi t u trờn on tựy ý nm khong hi t ca nú) nh lý 4.21 Tng S(x) ca chui ly tha (4.12) l hm s liờn tc trờn khong hi t ( R, R) ca nú Nu chui hi t ti mỳt trỏi (phi) ca khong hi t thỡ tng S(x) liờn tc phớa phi (trỏi) ti mỳt y nh lý 4.22 Cú th ly tớch phõn tng s hng ca chui ly tha (4.12) trờn mi on [a; b] nm khong hi t (-R, R) ca nú: b b n n a n x dx a n x dx n a n a (4.18) c bit, x (R, R) , x a a n n a n t dt a x 21 x n n x n (4.19) Mt cỏch tng ng, a a n n a x dx C a x x n x n n n (4.20) Chui v phi ca (4.19), (4.20) cng cú khong hi t l (-R, R) nh lý 4.23 Cú th ly o hm tng s hng ca chui ly tha (4.12) ti mi im khong hi t ca nú: x (R, R) thỡ n n a n x a1 2a x na n x n (4.21) Chui v phi ca (4.21) cng cú khong hi t l (-R, R) H qu Cú th ly o hm (hoc ly nguyờn hm) mt s tựy ý ln chui ly tha khong hi t ca nú; cỏc chui thu c cú cựng khong hi t vi khong hi t ca chui ó cho 4.5.4 Khai trin mt hm thnh chui ly tha a Vn trin hm thnh chui ly tha (xem [1]) 132 nh ngha * Cho hm s f(x) xỏc nh ti im x v lõn cn v cú o hm mi cp ti x Chui hm f (x ) f (n) (x ) (x x ) (x x ) n 1! n! c gi l chui Taylor ca hm f(x) ti x f (x ) (4.24) * Nu x , chui Taylor tr thnh f (0) f (0) f (n) (0) n x x 1! n! (4.25) c gi l chui Maclaurin ca hm f(x) * Nu chui Taylor (4.24) hi t ti mt lõn cn I (x , x ) ca im x v hi t n f(x) lõn cn ny: f (x) f (x ) f (x ) f (n) (x ) (x x )1 (x x ) n , x I 1! n! thỡ ta núi hm f(x) khai trin c thnh chui Taylor ti lõn cn ó nờu ca x0 T phõn tớch trờn ta nhn c nh lý sau õy: nh lý 4.24 (Tớnh nht ca khai trin) Nu f(x) cú th khai trin thnh chui Taylor mt lõn cn no ú ca im x : f (x) a a1 (x x ) a (x x ) x (x , x ) thỡ f(x) kh vi vụ hn ti lõn cn ny v chui v phi chớnh l chui (4.24) b iu kin hm s khai trin thnh chui Taylor () c Khai trin Maclaurin ca mt s hm s cp ex x x2 xn 1! 2! n! sin x x x3 x5 x 2n (1)n 3! 5! (2n 1)! x ( , ) x ( , ) 2n x2 x4 n x cos x (1) x ( , ) 2! 4! (2n)! ( 1) ( n 1) n (1 x) x x x ( 1,1) n! 133 x x x n x x ( 1,1) n x x3 n x ln(1 x) x (1) n x ( 1,1] x3 x5 x 2n arctan x x (1)(n 1) 2n x [ 1,1] Dựng cỏc khai trin Maclaurin trờn, ụi ta nhanh chúng nhn c khai trin ca hm s Xột vớ d sau Vớ d 4.21 Tỡm khai trin Maclaurin ca hm s y x3 x x3 x3 Gii y (x / 3) (x / 3) (1 (x / 3)) 1 1 x x x n ( 1) n x n 3 n # 4.5.5 ng dng a Tớnh gn ỳng giỏ tr biu thc Xem mc 2.4.3 b Tớnh o hm ti im cho trc Dựng cỏc khai trin quen bit cú th ta tỡm c khai trin Taylor ca hm f(x): f (x) f (n) (x ) (x x )n n! n a n (x x )n n Khi ú tỡm cỏc o hm ca hm ny ti x nh sau: f (n) (x ) (4.28) f (n) (x ) a n n! n! Vớ d 4.22 Cho hm s f (x) s in x Tớnh o hm f (2000) (0) an ( 1)n 2n ( 1) n 4n f (n) (0) n x s inx x x (2n 1)! (2n 1)! n! n n n Gii sinx 4n 2000 n 500.5 khụng nguyờn Vy f (2000) (0) Ngoi ta cú a y (2k 1) (0) y (4k) (0) a 4k 2k 1 y (8k 2) (0) (8k 2)! a 8k (4k 1)! (4k 1)! (8k 6) 1 (0) (8k 6)! a 8k y (4k 3)! (4k 3)! 134 # 4.5.6 Tớnh tng mt s chui () a S dng trc tip cỏc chui quen bit Ba chi thụng dng nht l x x x x n , x ( 1,1) : x chui hỡnh hc hay chui cp s nhõn ex x xn x (, ) 1! n! : chui e m n x2 n x ln(1 x) x (1) x (1,1) : chui loga n b o hm hay tớch phõn chui quen bit hay chui ó cho Bc 1: a mt khai trin quen bit, vớ d x x x x n x x (1, 1) Bc (nu cn): o hm hay tớch phõn v trờn khong hi t, vớ d (1 x)2 (1 x)3 2x 3x nx n x (1, 1), 2.3x 3.4 x n(n 1) x n x (1, 1), x x3 x xn n x (1, 1), ln(1 x) x ln(1 x) x x x3 x xn (1) n n x ( 1, 1) Bc (nu cn): Biu din chui ó cho thụng qua nhng chui ny Bc (nu cn): Thay x x thớch hp Cng cú th ta lm cỏc bc trờn nhng vi chui ó cho Nh rng vic ly o hm thng d hn ly tớch phõn o hm chui ó cho Tớch phõn chui quen bit o hm chui quen bit Tớch phõn chui ó cho c Tỏch chui ó cho thnh tng Yờu cu sinh viờn chun b: Lm bi theo k hoch: Chui cú du tu ý (2 tit) Chui hm (1 tit) c trc TL[1], tr 302-306: Chui Fourier T c TL [1]: Tớnh cht ca chui hm hi t u Tớnh tng mt s chui 135 Bi ging 14: Chui Fourier Chng 4: Chui Mc: Bi tp: Chui lu tha (1 tit) Đ 4.6 Chui Fourier (2t) Bi tp: Chui Fourier (1t) Tit th: 66 - 70, Tun th: 14 - Mc ớch, yờu cu: Khai trin hm thnh chui lng giỏc Khai trin hm theo cỏc hm sin hoc cosin - Hỡnh thc t chc dy hc: Hỡnh thc ch yu: Lý thuyt, tho lun - t hc, t nghiờn cu - Thi gian: Lý thuyt, tho lun: 5t - T hc, t nghiờn cu: 7t - a im: Ging ng P2 phõn cụng - Ni dung chớnh: BI TP: Chui hm, Chui lu tha (2 tit) Đ 4.6 CHUI FUORIER (2 tit) 4.6.1 Chui lng giỏc nh ngha Chui hm a (a n cos nx bn sin nx) (4.31) n ú a , a1, a , , b1, b , c gi l chui lng giỏc Hai nh lý sau õy nờu lờn nhng tớnh cht u ca chui lng giỏc nh lý 4.26 Nu hai chui | a n | v | bn | n n hi t thỡ chui lng giỏc (4.31) hi t tuyt i v u trờn Chng minh Ta cú u n (x) a n cos nx bn sin nx | a n | | b n | Theo tiờu chun Weierstrass ta thu c pcm nh lý 4.27 Nu a n v b n (n ) thỡ chui lng giỏc (4.31) hi t ti x 2k (k ) 4.6.2 Chui Fourier a Chui Fourier ca hm s 136 B Cho p, q l nhng s nguyờn bt k Khi ú ta cú: sin px dx 0; cos px dx (p 0); cos px sin qx dx 0; 0, p q cos px cosqx dx , p q 2, p q 0; 0, p q sin px sin qx dx 0, p q , p q (4.32) Bõy gi gi s rng hm s f(x) tun hon chu k v cú th khai trin c thnh chui lng giỏc dng f (x) a0 (a n cos nx b n sin nx), x n (4.33) Gi s cú th ly tớch phõn tng s hng ca chui v phi thỡ a0 f (x) dx dx a n cos nx dx bn n sin nx dx a Vy a f (x) dx Nhõn hai v ca (4.33) vi cos kx, k 1, 2, v gi s rng chui thu c v phi cú th ly tớch phõn tng s hng, ta i n: a f (x) cos kx dx 20 cos kx dx a n cos nx cos kx dx b n n sin nx cos kx dx a k cos kx cos kx dx a k a k f (x)cos kx dx Li nhõn hai v ca (4.33) vi sin kx, k 1, 2, v gi s rng chui thu c v phi cú th ly tớch phõn tng s hng, ta c 137 a f (x)sin kx dx 20 sin kx dx a n cos nx sin kx dx b n sin nx sin kx dx n bk sin kx sin kx dx bk bk f (x)sin kx dx Túm li, cỏc h s a i , bi phi tha a f (x)dx, a n f (x)cos nx dx, n 1, 2, b f (x)sin nx dx, n 1, 2, n (4.34) nh ngha Cho hm f(x) tun hon, kh tớch trờn on [ , ] Cỏc h s a n , b n xỏc nh theo (4.34) c gi l h s Fourier ca hm f(x) Chui lng giỏc tng ng a0 (a n cos nx b n sin nx) n c gi l chui Fourier ca hm f(x) Nhn xột Nu hm f(x) tun hon chu k thỡ a f (x) dx f (x)dx, a (4.35) a Vy, tớnh h s Fourier, ta cú th ly tớch phõn trờn on bt k cú di Tớnh cht Nu thờm iu kin f(x) l hm chn thỡ: n 1, 2, b n 0, a n f (x) cos nx dx, n 0, 1, 2, Nu thờm iu kin f(x) l hm l thỡ: 138 (4.36) a n 0, b n f (x)sin nx dx, n 1, 2, (4.37) Chng minh Nu hm f(x) chn thỡ hm f (x) cos nx chn, hm f (x)sin nx l Trỏi li, nu f(x) l thỡ hm f (x) cos nx l, hm f (x)sin nx chn S dng Vớ d 3.22 ta nhn c pcm b iu kin cú khai trin Fourier nh ngha Hm s f(x) c gi l n iu tng khỳc trờn on [a, b] nu cú mt s hu hn im a a a1 a n b cho trờn mi khong (a , a1 ); ; (a n , a n ) hm f(x) l n iu Tớnh cht Hm b chn v n iu tng khỳc ch cú th cú cỏc im giỏn on loi mt nh lý 4.28 (nh lý Diriclet) Nu hm f(x) tun hon chu k , n iu tng khỳc v b chn trờn on [ , ] thỡ chui Fourier ca nú hi t ti mi im trờn n tng S(x): S(x) a0 (a n cos nx bn sin nx) n (4.38) Hn na, x điểm liê n tục f(x), f (x) S(x) f (x 0) f (x 0) x điểm gián đoạn f(x) Lu ý n gin, ta vit cụng thc (4.38) di dng f (x) a0 (a n cos nx b n sin nx) n (4.39) vi chỳ ý nh ó nờu Vớ d 4.26 Khai trin thnh chui Fourier hm s f(x) tun hon chu k bit rng trờn khong [ , ) thỡ f(x) = x 139 Hỡnh 4.6 Hm y x, x [ , ) v thỏc trin tun hon ca nú Ta nhn thy rng hm ny tha mi iu kin ca nh lý Diriclet, vy cú th khai trin nú thnh chui Fourier Ta cú f (x)cos nx dx 0, n 0, 1, 2, an bn 2 x sin nx dx ( 1) n 1, n 1, 2, n 1 sin nx f (x) sin x sin 2x sin 3x (1) n n Lu ý rng ti x tng ca chui bng S() f ( 0) f ( 0) Tng t, S() # c Khai trin Fourier ca hm tun hon chu k Gi s hm f(x) tun hon chu k , n iu tng khỳc, b chn Bng phộp i bin x x x (x : x : ) ta c f (x) f x F(x ) x Th thỡ F(x) l hm tun hon chu k , n iu tng khỳc, b chn Vy ta cú th khai trin nú thnh chui Fourier: F(x ) a0 (a n cos nx b n sin nx ) n f (x) a0 nx nx a n cos b n sin n hay (4.40) ú a F(x )dx f (x) dx, an 1 nx F(x )cos nx dx f (x)cos dx, bn 1 nx F(x )cos nx dx f (x)sin dx 140 (4.41) Vớ d 4.27 Khai trin hm f (x) cos x thnh chui Fourier Gii Hm f(x) tun hon chu k Hn na, nú l hm chn nờn bn 0, n 1, 2, Theo (4.41), a0 /2 an /2 .2 Vy /2 cos x dx /2 /2 nx f (x)cos dx / /2 cos x cos 2nx dx ( 1) n [cos (2n 1)x cos(2n 1)x]dx , n 1, 2, 4n cos x cos 2nx (1)n 4n n Vỡ hm f (x) cos x liờn tc nờn cụng thc trờn ỳng vi mi x # d Khai trin hm s bt k thnh chui Fourier Gi s f(x) l hm n iu tng khỳc, b chn trờn [a, b] Ta xõy dng mt hm s g(x): - Tun hon chu k T b a ; - n iu tng khỳc, b chn; - g(x) f (x), x [a, b] Rừ rng cú nhiu hm nh vy Ta gi vic lm trờn l thỏc trin tun hon hm f(x) ó cho Khi ú hm g(x) khai trin c thnh chui Fourier, tng ca chui bng g(x), v ú bng f(x) ti nhng im liờn tc ca hm f(x) c im ca chui thu c l: Nu hm g(x) chn: Chui ch gm ton hm s cosin; Nu hm g(x) l: Chui ch gm ton hm s sin 1, x, Vớ d 4.28 Cho hm s f (x) x 1 x Hóy khai trin hm ny thnh chui Fourier cho chui thu c (a) ch cha hm s sin; (b) ch cha hm s cosin Gii (a) Xột hm g(x) trờn , tun hon chu k v x [0, 2] f (x), g(x) f ( x), x [ 2, 0] Hm ny n iu tng khỳc, b chn, tun hon chu ký nờn cú th khai trin c thnh chui Fourier Hn na, hm g(x) l nờn chui ch cha hm s sin 141 a n 0, n 0, 1, 2 nx nx b n g(x)sin dx f (x)sin dx 2 2 sin nx nx n dx (2 x) sin dx sin 2 n (n) k n (2k 1)2 (1) , n 2k , n 2k n Vy g(x) nx (1)n (2n 1)x (*) sin sin 2 n n 2 n (2n 1) Trờn on [0, 2], tng ca chui bng f(x) f (x), f ( x), (b) Bõy gi t g(x) 0x2 x Hm g(x) chn, vy b n 0, n 1, 2, Ta cng tớnh c a n T ú ta c g(x) x 2x 3x cos cos cos 2 2 4x 5x 6x cos cos cos 2 trờn # (**) Vỡ g(x) liờn tc nờn ng nht thc xy vi mi x T ú khai trin cng chớnh l khai trin ca f(x) trờn [0, 2] Nhn xột (i) Chui hm s (*) cú cỏc h s c hm s (**) cú cỏc h s c n2 , ú chui n Chui (**) hi t nhanh hn (ii) Ngi ta chng minh c rng, nu hm f(x) liờn tc thỡ cỏc h s Fourier ca nú cú cp VCB n , T ú chui Fourier hi t u Trỏi li, cỏc h s Fourier ca hm giỏn on cú cp VCB 1/n e p dng tớnh tng ca mt s chui Vớ d 4.29 Cho hm s f(x) tun hon chu k , v f (x) x vi x [ , ] Hóy khai trin hm f(x) thnh chui Fourier Da vo ú tớnh (i) ( 1)n n 1 ; n2 ; n n (ii) 142 (2n 1) n (iii) Gii Hm f(x) tha cỏc iu kin khai trin thnh chui Fourier Nú l hm chn, vy b n 0, n 1, 2, 2 a x dx ; a n x cos nx dx 4( 1)n n f (x) cos nx (1)n n n Cỏc tng riờng S2 v S5 ca chui th hin Hỡnh 4.7 2 n * x : f (0) (1) Sa 12 n n * x : f () cos n (1)n 2 3 n n n n 2 Sb * Sc Sa Sb Ta ghi li kt qu p trờn s dng sau ny 1 22 22 33 33 42 42 , , 12 (4.42) # 1 TểM TT CHNG q n q q : Chui hỡnh hc, hi t | q | n 1 n : Chui iu ho, phõn k n 1 n (1)n : Chui iu ho an du, hi t 1 n p 1p 2p 3p : p chui, hi t p n Chui s dng phõn k thỡ phõn k ti vụ cựng 143 Tiờu chun so sỏnh u n , u n , thỡ un , v n cựng hi t hoc phõn k n n Tiờu chun DAlembert un l chui s dng, lim n n thỡ chui u n hi t; thỡ u n phõn kỡ n n Tiờu chun Cauchy un l chui s dng, lim n n thỡ u n un n un u n hi t; thỡ un n n phõn kỡ Tiờu chun tớch phõn f(x) liờn tc, n iu gim trờn [a, ) f (x)dx v n1 u n ( u n f (n) ) cựng hi t hoc cựng phõn kỡ a Tiờu chun Leibniz u n thỡ chui an du u1 u u hi t Hi t tuyt i | u n | hi t u n hi t; un n n n c gi l hi t tuyt i Hi t u u n (x), x X hi t u trờn D X n S(x) nu n 0, N N(), n N : Sn (x) S(x) , x D Tiờu chun Weierstrass u n (x) a n , a n hi t u n (x) hi t tuyt i, u trờn n n D Min hi t ca chui ly tha Mt dng ( R, R), ( R, R], [ R, R), [ R, R ] ; R: bỏn kớnh hi t, ( R, R) : khong hi t lim n a n 1 hoc lim n a n R n an 144 Cú th ly o hm (hoc ly nguyờn hm) mt s tựy ý ln chui ly tha khong hi t ca nú; cỏc chui thu c cú cựng khong hi t vi khong hi t ca chui ó cho Khai trin Taylor f (x) f (x ) f (x ) f (n) (x ) (x x )1 (x x ) n 1! n! Tớnh o hm ti im f (x) a n (x x ) n f (n) (x ) a n n! n Khai trin Maclaurin ca mt s hm s cp Tớnh tng ca chui hm: Dựng cỏc chui quen bit - o hm hay TP chui quen bit hay chui ó cho - Tỏch chui ó cho thnh tng Chui Fourier * f(x) tun hon chu k , n iu tng khỳc, b chn: a0 f (x) (a n cos nx b n sin nx) n a n f (x)cos nx dx, n 0, 1, 2, b n f (x)sin nx dx, n 1, 2, * f(x) tun hon chu k , n iu tng khỳc, b chn: a0 nx nx f (x) a n cos b n sin n nx a f (x) cos dx, n 0, 1, 2, n nx b n f (x)sin dx, n 1, 2, *CễNG B KT QU im Quỏ trỡnh, im thng xuyờn Hc viờn thc mc Giỏo viờn tr li v im Quỏ trỡnh Thng xuyờn Yờu cu sinh viờn chun b: Lm bi theo k hoch: Chui Fourier (1t) c trc TL[1], tr 307-310: Chui Fourier cho hm tựy ý T c: TểM TT CHNG 145 Mc: Bi ging 15: ễn Chng 4: Chui Bi tp: Chui Fourier (1 tit) ễn tng hp (4t) Tit th: 71 - 75, Tun th: 15 - Mc ớch, yờu cu: * Cng c nhng bi c * Hon thnh nhng bi cha cha chng IV * Duyt li cú h thng cỏc bi c hc phn * Sn sng thi cui hc k - Hỡnh thc t chc dy hc: Hỡnh thc ch yu: Lý thuyt, tho lun - t hc, t nghiờn cu - Thi gian: Lý thuyt, tho lun: 5t - T hc, t nghiờn cu: 7t - a im: Ging ng P2 phõn cụng - Ni dung chớnh: Bi tp: Chui Fourier (tip - 1tit) Cha cỏc bi cha cú iu kin cha Lm li cỏc vớ d cha kp gii thiu (3 tit) (Giỏo viờn lm l chớnh) Chun b thi: Nhc li v cỏc cõu hi lý thuyt, cỏch hc chỳng Mt s kinh nghim thi Nhc li tinh thn nghiờm tỳc thi c Nhc mt s quy inh k thi ng viờn tinh thn SV thi tt Yờu cu SV chun b: Nm chc thi gian thi + phũng thi + cỏc quy ch thi 146 [...]...   0 n  thì f(x) không liên tục đều trên I ii Nếu f(x) liên tục đều trên I thì liên tục trên I ii Nếu hàm f(x) liên tục đều trên I thì cũng liên tục đều trên mọi khoảng con J của nó iii Nếu hàm f(x) liên tục đều trên 2 khoảng I, J thì cũng liên tục đều trên I  J Ví dụ 1.31 Chứng minh rằng hàm f (x)  sin  liên tục trong khoảng x (0; 1) nhưng không liên tục đều trong khoảng đó Thực vậy, f(x) là... – Đạo hàm, vi phân cấp I Chương 1, Chương 2: Đạo hàm và vi phân Mục: § 1.5 Liên tục (tiếp – liên tụcđều- 1t) §2.1 Đạo hàm và vi phân cấp 1 (2t) Bài tập: Giới hạn hàm số (1 tiết) Sự liên tục (1 tiết) Tiết thứ: 16 - 20, Tuần thứ: 4 - Mục đích, yêu cầu: Nắm được định nghĩa, tầm quan trọng của liên tục đều Những khái niệm ban đầu về đạo hàm, mối liên hệ hàm có đạo hàm và khả vi - Hình thức tổ chức dạy... (x), x  J liên tục, đơn điệu thực sự, biến thiên cùng chi u với f Yêu cầu SV chuẩn bị: Làm bài tập theo kế hoạch: Giới hạn hàm số (1 t), Sự liên tục (1 t) 24, 27, 29, 31 ); 13(d  i: Chữa: e, f, i); 14( a-f, Chữa: a, b, d, f); Đọc trước TL[1], tr 72-76: Liên tục đều Tự đọc TL [1], tr 68-68: Biến thể của các giới hạn quan trọng 31 Bài giảng4 : Liên tục đều – Đạo hàm, vi phân cấp I Chương 1, Chương 2: Đạo... [a, b]  Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của nó  Liên tục đều Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] , a, b   thì liên tục đều trên đó:   0,   0;  x, y  [a, b], x  y   thì f (x)  f (y)   BÀI TẬP: Giới hạn hàm số (tiếp, 1 tiết) , Sự liên tục (tiếp, 1 tiết) 34 Chương 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN §2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP MỘT (2 tiết) 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,... hình toán học Bài giảng 3: Giới hạn hàm (tiếp) – Sự liên tục Chương 1: Giới hạn, liên tục Mục §1.4 Giới hạn hàm số (tiếp – 1t) §1.5 Sự liên tục (2t) Bài tập: Giới hạn hàm số (1t) Sự liên tục (1t) - Mục đích, yêu cầu: Tìm giới hạn của hàm dùng các phép thay tương đương; Nắm các định nghĩa, tính chất của hàm liên tục, liên tục trên đoạn kín, giới nội Tính được một số GH dãy ở bài trước, một số bài tập về... Vậy f(x) liên tục không đều chọn 2 dãy xn  trong (0; 1) # 32 Định lý 1.35 (Định lý Heine-Cantor) Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a, b] , a, b   Khi đó f(x) liên tục đều trên [a, b] Nói cách khác, hàm liên tục trên đoạn kín, giới nội thì liên tục đều trên đó Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại, hàm số f(x) liên tục trên [a, b] nhưng không liên tục đều trên đó Vậy   0,... tục đều trên đoạn này Từ đó, nó cũng liên tục đều trên khoảng (0, ) # Ví dụ cuối chương (tự đọc) 33 TÓM TẮT CHƯƠNG 1 (tự đọc) (*) M làmét cËn trª n,   0, a  A : M    a  M (**)  Định lý M  Sup(A)    Giới hạn của dãy số lim u n      0,  N   : n  N, | u n   |   n   Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ  Bổ đề Bolzano-Weierstrass Từ mọi dãy số thực bị chặn đều... k   (đpcm) k   Bài tập về nhà cho cả Chương 1 Trợ: 3; 4(b); 7; 11; 17(b); 25(b) Chính: 8(a, b, c); 9; 12(11  31, Chữa: 11, 14, 16, 18, 24, 27, 29, 31 ); 13(d  i: Chữa: e, f, i); 14( a-f, Chữa: a, b, d, f); 15; 19(a, b); 20; 23 Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Tự đọc: Ví dụ cuối chương 1 (b, d, e); Làm bài tập theo kế hoạch; Đọc trước TL[1]: §1.2 Giới hạn dãy số tr 30 - 35 Bài giảng2 : Giới hạn dãy... n } thành k dãy con rời nhau Định lý 1.18 (Bổ đề Bolzano-Weierstrass) Từ mọi dãy số thực bị chặn đều có thể trích ra một dãy con hội tụ Chứng minh Cho dãy bị chặn {u n } a1 , b1   : n  * , a1  u n  b1 Đặt h  b1  a1  0 Rõ ràng đoạn [a1, b1 ] chứa vô hạn phần tử của dãy {u n } Chọn một phần tử u n1 tùy ý của dãy {u n } Như vậy a1  u n1  b1 Chia đôi đoạn [a1, b1 ] bởi điểm (a1  b1 ) /... luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công - Nội dung chính: § 1.5 HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiếp -1 tiết) Định nghĩa Giả sử f(x) là hàm số xác định trên I là một khoảng mở rộng của  Ta nói hàm số f(x) là liên tục đều trên I nếu:   0,   0;  x , x  I, x   x   thì f (x )  f (x )   Nhận xét i Nếu