B GIO DC V O TO VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC Nguyn Thu Hin H PHNG TRèNH I XNG TUYN TNH CP MT LUN VN THC S TON HC H Ni 2015 B GIO DC V O TO VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC Nguyn Thu Hin H PHNG TRèNH I XNG TUYN TNH CP MT Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS TS H Tin Ngon H Ni 2015 Mc lc M u Danh mc kớ hiu KIN THC CHUN B 1.1 Mt s khụng gian hm 1.2 Toỏn t lm trn 1.3 Na nhúm liờn tc v toỏn t sinh 1.4 nh lý Hille-Yosida 1.5 Bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh vi khụng gian Banach 1.6 Mt s toỏn t gi vi phõn cp mt 1.6.1 Bin i Fourier 1.6.2 Toỏn t gi vi phõn 1.6.3 Toỏn t (x, D) 1.6.4 Toỏn t Riesz Rj (x, D) phõn thng H PHNG TRèNH I XNG CP MT VI H S KHễNG PH THUC THI GIAN 2.1 H phng trỡnh i xng cp mt 2.2 a phng trỡnh truyn súng v h phng trỡnh i xng cp mt 2.3 Bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt khụng gian L2 2.3.1 Bt ng thc nng lng khụng gian L2 i 4 11 13 14 14 15 15 16 16 19 22 22 2.3.2 Toỏn t A khụng gian L2 2.3.3 S tn ti nht nghim L2 2.4 Bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt khụng gian W21 2.4.1 Bt ng thc nng lng khụng gian W21 2.4.2 Toỏn t A khụng gian W21 2.4.3 nh lý tn ti nht nghim W21 Kt lun Ti liu tham kho ii 26 29 31 31 33 38 40 41 M u H phng trỡnh o hm riờng i xng cp mt úng vai trũ quan trng lớ thuyt phng trỡnh o hm riờng v toỏn hc núi chung Nhiu quỏ trỡnh t nhiờn v k thut ó c mụ hỡnh húa bi h phng trỡnh i xng cp mt Vỡ vy vic nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh i xng cp mt cú ý ngha thc tin Lun nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt vi h s khụng ph thuc thi gian Lun gm hai chng: Chng Kin thc chun b Trong chng ny Lun ó trỡnh by mt s kin thc c bn nh: Mt s khụng gian hm, toỏn t lm trn, na nhúm v toỏn t sinh, nh lý Hille-Yosida, bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh vi phõn thng khụng gian Banach v mt s toỏn t gi vi phõn cp mt Chng H phng trỡnh i xng cp mt vi h s khụng ph thuc thi gian Ni dung chớnh ca Lun c trỡnh by chng ny bao gm: H phng trỡnh i xng cp mt, cỏch a phng trỡnh truyn súng v h phng trỡnh i xng cp mt, bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt L2 v bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt W21 Trong mi khụng gian L2 hoc W21 Lun ó thit lp bt ng thc nng lng v chng minh tớnh ton ỏnh ca toỏn t A lờn ton khụng gian Trờn c s ỏp dng nh lý Hille-Yosida, Lun ó ch tớnh gii c nht ca bi toỏn Cauchy mi khụng gian Ti liu tham kho chớnh Lun l [1] v [2] Trong sut thi gian hc ti Vin Toỏn - Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam n nay, tỏc gi ó nhn c rt nhiu s quan tõm v giỳp ca quý thy cụ, cỏn b cụng nhõn viờn ca Vin Toỏn hc, gia ỡnh v bn bố Vi lũng bit n sõu sc nht, tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh n cỏc thy cụ ca Vin Toỏn hc ó cựng vi tri thc v tõm huyt ca mỡnh truyn t tri thc quý bỏu cho chỳng tụi sut thi gian hc ti Vin Tỏc gi xin chõn thnh cm n PGS TS H Tin Ngon ó tn tỡnh hng dn, giỳp tỏc gi rt nhiu quỏ trỡnh lm lun Lun c hon thnh ti Vin Toỏn - Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Bc u i vo lnh vc nghiờn cu khoa hc kin thc ca tỏc gi cũn nhiu hn ch v b ng, mc dự ó c gng ht mỡnh nhng khụng trỏnh nhng s xut v thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c nhiu ý kin úng gúp ca quý thy cụ v cỏc bn c Lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 15 thỏng 08 nm 2015 Tỏc gi lun Nguyn Thu Hin Danh mc kớ hiu Rn khụng gian Euclide n-chiu R+ vi t R+ thỡ t vt o hm ca hm v theo bin t vtt o hm cp hai ca hm v theo bin t tớch chp A l ma trn chuyn v ca liờn hp phc ca ma trn A (W21 ) khụng gian i ngu ca khụng gian W21 [a, b] on t a n b u(x) hm u ph thuc vo bin x {x Rn ; f (x) = 0} bao úng ca {x Rn ; f (x) = 0} hi t u supf (x) supremum ca {f (x) : x A} xK imf (x) (f (x)) Re p nh ca hm s f (x) th ca hm f (x) phn thc ca s p Chng KIN THC CHUN B Chng ny trỡnh by mt s khụng gian hm, toỏn t lm trn, na nhúm v toỏn t sinh ca nú, nh lý Hille-Yosida, bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh vi phõn thng khụng gian Banach v mt s toỏn t gi vi phõn cp mt c s dng cỏc chng minh ca chng tip theo 1.1 Mt s khụng gian hm nh ngha 1.1 Khụng gian L2 = L2 (Rn ) l khụng gian cỏc hm f (x) = f (x1 , x2 , ., xn ) xỏc nh v bỡnh phng kh tớch Rn |f (x)|2 dx < + Rn Chun L2 (Rn ) c nh ngha bi cụng thc f = f (x) L2 = Rn 21 |f (x)|2 dx Khụng gian L2 (Rn ) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng (f, g)L2 (Rn ) = f (x)g(x)dx Rn nh ngha 1.2 Khụng gian W2m = W2m (Rn ) l khụng gian bao gm cỏc hm f L2 m cú o hm riờng n cp m u thuc L2 Chun W2m c cho bi cụng thc sau f m = ( f (x) m,L2 ) D f (x) = L2 , ||m ú, = (1 , , , n ), || = + + + n ; D f (x) = ( x )1 ( x n )n f (x) nh ngha 1.3 Khụng gian B m = B m (Rn ) l khụng gian cỏc hm cú o hm riờng liờn tc v b chn n cp m Chun B m (Rn ) c cho bi cụng thc sup |D f (x)| |f (x)|m = xRn ||m nh ngha 1.4 Khụng gian C m = C m (Rn ) l khụng gian cỏc hm cú o hm n cp m liờn tc S hi t C m c hiu l hi t u trờn cỏc compact K Rn vi chun c cho bi cụng thc sau sup |D f (x)| |f |m,K = ||m xK nh ngha 1.5 Khụng gian D = D(Rn ) l hp cỏc hm kh vi vụ hn ln v cú giỏ compact Rn , ú giỏ ca hm f (x) kớ hiu l supp f l hp supp f = {x Rn ; f (x) = 0} nh ngha 1.6 Khụng gian S = S(Rn ) l hp tt c cỏc hm f (x) C cho vi mi a ch s , tn ti C, > v x D f (x) C, x Rn , ú x = x1 ã x2 ã ã ã xnn nh ngha 1.7 Khụng gian C m ([a, b], E) Gi s E l khụng gian Banach Khụng gian C m ([a, b], E) bao gm cỏc hm f (t) xỏc nh trờn [a, b], nhn giỏ tr E v kh vi liờn tc n cp m trờn [a, b], vi chun sau m f (t) 1.2 C m ([a,b],E) = sup f (k) (t) t[a,b] k=0 E Toỏn t lm trn nh ngha 1.8 Toỏn t lm trn (kớ hu ) Ta chn mt hm (x) D, (x) = nu |x| v (x)dx = |x|1 Vi > 0, t (x) = x n Khi ú (x) D, (x) = nu |x| , (x)dx = |x| Toỏn t lm trn c nh ngha nh sau u (x) = u = (y)u(x y)dy |y| cú tt c cỏc h s khụng ph thuc vo t, v Ak cng l cỏc ma trn Hermite Hn th na ta gi s Ak (x) B Ta t vi k = 1, 2, n n Ak (x) A= k=1 + B(x), xk (2.20) v D(A) = {u; u L2 , Au L2 }, l xỏc nh ca A nh lý 2.3 Tn ti hng s dng v hng s dng nh cho bt ng thc sau l ỳng vi mi , || (I A)u (1 ||) u , u D(A) (2.21) Chng minh Trc ht ta chng minh (2.21) cho trng hp u W21 D(A) Ta cú (I A)u = ((I A)u, (I A)u) = u {(Au, u) + (u, Au)} + Au T tớnh i xng ca Ak , s dng tớnh cht (2.18) v th (2.20) vo biu thc trờn ta cú (u, Au) = u, Ak k u + Bu xk = u, Ak k = k u + (u, Bu) xk (Ak (x)u), u + (u, Bu) xk Do ú tn ti hng s dng vi (I A)u (1 ||) u 27 Vỡ vy tn ti nh cho (I A)u (1 ||) u , || Ta ch cụng thc (2.21) l ỳng i vi u D(A) tựy ý S dng toỏn t lm trn , ta cú (I A)( u) = (I A)u {A( u) (Au)} T B 2.1 ta cú C u = A( u) (Au) L2 ( +0) Vỡ u W21 , ta thy (I A)( u) (1 ||) u Nu +0 c hai v ca bt ng thc trờn thỡ bt ng thc ny tin ti cỏc s hng ca hai v (2.21) tng ng Vy ta kt lun (2.21) ỳng vi u D(A) nh lý 2.4 Toỏn t (I A) ( = 0, || , vi l mt s dng bộ, l mt song ỏnh t D(A) vo L2 Chng minh 1) Trc ht ta chng minh A c xỏc nh cụng thc (2.20) l mt toỏn t úng (Ta nhc li khỏi nim toỏn t úng.A l toỏn t úng nu um D(A), um u, Aum v thỡ u D(A) v Au = v.) Thc cht, t un nú kộo theo rng Au (W2 ) v nu Aun v0 L2 thỡ v0 = vỡ n ỏnh t L2 (W2 ) thc cht l mt song ỏnh õy (W2 ) l khụng gian i ngu ca khụng gian W2 Ta chng minh rng (I A)D(A) l khụng gian úng L2 Tht vy, ta cú dóy um D(A) cho (I A)um v0 Khi ú t cụng thc (2.21) ta cú {um } l mt dóy Cauchy Do ú, um u0 L2 v ú 28 Aum cng cú gii hn T A l mt toỏn t úng nờn ta cú u0 D(A) v Aun Au0 Ngha l v0 = (I A)u0 2) Im(I A) l trự mt L2 , vỡ nu khụng, tn ti = ( L2 ) v ((I A)u, ) = 0, u D(A) iu ny ỳng vi u D, ú (I A ) = 0; A = k (Ak ) + B xk Mt khỏc, A L2 T A = Ak xk Ak + B , xk ta cú D(A ) i vi (I A ) ta cng thu c bt ng thc cựng dng vi cụng thc (2.21) c thit lp vi || Suy ra, = iu ny mõu thun (vi = 0) Do ú nu ta t = min(0 , ) mnh ny thỡ iu ny kộo theo (I A)DA = L2 t kt qu (1) v (2) trờn 2.3.3 S tn ti nht nghim L2 nh lý 2.5 Gi s cỏc ma trn Ak (x) l Hermite v Ak (x) B , B(x) B Gi s u0 (x) L2 , f (t) C ([0, T ], L2 ) Khi ú bi toỏn Cauchy (2.1) v (2.2) cú nht nghim u(x, t) C ([0, T ], L2 ) C ([0.T ], (W21 ) ) ng thi bt ng thc nng lng (2.17) c tha Chng minh H phng trỡnh (2.1) cú th vit c di dng phng trỡnh vi phõn thng sau õy khụng gian L2 du = Au + f (t), dt (2.22) u(0) = u0 (2.23) 29 chng minh s tn ti v nht nghim ca bi toỏn (2.22), (2.23), ta s chng minh toỏn t A l toỏn t sinh ca na nhúm {Tt } no ú Theo nh lý 2.4 cú (I A) l song ỏnh nờn tn ti toỏn t nghch o (I A)1 ta vit li cụng thc (2.21) nh sau (I A)1 u u , || < || (2.24) Mt khỏc nu ta t = ta cú, (I A)1 = (1 I A) = (1 I A)1 = à(àI A)1 Do ú (àI A)1 vi |à| 1 = , |à| (1 ||) (|à| ) Suy tha gi thit ca nh lý Hille-Yosida, vy tn ti nht na nhúm {Tt } vi A l toỏn t sinh Cho u0 D(A) ( L2 ) v hm s f (t), Af (t) C ([0, T ], L2 ) tn ti nht nghim u(t) C ([0, T ], L2 ) Song ta khụng bit Af (t) cú thuc C ([0, T ], L2 ) hay khụng khc phc iu trờn ta gi s u0 W21 ( D(A)) v f (t) C ([0, T ], W21 ) Khi ú gi thit ca nh lý 2.5 c tha Bõy gi vi u0 bt kỡ v f (t) m tha gi thit ca nh lý, chỳng ta cú th s dng toỏn t lm trn cú (u0 ) = u0 v f (t) = f (t) iu ny cng tha cỏc gi thit Do ú tn ti nghim u (t) C ([0, T ], L2 ) Nhng nu nh ỏp dng bt ng thc (2.17) vo u (t) u (t) ú c nh s T max u (t) u (t) 0tT () (> 0) Ta cú T ( ) C(T ) u0 u0 f (t) f (t) + 30 dt Do ú, +0, {u (t)} l dóy Cauchy C ([0, T ], L2 ) ngha l u (t) u(t) C ([0, T ], L2 ) Mt khỏc nu ta ỏp dng quỏ trỡnh ly gii hn vi t u (t) = u0 () + {Au (s) + f (s)}ds, ta c t {Au(s) + f (s)}ds, u(t) = u0 + õy phộp ly tớch phõn c thc hin vi tụ pụ ca L2 T õy d u(t) = Au(t) + f (t) dt l ỳng theo ngha ca tụ pụ L2 2.4 Bi toỏn Cauchy cho h phng trỡnh i xng cp mt khụng gian W21 2.4.1 Bt ng thc nng lng khụng gian W21 nh lý 2.6 Gi s h phng trỡnh (2.1) cú nghim u C ([0, T ], W21 ) v u C ([0, T ], L2 ) Gi s Ak (x) B l cỏc ma trn Hermite, B(x) B Khi ú ta cú bt ng thc nng lng vi chun W21 nh sau t u(t) e(1 t) u(0) e{1 (ts)} f (s) + ds, (2.25) Chng minh Trc tiờn ta cn ta chng minh (2.25) vi iu kin mnh hn sau õy i vi u(t) : u C ([0, T ], W22 ) v u C ([0, T ], W21 ) 31 Nu ta tỏc ng = Di lờn xi d u(t) = A u(t) + f (t), dt thỡ ta c d Di u(t) = A(Di u) + (Di A)u + Di f dt (i = 1, 2, 3, ., n), õy + Di B xk Nu f C ([0, T ], W21 ), chỳng ta cú th ỏp dng bt ng thc nng Di A = (Di Ak ) lng (2.17) vi Di u(t) Bõy gi ta cú d Di u(t) dt Di u(t) + Di u(t) (||Di f (t) + C u(t) ) Vi kt qu ny ta xột d u(t) dt 2 u(t) + u(t) ã f (t) v u(t) = u(t) + Di u(t) Ta cú d u(t) 21 u(t) dt T iu ny vi t T ta cú + u(t) ã f (t) t u(t) e(1 t) u(0) e{1 (ts)} f (s) + ds, (2.26) õy xỏc nh theo T Sau ú cụng thc (2.26) cng c chng minh cho trng hp u gi thit ca nh lý 2.6 bng phng phỏp lm trn 32 Toỏn t A khụng gian W21 2.4.2 Xột nh xỏc nh ca A nh sau D(A) = {u; u W21 , Au W21 } (2.27) Mt khỏc i vi tớnh trn ca cỏc h s, ta gi s cỏc ma trn Ak (x) v B(x) tho cỏc iu kin Ak B , B B1 (2.28) nh lý 2.7 Gi s xỏc nh D(A) nh (2.27), cỏc ma trn Ak l Hermite v tha (2.28), v u D(A) Khi ú bt ng thc sau c tha W21 (I A)u (1 ||) u (1 > 0, : || < ), (2.29) ú l s dng no ú, l s dng nh Chng minh Chng minh tng t nh trng hp L2 chng minh nh lý 2.8 di õy, ta cn chng minh hai b sau B 2.2 [1, Mnh 2.12] Gi s f l hm thun nht cú bc n, tc l f ((x)) = n f (x), 0, v tha cỏc iu kin sau f (x)dSx = 0, õy f C m+1 (Rn \{0}) Khi ú F [v.p.f (x)] () = |x|=1 K()dS = õy K K() l hm thun nht bc v ||=1 m n C (R \{0}) (m = 0, 1, 2, ), ú tớch phõn bin i Fourier hiu theo ngha giỏ tr chớnh B 2.3 Cho a B , v toỏn t gi vi phõn Khi ú hoỏn t Cu = (a(x) a(x)) u l mt toỏn t b chn L2 33 Chng minh chng minh iu ny ta ch cn xột trng hp u D Ta vit (Cu)(x) = a(x)Rj j u Rj (a(x)u) xj xj (a(x)Rj Rj a(x)) = j u xj Rj j a u xj hng t cui l mt toỏn t b chn vy ta ch cn kim tra hng t u Xột cụng thc (1.15), ta t {a(x) a(y)}Rj (x y) v (x) = u(y) dy yj |xy| [a(x) a(y)]Rj (x y)u(y)cosj dS = |xy|= a (y)Rj (x y)u(y) dy yj + |xy| [a(x) a(y)] + Rj (x y)u(y) dy xj |xy| Nu ta cho +0 thỡ s hng u tiờn tin ti mt hm cú th ỏnh giỏ c lng bi C |a(x)|1 |u(x)| dú chun L2 ca s hng u tiờn c c lng bi C |a(x)|1 ã u S hng th hai ta cú th vit l v.p.Rj (x) axj (x)u(x) Cui cựng ta c lng s hng th ba, ta vit tỏch thnh hai tớch phõn nh sau dy + dy, |xy|1 |xy|1 õy tớch phõn th hai khụng th vt quỏ |a(x)|0 Rj (x) xj 34 |u(x)| |x|1 v giỏ tr tuyt i ca nú Mt khỏc, Rj (x) = (|x|n1 ), xj vy tng ca cỏc s hng cú th c lng bi C |a(x)|0 u vi chun L2 Nu ta t a(x) a(y) = axi (x)(xi yi ) + b(x, y), thỡ t vic |b(x, y)| |b|2 |x y|2 , ta cú c lng (xi yi ) axi (x) i Rj (x y)u(y) dy xj |xy|1 |x y|2 + |a|2 Rj (x y) |u(y)| dy xj |xy|1 S hng th hai ca biu thc ny cng khụng cú gỡ nờn ta ch Rj (x) kim tra s hng u Thy xj l hm s thun nht bc (n) xj v trung bỡnh tớch phõn ca nú l Ta phi ch rng thc cht bin Rj (x) i Fuorier ca v.p xi l mt hm b chn thy iu xj |x|1 Rj (x) ny ta t xi = K(x) Vỡ trung bỡnh hỡnh cu ca K() l 0, ta xj cú lim +0 |x|1 2ix e K(x) dx = lim K() d +0 = e(2ircos) dr, r K()d() e(2ircos) dr r T iu ny ta thy nú b chn vi || = < Tip theo chỳng ta chng minh b chn || + lm iu ny ta dựng B 2.2 ta cú F [v.p.K(x)] l b chn, ú ta phi chng 35 minh F (K(x))|x|1 l b chn || kt thỳc trc ht ta xột hm (r) C vi (r) = r v bng r Ta thy rng, F (K(x))|x|1 = F [(r)K(x)] + F (1 (r))(K(x))|x|1 Ta thy s hng th hai l mt hm b chn theo , mt khỏc s hng u b chn vỡ F {a(r)K(x)} xj l mt hm b chn, l bin i Fourier ca mt hm L1 , vỡ th 2ij ì F [a(r)K(x)] (j = 1, 2, n) l b chn Cui cựng ta thy nú b chn vi || nh lý 2.8 Gi s xỏc nh ca A c cho bi (2.27), v gi s (2.28) c tha Khi ú (I A)vi || < l mt song ỏnh t D(A) vo W21 Chng minh Theo nh lý 2.4 ta cú nh ca (I A)D(A) l úng, vỡ th chng minh nh ny trựng vi W21 chỳng ta ch tớnh trự mt ca nú Gi s nh ca (I A)D(A) khụng trự mt, ú tn ti mt W2 (1 = 0) vi (( + 1)(I A)u, ( + 1)1 ) = (u D(A)), ú l toỏn t gi vi phõn nh mc 1.6.3 Ta t ( + 1)1 = L2 , vỡ th = Ta cú (I A )( + 1) = 36 (2.30) T mi quan h ny ta cú th vit li nh sau (Ak ) + (C B (x)) = 0, xk ( + 1) + k C = k (Ak (x) Ak (x)), xk ngha l + k (Ak (x)) + K = 0, xk (2.31) õy K = ( + 1)1 [C B (x)( + 1)], v (( + 1)1 u)() = (|| + 1)1 u() Ta cú K l mt toỏn t b chn L2 Tht vy, ( + 1)1 C , (Ak (x) Ak (x)) l nhng l b chn vỡ t B 2.3 ( + 1)1 xk toỏn t b chn Vi u, v L2 , ta cú (u, ( + 1)1 B v) = (B( + 1)1 u, v) B( + 1)1 u Vi ã B(x) ( + 1)1 u C u v L2 L2 v v L2 l chun khụng gian i ngu ca khụng gian W21 v B(x) l chun ca toỏn t B(x) : W2 W2 , vỡ th ( + 1)1 B (x) cng b chn T iu ny v cụng thc (2.31) chỳng ta cú th ỏp dng bt ng thc (2.21) V trỏi ca ng thc (2.31) vi chun L2 ln hn (1 ||) || K = {1 ( + K ) ||} Do ú, nu || < ( + K )1 thỡ = 0, iu ny trỏi vi gi thit (2.30) Vy (I A) cú nh ca nú l úng v trự mt W2 Vy (I A) l mt song ỏnh t D(A) vo W2 37 2.4.3 nh lý tn ti nht nghim W21 nh lý 2.9 Gi s phng trỡnh (2.1), Ak (x) l ma trn Hermite, v tha Ak B , B B Gi s cho trc giỏ tr ban u bt kỡ u0 W21 , v f (t) C ([0, T ], W21 ) (vi f (t) l v phi ca h phng trỡnh (2.1) Khi ú tn ti nht nghim u(t) ca phng trỡnh (2.1) cho tha u(t) C ([0, T ], W2 ) v u(t) C ([0, T ], L2 ) Hn na bt ng thc nng lng (2.25) ỳng Chng minh T bt ng thc (2.29) v Mnh 2.4 thỡ ta cú th kim tra iu kin ca nh lý Hille-Yosida nh sau (vi E = W21 ) Ta luụn chn c s W21 nh sau, t nh lý 2.7 ta cú bt ng thc (2.29), vỡ theo nh lý 2.8 ta cú toỏn t (I A) l mt song ỏnh nờn luụn tn ti ỏnh x ngc (I A)1 , ta vit li bt ng thc (2.29) nh sau (I A)1 u u || Mt khỏc nu ta t à1 = thỡ, (I A)1 = (1 I A) = (1 I A)1 = à1 (à1 I A)1 Do ú (à1 I A)1 vi |à1 | 1 1 = , |à1 | (1 ||) (|à1 | ) Suy tha gi thit ca nh lý Hille-Yosida Gi s u0 D(A) ( W21 ) v hm s f (t), Af (t) C ([0, T ], W21 ) Khi ú tn ti nht nghim u(t) C ([0, T ], W21 ) Song ta khụng bit Af (t) cú thuc vo C ([0, T ], W21 ) khc phc iu trờn ta gi s u0 W22 ( D(A)) v f (t) C ([0, T ], W22 ) Khi ú gi thit ca nh 38 lý 2.9 c tha Bõy gi vi u0 bt kỡ v f (t) m tha gi thit ca nh lý, chỳng ta cú th s dng toỏn t lm trn cú (u0 ) = u0 v f (t) = f (t) iu ny cng tha cỏc gi thit Do ú tn ti nghim u (t) C ([0, T ], W21 ) Nhng nu nh ỏp dng bt ng thc (2.25) vo u (t) u (t) ú c nh s T (> 0) Ta cú T max u (t) u (t) 0tT () ( ) C(T ) u0 u0 f (t) f (t) + dt Do ú, +0, {u (t)} l dóy Cauchy C ([0, T ], W2 ) ngha l u (t) u(t) C ([0, T ], W21 ) Mt khỏc nu ta ỏp dng quỏ trỡnh ly gii hn cụng thc t u (t) = u0 () + {Au (s) + f (s)}ds, thỡ ta c t {Au(s) + f (s)}ds, u(t) = u0 + õy phộp ly tớch phõn c thc hin vi tụ pụ ca L2 T õy d u(t) = Au(t) + f (t) dt l ỳng theo ngha ca tụ pụ L2 39 Kt lun Lun ó trỡnh by cỏc chớnh sau õy: - Lun ó mụ t mt s khụng gian hm, toỏn t lm trn, na nhúm liờn tc v toỏn t sinh ca nú, ó nờu v chng minh nh lý Hille-Yosida, phỏt biu bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh vi phõn thng khụng gian Banach, a vo mt s toỏn t gi vi phõn - Lun xột h phng trỡnh i xng cp mt, trỡnh by chng minh cỏc bt ng thc nng lng khụng gian L2 v W21 Trờn c s ng dng nh lý Hille-Yosida, Lun ó chng minh tớnh gii c nht ca bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh i xng cp mt khụng gian L2 v W21 40 Ti liu tham kho [1] Sigeru Mizohata, (1973), The theory of partial differential equations, Cambridge at the University Press [2] Franácois Treves, (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press 41 [...]... hệ phương trình (2.4) được viết dưới dạng vector như sau           u1 1 0 0 u1 1 0 0 u1 ∂     ∂     ∂    u2  −  0 2 −i   u2  −  0 3 4   u2  ∂t ∂x1 ∂x2 u3 0 i 3 u3 0 4 5 u3 18      0 0 1 u1 f1      −  0 1 0   u2  =  f2  Vậy hệ phương trình (2.4) trên là hệ 0 0 1 u3 f3 phương trình đối xứng 2.2 Đưa phương trình truyền sóng về hệ phương trình đối xứng cấp. .. hệ phương trình đối xứng nếu các ma trận Ak với k = 1, 2, , n là ma trận Hermite Bài toán Cauchy cho hệ phương trình (2.1): Tìm hàm vector u(x, t) sao cho nó thỏa mãn hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), (2.2) trong đó u0 (x) là hàm vector được cho trước Để rõ thêm về hệ phương trình đối xứng cấp một, ta xét ví dụ sau 17 Ví dụ 2.3 Cho hệ phương trình sau  ∂u1 ∂u2 ... (x, D) khi tác động lên u được tính theo công thức sau Rj (x, D)u = Rj (x) ∗ u = Cn xj ∗ u(x) |x|n+1 Ta cũng có mối quan hệ giữa các toán tử Λ và Rj như sau n Λu = j=1 ∂ Rj u = ∂xj 15 n Rj j=1 ∂ u ∂xj (1.15) Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG CẤP MỘT VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN 2.1 Hệ phương trình đối xứng cấp một Định nghĩa 2.1 Giả sử A = [aij ] là ma trận vuông cấp N với các phần tử là các số... ∂v0 (x)   un+1 (y, 0)    ∂xn  un+2 (y, 0) v1 (x) 2.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp một trong không gian L2 2.3.1 Bất đẳng thức năng lượng trong không gian L2 Định lý 2.1 Giả sử hệ phương trình (2.1) là hệ đối xứng, f (t) ∈ C 0 ([0, T ], L2 ) và u(t) ∈ C 0 ([0, T ], W21 ) là nghiệm của hệ phương trình 22 (2.1) Hơn nữa ta giả sử u(t) ∈ C 1 ([0, T ], L2 ) Khi đó ta có bất đẳng... ∂u2   − = f1 (x1 , t)   ∂x1  ∂t   ∂u2 ∂u1    − = f2 (x2 , t) ∂t ∂x1 0 1 u1 , u= , f = 1 0 u2 trình được viết lại dưới dạng ma trận như sau Nếu ta đặt A = ∂ ∂t u1 u2 − 0 1 1 0 ∂ ∂x1 u1 u2 = f1 f2 f1 f2 thì hệ phương (2.3) Hệ (2.3) là hệ phương trình đối xứng cấp một Ví dụ 2.4 Cho hệ phương trình sau  ∂u1 ∂u1 ∂u1   − − u3 = f1 (x1 , x2 , t) −   ∂t ∂x1 ∂x2        ∂u ∂u2 ∂u3 ∂u2 ∂u3... Xét hệ phương trình cấp một sau n ∂ ∂ M [u] ≡ u − Ak (x, t) u − B(x, t)u = f (x, t) ∂t ∂x k k=1 (2.1) Ở đây, u là hàm vector có u1 (x, t), u2 (x, t), ., uN (x, t) là N thành phần, f là các hàm vector cột, Ak (x, t) là các ma trận Hermite vuông cấp N Ta đặt   u1 (x, t)   u(x, t) ≡ u(t) =  , uN (x, t) kí hiệu N u(t) 2 = uj (x, t) 2 L2 (Rn ) j=1 Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ phương trình đối. .. trình lấy giới hạn với t uδ (t) = u0 (δ) + {Auδ (s) + fδ (s)}ds, 0 ta được t {Au(s) + f (s)}ds, u(t) = u0 + 0 ở đây phép lấy tích phân được thực hiện với tô pô của L2 Từ đây d u(t) = Au(t) + f (t) dt là đúng theo nghĩa của tô pô trong L2 2.4 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp một trong không gian W21 2.4.1 Bất đẳng thức năng lượng trong không gian W21 Định lý 2.6 Giả sử hệ phương trình. .. Xét phương trình truyền sóng sau n n vtt − vxj xj + b0 vt + j=1 bj vxj + cv = g(x, t); (2.5) j=1 x = (x1 , x2 , x3 , xn ) ∈ Rn , t ∈ R, trong đó v(x, t) = v(x1 , x2 , , xn , t) là ẩn hàm cần tìm Bài toán Cauchy cho phương trình (2.5): Tìm nghiệm v(x, t) ∈ C 2 của phương trình (2.5) sao cho v(x, 0) = v0 (x) vt (x, 0) = v1 (x) trong đó v0 (x) và v1 (x) là các hàm số được cho trước Để đưa (2.5) về hệ phương. .. · −bn−1 −bn trong đó Aj (x, t) là ma trận vuông cấp  1  0   0    ··· ,  0    0  −b0 (n + 2) có phần tử ở cuối hàng thứ (j + 1) và cuối cột thứ (j + 1) đều bằng 1, các vị trí còn lại bằng 0 Ta nhận được hệ phương trình đối xứng cấp một dưới dạng ma trận sau đây ∂u = ∂t n Aj (x, t) j=1 ∂u + B(x, t)u + f (x, t) ∂xj (2.16) Dữ kiện Cauchy cho hệ (2.16) tại thời điểm t = 0 là hàm vector sau... đó bài toán Cauchy (2.1) và (2.2) có duy nhất nghiệm u(x, t) ∈ C 0 ([0, T ], L2 ) ∩ C 1 ([0.T ], (W21 )∗ ) đồng thời bất đẳng thức năng lượng (2.17) được thỏa mãn Chứng minh Hệ phương trình (2.1) có thể viết được dưới dạng phương trình vi phân thường sau đây trong không gian L2 du = Au + f (t), dt (2.22) u(0) = u0 (2.23) 29 Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.22), (2.23), ta