VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– TRẦN THỊ HƯƠNG TRÀ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM HÀM LỒI THEO TIÊU CHÍ ỔN ĐỊNH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ngành: Toán ứng dụng Cao học K21 Người hướng dẫn: PGS PHAN THÀNH AN Hà Nội - 2015 i Mục lục Mở đầu Danh mục kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức mở đầu 1.2 Một số khái niệm tính chất hàm lồi 1.3 Khái niệm hàm lồi suy rộng tính ổn định 12 Mở rộng ổn định hàm lồi 23 2.1 Giới thiệu hàm s-tựa lồi (s-quasiconvex) 23 2.2 Tính ổn định hàm s-tựa lồi 25 2.3 Tính s-tựa lồi hàm đa thức 33 2.4 Xét tính s-tựa lồi số hàm phân thức bậc bậc 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 ii Mở đầu Tập lồi hàm lồi nghiên cứu nhiều trăm năm qua Những công trình giải tích lồi đưa số tác Holder (1889), Jensen (1906) Minkowski (1910, 1911) Đặc biệt với công trình Fenchel, Moreau, Rockafellar vào thập niên 1960 1970 đưa giải tích lồi trở thành lĩnh vực phát triển toán học Một số hàm mang số tính chất hàm lồi, lại hàm lồi Chúng gọi hàm lồi suy rộng (generalized convex function) Có lẽ người đề xuất tính lồi suy rộng đưa khái niệm tựa lồi (quasiconvex) Finetti (1949) Luận văn trình bày khái niệm hàm lồi, hàm tựa lồi, tựa lồi giả lồi Hàm lồi có nhiều tính chất thú vị số tính chất quan trọng liên quan đến tính tối ưu, là: (L) Tập mức hàm xét lồi; (M) Mỗi điểm cực tiểu địa phương điểm cực tiểu toàn cục; (S) Mỗi điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Hàm lồi có nhiều hướng mở rộng khác nhau, người ta làm yếu tính lồi hàm, để giải toán thực tế có nhiều hàm không lồi, mang số tính chất hàm lồi Nhưng luận văn chủ yếu trình bày lại hướng mở rộng hàm tựa lồi đặc trưng cho tính chất (L), hàm tựa lồi đặc trưng cho tính chất (M), Mở đầu hàm giả lồi đặc trưng cho tính chất (S) Ngoài ra, luận văn trình bày lại tính ổn định theo tính chất (L), (M), (S) Khái niệm ổn định GS Hoàng Xuân phú PGS Phan Thành An đưa vào năm 1996 (xem [1, 4]) Các lớp hàm lồi suy rộng không ổn định theo tính chất nó, chí miền compact Để khắc phục trở ngại này, GS Hoàng Xuân Phú đưa khái niệm hàm lồi suy rộng hàm s-tựa lồi Lớp hàm nghiên cứu nhiều [1] đặc biệt ổn định theo tính chất (L), (M) (S) Luận văn trình bày lại tính chất hàm s-tựa lồi, đưa ví dụ minh hoạ Đặc biệt xét tính s-tựa lồi số hàm phân thức bậc bậc Nội dung luận văn trình bày theo hai chương: Chương 1: Phần đầu hệ thống lại số kiến thức sử dụng luận văn, số khái niệm tính chất hàm lồi Phần sau chương đưa khái niệm,ví dụ cụ thể, tính chất hàm lồi suy rộng tính không ổn định chúng Chương 2: Trình bày khái niệm hàm s-tựa lồi, tính chất chứng minh rõ ràng Bổ đề 2.1.1, 2.1.2 đặc biệt tính ổn định với tính chất (L), (M), (S) Ngoài phần nhắc lại điều kiện cần đủ để hàm đa thức hàm s-tựa lồi (xem [2]) tìm hiểu tính s-tựa lồi hàm phân thức Cụ thể xét tính s-tựa lồi hàm phân thức bậc bậc ax + b với c = 0, ad − bc = có dạng cx + d Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS Phan Thành An Em chân thành cảm ơn thầy Phan Thành An nghiên cứu sinh, học trò thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em nhiều Ngoài em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thành viên nhóm seminar Giải tích Mở đầu số tính toán khoa học, Viện Toán học góp ý nhiều trình em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Trần Thị Hương Trà Danh mục kí hiệu R trường số thực Rn không gian Euclide n chiều ]a, b[ := (a, b) [a, b[ := [a, b] \ {b} ]a, b] := [a, b] \ {a} x∈M phần tử x thuộc M y∈ /M phần tử y không thuộc M ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x ∇f gradient hàm f sign(x) dấu x · chuẩn không gian X x, y tích vô hướng hai vectơ x y Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày lại số khái niệm tính chất sử dụng luận văn Đặc biệt, chương trình bày lại khái niệm tính ổn định số hàm lồi suy rộng theo tính chất (L), (M), (S) đưa [4] 1.1 Kiến thức mở đầu Trong phần ta trình bày lại khái niệm đạo hàm, đạo hàm theo hướng, gradient mối liên hệ chúng thể (xem [5]) để phục vụ cho việc tìm hiểu hàm lồi, hàm lồi suy rộng phần Định nghĩa 1.1.1 (xem [5]) Cho hàm f xác định lân cận điểm x0 không gian tuyến tính định chuẩn X, tồn vô hạn hướng dần tới x0 Khi hướng dọc theo đường thẳng song song với v sinh đạo hàm theo hướng (hai phía) f (x0 + tv) − f (x0 ) t→0 t f (x0 ; v) = lim Dọc theo v có hai khả cho t tới tương ứng với đạo hàm theo hướng Chương Kiến thức chuẩn bị phía f+ (x0 ; v) f− (x0 ; v) Lưu ý f (x0 ; v) tồn tại, f (x0 ; −v) = −f (x0 ; v) Khi X = Rn v vectơ sở ei = (0, , 1, , 0), (1 đứng vị trí thứ i) người ta đạo hàm theo hướng tương ứng gọi đạo hàm riêng thứ i, viết dạng ∂f (x0 ) = fi (x0 ) = f (x0 ; ei ) ∂xi Định nghĩa 1.1.2 (xem [5]) Cho X, Y không gian tuyến tính định chuẩn, hàm f : D → Y với D ⊆ X tập mở Khi f khả vi x0 ∈ D tồn phép biến đổi tuyến tính T : X → Y cho với h ∈ X đủ nhỏ, ta có f (x0 + h) = f (x0 ) + T (h) + h ε(x0 , h) với ε(x0 , h) ∈ Y dần tới h → Phép biến đổi tuyến tính T gọi đạo hàm kí hiệu f (x0 ) Ta kiểm tra định nghĩa trường hợp X = Rn , Y = Rm Trong trường hợp này, sử dụng sở tắc cho hai không gian, ta liên hệ phép biến đổi tuyến tính T : Rn → Rm với ma trận [T ] cỡ m × n Ví dụ cụ thể với T : R2 → R có dạng T (s, r) = as + br xác định ma trận [T ] = [a b],  T (s, r) = as + br = a b  s r   Bây giả sử w = f (s, r) hàm từ R2 tới R có đạo hàm Thế x0 = (s0 , r0 ), f (x0 ) biểu diễn ma trận [a b] Ngoài ra, với cách chọn h = te1 = (t, 0), f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) = f (x0 )h + h ε(x0 , h) trở thành  f (x0 + te1 ) − f (x0 ) = a b  t   + |t| ε(x0 , te1 ) Chương Kiến thức chuẩn bị Trừ hai vế cho at chia cho t, ta nhận f (s0 + t, r0 ) − f (s0 , r0 ) −a=0 t→∞ t lim với a = (∂f /∂s)(s0 , r0 ) Tương tự với h = te2 b = (∂f /∂r)(s0 , r0 ) [f (x0 )] = [f1 (x0 ), f2 (x0 )] Trong ví dụ này, đạo hàm f (x0 ) vectơ gradient Biết đạo hàm riêng liên tục vectơ gradient xác định mặt phẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm f, tổng quát tồn đạo hàm f (x0 ) điều cần thiết để đảm bảo tồn mặt phẳng tiếp tuyến với đồ thị w = f (s, r) x0 Để xác định ma trận [f (x0 )] trường hợp hàm f : Rn → Rm xác định tập hàm toạ độ y1 = f (x1 , , xn ) f : ym = f m (x1 , , xn ) Định lý 1.1.1 (xem [5]) Nếu f : Rn → Rm khả vi x, đạo hàm riêng hàm toạ độ tồn    [f (x)] =    ∂f (x) ∂x1 m ∂f (x) ∂x1 ∂f (x) ∂xn m ∂f (x) ∂xn       Từ định lý rõ ràng ta thấy tồn đạo hàm kéo theo tồn đạo hàm riêng hàm toạ độ Định lý 1.1.2 (xem [5]) Cho hàm f : D → Rm xác định hàm toạ độ có đạo hàm riêng liên tục tập mở D ⊆ Rn Khi f (x) tồn với x ∈ D Trong Rn , định nghĩa gradient sau Chương Mở rộng ổn định hàm lồi f˜ (x1 ) − f˜ (x0 ) f (x1 ) − f (x0 ) ξ, x1 − x0 = + ≥ δ − δ = x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0 Vì f˜ hàm tựa lồi, nên ta thu f (x1 ) − f (xλ ) f (x1 ) − f (xλ ) ξ, x1 − x0 −δ = + x1 − xλ x1 − xλ x1 − x0 ξ, x1 − xλ f (x1 ) − f (xλ ) + = x1 − xλ x1 − xλ f˜ (x1 ) − f˜ (xλ ) = ≥ x1 − xλ Vậy nên, hàm f hàm s-tựa lồi Ví dụ 2.2.1 (xem [4]) Hình 2.2: Đồ thị hàm s-tựa lồi f (x) = |x| (hàm hàm tựa lồi với tập mức Lα (f ) tô đậm lồi Cho f (x) = |x| với x ∈ D = [−1, 1] Khi ta có  sign (x)  ≤ −0.5 x ∈ ]−1, 0[ f (x) = |x|  ≥ 0.5 x ∈ ]0, 1[ Vì thế, với |a| < ε := 0.5, hàm f˜(x) = f (x) + ax tựa lồi giảm ngặt ]−1, 0[ tăng ]0, 1[ Do đó, từ Định lý 2.2.2, hàm f hàm s-tựa lồi 27 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Hệ 2.2.1 (xem [4]) Hàm s-tựa lồi ổn định với tính chất tập mức lồi Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, f hàm s-tựa lồi ∃ε > cho f + ξ, · tựa lồi với ξ ∈ Rn thoả mãn ξ < ε theo Bổ đề 1.3.1 suy f + ξ, · có tập mức tập lồi Xét với hàm f khả vi f hàm s-tựa lồi thỏa mãn điều kiện cần đủ sau Định lý 2.2.3 (xem [4]) Giả sử f khả vi liên tục D ⊆ Rn Hàm f s-tựa lồi tồn α > cho f lồi đoạn [y0 , y ] = {(1 − λ) y0 + λy : λ ∈ [0, 1]} ⊂ D thỏa mãn ∇f (x) , y1 − y0 y1 − y0 a < a x1 − x0 x1 − xλ Suy g ( x1 − x0 ) = f (x1 )−a x1 − x0  > f (x0 ) = g (0)  < f (x ) − a x − x = g ( x − x ) λ λ Do đó, A ⊂ ]0, x1 − x0 [ g (t) = với t ∈ A Với −σ < a < δ < σ ta có ∇f x0 + t x1 − x0 x1 − x0 , x1 − x0 x1 − x0 − |a| < σ = α, với t ∈ A Từ ∇f liên tục A ⊂ ]0, x1 − x0 [ , với t ∈ A tồn ω > cho ∇f x0 + z x1 − x0 x1 − x0 29 , x1 − x0 x1 − x0 < α, Chương Mở rộng ổn định hàm lồi với z ∈ [t − ω, t + ω] ⊂ ]0, x1 − x0 [ Điều theo giả thiết g lồi [t − ω, t + ω] Vậy nên, xét g (t) = ta thấy t cực tiểu hàm g [t − ω, t + ω] Theo cách đặt A, ta có [t − ω, t + ω] ⊂ A, mâu thuẫn với A đóng Nên ta suy điều phải chứng minh Với hàm biến, Định lý 2.2.3 suy Hệ 2.2.2 (xem [4]) Giả sử hàm f : D ⊆ R → R khả vi liên tục Khi f hàm s-tựa lồi tồn α > cho f lồi tập mức Lα (|f |) = {x ∈ R : |f (x)| < α} Nhận xét 2.2.1 Hàm f khả vi liên tục cấp R hàm s-tựa lồi tồn α > cho f (x) ≥ với x ∈ Lα (|f |) Cho ví dụ: hàm f (x) = − cos x, x ∈ [−2, 2] s-tựa lồi f (x) = cos x > với x ∈ ]π + 2, π − 2[ = Lα (|f |) α = f (π − 2) = sin 2 Hàm f khả vi liên tục R s-tựa lồi tồn α > cho Lα (|f |) = ∅ Ví dụ: hàm f (x) = ln x, x ∈ [1, 2] s-tựa lồi f (x) = > 0.25 ∀x ∈ [1, 2] , x L0,25 (|f |) = ∅ Ví dụ 2.2.2 Hàm f (x) = x3 + x − hàm s-tựa lồi Hình 2.3: Đồ thị hàm f (x) = 3x2 + (với < α < α0 tập mức Lα (|f |) = ∅) 30 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Ta có f (x) = 3x2 + > với x ∈ R Do f (x) đa thức bậc lẻ nên f (x) Phương trình f (x) = 6x = có nghiệm x = Đặt α0 = |f (0)| = > Chọn < α < α0 Lα (|f |) = ∅ Vì vậy, giống hàm ln x, x ∈ [1, 2] hàm f (x) = x3 + x − s-tựa lồi Nói chung, ta thu điều kiện cần sau với hàm s-tựa lồi khả vi liên tục Hệ 2.2.3 (xem [4]) Giả sử hàm f : D ⊂ Rn → R khả vi liên tục hàm s-tựa lồi Khi tồn α > cho f lồi tập lồi Lα ( ∇f ) = {x ∈ D : ∇f (y) < α} Chứng minh Ta lấy giá trị α > đưa theo Định lý 2.2.3 Khi f lồi đoạn [y0 , y1 ] chứa Lα ( ∇f ) ∇f (y) , y1 − y0 y1 − y0 ≤ ∇f (y) < α Do đó, f lồi tập lồi Lα ( ∇f ) Định lý 2.2.4 (xem [4]) Hàm f : D ⊆ Rn → R s-tựa lồi tồn ε > cho f + ξ, tựa lồi với ξ ∈ Rn thỏa mãn ξ < ε Chứng minh Theo Định lí 2.2.2, điều kiện đủ suy trực tiếp từ hàm tựa lồi đến hàm tựa lồi Từ Bổ đề 2.2.1, chứng minh điều kiện cần, ta suy s-tựa lồi hàm tựa lồi theo Bổ đề 2.1.2, Biểu thức (1.3) chứng minh Cho x0 , x1 ∈ D x1 ∈ ]x0 , x1 [ f (x0 ) < f (x1 ) Lấy σ > theo Định nghĩa 1.3.1 chọn δ= f (x0 ) − f (x1 ) σ, x1 − x0 Vì < δ < σ f (x1 ) − f (x0 ) ≥δ x1 − x0 31 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi theo (2.1) ta có f (x1 ) − f (xλ ) ≥ δ x1 − xλ Điều có nghĩa có f (xλ ) < f (x1 ) Vì hàm tựa lồi có tính chất (M)-cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục) Hệ 2.2.4 Hàm s-tựa lồi ổn định với tính chất (M)-cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 hàm f s-tựa lồi tồn ε > cho f + ξ, hàm tựa lồi với ξ ∈ Rn thỏa mãn ξ < ε Mà với hàm tựa lồi tính chất điểm cực tiểu địa phương điểm cực tiểu toàn cục Suy hàm f + ξ, có tính chất điểm cực tiểu địa phương điểm cực tiểu toàn cục Định lý 2.2.5 (xem [4]) Giả sử hàm f : D ⊆ Rn → R khả vi liên tục Khi f hàm s-tựa lồi tồn ε > cho f + ξ, hàm giả lồi với ξ ∈ Rn thỏa mãn ξ < ε Chứng minh Từ hàm giả lồi hàm tựa lồi, điều kiện cần theo Định lí 2.2.2 Với điều kiện cần, ta sử dụng Bổ đề 2.2.1, ta cần chứng minh s-tựa lồi hàm giả lồi Giả sử hàm f s-tựa lồi Khi đó, với x0 , x1 ∈ D với f (x0 ) < f (x1 ), ta chọn δ > cho δ < σ f (x1 ) − f (x0 ) ≥ δ, x1 − x0 Với σ đưa từ Định nghĩa 1.3.1 theo (2.1), ta có f (x1 ) − f (xλ ) ≥ δ ∀xλ ∈ ]x0 , x1 [ x1 − xλ 32 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Do đó, f (xλ ) − f (x1 ) = x0 →x1 xλ − x1 lim ∇f (x1 ), x0 − x1 x0 − x1 Suy ∇f (x1 ), x0 − x1 ≤ −δ x0 − x1 < Tức hàm f thoả mãn công thức (1.4) Vậy hàm f giả lồi Từ tính chất điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục với hàm giả lồi, Định lý 2.2.5 mang đến cho ta hệ sau Hệ 2.2.5 Hàm s-tựa lồi ổn định với tính chất điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Chứng minh Theo Định lý 2.2.5 hàm f s-tựa lồi tồn ε > cho f + ξ, hàm giả lồi với ξ ∈ Rn thỏa mãn ξ < ε Mà với hàm giả lồi tính chất điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Suy hàm f + ξ, có tính chất điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Bây xét tính s-tựa lồi hàm Phần đưa điều kiện cần đủ để hàm đa thức s-tựa lồi (xem [2]) 2.3 Tính s-tựa lồi hàm đa thức Phần này, kí hiệu f đa thức R, cho f (x) = a0 xk + a1 xk−1 + · · · + ak , k ∈ N, k ≥ 1, ∈ R, i = 0, 1, · · · , k, a0 = Ta biết với đa thức bậc lẻ phương trình f (x) = có nghiệm Định lý 2.3.1 (xem [2]) Giả sử f đa thức bậc lẻ Khi f hàm s-tựa lồi phương trình f (x) = vô nghiệm Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử a0 > Khi 1 lim f (x) = lim x2n+1 a0 + a1 + + a2n+1 2n+1 x→−∞ x→−∞ x x 33 = −∞ Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Giả sử định lý không đúng, tức hàm f s-tựa lồi tồn điểm x0 cho f (x0 ) = Từ suy điểm x0 cực tiểu toàn cục (theo Hệ 2.2.5), hay f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ R Điều mâu thuẫn với lim f (x) = −∞ Nếu a0 < ta có x→−∞ 1 lim f (x) = lim x2n+1 a0 + a1 + + a2n+1 2n+1 x→+∞ x→+∞ x x = −∞ phương trình f (x) = vô nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử phương trình f (x) = vô nghiệm, f (x) > ∀x ∈ R f (x) < ∀x ∈ R Vì f (x) đa thức bậc lẻ nên f (x) có bậc lẻ nên phương trình f (x) = có nghiệm Gọi x1 , x2 , · · · , xk k ∈ N, k ≥ nghiệm phương trình f (x) = Đặt a0 = min{|f (x1 )| , |f (x2 )| , · · · , |f (xk )|} Từ a0 > a0 = |f (x)| Tức |f (x)| ≥ a0 > ∀x ∈ R Chọn x∈R < a < a0 La (|f |) = ∅ Vậy suy hàm f s-tựa lồi Bổ đề 2.3.1 (xem [2]) Giả sử f đa thức bậc lẻ với hệ số hạng tử cao dương Nếu f (x) = có nghiệm x0 tồn lân cận ]x0 − ε, x0 + ε[ x0 cho f (x) ≥ lân cận Chứng minh Giả sử tồn số tự nhiên k cho f (x) = (x − x0 )2k+1 g(x) g(x) > ∀x ∈ R Ta có f (x) = (x − x0 )2k [(2k + 1)g(x) + (x − x0 )g (x)] Đặt h(x) := (2k + 1)g(x) + (x − x0 )g (x) Chúng ta có h(x0 ) = (2k + 1)g(x0 ) > Vì h(x) liên tục suy tồn lân cận ]x0 − ε, x0 + ε[ x0 cho h(x) > với x ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[ Do f (x) ≥ ∀x ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[ 34 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Bổ đề sử dụng để chứng minh định lý điều kiện để đa thức bậc chẵn f (x) = a0 x2n + a1 x2n−1 + · · · + a2n s-tựa lồi Định lý 2.3.2 (xem [2]) Đa thức bậc chẵn f (x) = a0 x2n + a1 x2n−1 + · · · + a2n s-tựa lồi điều kiện sau thoả mãn (i) a0 > (ii) f (x) = có nghiệm Chứng minh.Điều kiện cần: Giả sử f hàm s-tựa lồi ta chứng minh hàm thoả mãn hai điều kiện (i), (ii) Giả sử a0 < 0, 1 lim f (x) = lim x2n a0 + a1 + + a2n 2n x→+∞ x→+∞ x x = −∞ Do f (x) đa thức bậc lẻ nên tồn x¯ ∈ R để f (¯ x) = Vì hàm f s-tựa lồi nên x¯ điểm cực tiểu toàn cục điều mâu thuẫn với lim f (x) = −∞, x→+∞ suy a0 > Vậy điều kiện (i) thoả mãn Mặt khác, giả sử f (¯ x) = có nhiều nghiệm Cho x1 , x2 hai nghiệm kề phương trình f (x) = Vì hàm f s-tựa lồi nên x1 , x2 điểm cực tiểu toàn cục f (x) Vì f (x1 ) = f (x2 ) theo Định lý Lagrăng tồn x¯ ∈ ]x1 , x2 [ cho f (¯ x) = f (x2 ) − f (x1 ) = x2 − x1 Vô lý giả thiết x1 , x2 hai nghiệm kề phương trình f (x) = Vậy phương trình f (x) = có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử hai điều kiện (i), (ii) thoả mãn ta chứng minh hàm f s-tựa lồi Gọi x0 nghiệm phương trình f (x) = f (x) đa thức bậc lẻ có hệ số hạng tử cao 2na0 > 0, theo Bổ đề 2.3.1 tồn ε > cho f (x) ≥ với x ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[ Đặt a = |f (x)| U := ]−∞, x0 − ε[ ∪ ]x0 + ε, +∞[ x∈U 35 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Vì a0 > nên lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ Vì với < a < a0 x→−∞ x→+∞ La (|f |) ⊂ ]x0 − ε, x0 + ε[ Từ ta có f (x) ≥ với x ∈ La (|f |) Suy hàm f s-tựa lồi Ví dụ 2.2.2 ví dụ hàm đa thức bậc lẻ hàm s-tựa lồi thoả mãn Định lý 2.3.1 Một ví dụ khác hàm đa thức hàm s-tựa lồi là, Ví dụ 2.3.1 Hàm f (x) = 4x4 − 6x2 − 36, x ∈ R ta có f (x) = 16x3 − 12x − 36 có nghiệm x = Do f (x) thoả mãn điều kiện Định lý 2.3.2 nên hàm f (x) s-tựa lồi Trong phần sau xét tính s-tựa lồi số hàm phân thức cụ thể 2.4 Xét tính s-tựa lồi số hàm phân thức bậc bậc Hình 2.4: Đồ thị hàm f (x) = Ví dụ 2.4.1 Xét hàm phân thức f (x) = Xét x ∈ −∞, − x−2 2x + x−2 , tập xác định R \ − 12 2x + 1 , miền −∞, − tập lồi, thuộc tập xác định hàm 2 36 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi f (x) Trên miền này, hàm f (x) hàm lồi nên theo Hệ 2.1.1 hàm f (x) miền hàm s-tựa lồi Hình 2.4 mô tả đồ thị hàm phân thức mà miền −∞, − 21 hàm lồi Xét x ∈ − , +∞ , hàm f (x) s-tựa lồi tồn ε > cho f (x) + ax thoả mãn ba tính chất (L), (M), (S) Ta thấy với hàm f (x) không thoả mãn tính chất (S)-mọi điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Thật vậy, ta phải tồn ε > mà |a| < ε Ta đặt, 1 ak = − , với k > 0, f˜(x) := f (x) + ak x, xk := + k √ 5k Từ đó, suy f˜ (x) = x−2 − x 2x + k = = − (2x + 1)2 k Do đó, f˜ (xk ) := f˜ (xk ) = − 20 < (2x + 1)3 Các điểm dừng f˜ điểm cực tiểu toàn cục Vì ak → k → ∞, không tồn ε > cho f (x) + ax thoả mãn tính chất (S), |a| < ε Suy hàm f (x) không s-tựa lồi với x ∈ − , +∞ Hình 2.5: Đồ thị hàm số f (x) = −x + , miền ]−1, +∞[ hàm f (x) lồi x+1 37 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Ví dụ 2.4.2 Xét hàm phân thức f (x) = −x + , tập xác định R \ {−1} x+1 Xét x ∈ ]−1, +∞[ thuộc tập xác định hàm f (x) Trên miền này, hàm f (x) hàm lồi nên theo Hệ 2.1.1 miền hàm s-tựa lồi Xét x ∈ ]−∞, −1[, miền ]−∞, −1[ thuộc tập xác định hàm f (x) Để hàm f (x) hàm s-tựa lồi tồn ε > cho f (x) + ax thoả mãn ba tính chất (L), (M), (S) Ta thấy với hàm f (x) không thoả mãn tính chất (S)-mọi điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Thật vậy, ta tồn ε > mà |a| < ε Ta đặt, ak = √ , với k > 0, f˜(x) := f (x) + ak x, xk := −1 − 3k k Từ đó, suy f˜ (x) = −x + + x x+1 k =− + = (x + 1) k < Vậy điểm dừng f˜ không (x + 1)3 phải điểm cực tiểu toàn cục Vì ak → k → ∞, không tồn ε > Do đó, f˜ (xk ) := f˜ (xk ) = cho f (x) + ax thoả mãn tính chất (S), |a| < ε Suy hàm f (x) không s-tựa lồi với x ∈ ]−∞, −1[ Nhận xét 2.4.1 Xét tính s-tựa lồi hàm phân thức bậc bậc sau: Xét hàm phân thức bậc f (x) = d , tập xác định R\{ } c ax + b với điều kiện c = 0, ad−bc = cx + d Hình (2.6) đồ thị có hàm phân thức bậc bậc f (x) = ax + b cx + d d với điều kiện c = 0, ad − bc = 0, với tiệm cận đứng x = − , tiệm c a cận ngang y = Giao điểm hai đồ thị tâm đối xứng hàm số c 38 Chương Mở rộng ổn định hàm lồi Hình 2.6: Đồ thị hàm phân thức f (x) = ax + b có tập lồi thuộc tập xác định cx + d hàm mà hàm f (x) lồi d d − , +∞ , hàm f (x) lồi, theo c c Hệ 2.1.1 hàm f (x) hàm s-tựa lồi Ta xét hàm f (x) −∞, − Ta xét với tập D miền lại mà hàm f (x) không lồi D, từ Định lý 2.2.5 ta suy hàm f (x) không s-tựa lồi không tồn ε > cho f (x) + ax thoả mãn tính chất (S), với |a| < ε Ta có f (x) = a(cx + d) − c(ax + b) ad − cb = , (cx + d) (cx + d)2    > a > b c d f (x) = a b   < < c d 1 ak = − , k k ˜ f (x) = f (x) + ax Ta có xk thoả mãn f (xk ) = f (xk ) < Do điểm Vậy miền ta xét, với k > ta đặt ak = dừng f˜ điểm cực tiểu toàn cục Từ dẫn đến kết miền hàm f (x) không s-tựa lồi 39 Kết luận Luận văn “Mở rộng có tính ổn định hàm lồi” trình bày vấn đề sau đây: Trình bày khái niệm kết lớp hàm lồi, tựa lồi, tựa lồi giả lồi Tính không ổn định lớp hàm lồi suy rộng biết theo tính chất (L)-mọi tập mức tập lồi, (M)-mọi điểm cực tiểu địa phương điểm cực tiểu toàn cục, (S)-điểm dừng điểm cực tiểu toàn cục Trình bày khái niệm kết lớp hàm s-tựa lồi, xét tính ổn định lớp hàm s-tựa lồi theo tính chất (L),(M),(S) Xét tính s-tựa lồi hàm đa thức, hàm phân thức bậc bậc 40 Tài liệu tham khảo [1] P T An (1999), Hàm lồi thô tính ổn định hàm lồi suy rộng nhiễu tuyến tính, luận án TS, ĐHSP Vinh [2] L X Sơn (1999), Một số tính chất hàm s-tựa lồi, luận văn thạc sĩ, ĐHSP Vinh [3] B Martos (1975), Nonlinear Programming-Theory and Method, Akademiai Kiado, Budapest [4] H X Phu P T An (1996), Stable generalization of convex functions, Optimization, Vol.38, pp 309-318 [5] A W Roberts and D E Varberg (1973), Convex Functions, Academic Press, Newyork and London 41