Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu Kiến thức chuẩn bị Hàm tiệm cận 12 2.1 Nón tiệm cận 12 2.2 Hàm tiệm cận 29 Ứng dụng hàm tiệm cận 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Lời nói đầu Giải tích phi tuyến ứng dụng lĩnh vực liên quan đến tối ưu liên tục bất đẳng thức biến phân trải qua trình hoàn thiện ba mươi năm Trong đó, giải tích lồi lĩnh vực bao gồm nhiều vấn đề toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng phát triển Định lý tách tập lồi biến đổi liên hợp Legendre - Fenchel khái niệm có đóng góp quan trọng cho trình phát triển Có hai khái niệm quan trọng khác góp phần làm cho giải tích lồi trở thành công cụ mạnh, mà thường xuyên bị giấu kín, khái niệm nón tiệm cận hàm tiệm cận Trong trình tìm cực tiểu toán tối ưu ta phải đối mặt với trường hợp tính compact bị vi phạm tồn dãy không bị chặn Điều ta quan tâm tới biểu diễn dãy vô Từ dẫn đến khái niệm nón tiệm cận hàm tiệm cận Trong sách công bố vào năm 2000, A Auslender M Teboulle [3] đưa kết nón tiệm cận hàm tiệm cận Các tác giả tính chất quan trọng thú vị chúng hai trường hợp lồi không lồi Luận văn trình bày số kết Chương “Nón tiệm cận hàm tiệm cận” (“Asymptotic cones and functions”) chuyên khảo [3] A Auslender M Teboulle nhắc tới Các đối tượng xét nón tiệm cận, hàm tiệm cận áp dụng chúng để xét tồn nghiệm toán tối ưu Luận văn gồm ba chương Chương “Kiến thức chuẩn bị” đề cập tới số khái niệm giải tích lồi Do phần mang tính hỗ trợ, nên không chứng minh kết đưa Lời nói đầu Chương “Hàm tiệm cận” trình bày trình xây dựng khái niệm nón tiệm cận hàm tiệm cận thông qua đồ thị Sử dụng công cụ giải tích cổ điển số khái niệm hình học cho ta biểu diễn tiệm cận tập, hàm phép toán cảm sinh khác, cho phép nhận kết riêng thú vị hai trường hợp lồi không lồi Chương “Ứng dụng hàm tiệm cận” giới thiệu số ứng dụng hàm tiệm cận trình bày cụ thể áp dụng hàm tiệm cận để nghiên cứu tồn ổn định cho toán cực tiểu lồi Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS TS Trương Xuân Đức Hà Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô Trương Xuân Đức Hà tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2014 Hoàng Thị Ánh Nguyệt Danh mục ký hiệu N R Rn R Rn + B aff C conv C int C ri C cl C bd C NC (x) pos C ext C extray C dom f epi f lev(f, λ) δC σC C∞ f∞ Cf Kf tập số tự nhiên tập số thực không gian Euclidean n chiều tập số thực mở rộng orthant dương hình cầu đơn vị đóng bao affine tập C bao lồi tập C phần tập C phần tương đối tập C bao đóng tập C biên tập C nón pháp tuyến C x nón dương sinh C tập điểm cực biên C tập phương cực biên C miền hữu hiệu f tập đồ thị f tập mức f (với mức λ) hàm tập C hàm tựa tập C nón tiệm cận tập C hàm tiệm cận f không gian bất biến f nón tiệm cận f Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa kết giải tích lồi sử dụng chương sau Nội dung chủ yếu lấy từ [1] [2] Một số kiến thức giải tích lồi Cho Rn = {x = (x1 , · · · , xn ), xi ∈ R} không gian Euclidean n chiều Tích vô hướng Rn định nghĩa sau n x, y := x i yi , x, y ∈ Rn i=1 Hình cầu đơn vị đóng Rn kí hiệu B := {x ∈ Rn | x ≤ 1} Định nghĩa 1.1 Tập C ⊂ Rn lồi ∀ a, b ∈ C đoạn thẳng [a, b] := {ta + (1 − t)b | t ∈ [0, 1]} nối hai điểm a, b nằm C Chương Kiến thức chuẩn bị Một số phép toán tập lồi: Giao họ tập lồi tập lồi Tích Descartes số hữu hạn tập lồi tập lồi Tổng số hữu hạn tập lồi tập lồi Ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi Mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, hình cầu Rn ví dụ quen thuộc tập lồi Trong mặt cầu tập lồi Định nghĩa 1.2 Tập K ⊂ Rn gọi nón tx ∈ K , ∀ x ∈ K, t ≥ Nếu K tập lồi nón lồi Một ví dụ quan trọng nón lồi Rn nón orthant dương Rn+ := {x| xi ≥ 0, i = 1, , n} Định nghĩa 1.3 Tập C ⊂ Rn tập lồi khác rỗng Tập NC (¯ x) := {v ∈ Rn | v, x − x¯ ≤ , ∀ x ∈ C} gọi nón pháp tuyến C x ¯ ∈ C Ví dụ 1.4 (a) Với C = R2+ ta có NC ((0, 0)) = {(x, y)| x, y ≤ 0} (b) Với tập C = B = {x ∈ Rn | x ≤ 1} ta có nón pháp tuyến C (0, 0) vectơ không, nón pháp tuyến điểm (0, 1) NB ((0, 1)) = {(0, y)| y ≥ 0} Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.5 Một tập C ⊂ Rn khác rỗng Tập pos C := {λx | x ∈ C, λ ≥ 0} gọi nón dương (hay bao nón) sinh tập C nón nhỏ chứa tập C Định nghĩa 1.6 Tập C ⊂ Rn đa tạp affine (tập affine hay không gian affine) ∀ a, b ∈ C đường thẳng L(a, b) := {ta + (1 − t)b | t ∈ R} qua a, b nằm C Không gian Rn , điểm, đường siêu phẳng Rn đa tạp affine Trong đó, hình cầu, hình đa giác nói chung tập affine Một tập affine đóng lồi Rõ ràng tập affine trường hợp riêng tập lồi Một tập C ⊂ Rn , kí hiệu n n ti xi | xi ∈ C, ti ≥ 0, conv C := ti = , i=1 i=1 n n ti xi | xi ∈ C, ti ∈ R, aff C := i=1 ti = i=1 tương ứng bao lồi bao affine C Dễ thấy, conv C giao tất tập lồi chứa C tập lồi nhỏ chứa C Bao affine C giao tất đa tạp affine chứa C Với tập C = ∅, aff C tồn Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.7 Tập C ⊂ Rn tập lồi Phần bao đóng C tập lồi ký hiệu int C := x ∈ Rn | ∃ ε > cho x + εB ⊂ C cl C := , (C + εB) ε>0 Một điểm a tập lồi C gọi điểm tương đối ∀ x ∈ Rn có số ε > để a + ε(x − a) ∈ C Tập điểm tương đối C kí hiệu ri C , tập lồi Định nghĩa 1.8 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λx) + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , nghĩa đoạn thẳng thuộc C có điểm tương đối thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, điểm thuộc C mà điểm tương đối đoạn thẳng với hai đầu mút khác thuộc C Tập điểm cực biên C ký hiệu ext C Ví dụ đa giác lồi đỉnh điểm cực biên Nếu tập lồi C có diện nửa đường thẳng vectơ phương nửa đường thẳng gọi phương cực biên Tập phương cực biên C kí hiệu extray C Chẳng hạn nón orthant dương R2+ có điểm cực biên (0, 0) hai phương cực biên, vectơ đơn vị e1 = (1, 0) e2 = (0, 1) Chương Kiến thức chuẩn bị Tập lồi biểu diễn qua điểm cực biên phương cực biên Định lý 1.9 (Định lý Krein - Milman) Một tập lồi C ⊂ Rn , khác rỗng không chứa đường thẳng C = conv (ext C ∪ extray C) Khi C tập compact, lúc ext C = ∅ Tập C biểu diễn dạng C = conv ext C Một định lý quan trọng giải tích lồi thường sử dụng lý thuyết tối ưu định lý tách tập lồi Siêu phẳng t, x = α, t = gọi tách hai tập C, D sup t, x ≤ α ≤ inf t, y ; y∈D x∈C tách hẳn hai tập C, D ∈ Rn sup t, x < α < inf t, y y∈D x∈C Định lý 1.10 (Định lý tách thứ nhất) Hai tập lồi C, D không rỗng mà rời có siêu phẳng tách chúng Định lý 1.11 (Định lý tách thứ hai) Hai tập lồi đóng C, D không rỗng mà rời hai tập compact có siêu phẳng tách hẳn chúng Chương Kiến thức chuẩn bị Ta kí hiệu R := [−∞, +∞] tập số thực mở rộng Đặc biệt toán tối ưu ta thường làm việc với mở rộng hàm số thực Nghĩa hàm lấy giá trị Rn → R ∪ {+∞} Trong tính toán tập số thực mở rộng R := [−∞, +∞] ta theo quy ước thông thường ∞ + ∞ = ∞; α.∞ = ∞, ∀ α ≥ 0; inf ∅ = ∞; sup ∅ = −∞ Với hàm f : Rn → R, ta định nghĩa tập dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} , epi f := {(x, α) ∈ Rn × R| f (x) ≤ α} gọi miền hữu hiệu đồ thị f Ngoài ra, với α ∈ R, ta gọi tập mức hàm f (với mức α) lev (f, α) := {x ∈ Rn | f (x) ≤ α} Có thể thấy mối tương quan tập mức đồ thị f (x, α) ∈ epi f ⇐⇒ x ∈ lev (f, α) Hàm f gọi thường dom f = ∅ f (x) > −∞ ∀ x ∈ Rn Định nghĩa 1.12 Hàm f : Rn → R nửa liên tục x f (x) ≤ lim inf f (y) y→x nửa liên tục Rn f nửa liên tục với x ∈ Rn Định lý sau nêu số tính chất đặc trưng hàm nửa liên tục 10 Chương Hàm tiệm cận Mệnh đề 2.23 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} thường, nửa liên tục dưới, lồi Hàm f Lipschitz Rn , tức |f (x) − f (y)| ≤ L x − y , ∀x, y ∈ Rn , f∞ hữu hạn Rn số Lipschitz cho L = sup {f∞ (d) | d = 1} Chứng minh Đầu tiên giả sử hàm tiệm cận f∞ hữu hạn Rn có số Lipschitz L = sup {f∞ (d) | d = 1} Ta chứng minh thỏa mãn bất đẳng thức |f (x) − f (y)| ≤ L x − y , ∀ x, y ∈ Rn Do f∞ liên tục, mặt khác sup {f∞ (d) | d = 1} = L < ∞ nên từ tính dương f∞ suy f∞ (d) ≤ L hay f∞ (d) ≤ L d Sử dụng Công thức (2.4) hàm tiệm cận, thay f∞ (d) = sup {f (x + d) − f (x) | x ∈ dom f } vào bất đẳng thức trên, ta nhận f (x + d) − f (x) ≤ L d , x ∈ dom f, d ∈ Rn 42 Chương Hàm tiệm cận Từ f (x + d) < ∞ kéo theo dom f = Rn Viết lại bất đẳng thức ta f (x + d) − f (x) ≤ L d , ∀ x, d ∈ Rn Tức f (x + d) − f (x) ≤ L x + d − x , ∀ x, d ∈ Rn Đặt x + d = y ∈ Rn thay vào ta có bất đẳng thức cần chứng minh |f (x) − f (y)| ≤ L x − y , ∀ x, y ∈ Rn Ngược lại, giả sử f Lipschitz, ta f∞ hữu hạn Rn Thật vậy, từ điều kiện Lipschitz hàm f nên ∀ x ∈ Rn f (x + td) − f (x) ≤ tL d , ∀ t > 0, d ∈ Rn Hơn Công thức (2.5) f∞ (d) = sup t>0 f (x + td) − f (x) , t thay vào bất đẳng thức ta nhận f∞ (d) ≤ L d , ∀ d Mặt khác d sup {f∞ (d) | d ∈ Rn nên dom f∞ = Rn Vì ta có = 1} = L Định lý 2.24 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} thường, nửa liên tục lồi Với x ∈ dom f = d ∈ Rn đặt ψ (t) := f (x + td) (a) Nếu f∞ (d) ≤ lim sup ψ (t) < +∞ t→+∞ (b) Nếu tồn z ∈ dom f cho lim inf f (z + td) < +∞ ψ hàm t→+∞ giảm R tương đương với f∞ (d) ≤ 43 Chương Hàm tiệm cận Chứng minh (a) Giả sử f∞ (d) ≤ Từ Công thức (2.5) ta có f∞ (d) = sup t>0 f (x + td) − f (x) , ∀ x ∈ dom f t Dẫn đến f (x + td) ≤ f (x) , ∀ t > tức ψ (t) ≤ f (x) Mặt khác f thường, nghĩa f (x) < +∞ Từ suy lim sup ψ (t) < +∞ t→+∞ (b) Cho lim sup f (z + td) < +∞, với z ∈ dom f , ta f∞ (d) ≤ t→+∞ Giả sử f∞ (d) > 0, từ Công thức (2.5) ta f (z + td) ≥ f (z) + tα, ∀ t ≥ t0 , α > Cho t → +∞ ta có lim f (z + td) ≥ lim (f (z) + tα) t→+∞ t→+∞ Nhắc lại z ∈ dom f nên f (z) < +∞ Do α > nên t→+∞ tα −−−−→ +∞ Điều dẫn đến lim f (z + td) ≥ +∞, t→+∞ mâu thuẫn với giả thiết định lý Vì ta có f∞ (d) ≤ Dễ dàng kiểm chứng tính giảm ψ , f∞ (d) ≤ nên f (x + td) − f (x) ≤ 0, ∀ t > Từ định nghĩa ψ (t) = f (x + td) thay vào bất đẳng thức ta ψ (t) − ψ (0) ≤ 0, ∀ t > 44 Chương Hàm tiệm cận Hay nói cách khác ψ (t) ≤ ψ (0) , ∀ t > 0, ψ hàm giảm R Định nghĩa 2.25 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} hàm thường, lồi (a) Nón tiệm cận f tập Kf := {d ∈ Rn | f∞ (d) ≤ 0} = (epi f )∞ ∩ {(d, 0) | d ∈ Rn } Vectơ d ∈ Kf gọi phương tiệm cận f (b) Không gian bất biến f Cf := {d ∈ Rn | f∞ (d) = f∞ (−d) = 0} = (−Kf ) ∩ Kf Định lý 2.26 Nếu f : Rn → R ∪ {+∞} hàm thường, nửa liên tục dưới, lồi Các phát biểu sau cho d ∈ Rn u ∈ R tương đương (a) f (x + td) = f (x) + tu, ∀ x ∈ dom f, t ∈ R (b) (d, u) ∈ −(epi f )∞ ∩ (epi f )∞ (c) −f∞ (−d) = f∞ (d) = u (d) Hơn nữa, vectơ d thỏa mãn (a) - (c) với u = f∞ (d) tồn x ∈ dom f cho f (x + td) hàm affine f (e) d ∈ Cf f không đổi dọc theo phương d Chứng minh (a) =⇒ (c): Giả sử (a) tức f (x + td) = f (x) + tu, ∀ x ∈ dom f, t ∈ R Sử dụng Công thức (2.5) f (x + td) − f (x) , t→+∞ t f∞ (d) = lim 45 Chương Hàm tiệm cận −f∞ (−d) = f∞ (d) = u, ta chứng minh (a) =⇒ (c) (c) =⇒ (b): Bây giả sử (c) đúng, tức −f∞ (−d) = f∞ (d) = u Trong mối quan hệ hàm tiệm cận tập đồ thị ta có epi f∞ = (epi f )∞ , (d, u) (−d, −u) thuộc tập epi f∞ Từ f∞ (d) = u suy (d, u) ∈ epi f∞ = (epi f )∞ Tương tự −f∞ (−d) = u (−d, −u) ∈ epi f∞ = (epi f )∞ Như (d, u) , (−d, −u) ∈ epi f∞ hay (d, u) ∈ −(epi f )∞ ∩ (epi f )∞ Do (b) (b) =⇒ (a): Nếu (b) nghĩa (d, u) ∈ −(epi f )∞ ∩ (epi f )∞ Mặt khác, f nửa liên tục lồi nên tập epi f đóng lồi suy epi f = epi f + (epi f )∞ Từ khẳng định (b) ta viết lại biểu diễn cho epi f thành epi f = epi f − t (d, u) 46 Chương Hàm tiệm cận Lấy x ∈ dom f ta có (x, f (x)) ∈ epi f Đặt h (x) = f (x + td) − tu epi h = epi f − t (d, u) Suy epi h = epi f hay h (x) = f (x) dẫn đến f (x + td) = f (x) + tu, ∀ x ∈ dom f, t ∈ R (d) Sử dụng Công thức (2.5) u = f∞ (d) ta có f (x + td) = tu + f (x) , từ biểu diễn f (x + td) ta thấy hàm affine t (e) Do tính lồi f∞ nên ta có f∞ (0) = ≤ f∞ (d) + f∞ (−d) Kéo theo −f∞ (−d) ≤ f∞ (d) Mặt khác −f∞ (−d) = f∞ (d) , từ suy f∞ (−d) = f∞ (d) = Như d ∈ Cf f số dọc theo phương d, tức f∞ (−d) = f∞ (d) = 47 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận Hàm tiệm cận có số ứng dụng - Tối ưu nửa xác định, - Mô hình toán tối ưu trơn, - Ánh xạ đơn điệu tối đại, - Bất đẳng thức biến phân, - Sự tồn nghiệm toán tối ưu Trong luận văn dừng lại việc nghiên cứu “Sự tồn nghiệm toán tối ưu” Sự tồn nghiệm toán tối ưu Xét toán tối ưu tổng quát (P ) inf {f (x) | x ∈ Rn } f : Rn → R ∪ {+∞} Vấn đề ta quan tâm có hay không lời giải tối ưu Trả lời cho câu hỏi định lý Weierstrass quen thuộc giải tích Nếu hàm f liên tục tập compact, khác rỗng 48 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận toán có nghiệm tối ưu Tuy nhiên hai điều kiện: liên tục compact nghiêm ngặt thường không tồn Để đảm bảo cho toán có nghiệm ta xét điều kiện mở rộng, tính liên tục thay tính nửa liên tục Mệnh đề 3.1 Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} hàm thường, nửa liên tục Tập ∅ = C ⊂ Rn compact tập nghiệm toán tối ưu toán inf {f (x) | x ∈ C} khác rỗng compact Chứng minh Đặt m := inf {f (x) | x ∈ C} (có thể − ∞) Khi tồn dãy {xk } ⊂ C cho lim f (xk ) = m k→∞ Mặt khác C tập compact, không giảm tổng quát cho xk → x0 ∈ C Do f nửa liên tục nên m ≥ lim inf f (xk ) ≥ f (x0 ) k→∞ Vì x0 ∈ C nên theo định nghĩa m ta có m ≤ f (x0 ) Vậy f (x0 ) = m, tức tập nghiệm toán tối ưu là khác rỗng compact Sử dụng trực tiếp mệnh đề ta chứng minh tồn nghiệm toán tối ưu (P ) 49 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận Hệ 3.2 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} thường, nửa liên tục Giả sử tập mức lev (f, λ) bị chặn với λ mà λ > inf f tập nghiệm tối ưu toán (P ) khác rỗng compact Chứng minh Thật vậy, f thường nên infn f < ∞ Xét tập R mức f lev (f, λ) = {x ∈ Rn | f (x) ≤ λ} Với λ > inf f lev (f, λ) = ∅ Hơn f nửa liên tục nên tập mức lev (f, λ) đóng Mặt khác theo giả thiết tập mức lev (f, λ) bị chặn Do tập mức lev (f, λ) compact Áp dụng Mệnh đề 3.1 cho tập C := lev (f, λ) ta tập nghiệm toán tối ưu compact khác rỗng Thật vậy, C compact, sử dụng Mệnh đề 3.1 suy ∃ x0 ∈ C cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀ x ∈ C ta chứng minh f (x0 ) = infn f (x) R Dễ thấy, x ∈ C f (x0 ) ≤ f (x) Nếu x ∈ / C Giả sử f (x) > λ, mặt khác x0 ∈ C , suy f (x0 ) ≤ λ Do f (x0 ) ≤ f (x) Suy f (x0 ) = infn f (x) R Vậy tập nghiệm toán tối ưu compact khác rỗng 50 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận Nhận xét 3.3 (i) Với λ > inf f ta có tập mức lev (f, λ) khác rỗng bị chặn Áp dụng Mệnh đề 2.4 tương đương với lev(f, λ)∞ = {0} Nghĩa nón tiệm cận tập mức lev (f, λ) co hẹp lại thành điểm (ii) Ở Mệnh đề 2.21 có lev(f, λ)∞ ⊂ {d | f∞ (d) ≤ 0} bao hàm thức trở thành đẳng thức f bổ sung tính lồi Điều dẫn đến định nghĩa Định nghĩa 3.4 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi (a) Mức bị chặn với λ > inf f , tập mức lev (f, λ) bị chặn (b) Bức f∞ (d) > 0, ∀ d = Như kết suy trực tiếp từ định nghĩa ta thấy f mức bị chặn lim f (x) = ∞ (3.1) x →∞ Thật vậy, giả sử f ta chứng minh (3.1) Giả sử lim f (x) = ∞ x →∞ Suy tồn {xk } ||xk || → ∞ f (xk ) ∞ Tức f (xk ) bị chặn Khi sup f (xk ) = λ < ∞ Đặt lev (f, λ) := {x| f (x) ≤ λ} Suy xk ∈ lev (f, λ) Mặt khác, f mức bị chặn nên {xk } bị chặn Điều mâu thuẫn với ||xk || → ∞ Vậy lim f (x) = ∞ ||x||→∞ 51 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận Ngược lại, giả thiết lim f (x) = ∞ ta chứng minh tập mức ||x||→∞ lev (f, λ) = {x| f (x) ≤ λ} bị chặn Giả sử {xk } ∈ lev(f, λ) nên {xk } không bị chặn, tức ||xk || → ∞ Vì {xk } ∈ lev (f, λ) nên f (xk ) ≤ λ Nghĩa f (xk ) bị chặn Điều mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu ta Vì nên tập mức lev (f, λ) bị chặn Các điều kiện sau đưa dấu hiệu quan trọng để nhận biết hàm Mệnh đề 3.5 Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} thường, nửa liên tục f (x) , β = inf {f∞ (d) | d = 1} (3.2) x →∞ x cận β đạt α = β Hơn f α = lim inf tồn γ > 0, δ ∈ R cho f (x) ≥ γ x + δ, ∀ x (3.3) Chứng minh Hàm f thường nên f∞ nửa liên tục Áp dụng Công thức (3.2) với x = 1, thay vào d f∞ (d) ta nhận lim inf f∞ (1) ≥ f∞ (x) x =1 β suy β ≥ f∞ (x) Mặt khác theo Định nghĩa β (3.2) β cận f∞ , nghĩa β ≤ f∞ (x) Như x = 1, f∞ (x) = β (3.4) Để tiếp tục ta chứng minh α ≤ β Từ biểu diễn hàm tiệm cận Định lý 2.17 tức tồn dãy dk → x, tk → ∞, x = cho f (tk dk ) = β, k→∞ tk dk lim 52 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận k → ∞ ta dk → x suy dk → 1, tk dk → ∞ Kết hợp với Định nghĩa α ta có α ≤ β Tiếp theo ta chứng minh α ≥ β Từ Định nghĩa α ta lấy dãy {xk } cho xk → ∞, xk → x, x = 1, lim k→∞ xk f xk xk xk xk = α Sử dụng biểu diễn f∞ Công thức (2.3) ta có f∞ (x) ≤ α, suy β ≤ α Như ta hoàn thành chứng minh β = α Ta chứng minh f (3.3) Giả sử (3.3) không đúng, nghĩa f β = α > 0, với δ ∈ R, γ > 0, tồn x cho f (x) < γ x + δ Chọn δ = −k, γ = , k ∈ N tồn dãy {xk } cho k f (xk ) < xk − k k Trường hợp {xk } bị chặn tức tồn N > xk ≤ N k→∞ f (xk ) −−−→ −∞, điều mâu thuẫn với tính f Trường hợp lại, {xk } không bị chặn tức xk → ∞ suy lim inf x →+∞ f (x) f (xk ) ≤ lim inf k→+∞ x xk 53 Chương Ứng dụng hàm tiệm cận Mà k f (xk ) < − < 0, ∀ k ∈ N xk k xk suy lim inf x →+∞ f (x) ≤ 0, x điều mâu thuẫn với tính f Như f (3.3) Dễ dàng Bất đẳng thức (3.3) f Thật vậy, giả sử ta có (3.3), tức tồn γ > 0, δ ∈ R, f (x) ≥ γ x + δ, ∀ x suy lim f (x) ≥ lim γ x + δ −→ +∞ x →∞ x →∞ Vì nên f Mệnh đề 3.6 Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} thường, nửa liên tục Hàm f mức bị chặn Nếu f lồi phát biểu sau tương đương (a) f (b) f mức bị chặn (c) Tập tối ưu {x ∈ Rn | f (x) = inf f } khác rỗng compact Chứng minh.Từ nhận xét Mệnh đề 3.4 ta f f mức bị chặn Như (a) ⇐⇒ (b) Để tiếp tục ta chứng minh (b) =⇒ (c) f lồi: Thật vậy, với giả thiết f mức bị chặn ta suy lev (f, λ) bị chặn Áp dụng Hệ 3.2 ta tập nghiệm tối ưu toán khác rỗng compact 54 Kết luận Luận văn trình bày số kết Chương “Nón tiệm cận hàm tiệm cận” (“Asymptotic cones and functions”) chuyên khảo [3] A Auslender M Teboulle Tiếp ứng dụng hàm tiệm cận toán tối ưu tìm cực tiểu Ngoài hàm tiệm cận có ứng dụng hữu ích việc nghiên cứu toán Tối ưu nửa xác định, Tối ưu trơn, toán Bất đẳng thức biến phân Tuy nhiên khuôn khổ luận văn thạc sĩ tác giả luận văn chưa có dịp đề cập đến Tác giả luận văn hy vọng có điều kiện để tìm hiểu sâu lớp hàm 55 Tài liệu tham khảo [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu - Bài giảng cao học, Viện Toán học [3] A Auslender, M Teboulle (2000), Asymptotic cones and functions in optimization and variational inequalities, Springer - Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 56 [...]... (C) ∞ khi và chỉ khi A (x + td) = Ax + tAd ⊂ C, ∀ t ≥ 0 Suy ra Ad ∈ C∞ , tức là d ∈ A−1 (C∞ ) Như vậy đã chứng minh được rằng nón tiệm cận của nghịch ảnh của C qua ánh xạ tuyến tính A bằng đúng nghịch ảnh của nón tiệm cận của C 27 Chương 2 Hàm tiệm cận Để kết thúc mục này ta sẽ xem xét biểu diễn nón tiệm cận cho một số tập quen thuộc Ví dụ 2.14 (a) Cho C là một nón trong Rn thì nón tiệm cận của C chính... dựng nón tiệm cận thông qua tập trên đồ thị của nó Định nghĩa 2.15 Với mỗi hàm chính thường f : Rn → R ∪ {+∞} tồn tại duy nhất hàm f∞ : Rn → R ∪ {±∞} gọi là ánh xạ tiệm cận (hàm tiệm cận) nếu epi f∞ = (epi f )∞ Dễ thấy, trên đồ thị của một ánh xạ tiệm cận là một nón đóng Nhắc lại rằng, một hàm π : Rn → R ∪ {+∞} là thuần nhất dương nếu 0 ∈ dom π và π (λx) = λπ (x) với mọi x ∈ Rn và λ > 0 Đối với hàm tiệm. .. nên B∞ = {0} 28 Chương 2 Hàm tiệm cận 2.2 Hàm tiệm cận Sau khi xây dựng được khái niệm nón tiệm cận ta quan tâm tới việc nghiên cứu đặc trưng của nó trong mở rộng hàm f : Rn → R ∪ {+∞} Trước tiên xét F là một tập đóng khác rỗng trong Rn+1 thỏa mãn (x, u) ∈ F =⇒ (x, u ) ∈ F, ∀ u > u (2.1) Dễ thấy từ tính chất này của F làm nảy sinh một và chỉ một hàm g sao cho epi g = F tức là hàm g được xác định bởi... , Cm là lồi và khác rỗng ta đã chứng minh được rằng nón tiệm cận của một tích Descartes của m tập C1 , , Cm chính là tích Descartes của m nón tiệm cận của nó Mệnh đề 2.13 Ánh xạ A : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính và C là tập lồi đóng trong Rn sao cho nghịch ảnh của C là khác rỗng, thì A−1 (C) ∞ = A−1 (C∞ ) Chứng minh Vì A là ánh xạ tuyến tính, mà C là tập lồi đóng nên nghịch ảnh của C qua A cũng... lõm Ví dụ 1.15 Một số hàm lồi • Hàm affine f (x) = c, x + α với c ∈ Rn , α ∈ R • Hàm chỉ của tập lồi C ⊂ Rn , trong đó    0 nếu x ∈ C, δC (x) :=   +∞ nếu x ∈ / C • Hàm tựa của tập lồi C ⊂ Rn , trong đó σC (d) := sup{ x, d | x ∈ C} 11 Chương 2 Hàm tiệm cận Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích sự phát sinh của hàm tiệm cận Từ một tập con trong Rn ta quan tâm tới biến thiên của nó ở vô cùng Chính... nghĩa nón tiệm cận suy m ra d ∈ C∞ hay F ⊂ C∞ 21 Chương 2 Hàm tiệm cận Vì vậy F = C∞ Tóm lại ba công thức trên là tương đương và là biểu diễn thay thế được cho C∞ Khi C là lồi đóng thì C∞ còn được gọi là nón các phương vô tận (phương lùi xa) Một công thức biểu thị khác của nón tiệm cận trong trường hợp C là tập lồi đóng ký hiệu là t−1 (C − x), ∀ x ∈ C C∞ := t>0 Dưới đây trình bày một số kết quả của nón... ký hiệu nón tiệm cận của tập C là C∞ := xk =d k→∞ tk d ∈ Rn | ∃ tk → +∞, ∃ xk ∈ C với lim đó là tập các vectơ d ∈ Rn , là giới hạn theo hướng của những dãy {xk } ⊂ C Tương tự một định nghĩa khác cho nón tiệm cận C∞ = {d ∈ Rn | ∀ x ∈ C, ∃ dk ∈ Rn , dk → d, ∃ sk → ∞ sao cho x+sk dk ∈ C} Từ định nghĩa suy ra một số tính chất cơ bản cho nón tiệm cận Mệnh đề 2.3 Một tập ∅ = C ⊂ Rn thì (a) C∞ là nón đóng... rỗng trong Rn thì C là chính quy tiệm cận 1 Chứng minh Từ định nghĩa của C∞ và C∞ luôn có được bao hàm thức 1 ⊂ C∞ C∞ Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử rằng d ∈ C∞ Từ định nghĩa của nón tiệm cận cho một tập C khác rỗng ta có xk = d k→∞ sk ∃ {xk } ⊂ C, ∃ sk → ∞ sao cho lim Lấy x ∈ C đặt dk = xk − x thì sk lim dk = d với x + sk dk ∈ C k→∞ 16 Chương 2 Hàm tiệm cận Dễ thấy xk − x xk x k→∞ = −... trong Rn ta quan tâm tới biến thiên của nó ở vô cùng Chính điều này sẽ dẫn đến các khái niệm về nón tiệm cận và hàm tiệm cận thông qua tập trên đồ thị của nó 2.1 Nón tiệm cận Một dãy {xk } ⊂ Rn gọi là hội tụ tới x nếu xk − x → 0 khi k → ∞ Nhắc lại rằng, mỗi dãy trong Rn hội tụ tới x khi và chỉ khi nó bị chặn và điểm tụ x là duy nhất Điều mà ta quan tâm tới là giải quyết vấn đề trong trường hợp dãy {xk... ∈ I là tập chỉ số bất kỳ Lúc đó (a) ( ∩ Ci )∞ ⊂ ∩ (Ci )∞ khi ∩ Ci = ∅ i∈I i∈I i∈I (b) ( ∪ Ci )∞ ⊃ ∪ (Ci )∞ i∈I i∈I Bao hàm thức (a) trở thành đẳng thức khi Ci là các tập lồi đóng và có giao khác rỗng Nếu I là một tập chỉ số hữu hạn thì bao hàm thức (b) trở thành đẳng thức Chứng minh (a) Để chứng minh khẳng định (a) ta sẽ sử dụng định nghĩa của nón tiệm cận và phép toán lấy giao của một họ bất kỳ các