TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Trần Só Tùng Khối đa diện CHƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Đònh nghóa: ìa, b Ì ( P ) aP b Û í ỵa Ç b = Ỉ b) Tính chất ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R ) ïï( P ) Ç (Q) = a é a, b, c đồng qui · í Þê Ç = ( P ) ( R ) b ëa P b P c ï ïỵ(Q) Ç ( R ) = c ìa ¹ b ·í Þ aP b ỵa P c, b P c ì( P ) Ç (Q) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïỵa P b Đường thẳng mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: d // (P) Û d Ç (P) = Ỉ b) Tính chất ìd Ë ( P ), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í ·í Þ d P ( P) Þd P a ỵd P d ' ỵ(Q) É d ,(Q ) Ç (P ) = a ì( P ) Ç (Q) = d ·í Þd P a ỵ( P ) P a,(Q) P a Hai mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ b) Tính chất ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q) ì(Q) P ( R ) ï ï ï · ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R ) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q) = a Þ a P b ïỵa P (Q), b P (Q ) ïỵ(Q) P ( R ) ïỵ( P ) Ç ( R ) = b Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng đònh lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang Khối đa diện Trần Só Tùng II QUAN HỆ VUÔNG GÓC Hai đường thẳng vuông góc a) Đònh nghóa: a ^ b Û ( a¶ , b ) = 90 b) Tính chất r r rr · Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ^ b Û u.v = ìb ¤¤ c ·í Þa^b ỵa ^ c Đường thẳng mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: b) Tính chất d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) ìa, b Ì ( P ), a Ç b = O · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: í Þ d ^ ( P) ỵd ^ a, d ^ b ìa P b ìa ¹ b · í · í Þ (P) ^ b ÞaP b ỵ( P ) ^ a ỵa ^ ( P ), b ^ ( P ) ì( P ) P (Q) ì( P ) ¹ (Q) · í · í Þ ( P ) P (Q) Þ a ^ (Q) ỵ( P ) ^ a,(Q) ^ a ỵa ^ ( P ) ìa P ( P ) ìa Ë ( P ) · í · í Þb^a Þ a P ( P) ỵb ^ ( P ) ỵa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Đònh lí ba đường vuông góc Cho a ^ ( P ), b Ì ( P ) , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Hai mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: ( ) (P) ^ (Q) Û · ( P ),(Q) = 900 b) Tính chất ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q) ỵa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q) ï ì( P ) ^ (Q),(P ) Ç (Q ) = c · í A Ỵ (P ) · í Þ a Ì (P) Þ a ^ (Q) ỵa Ì ( P ), a ^ c ïỵa ' A, a ^ (Q) ì( P ) Ç (Q) = a ï · í( P ) ^ ( R ) Þ a ^ ( R) ïỵ(Q) ^ ( R ) Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ^ a , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vuông góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a Trang Trần Só Tùng Khối đa diện · Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc · Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · Chứng minh (· P ),(Q) = 900 ( ) III GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc a) Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00 £ ( a¶ , b ) £ 900 a//a', b//b' Þ ( a¶ , b ) = ( a· ', b ' ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · Nếu d ^ (P) d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) · Nếu d ^ ( P ) d· ,( P ) = ( d· , d ' ) với d¢ hình chiếu d (P) Chú ý: 00 £ d· ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) · ¶ íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q) = ( a, b ) ỵ ìa Ì ( P ), a ^ c · Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I Ỵ c, dựng í Þ (· P ),(Q) = ( a¶ , b) b Ì ( Q ), b ^ c ỵ Chú ý: 0 £ (· P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) (Q), j = (· P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Trang Khối đa diện Trần Só Tùng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng IV Nhắc lại số công thức Hình học phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vuông A, có đường cao AH 1 = + 2 AH AB AC b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p · Đònh lí hàm số cosin: · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC.CH · a =b + c – 2bc.cosA; b2 = c + a2 - 2ca.cos B; c2 = a2 + b2 - ab.cos C a b c · Đònh lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c2 a2 c + a2 b a2 + b2 c2 - ; mb2 = - ; mc2 = 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuông A: 2S = AB AC = BC AH ma2 = · DABC đều, cạnh a: b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: S= S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vuông) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · = AC BD e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC BD Trang Trần Só Tùng Khối đa diện CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích công thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích toàn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = Bài 1 a tan a Þ V = a3 tan a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD ÞV= 5a3 Trang Khối đa diện Trần Só Tùng Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x y HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) xy ÞV= - x - y2 12 Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ( a2 + b2 - c2 )(b2 + c - a )(c + a - b ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ÞV= HD: Bài VSAMN VSABC SA SM SN ỉ SA 16 3a3 Þ V= = = çç ÷÷ = 25 50 SA SB SC è SB ø Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 diện tích DABC¢ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 13 (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Trang Trần Só Tùng HD: Khối đa diện V= a3 ; cos j = Bài 14 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN HD: V= a3 ; cos j = 5 Bài 15 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B¢C HD: a3 ; V= d= a 7 Bài 16 (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ^ BP tính thể tích khối CMNP HD: 3a3 96 V= Bài 17 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ^ BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC HD: d= a Bài 18 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với · ABC = · BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA^(ABCD), SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCD) HD: d= a Bài 19 (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB HD: V= 3a3 12 Bài 20 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA ^ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) ^ (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD: a3 V= 36 Bài 21 (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = Trang Khối đa diện Trần Só Tùng 2a SA ^ (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A SB, SC Tính thể tích hình chóp A.BCMN HD: V= 3a3 50 Bài 22 (Dự bò A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a · BAC = 1200 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB ^ MA1 tính khoảng cách d từ A đến (A1BM) HD: d= a Bài 23 (Dự bò A–07): Cho hình chóp SABC có góc · (SBC ),( ABC ) = 600 , ABC SBC ( ) tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD: d= 3a 13 Bài 24 (Dự bò B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA ^ (ABCD) AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD Chứng minh SC^(AHK) tính thể tích tứ diện OAHK HD: 2a V= 27 Bài 25 (Dự bò B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho · (SAB),(SBC ) = 600 Gọi H, K hình chiếu A ( ) SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông tính thể tích tứ diện SABC HD: V= R3 12 Bài 26 (Dự bò D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD: a3 V= 12 Bài 27 (Dự bò D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C HD: d= a 30 10 Bài 28 (Dự bò A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, a AA' = · BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC' ^ (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Trang Trần Só Tùng HD: Khối đa diện V= 3a3 16 Bài 29 (Dự bò A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = Tính thể tích khối chóp S.BCMN HD: V= a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N 10 3 a 27 Bài 30 (Dự bò B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, · BAD = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a Gọi C' trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC' song song với BD, cắt cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' HD: V= a3 18 Bài 31 (Dự bò B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi a góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tana thể tích khối chóp A'.BB'C'C HD: a 3b - a2 V= Bài 32 (Dự bò D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cachs từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD HD: a3b V= a2 - 16b Bài 33 (Dự bò D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC¢ cho CK = a Mặt phẳng (a) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện HD: a3 V1 = ; 2a3 V2 = Bài 34 (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB ^ (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 35 (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a Trang Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: ỉ k k AM = DN = k Þ M ç 0; ; ÷, 2ø è A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ỉ k k Nç ; a; 0÷ ø è z Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) : uuuur ì A/ C = (a; a; - a) ïïuuuur AB /r = (a; 0; a) Ta có: íuuuu ï / ïỵ AD = (0; a; a) uuuur uuuur r Þ n( AB/ D / ) = AB / , AD / = (- a ; - a2 ; a ) uuuur é A / C , nr ù = é(a; a; - a), (-a ; - a ; a ) ù = 0r / / û êë r ( AB D ) ú û ë uuuu r Þ A/ C P n( AB / D / ) A/ D/ B/ C/ k M D A k N B a C z Vậy A/ C ^ ( AB / D / ) uuuur uuuur ìï A/ C AB / = ïì A / C ^ AB / Cách khác: íuuuur uuuur Þ í / Þ A / C ^ ( AB / D / ) / ïỵ A/ C AD / = ỵï A C ^ AD uuuu r r uuur Tính j: n1 = [DA / , DC ] = (0; a2 ; a ) r r r n2 = n( ABB / A / ) = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 Þ cos j = r r = = 2 a n1 n Vậy j = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuur MN = ( k ; a - 2k ; - k ) uuuur uuur r r n = n( A / D / BC ) = [BA / , BC ] = - a (1; 0; 1) uuuur r - a Ta có: MN n = (k - k ) = Þ MN P ( A/ D / BC ) (do M Ï( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k - 2ak + 2a ) k MN2 –¥ a a2 Trang 71 a +¥ y PP Toạ độ không gian Þ MN = a Û k= Trần Só Tùng a 3 uuuur a a Khi k = MN = (1; 1; - 1) 3 uuuur uuuu r ì a / ïï MN AD = (1; 1; - 1)(0; a; a) = Þ íuuuur uuur Þ ï MN BD = a (1; 1; - 1)(- a; a; 0) = ïỵ ì MN ^ AD / í ỵ MN ^ BD Vậy MN đoạn vuông góc chung AD/ BD Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vuông ADD/A/ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ỉa ỉ a Þ M ç ; 0; ÷ , N ç 0; ; ÷ è2 ø è 2ø Tính R: Phương trình mặt cầu (S): x + y + z - 2a x - b y - 2g z + d = C , D / , M , N Ỵ (S ) , suy ra: ì2a - 2a a - b a + d = ï ï2a - 2b a - 2g a + d = ï a2 í -aa + d ï4 ï a2 ï - ba -g a + d = ỵ2 (1) – (2) suy ra: a = g (2) – (4) suy ra: d = a2 (1) ( 2) z A D/ / (3) B/ K ( 4) N / L C D B 5a (3) Þ a = g = a (4) Þ b = a A M x Þ Phương trình mặt cầu (S): x + y + z2 - 5a a 5a x - y - z + a2 = 2 Trang 72 C y Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian 2 ỉ 5a ỉ 5a ỉ a 35a R = ç ÷ +ç ÷ + ç ÷ - a2 = 16 è ø è ø è 4ø Vậy R = a 35 Tính r: (S) Phương trình mặt cầu (S¢): x + y + z2 - 2a /2 x - 2b / y - 2g / z + d / = A/ , B / , C / , D Ỵ (S / ), suy ra: I ìa2 - 2g / a + d / = ï ïa - 2a / a + d / = í / / / / ï3a - 2a a - 2b a - 2g a + d = ïỵa2 - b / a + d / = (C) I/ Þ (S / ) : x + y + z2 - ax - ay - az = bán kính R / = a Dễ thấy C(a; a; 0) Ỵ (S / ) Þ C Ỵ (C ) Gọi I , I / , J tâm (S), (S/) (C) ỉ 5a a 5a / ỉ a a a Þ Iç ; ; ÷, I ç ; ; ÷ è 4 ø è2 2ø Þ r = d (C, II / ) = uur uur [II / , CI ] II / uur uur uur ỉ 3a a -3a uur ỉ a -3a 5a a2 / II / = ç - ; ; CI = ; ; Þ [ II , CI ] = (-1; 3; 2) ÷ ç ÷ è 4 ø è4 4 ø Þr=a C r J R/ a Þ a / = b / = g / = , d/ = Ta có: JC ^ II / R 14 19 Tính S: uuur uuur a2 r n(CMN ) = [CM , CN ] = - (2; - 1; 3) Þ Phương trình mặt phẳng (CMN): x - y + 3z - a = ìx = ï Phương trình đường thẳng AA¢: í y = (t Ỵ R) ïỵz = t ìx = ï Phương trình đường thẳng DD¢: í y = a (t Ỵ R) ïỵz = t Gọi K = (CMN ) Ç AA/ , L = (CMN ) Ç DD / Trang 73 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng ỉ 2a ỉ Þ K ç 0; 0; ÷ , L ç 0; a; ÷ 3ø è ø è uuur uuur uuur uuur Þ S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ] éỉ ỉ ỉ éỉ a 2a ù a ứ ỉ = çç êç - ; - a; ÷ , ç - a; - a; ÷ ú + êç - a; - a; ÷ , ç - a; 0; ÷ú ÷ ø è è ëè øû 3ø è ø û ÷ø ëè ( ) a 14 ÞS= BÀI TẬP Bài Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O(0; 0; 0), A(0; 0; a ), B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0) a 15 Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = a, OB = b, OC = c đôi vuông góc Điểm M cố đònh thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) Þ d ( AB; OM ) = = = = a b c Bài Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy D ABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G DABC Đặt SG = x (x > 0) Xác đònh giá trò x để góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 60o ỉa a ỉa a HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ç ; ; ÷ , S ç ; ; x ÷ è3 ø è2 ø Þ Vmin = 27 Û a Þx = Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) ỉa HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ç ; 0; ÷ (SO = h) ç ÷ è ø r r 5a é uuur uuur ù a 10 Þ ( AMN ) ^ (SBC ) Þ n( AMN ) n(SBC ) = Þ h = Þ SD AMN = AM , AN = û 12 2ë 16 Trang 74 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian Bài Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: ỉa a ỉ a a ỉa a ỉ a a A(0; 0; 0), B ç ; ; 0÷, C ç - ; ; ÷ , A '(0; 0; a), B ' ç ; ; a ÷, C 'ç - ; ; è2 ø è 2 ø è2 ø è 2 ø a 21 Bài Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Bài Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh 1, O trọng tâm tam giác DABC I trung điểm SO a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ số thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC b) H chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G DSAC ỉ ỉ ỉ ư ; 0; ÷ ; B ç ;- ;0÷ ; C ç ; ;0÷ ; HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), A ç ç ÷ ç ç ÷ ÷ø è ø è è ø ỉ 6ư ỉ 6ư S ç 0; ÷ ; I ç 0; 0; ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø V( SBCM ) Þ = V (SABC ) Þ d ( A ' B; B ' C ' ) = Bài Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ diện tích tam giác MC1D ỉa a HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), C1 ç ; ; 2a ÷ , D(0;a;a) ç 2 ÷ è ø a 15 M º A Bài 10 Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân B, AB = a, SA ^ ( ABC ) SA = a AH ^ SB H, AK ^ SC K a Chứng minh HK ^ SC b Gọi I = HK Ç BC Chứng minh B trung điểm CI c Tính sin góc j SB (AHK) d Xác đònh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC uuur uur a ĐS: a/ HK SC = 0; c/ d/ SJ = JC , R = ; Þ Giá trò lớn SDC M = Bài 11 Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân B, AB = a, SA ^ ( ABC ) SA = a Gọi D trung điểm AC a Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC) b Mặt phẳng (a) qua A vuông góc SC, (a) cắt SC SB M N Tính thể tích hình Trang 75 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng chóp SAMN c Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (SBC) a a a3 ; dB = b/ d/ 18 Bài 12 Cho DABC cạnh a Trên đường thẳng d ^ ( ABC ) A lấy điểm S, SA = h ĐS: a/ d A = a Tính d(A, (SBC)) theo a h b Đường thẳng D ^ (SBC ) trực tâm H DSBC, chứng tỏ D qua điểm cố đònh S di động d c D cắt d S/ Tính h theo a để SS/ nhỏ ĐS: a/ ah 3a + 4h ; d/ a ; h = b/ Trọng tâm DABC a Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) SA = a Mặt phẳng (P) qua A (a ) ^ SC ; (P) cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K a Chứng minh AH ^ SB, AK ^ SD b Chứng minh BD // (a) BD // HK c Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC d Tính VS.AHMK uuur r uuur uuur uuur uur uuur uuur ĐS: a/ AH SB = AK SD = b/ BD.na = 0; BD = HK ; a3 18 Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA ^ ( ABCD ) ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a N trung điểm SD a Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN) b Tính cosin góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) c/ HG / / GK ; d/ c Gọi M trung điểm SA Tìm điều kiện a b để cos· CMN = Trong trường hợp tính VS.BCNM ĐS: a/ a ; 2ab ; b/ b ; c/ a = b; V = a3 4a + 5b 20a + 5b Bài 15 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD Trên tia Az ^ (a ) lấy điểm S Đường thẳng (D1 ) ^ (SBC ) S cắt (P) M, (D2 ) ^ (SCD ) S cắt (P) N Gọi I trung điểm MN a Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng b Khi S di động Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố đònh c Vẽ AH ^ SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm DSMN d Cho OS = 2, AB = Tính VASMN uuur uuur uuur uuur ỉ h2 h2 ĐS: a/ MA = h AB, NA = h AD; b/ I ç - ; - ; ÷ Ỵ AC; è 2 ø Trang 76 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian 16 Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) , đáy ABCD hình vuông cạnh a Trên cạnh BC, CD lấy điểm M, N Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a) a Tìm hệ thức x y để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) 45o b Tìm hệ thức x y để (SAM ) ^ (SMN ) c/ AH ^ (SMN ); MN ^ SH ; SM ^ AH ; ĐS: a/ 4a - 4a3 ( x + y ) + 2axy ( x + y ) - x y = d/ b/ x - ax + ay = Bài 17 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a , đường cao SO, cạnh bên a a Tính thể tích hình chóp Xác đònh tâm Ivà bán kính R hình cầu (S) nội tiếp hình chóp b Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD Q R Tính diện tích thiết diện c Chứng tỏ mặt phẳng (MNP) chia hình chóp hai phần tích 4a3 a 2a3 ; OI = R = b/ a2 c/ 3 Bài 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, đường cao SO Mặt bên ĐS: a/ V = tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt cạnh SC, SD M, N a Tính góc AN với (ABCD) BD b Tính khoảng cách AN BD c Tính thể tích hình khối ABCDMN ĐS: a/ sin j = 13 b/ a 22 c/ 5a3 48 Bài 19 Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O Trên tia Oz ^ ( ABCD ) lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc a a Xác đònh tính độ dài đoạn vuông góc chung SA CD b Mặt phẳng (b) qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS: a/ a sin a b/ cos a Bài 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= uuuur2, AD = 4, AA¢ = Gọi I, J trung uuur uuur uuur điểm AB, CD¢ Gọi M, N thỏa AM = m AD , BN = mBB / (0 £ m £ 1) a b c d Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢) Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng Xác đònh tâm K bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢ Tính bán kính r đường tròn giao (S) (BDA¢) uur uur uuur 12 26 ĐS: a/ b/ [IN , IJ ].IM = c/ K (1; 2; 3), R = 14; d/ 7 Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh Gọi M, N trung điểm AB DD¢ a Chứng minh MN // (BDC¢) Tính MN d(MN, (BDC¢)) b Gọi P trung điểm C¢D¢ Tính VC.MNP góc MN BD Trang 77 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng / c Tính bán kính R đường tròn (A BD) uuuur r a/ MN n = 0; MN = 6; d = ; b/ V = 1; j = 30o ; c/ ĐS: 3 Bài 22 Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông O, OA= a, OB = b, OO/ = h Mặt phẳng (P) qua O vuông góc AB¢ a Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA/ I, J (I, J không trùng A, B, A/) b Với điều kiện tính: SDOIJ tỉ số thể tích phần thiết diện chia lăng trụ ĐS: a/ a < h b/ S = a 3b a + b + h 2h(a2 + b ) ; V1 V2 = a4 3a h + 3b h - a Bài 23 Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vuông A, SC ^ ( ABC ) SC = AB = AC = a Các điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn b Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA a 2a ,t= b/ MN ^ AM , MN ^ CN 3 Bài 24 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, có AB= 3, BC = Cạnh bên SA ^ ( ABC ) SA = ĐS: a/ MN = 3t - 4at + 2a2 ; = a Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC b Trên AB lấy điểm E với AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích lớn 41 b/ max S = 4, x = 2 Bài 25 Cho tam giác SAD hình vuông ABCD cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB a Chứng minh mặt phẳng (CMF ) ^ (SIB) ĐS: a/ SI = IC; R = b Tính khoảng cách đường thẳng AB SD CM SA a a ; Bài 26 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc · BAD = 60o Gọi M trung điểm cạnh AA¢ N trung điểm cạnh CC¢ ĐS: b/ a Chứng minh điểm B¢, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN hình vuông ĐS: b/ a Trang 78 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian ĐỀ THI CHUNG CỦA BỘ GD-ĐT Bài 1: (A–2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) a2 10 S= ĐS: 16 Bài 2: (A–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: ìx = 1+ t ï ì x - 2y + z - = A1 : í D2 : í y = + t ỵ x + y - 2z + = ïỵ z = + 2t a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 song song với đường thẳng D2 b Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳngD2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ĐS: a/ ( P ) : x - z = b/ H(2; 3; 3) Bài 3: (B–2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N ĐS: a/ a ; b/ MP ^ C1 N Bài 4: (D–2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 34 17 Bài 5: (D–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ì(2m + 1) x + (1 - m ) y + m - = (P): 2x – y + = đường thẳng dm: í (m tham số) ỵmx + (2m + 1)z + 4m + = ĐS: Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: m=- Bài 6: (A–2003) Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ Tính số đo góc phẳng nhò diện [B, A/C, D] ĐS: 120o Bài 7: (A–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có A trùng với gốc hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; b) (a >0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC/ a Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a b a b Xác đònh tỷ số để hai mặt phẳng (A/BD) (MBD) vuông góc với b Trang 79 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng a2 b a ; b/ = b Bài 8: (B–2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc · BAD = 60o Gọi M trung điểm cạnh AA/ Nlà trung điểm cạnh CC/ Chứng minh ĐS: a/ bốn điểm B/, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN hình vuông ĐS: a Bài 9: (B–2003) Trong không gian với hệuuurtọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA ĐS: Bài 10: (D–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường thẳng: ì x + 3ky - z + = ( dk ) : í ỵkx - y + z + = Tìm k để đường thẳng (dk) vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + = ĐS: k = Bài 11: (D–2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng D Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với D AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a a a ; AH = 2 Bài 12: (A–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD ĐS: R= hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài 13: (B–2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên ĐS: a/ 30o ; mặt đáy j( (0o < j < 90o ) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a j a2 tan j Bài 14: (B–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng ì x = -3 + 2t ï d: í y = - t ïỵz = -1 + 4t Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d ĐS: tan j ; Trang 80 Trần Só Tùng ĐS: PP Toạ độ không gian (D) : x +4 y+2 z-4 = = -1 Bài 15: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > a Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b b Cho a, b thay đổi, thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn ab ĐS: a/ ; b/ ; a = b = a + b2 Bài 16: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ĐS: ( x - 1)2 + y + (z - 1)2 = Bài 17: (A–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): x + y - 2z + = x -1 y + z - = = -1 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), biết D qua A vuông góc với d ìx = t ï ĐS: a) I1(-3; 5; 7), I (3; -7;1) b) A(0; –1; 4); D: í y = -1 ïỵz = + t Bài 18: (B–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ với A(0; –3; 0), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), B¢(4; 0; 4) a) Tìm toạ độ đỉnh A¢, C¢ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC¢B¢) b) Gọi M trung điểm A¢B¢ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC¢ Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A¢C¢ điểm N Tính độ dài đoạn MN 576 ĐS: a) A¢ (0; –3; 4), C¢ (0; 3; 4); (S): x + ( y + 3)2 + z2 = 25 17 Bài 19: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng b) (P): x + y - 2z + 12 = ; MN = x -1 y + z +1 = = -1 ìx + y - z - = d2 : í ỵ x + 3y - 12 = a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) ĐS: a) (P): 15 x + 11y - 17 z - 10 = b) SDOAB = d1 : Bài 20: (A–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A¢(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD Trang 81 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A¢C MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A¢C tạo với mặt phẳng Oxy góc a, biết cos a = ĐS: a) d(A¢C, MN) = 2 b) (Q1): x - y + z - = , (Q2): x - y - z + = Bài 21: (A–2006) Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB 3a3 12 Bài 22: (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: ìx = 1+ t ï x y -1 z + d1 : = = d2 : í y = -1 - 2t -1 ïỵ z = + t ĐS: V= a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng ĐS: a) (P): x + 3y + 5z - = b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1) Bài 23: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a3 36 Bài 24: (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: x - y + z -1 x - y -1 z + d1 : = = d2 : = = 2 -1 -1 a) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d1 cắt d2 x -1 y - z - ĐS: a) A¢ (–1; –4; 1) b) D: = = -3 -5 Bài 25: (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS: VAINB = 3a3 50 Bài 26: (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ì x = -1 + 2t ï x y -1 z + d1 : = = d2 : í y = + t -1 ïỵ z = ĐS: V= a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 4z = cắt hai Trang 82 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian đường thẳng d1, d2 x - y z +1 ĐS: b) d: = = -4 Bài 27: (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP 3a3 96 Bài 28: (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có ĐS: VCMNP = phương trình: (S): x + y + z - x + y + z - = , (P): x - y + 2z - 14 = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn a) (Q): y - z = b) M(-1; -1; -3) ĐS: Bài 29: (B–2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC a Bài 30: (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x -1 y + z đường thẳng D: = = -1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) ĐS: d(MN, AC) = b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D cho MA + MB nhỏ x y-2 z-2 ĐS: a) d: = = b) M(–1; 0; 4) -1 Bài 31: (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, · ABC = · BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh DSCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a ĐS: d(H, (SCD)) = Bài 32: (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng x -1 y z - d: = = 2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn ĐS: a) H(3; 1; 4) b) (P): x - y + z - = Trang 83 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng Bài 33: (A–2008) Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A¢ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A¢.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA¢, B¢C¢ a3 V= cos j = ĐS: Bài 34: (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(– 2; 0; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x + y + z - = cho MA = MB = MC ĐS: a) x + y - 4z + = b) M(2; 3; –7) Bài 35: (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN a3 ; cos j = Bài 36: (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: V= ĐS: a) x + y + z2 - x - 3y - 3z = b) H(2; 2; 2) Bài 37: (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ khoảng cách hai đường thẳng AM, B¢C ĐS: V= a ; d= a Bài 38: (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 15a3 Bài 39: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y - z - = ĐS: V= mặt cầu (S): x + y + z2 - x - y - z - 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ĐS: H(3; 0; 2), r = Bài 40: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = va hai đường thẳng D1 : x +1 y z + x -1 y - z + = = , D2 : = = Xác đònh toạ độ điểm M thuộc 1 -2 Trang 84 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) ỉ 18 53 ĐS: Mç ; ; ÷ è 35 35 35 ø Bài 41: (B–2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có BB¢ = a, góc đường thẳng BB¢ mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C · BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a 9a3 V= ĐS: 208 Bài 42: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) ĐS: (P): x + y + z - 15 = (P): x + 3z - = Bài 43: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2z - = hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x + y z -1 ĐS: D: = = 26 11 -2 Bài 44: (D–2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A¢C¢, I giao điểm AM A¢C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 4a3 2a , d= Bài 45: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z - 20 = Xác đònh toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) ĐS: V= ĐS: ỉ5 D ç ; ; -1 ÷ è2 ø x+2 y-2 z = = 1 -1 mặt phẳng (P): x + y - 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng D ì x = -3 + t ï ĐS: d: í y = - 2t ïỵz = - t Bài 46: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D : Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 85