Đang tải... (xem toàn văn)
giải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khí. giải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khí
k1 = 3k , k2 = k3 = k , m1 = 3m, m2 = m3 = m & 3mx& + kx1 kx2 = M1 & mx& kx1 + 2kx2 kx3 = mx& kx2 + kx3 = & Bi 1: k2 Lp phng trỡnh vi phõn chuyn ng + Nhn xột: õy l h dao ng ba bc t b qua cn q1 = x1 , q2 = x2 , q3 = x3 k3 hay x1 c3 2c2 k k x2 = k k x3 k x& 3m 0 k1 & 4k m & & x2 + k c1 0 m & x& + Chn ta suy rng: l cỏc chuyn v tớnh t v trớ cõn bng tnh + p dng phng trỡnh Lagrange loi II thit lp phng trỡnh chuyn ng cho c h: d L L = 0; j = 1, 2,3 ữ dt q&j ữ q j T= 1 m1 x&12 + m2 x&22 + m3 x&32 2 Bi + Tớnh ng nng ca h: + Tớnh th nng ca h: 1 2 = k1 x12 + k2 ( x2 x1 ) + k3 ( x3 x2 ) 2 + Hm Lagrange: L =T k1 = 3k , k = k3 = k , m1 = 3m, m2 = m3 = m Thay Lập hệ phơng trình vi phân chuyển động: Chọn toạ độ suy rộng: q1 = q2 = 1 &2 T = J1& J 22 + 2 ta cú: 1 1 2 L = mx&12 + mx&22 + mx&32 kx12 k ( x2 x1 ) k ( x3 x2 ) 2 2 2 Động hệ là: 1 = k112 + k2 (2 ) + k322 2 j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1 Vi , ta cú: L d L & = 3mx&1 ữ = 3mx& q&1 dt q&1 & 3mx& + 4kx1 kx2 = L = 3kx1 + k ( x2 x1 ) q1 j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2 + Vi , ta cú: L d L & = mx&2 ữ = mx& q&2 dt q&2 & mx& kx1 + 2kx2 kx3 = L = k ( x2 x1 ) + k ( x3 x2 ) q2 j = 3, q3 = x3 , q&3 = x&3 + Vi , ta cú: L d L & = mx&3 ữ = mx& q&3 dt q&3 & mx& kx2 + kx3 = L = k ( x3 x2 ) q3 + Phng trỡnh chuyn ng ca h: Thế : & c &2 = c1& c2 (& + ) + 2 2 Hàm tiêu tán: d L L + =0 ữ & dt q&j ữ q q j j phơng trình Lagrăng: Với L = T = &2 &2 1 J11 + J 22 k11 + k2 (2 )2 k322 2 2 Ta đợc: ( ) & & & & J1& + k11 k2 (2 ) + c11 c2 = &+ k ( ) + k + c & & + c & = J 2& 2 2 ( ) &+ ( c + c ) & c &+ (k + k ) k = J1& 1 2 2 2 & & & & J 22 c21 + ( c2 + c3 ) k 21 + (k2 + k3 )2 = t đới dạng ma trận ta có: & (c + c ) c & (k + k ) k J1 & 2 + + = J & & c2 (c2 + c3 ) & k2 (k + k3 ) 2 Tìm tần số riêng dạng riêng: Viế cỏc tn s riờng nghiệm phơng trình đặc trng: [ ] det [ K ] [ M ] = (k1 + k ) k2 k2 J1 3k1 J1 2k1 =0 = (k2 + k3 ) J k k 1 J 1 R = c1 x&12 + c2 ( x&2 x&1 )2 2 + Hm hao tỏn: + Hm Lagrange: 1 1 L = T = m1 x&12 + m2 x&22 k1 x12 k2 ( x2 x1 ) 2 2 J12 11J1k1 + 11k12 = Thay k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm ; c1 = c2 = 30Nms, c3 = 2.5c1 = 16.11rad / s = 28.91rad / s k2= 2k1; k3=1.5k2 J1=J2=J gii ta c: * Tỡm dng riờng [[ K ] [ M]]A j A1 j = { 0} j T phng trỡnh - Dng riờng th nht: j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1 + Vi , ta cú: L d L = m1 x& x& ữ = m1& q&1 dt q&1 L & & = k1 x1 + k2 ( x2 x1 ) x& m1 & + (c1 + c2 ) x1 c2 x2 + ( k1 + k ) x1 k2 x2 = F1 (t ) q1 R = c1 x&1 c2 ( x&2 x&1 ) q&1 j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2 + Vi (3k1 J1 ) A11 2k1 A21 = 3k1 J1 2k1 A11 L d L = m2 x&2 x& = ữ = m2 & 2 dt q&2 5k1 J1 A21 2k1 2k1 A11 (5k1 J1 ) A21 = q&2 Thay = 16.11, k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm ta cú dng riờng { } = C1 cos ( 16.11t + ) 0.85 th nht Tng t thay = 28.91 rad/s ta cú dng riờng th hai { } = C2 cos ( 28.91t + ) 0.59 Bi , ta cú: & & x& m2 & c2 x1 + c2 x2 k x1 + k x2 = F2 (t ) L = k2 ( x2 x1 ) q2 R = c2 ( x&2 x&1 ) q&1 + Phng trỡnh chuyn ng ca h: & & x& m1& + (c1 + c2 ) x1 c2 x2 + ( k1 + k ) x1 k x2 = F1 (t ) & & x& m2 & c2 x1 + c2 x2 k2 x1 + k x2 = F2 (t ) + Vit di dng ma trn: x2 F2(t) m2 [ M ] = 01 x1 F1(t) m1 Vi c1 k1 Xõy dng phng trỡnh vi phõn chuyn ng õy l h dao ng cng bc cú cn bc t Chn ta q1 = x1 , q2 = x2 suy rng: l cỏc dch chuyn ca m1, m2 tớnh t v trớ cõn bng tnh p dng phng trỡnh Lagrange loi II thit lp phng trỡnh chuyn ng cho c h: d L L R + = Q aj ; j = 1, ữ ữ dt q&j q j q&j 1 m1 x& m2 x&22 + 2 1 = k1 x12 + k2 ( x2 x1 ) 2 c1 + c2 c2 m2 [ C] = c2 c2 ; k1 + k2 k2 [ K] = k k2 F1 (t ) F2 (t ) { F} = Tỡm tn s riờng k + k det([ K ] [ M ] ) = k2 k1 + k2 m1 k2 k m k2 0 =0 m2 k2 =0 k2 m2 (k1 + k2 m1 )( k2 m2 ) k24 = Thay s m1 = 8kg; m2 = 2kg ; k1 = 2000N/m ; k2 = 1000N/m (3000 )(1000 2 ) 106 = + ng nng ca h: + Th nng ca h: k x1 F1 (t ) = k x2 F2 (t ) Hay m T= c2 x& k1 + k + c2 x&2 k x& } + [ C ] { x&} + [ K ] { x} = { F } [ M ]{ & c2 k2 x& & c1 + c2 + m2 & x& c2 m1 16 14000 + 2.106 = Ta cú 2 = 695, 2( rad / s) = 26,36( rad / s) = 179,8( rad / s) = 13, 4(rad / s) = + Th nng ca h: 1 R = c1 x&12 + c2 ( x&2 x&1 )2 + c3 x&22 2 Tỡm dng riờng Cỏc dng riờng cú dng cos( j t + j ) 2j { x} j = { A} j cos( j t + j ) = C j v { A} j ; j Trong ú tha phng trỡnh [ K ] [ M ] { A} = [ K ] [ M ] C j = v2 j v2 j = j k1 + k2 2j m1 k2 Thay s vo ta cú 12 = 179,8(rad / s ) v21 = 1,56 + Hm hao tỏn: + Hm Lagrange: 1 1 L = T = m1 x&12 + m2 x&22 k1 x12 k ( x2 x1 ) k3 x22 2 2 j = 1, q1 = x1 , q&1 = x&1 + Vi j = 2, q2 = x2 , q&2 = x&2 22 = 695, 2(rad / s ) v22 = 2,56 + Vi cos(13, 4t + ) 1,56 { x} = C1 cos(26,36t + ) 2, 56 { x} = C2 + Phng trỡnh chuyn ng ca h: & & x& m1& + (c1 + c2 ) x1 c2 x2 + (k1 + k ) x1 k x2 = & & x& c2 x1 + (c2 + c3 ) x2 k x1 + (k + k ) x2 = m2 & C1 ; C2 ; ; c xỏc nh t iu kin u 2,56 + Vit di dng ma trn: c2 k1 k2 x1 m x2 [ M ] = 01 Vi k1 + k2 k2 Tỡm tn s riờng k + k det([ K ] [ M ] ) = k2 c2 c2 + c3 k2 k2 + k3 Chn ta suy rng: l cỏc dch chuyn ca m1, m2 tớnh t v trớ cõn bng tnh p dng phng trỡnh Lagrange loi II thit lp phng trỡnh chuyn ng cho c h: + ng nng ca h: [ C ] = 1c ; [ K] = q1 = x1 , q2 = x2 c + c2 m2 Xõy dng phng trỡnh vi phõn chuyn ng õy l h dao ng t cú cn bc t 1 T = m1 x&12 + m2 x&22 2 k2 x1 = k2 + k3 x2 Hay k3 d L L R + = Q aj ; j = 1, ữ & dt q&j ữ q q j j c2 x&1 k1 + k2 + c2 + c3 x&2 k2 x& } + [ C ] { x&} + [ K ] { x} = { F } [ M]{ & c3 m2 m1 x& & c1 + c2 + m2 & x& c2 m1 Ma trn dng riờng: Bi c1 , ta cú: L d L = m2 x&2 x& ữ = m2 & q&2 dt q&2 L & & = k2 ( x2 x1 ) k3 x2 x& m2 & c2 x1 + (c2 + c3 ) x2 k x1 + (k + k3 ) x2 = q2 R = c2 ( x&2 x&1 ) + c3 x2 & q1 Ta cú cỏc dng riờng , ta cú: L d L = m1 x&1 x& ữ = m1 & q&1 dt q&1 L & & = k1 x1 + k ( x2 x1 ) x& m1& + (c1 + c2 ) x1 c2 x2 + ( k1 + k ) x1 k x2 = q1 R = c1 x&1 c2 ( x&2 x&1 ) q&1 Vi [ v ] = 1,56 1 k1 x1 + k2 ( x2 x1 ) + k3 x22 2 k1 + k2 m1 k2 k2 m k2 + k3 0 =0 m2 k2 =0 k2 + k3 m2 (k1 + k2 m1 )(k + k3 m2 ) k 24 = Thay s m1 = m2 = 1kg ; k1 = k2 = k3 = k= 100N/m (200 )(200 ) 10 = 400 + 3.10 = Ta cú = 300( rad / s) = 17,32( rad / s) 22 = 100( rad / s) = 10( rad / s ) Tỡm dng riờng Cỏc dng riờng cú dng = + Tớnh th nng ca h: + Hm Lagrange: L =T = cos( j t + j ) j { x} j = { A} j cos( j t + j ) = C j v &2 &2 2 J11 + J 2 k11 k2 ( ) 2 2 j = 1, q1 = , q&1 = & + Vi { A} j ; j Trong ú 2 k11 + k2 ( ) 2 tha phng trỡnh [ K ] [ M ] { A} j = [ K ] [ M ] C j = v2 j k1 + k2 j m1 v2 j = k2 , ta cú: L d L & = J1& ữ = J1& q&1 dt q&1 &+ (k + k ) k = J1& 1 12 2 L = k11 + k2 ( ) q1 Vi Thay s vo ta cú 12 = 100(rad / s ) v21 = 0,5 Vi 22 = 300(rad / s ) v22 = 0, Ta cú cỏc dng riờng cos(10t + ) 0, { x} = C1 cos(17,32t + ) 0,5 { x} = C2 C1 ; C2 ; ; c xỏc nh t iu kin u [ v] = 0,5 0,5 Ma trn dng riờng: Bi 5: + j = 2, q2 = , q&2 = & , ta cú: L d L & & = J 2& ữ = J 2 q&2 dt q&2 & k + k = J 2& 2 2 L = k2 ( ) q2 + Phng trỡnh chuyn ng ca h: &+ (k + k ) k = J1& 1 2 & J 2& k 21 + k 2 = + Vit di dng ma trn: J1 & (k1 + k ) k2 & + = & k2 J & k2 (1.9) 2) Tỡm cỏc tn s riờng + Dựng phng phỏp gii phng trỡnh tn s: ( k + k ) k J det [ k ] [ m ] = k2 k2 0 =0 J J1.J ( J1k2 + J k1 + J k2 ) + k22 = 1) Thit lp h phng trỡnh vi phõn chuyn ng + Nhn xột: õy l h xon hai bc t b qua cn q1 = , q2 = + Chn ta suy rng: l cỏc chuyn v gúc tớnh t v trớ cõn bng tnh + p dng phng trỡnh Lagrange loi II thit lp phng trỡnh chuyn ng cho c h: d L L = 0; j = 1, ữ dt q&j ữ q j T= + Tớnh ng nng ca h: &2 &2 J11 + J 2 2