BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2015 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HÓA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Mở đầu Các kí hiệu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L2 1.1.2 Không gian H m 1.1.3 Không gian H ∞ 1.1.4 Không gian BC m 1.1.5 Không gian C m ([a, b], E) 1.1.6 Không gian S Biến đổi Fourier Nửa nhóm liên tục 1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục 1.2.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục 1.2.3 Các tính chất nửa nhóm liên tục 10 1.2.4 Định lý Hille-Yosida 13 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường không gian Banach Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa 15 18 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng 18 2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya 19 2.2.1 toán Cauchy 19 Định lý Cauchy-Kowalewskaya 20 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng 20 2.2.2 2.3 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Bài 2.3.1 Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng Bài toán Cauchy 2.3.2 20 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng hệ phương trình cấp theo biến thời gian 21 2.3.3 2.4 2.5 Khái niệm tính đặt chỉnh toán Cauchy 22 Tính đặt chỉnh toán Cauchy hệ số phương trình phụ thuộc vào biến thời gian 23 2.4.1 Định lý Petrowsky 23 2.4.2 Định lý Hadamard trường hợp hệ số 25 2.4.3 Một số ví dụ 30 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 31 2.5.1 Phương trình truyền nhiệt Bài toán Cauchy 31 2.5.2 Các tính chất toán tử Laplace 32 2.5.3 Nửa nhóm phương trình truyền nhiệt 33 2.5.4 Nghiệm toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 36 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Phương trình tiến hóa phương trình đạo hàm riêng chứa biến thới gian t Các kiện ban đầu toán Cauchy cho phương trình tiến hóa thường cho mặt phẳng t = t = t0 Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mặt phẳng t = t0 không đặc trưng, song phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng mặt phẳng t = t0 thường lại đặc trưng, nên việc nghiên cứu toán Cauchy cho chúng phức tạp Mục đích luận văn nhằm trình bày tính đặt chỉnh toán Cauchy cho phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Kowalewskaya mở rộng Luận văn gồm hai chương, chương bao gồm số kiến thức chuẩn bị gồm số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục, toán Cauchy cho phương trình vi phân thường không gian Banach Nội dung luận văn chương 2, trình bày tính đặt chỉnh toán Cauchy cho phương trình tiến hóa Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya, luận văn phát biểu Định lý Cauchy-Kowalewskaya tính giải nghiệm toán lớp hàm giải tích Luận văn phát biểu chứng minh Định lý Petrowsky Hadamard tính đặt chỉnh toán Cauchy phương trình dạng tiến hóa hệ số phương trình tương ứng hàm số phụ thuộc biến thời gian số Do Định lý CauchyKowalewskaya áp dụng cho toán Cauchy cho phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng, nên công cụ nửa nhóm áp dụng để giải toán Cauchy phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng Luận văn minh họa phương pháp nửa nhóm thông qua việc giải toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Nội dung luận dựa tài liệu [2], [3] Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy PGS TS Hà Tiến Ngoạn, nỗ lực thân động viên bạn bè Một lần tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tới thầy cô Viện Toán học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn tất bạn bè đặc biệt bạn lớp cao học K21 Viện Toán học Cho dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong bảo tận tình thầy cô bạn Tác giả Nguyễn Hữu Dũng Các kí hiệu • R+ = {t ∈ R : t ≥ 0} • |x| chuẩn x không gian Euclid Rn • ||f ||E chuẩn hàm f không gian Banach E • ∆ toán tử Laplace Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L2 Giả sử Rn không gian Euclid n chiều với phần tử x = (x1 , , xn ) chuẩn x21 + + x2n |x| = Ký hiệu L2 = L2 (Rn ) hàm bình phương khả tích Rn nghĩa |f (x)|2 dx < +∞ Rn với chuẩn f L2 |f (x)|2 dx) =( Rn L2 không gian Hilbert với tích vô hướng (f, g)L2 = f (x)g(x)dx Rn 1.1.2 Không gian H m Không gian H m = H m (Rn ) tập hợp hàm f ∈ L2 thỏa mãn điều kiện Dα f ∈ L2 , ∀ |α| ≤ m Với α = (α1 , , αn ), |α| = α1 + + αn , D = (D1 , , Dn ), Dj = f ∂ , Dα f = D1α1 Dnαn f, với chuẩn ∂xj Hm Dα f =[ L2 ] |α|≤m H m không gian Hilbert với tích vô hướng Rn |α|≤m |α|≤m 1.1.3 Đặt H Dα f.Dα gdx (Dα f, Dα g)L2 = (f, g) = Không gian H ∞ ∞ ∞ = H m Không gian H ∞ không gian tôpô vectơ Trong m=0 H ∞ có nửa chuẩn pk (f ) = f (x) k = 0, 1, Hk Hàm f ∈ H ∞ với m cho f ∈ H m Ta nói dãy {fk } ⊂ H ∞ hội tụ tới f ∈ H ∞ với m fk −→ f H m 1.1.4 Không gian BC m Ký hiệu BC m = BC m (Rn ) tập hợp hàm có đạo hàm riêng đến cấp m liên tục bị chặn Rn BC m không gian Banach với chuẩn f BC m x∈Rn 1.1.5 |Dα f (x)| = sup |α|≤m Không gian C m ([a, b], E) Giả sử E không gian Banach không gian tôpô vectơ Đặt C m ([a, b], E) tập hợp hàm f : [a, b] −→ E khả vi liên tục đến cấp m E Nếu E không gian Banach C m ([a, b], E) không gian Banach với chuẩn m f C m ([a,b],E) = sup t∈[a,b] k=0 f (k) (t) E Trường hợp E = H ∞ C m ([a, b], H ∞ ) = {f (t)|f (t) ∈ H ∞ , a ≤ t ≤ b} không gian Frechet với nửa chuẩn: m max pk (f (h) (t)) h=0 1.1.6 (k = 0, 1, 2, ) a≤t≤b Không gian S Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1 Không gian S = S(Rn ) tập hợp tất hàm f (x) ∈ C ∞ cho với đa số α, β tồn Cα,β > xα Dβ f (x) ≤ Cα,β ∀x ∈ Rn , xα = (xα1 , xα2 , ., xαn ) Giả sử f (x) ∈ S Biến đổi Fourier f (x), kí hiệu f (ξ) với ξ = (ξ1 , ξ2 , ., ξn ), định nghĩa công thức e−2πi(x,ξ) f (x) dx F [f ](ξ) = f (ξ) = (1.1) Rn Ta có công thức nghịch đảo sau F −1 [f ](x) = f (x) = e2πi(x,ξ) f (ξ) d(ξ) (1.2) Rn Với f (x) ∈ S ta có công thức sau F [Dxα f (x)] = (2πiξ)α F [f ] (1.3) Dξα f (ξ) = F [(−2πix)α f (x)] (1.4) f (x)g(x) dx = (1.5) Rn f (ξ)g(ξ) dξ Rn |f (x)|2 dx = Rn f (ξ) dξ (1.6) Rn Biến đổi Fourier song ánh từ S lên S Công thức (1.1) cho phép thác triển biến đổi Fourier từ L2 vào L2 Biến đổi Fourier song ánh đẳng cự từ L2 lên L2 , đồng thời công thức (1.1) - (1.6) 24 v j (ξ, t0 ; t0 ) = δij với δij = j i = j i = j m Ngoài ra, ta định nghĩa: |v (ξ, t; t0 )| = i=1 (2.12) |vij (ξ, t; t0 )| Khi đó, định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để toán Cauchy đặt chỉnh Định lý 2.2 (Định lý Petrowsky) Điều kiện cần đủ cho toán Cauchy (2.5), (2.7) đặt chỉnh theo t ∈ [0; T ] tồn số dương C, p cho |v j (ξ, t; t0 )| ≤ C(1 + |ξ|)p , (0 ≤ t0 ≤ t ≤ T ; j = 0, , m − 1) (2.13) C, p không phụ thuộc vào t0 , v j (ξ, t, t0 ) hệ nghiệm toán (2.11), (2.12) Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử (2.13) không Gọi j số nguyên dương bất kỳ, tồn ξ ∗ ( |ξ ∗ | ≥ ) , t∗ , t∗0 k Như vậy: |v k (ξ, t∗ ; t∗0 )| ≥ j(1 + |ξ|)j ( t∗0 < t∗ < T ) lân cận U ξ ∗ Không tính tổng quát, ta giả định dis(0, U ) ≥ |ξ ∗ | max dis(0, ξ) ≤ 2|ξ ∗ |, dis khoảng cách ξ∈ U Nếu fˆ(ξ) hàm fˆ(ξ) L2 = không U Khi v(x, t) = e2πixξ v k (ξ, t∗ ; t∗0 )fˆ(ξ)dξ ∈ C ([0; T ]; H ∞ ) nghiệm M [u] = với t0 ≤ t, ta có: v(x, t∗ ) = v k (ξ, t∗ ; t∗0 ) 2 f (ξ) dξ ≥ j(1 + ∗ j |ξ |) (2.14) Mặt khác, ta có: |α|≤t ∂ v(x, t0 ∗ ) = ∂x (2πiξ)α v k (ξ, t0 ∗ ; t0 ∗ ) fˆ(ξ) dξ 25 ≤ c(l) (1 + |ξ ∗ |)l (2.15) Với c(l) số liên quan tới l Chú ý rằng, (2.14), j lớn tùy ý Do so sánh (2.14) với (2.15) ta thấy mâu thuẫn giả thuyết toán Cauchy đặt chỉnh Do đó, điều kiện cần toán chứng minh Tiếp theo ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử F ( v j (ξ, t; t0 ) = Rx j (t; t0 ) biến đổi Fourier ngược v0j (ξ, t, t0 ) Ta định nghĩa: t m−1 v(x, t; t0 ∗ ) = Rx j (t; t0 ) ∗ vj (x) + j=0 Rxm−1 (t; τ ) ∗ f (x; τ )dτ (2.16) t0 Với điều kiện f (x; t) ∈ C ((0; T ); H ∞ ) Do (2.16) nghiệm (2.5) thỏa mãn điều kiện cho Tính nghiệm thực khai triển Fourier v(ξ, t) nghiệm u(x, t) nghiệm M [u(ξ, t)] = g(ξ, t) (2.11) 2.4.2 Định lý Hadamard trường hợp hệ số Nếu aj,ν hệ số hằng, ta kí hiệu λj (ξ) (j = 1, 2, , m) cho nghiệm phương trình đặc trưng sau aj,ν (2πiξ)ν λj = 0, P (λ; ξ) = λm + (2.17) j 0), tồn ξ ∗ , (|ξ ∗ | > 1), tồn nghiệm (2.17) thỏa mãn Reλ(ξ ∗ ) ≥ k log(1 + |ξ ∗ |) Mặt khác, u(x, t) = exp{λ(ξ ∗ )t + iξ ∗ x} thỏa mãn L[u] = Hơn |u(x, 0)| = exp{Reλ(ξ ∗ )t} ≥ (1 + |ξ ∗ |)kt (t > 0), m−1 ∂ ∂x i=1 |ν|≤1 ν ∂ ∂j j ≤ C(l)(1 + |ξ ∗ |)m+l−1 , với k Mâu thuẫn Tiếp theo, giả sử (2.18) Ta chứng minh tính đặt chỉnh Bổ đề 2.2 (Petrowsky) Giả sử ta có hệ phương trình vi phân thường với hệ số d vi = dt N aij vj (i = 1, , N ) (2.19) j=1 Ta viết dạng ma trận d v = Av dt (2.20) Khi đó, tồn ma trận quy C = (cij ) cho điều kiện sau thỏa mãn 27 (1) CA = DC với D thỏa mãn  ∗ a11  a∗ a∗  21 22 D=  : a∗N  a∗N N     a∗ii nằm đường chéo nghiệm λ1 , , λN det(λI − A) = (tính bội), nghĩa ta đặt Cv = w (2.20) trở thành d w = Dw, dt (2.21) (2) | det C| = (|cij | ≤ 1) (3) |a∗ij | ≤ (N − 1)!2N (max |aij |) j < i i,j Chứng minh Ta viết (1) v1      N = bj vj , j=1 (1) vi = vi (i ≤ 2, i = i0 ), (1) vi0 = v1     Khi đó, (2.19) trở thành d (1) (1) v1 = λ1 v1 , dt N d (1) (1) (1) (1) (1) vi = ai1 v1 + aij vj (i ≤ 2), dt j=2        Rõ ràng, aij thỏa mãn |aij | ≤ 2K, K = max |aij | tính chất (2) (3) N Tiếp theo, ta quan sát j=2 (2) (1) đặt v1 = v1 ta có (1) (1) aij vj theo cách này, việc 28 d (2) (2) v1 = λ1 v1 , dt d (2) (2) (2) v2 = a21 v1 + λ2 v2 , dt N d (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) aij vj (i ≤ 3), vi0 = ai1 v1 + ai2 v2 + dt j=3 (2)              (2) Dễ thấy rằng, việc biến biến đổi (v1 , , vN ) thành (v1 , , vN ) thỏa mãn tính chất (2) Từ (2) (2) |a21 | ≤ (N − 1)2K |aij | ≤ 22 K (i > 2), (2) ta thấy |aij | ≤ (N − 1)22 K Tiếp tục trình ta chứng minh bổ đề Một phương pháp giải (2.1) ta sử dụng biến đổi Fourier x− không gian sau Giả sử ta áp biến đổi Fourier theo biến x lên hai vế (2.1) ta có m dj ˜ ≡ d v+ L[v] a (2πiξ) v=0 (2.22) ν,j dtm dtj v(ξ, t) biến đổi Fourier u(x, t) theo biến x Đây phương trình vi phân thường phụ thuộc tham số ξ Trong trường hợp này, nghiệm v(ξ, t) (2.22) tồn −∞ < t < +∞ xác định từ điều kiện ban đầu t = Ta xét việc đánh giá v(ξ, t) |ξ| → +∞ Trước hết ta viết vj (ξ, t) nghiệm (2.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu di v(ξ, t) = δij , i t=0 dt với i, j = 0, 1, , m − 1, δij kí hiệu Kronecker (2.23) Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện Hadamard (2.18) thỏa mãn Trong trường hợp này, cố định T > tồn số nguyên dương l số dương C cho |v(ξ, t)| ≤ C(1 + |ξ|)l (ξ ∈ Rn ) với v(ξ, t) |t| ≤ T , C l phụ thuộc T (2.24) 29 Chứng minh Ta viết v thay cho vj với j , đặt v (0) = v, v (1) = d dm−1 v, , v (m−1) m−1 v dt dt ˜ = trở thành Khi đó, L[v]  (0)   v  v (1)   0       d     = dt          v (m−1) αm (ξ) αm−1 (ξ)  v (0) v (1)                  α2 (ξ) α1 (ξ) v (m−1) Dễ thấy |αi (ξ)| ≤ C0 (1 + |ξ|)m (i = 1, , m) Nếu ta đặt số hạng vế phải phương trình thành ma trận A(ξ), nghiệm λi (ξ) det(λI − A) = thỏa mãn tinh chất: λ = λi (ξ/2π) nghiệm (2.22) Áp dụng Bổ đề 2.2 cho trường hợp thực tế Đầu tiên ta cố định ξ ∈ Rn Ta thấy tồn ma trận quy C thỏa mãn điều kiện (2) (3) Bổ đề 2.2 Trong trường hợp d wi (ξ, t) = λi (ξ)wi (ξ, t) + dt a∗ij wi (ξ, t) (2.25) j 0) ∂t ∂x21 ∂xn Dạng thu gọn phương trình ∂u − ∆u = f (x, t) ∂t (2.27) 32 với điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ0 (x) u(x, t) hàm nhiệt độ, f (x, t) nguồn nhiệt bên 2.5.2 Các tính chất toán tử Laplace Ta xét toán tử A = ∆ Khi ta chọn D(A) = H Ngưởi ta chứng minh toán tử A có tính chất sau: Mệnh đề 2.1 Tồn β > 0, ε > cho với λ thỏa mãn |λ| < ε ta có (I − λA)−1 ≤ − β|λ| Mệnh đề 2.2 Toán tử A = ∆ thỏa mãn điều kiện Định lý Hille-Yosida Chứng minh Ta cần chứng minh tồn B > 0, ∀µ > B cho (µI − A)−1 ≤ M (µ − B)−1 Thật (µI − A)−1 = µ(I − A) µ với λ = −1 = λ(I − λA)−1 µ (µI − A)−1 = λ(I − λA)−1 = |λ| (I − λA)−1 ≤ |λ| Do (µI − A)−1 ≤ |µ| 1−β |µ| = |µ| − β Chọn M = B = β Ta có điều phải chứng minh 1 − β|λ| 33 Hệ 2.1 Toán tử A = ∆ toán tử sinh nửa nhóm liên tục {Tt , t ≥ 0} 2.5.3 Nửa nhóm phương trình truyền nhiệt Ta xét nửa nhóm {Tt , t ≥ 0} E = L2 Tt : L2 → L2 xác định sau (Tt ϕ)(x) = √ (2 πt)n e− |x−y|2 4t ϕ(y)dy (2.28) Rn Trước hết ta kiểm tra toán tử Tt tuyến tính liên tục L2 Thật vậy, người ta chứng minh Tt ϕ L2 = sup |Tt ϕ| ≤ ϕ Rn L2 Từ suy Tt toán tử tuyến tính liên tục từ L2 vào L2 Bây ta kiểm tra Tt nửa nhóm liên tục a) T0 = I nghĩa ta chứng minh Tt ϕ −→ ϕ, t −→ + Ta có Tt ϕ(x) = Mặt khác √ n (2 πt) e− |x−y|2 4t (2.29) [ϕ(y) − ϕ(x)] dy Rn + √ n (2 πt) e− |x−y|2 4t ϕ(x)dy Rn |x−y|2 |x−y|2 √ n e− 4t ϕ(x)dy = ϕ(x) (2√1πt)n e− 4t dy = ϕ(x) (2 πt) Rn Rn Người ta chứng minh ϕ(x) ∈ L2 |x−y|2 √ n e− 4t [ϕ(y) − ϕ(x)] dy → L2 Từ suy (2.29) (2 πt) Rn Từ ta có điều phải chứng minh 34 b) Tiếp theo ta kiểm tra điều kiện Tt Ts ϕ = Tt+s ϕ Nghĩa ta cần kiểm tra  √ (2 πt)n Tt (Ts ϕ) = |x−y|2 4t e−   √1 (2 πs)n Rn e− |y−z|2 4s Rn = (2 π(t + s))n Ta có e − |x−y| 4(t+s) ϕ(y)dy = Tt+s ϕ Rn  √ (2 πt)n = e− ϕ(z)dz  dy |x−y|2 4t Rn √ √ (2 πt)n (2 πs)n  |y−z|2  √1 e− 4s ϕ(z)dz  dy πs Rn    Rn e− |x−y|2 4t e− |y−z|2 4s ϕ(z)dy  dz Rn Ta chứng minh e − |x−y| 4t − |y−z| 4s e Rn √ √ (2 πt)n (2 πs)n − |x−z| 4(t+s) e dy = (2 π(t + s))n (2.30) Trước hết ta chứng minh (2.30) cho trường hợp n = Thật |x − y|2 |y − z|2 − − = − [s(x − y)2 + t(y − z)2 ] 4t 4s 4ts = − [(s + t)y − 2(sx + tz)y + sx2 + tz ] 4ts sx + tz (s + t) sx2 + tz y −2 =− y+ 4st s+t s+t (s + t) sx + tz sx2 + tz (sx + tz)2 =− (y − ) + − 4st s+t s+t (s + t)2 Đặt z = y − sx + tz u = s+t +∞ +∞ sx+tz − s+t 4st (y− s+t ) e −∞ s+t z ta 4st − s+t 4st z dy = e −∞ √ st dz = s+t +∞ e−u −∞ √ πst du = √ s+t 35 Từ suy +∞ − |x−y| 4t e − |y−z| 4s e −∞ √ πst − [sx2 +tz − (sx+tz)2 ] s+t dy = √ e 4st s+t Mặt khác (sx + tz)2 (s + t)(sx2 + tz ) − (sx + tz)2 sx + tz − = s+t s+t st(x2 + z ) − 2stxz = (ts)(x − z)2 = s+t s+t Vậy n = Do biểu thức vế trái (2.30) có dạng phân ly nên đẳng thức cho n = cho n bất kỳ, từ ta có điều phải chứng minh c) Tiếp theo ta chứng minh Tt ϕ → Tt0 ϕ t → t0 |x−y|2 lim Tt ϕ(x) = lim √ n lim e− 4t ϕ(y)dy t→t0 t→t0 (2 πt) t→t0 n 2 R = lim √ n t→t0 (2 πt) = √ (2 πt0 )n − |x−y| 4t lim e t→t0 ϕ(y)dy Rn − |x−y| 4t e ϕ(y)dy = Tt0 ϕ(x) Rn d) Áp dụng Tính chất 1.5, để chứng minh ∆ toán tử sinh nửa nhóm {Tt } ta cần ∂ (Tt ϕ) = ∆(Tt ϕ) ∂t Thật vậy, ta có ∂ (Tt ϕ) = ∂t ∂ ∂t Rn Ta có ϕ(y)dy  √ √ n−1 π √  −n(2 πt) |x − y|2    − |x−y| t 4t √ = + √ n e  4t2  (2 πt)2n (2 πt)  ∂ − |x−y| 4t √ e ∂t (2 πt)n − |x−y| 4t √ e (2 πt)n 36 −2nt + |x − y|2 − |x−y|2 √ = e 4t 4t2 (2 πt)n (2.31) Mặt khác − |x−y| 4t ϕ(y)dy √ e n Rn (2 πt) − |x−y| 4t √ ∆ = ϕ(y)dy e n n (2 πt) R ∆(Tt (ϕ(x))) = ∆ Có ∂ ∂xi ∂2 ∂x2i − |x−y| 4t √ e (2 πt)n − |x−y| 4t √ e (2 πt)n = (yi − xi ) − |x−y|2 √ = e 4t 2t (2 πt)n (xi − yi )2 − 2t − |x−y|2 − |x−y| 4t √ e e 4t 4t2 (2 πt)n Suy − |x−y| 4t √ ∆ e (2 πt)n n =( i=1 ∂2 − |x−y| 4t √ e ) ∂x2i (2 πt)n |x − y|2 − 2nt − |x−y|2 √ = e 4t 4t2 (2 πt)n (2.32) Từ (2.31) (2.32) ta có điều phải chứng minh 2.5.4 Nghiệm toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Áp dụng công thức nghiệm (1.20) Định lý 1.2 ta có nghiệm toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt u(x, t) = t + √ (2 πt)n e− |x−y|2 4t ϕ0 (y)dy Rn   (2 π(t − s))n Rn  |x−y|2 e− 4(t−s) f (y, s)dy  ds 37 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau: - Các kiến thức chuẩn bị gồm số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục toán tử sinh toán Cauchy cho phương trình vi phân thường không gian Banach - Phát biểu tính đặt chỉnh toán Cauchy cho phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya kiểu Kowalewskaya mở rộng - Phát biểu chứng minh Định lý Petrowsky Hadamard tính đặt chỉnh toán Cauchy hệ số phương trình hàm số tương ứng phụ thuộc vào biến thời gian số - Trên sở sử dụng công cụ nửa nhóm liên tục trình bày công thức nghiệm tường minh cho toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 38 Tài liệu tham khảo [1] Fran¸cois Treves, Topological, vector spaces, distributions and kernels, (1967) Academic press [2] Fran¸cois Treves, Basic linear partial differential equations, (1975) Academic press [3] Sigeru Mizohata, The theory of partial differential equations, (1973) Cambridge