Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết này phù hợp với các bạn học sinh đã học xong chương trình toán lớp 10, những bạn có mục tiêu điểm 7, 8, 9 môn Toán trong kì thi THPT Quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ sắp tới. Tuy nhiên, một điều thật sự quan trọng, đó là trước khi bắt tay chinh phục các câu hỏi này, các bạn nên chắc chắn rằng mình đã nắm được bao quát kĩ năng giải 7 câu đầu tiên trong đề thi. Hi vọng bài viết sẽ là công cụ hữu ích cho các bạn trong bước đường chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia 2017, 2018 và những năm tiếp theo. Chúc mọi người có được một quá trình rèn luyện và chuẩn bị tốt cho kì thi của riêng mình, đạt kết quả cao nhất.
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN Biên soạn bởi: NGUYỄN LÊ ĐỨC TRỌNG, (Cựu học sinh trường THPT Chuyên Thủ Khoa Nghĩa, Niên khoá: 2013-2016) 2016 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Chào người! Tôi cựu học sinh trường THPT Chuyên Thủ Khoa Nghĩa, niên khố 20132016 vừa trải qua kì thi THPT Quốc gia năm 2016 Trong q trình ơn luyện thi mơn Tốn, tơi có số kinh nghiệm đúc kết cho thân thông qua việc làm tập, đặc biệt dạng tập phân loại hình học giải tích phẳng Oxy, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Riêng phần bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ tơi hồn thành cịn thời gian Bây giờ, tơi thực viết nhằm chia sẻ với bạn điều đó, thời gian sau thi tơi rãnh rỗi Bài viết không chất chứa nhiều tốn, tơi nghĩ với xu thị trường sách tham khảo phong phú việc tìm sách tham khảo cho bạn không khó khăn, bạn có nhiều lựa chọn tác giả đầu sách phù hợp với khả năng, sở thích Vì thế, viết đơn giản tài liệu nhằm trao đổi kinh nghiệm việc giải tốn, cơng cụ để bạn tìm lời giải cho tốn, khơng nhằm tiếp thu nhiều dạng toán khác Bài viết phù hợp với bạn học sinh học xong chương trình tốn lớp 10, bạn có mục tiêu điểm 7,8,9 mơn Tốn kì thi THPT Quốc gia tuyển sinh ĐH, CĐ tới Tuy nhiên, điều thật quan trọng, trước bắt tay chinh phục câu hỏi này, bạn nên chắn nắm bao quát kĩ giải câu đề thi: Khảo sát – vẽ đồ thị hàm số, toán phụ khảo sát hàm số, số phức, logarit, hàm mũ, tích phân, hình học giải tích khơng gian Oxyz (Lớp 12), câu hỏi biến đổi/phương trình lượng giác, tổ hợp, xác suất, hình học khơng gian (lớp 11) Lấy điểm câu vừa nêu đơn giản nhiều so với lấy điểm câu 8,9,10 Do đó, điều tối quan trọng bạn phải nắm thật 7đ trước, sau lăn vào chiến giành điểm cao Thi đại học chơi lớn mà bạn, khơng hay mà cịn phải may phải tỉnh táo Làm câu cuối đánh rơi điểm số câu lại điều đáng tiếc Vì cơng bố điểm khơng có khung thích vào “thí sinh làm câu khó đề thi” đâu Hãy lưu ý điều Nói khơng phải để bạn nản lịng chiến sĩ Tự tin khí chất định Hãy nghĩ bạn làm bạn tâm làm điều Hãy học kĩ câu dễ tìm cho khoảng thời gian định để tự rèn luyện câu khó, câu câu khó được, nuốt trọn câu điều khó khăn Quỹ thời gian khơng thiếu, sử dụng chúng thật tốt Đường học vấn dài 12 năm, định 1-2 năm cuối cấp Quyết tâm chiến đấu tự vạch cho kế hoạch để phá giai đoạn cuối Hãy nghĩ đến mục tiêu, đem lại bất ngờ khả bạn, cho cha mẹ, thầy cô bạn bè DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Vì người tiếp thu tri thức, người trước bạn bước trình chuẩn bị cho kì thi lớn đời học sinh, nên trình độ nhận thức tơi đơi hạn chế Bài viết nhận thức chủ quan, có đúng, có sai, tơi cố gắng hạn chế tối đa sai lầm Chúng ta trao đổi với để tìm đường ngắn để đến kết cuối Tôi sẵn sàng tiếp nhận ý kiến trao đổi bạn nhìn nhận sai lầm Hi vọng viết cơng cụ hữu ích cho bạn bước đường chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia 2017, 2018 năm Chúc người, đặc biệt bạn TKNers có q trình rèn luyện chuẩn bị tốt cho kì thi riêng mình, đạt kết cao Xin cảm ơn bạn! DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KINH NGHIỆM VỀ Q TRÌNH ƠN LUYỆN MƠN TỐN Như bạn biết, đặc thù mơn Tốn mơn học khơng địi hỏi bạn phải học thuộc lịng Song, bên cạnh đó, mơn học địi hỏi người phải tự xây dựng cho cách học hợp lí, lối tư cho tốn gặp qua, chẳng có chuyện cho bạn thi vào tốn mà giải đâu Vì thế, nhiều bạn lo ngại mơn Thứ nhất, khối lượng kiến thức lớn, nhiều cơng thức có liên quan trải lớp học 10,11,12 riêng phần giải tích phẳng Oxy địi hỏi bạn phải có kiến thức chương trình hình học THCS Thứ hai, việc địi hỏi tư toán phân loại lạ với nhiều bạn, cách phát biểu thành lời đề cách giải tốn Thứ ba, quỹ thời gian khiêm tốn dành cho mơn học trở ngại lớn, ta khơng thể bỏ qua mơn cịn lại tổ hợp sở trường mình, ví dụ Lí, Hố (khối A) hay Lí, Anh văn (khối A1) Do đó, điều bạn cần làm vạch cho thân thời gian biểu hợp lí, theo tơi, bạn nên tập cho thói quen học tập đặn, ví dụ ngày làm hay tập đó, dù dễ hay khó, phải cố gắng hồn thành Vì đầu óc thoải mái hơn, tiếp thu kiến thức hiệu góp phần tạo cho bạn nề nếp sinh hoạt điều độ, tránh tải cơng việc Hồn thành khơng phải bạn phải giải cho toán, mà bạn đọc qua, ngâm nga vài phút đề bài, phát thảo sơ lược cách tiếp cận toán, xem xét lời giải rút cho kinh nghiệm Khi đó, khả bạn nâng lên ngày, ngày Những bước gặp nhiều khó khăn Nhưng qua tốn, lời giải tiếp thu phần kiến thức, đầu óc có riêng cách tư cho dạng tương tự Các bạn đừng nản chí Để giải vấn đề mà bạn gặp, tơi nghĩ bạn nên: - Nếu bạn bâng khuâng mớ kiến thức khổng lồ gồm tồn cơng thức dài ngoằn, khó nhớ: tơi nghĩ bạn nên có riêng cho tập hay sổ tay, ghi chép lại cơng thức cần nhớ khó nhớ Đừng nên lạm dụng tài liệu chép sẵn cơng thức mà tự soạn nó, chữ viết mình dễ đọc (chắc ^^), bên cạnh giúp cho bạn gợi nhớ nhiều suy nghĩ, tư duy, ẩn sau cơng thức q trình tìm tịi suy nghĩ DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - Nếu bạn lo lắng vấn đề gốc kiến thức nền: tìm lại, google bên bạn, đừng lo! Khi gặp kiến thức có liên quan đến chương trình lớp mà nhớ ra, tra sách tìm kiếm mạng, lại ghi chép vào sổ tay riêng Đó cách bạn tìm lại kiến thức mà tơi nghĩ tuyệt vời, ta biết thiếu sót chỗ mà kịp thời chắp vá lại Còn nhiều vấn đề phát sinh khác địi hỏi bạn phải tự tìm hướng giải riêng cho Nhưng tơi muốn nói rằng, bạn muốn vào đại học, bạn phải cố gắng thực ước mơ khơng thể hồi mơ ước, bạn nên nghiêm khắc với thân Tất nhiên phải ln có khoảng thời gian riêng để vui chơi giải trí, cịn thời gian khơng đủ dài để bạn lơ Hãy đặt việc học lên hàng đầu cố gắng thực ước mơ, đừng nản chí! Tiếp theo, tơi mời bạn đến với nội dung viết DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG VẤN ĐỀ 1: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY SƠ LƯỢC VỀ BÀI TỐN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Bạn có theo dõi cấu trúc đề thi đại học năm gần khơng khó nhận câu hỏi vị trí số 8, nói nơm na câu hỏi phân loại mức điểm Để làm tốt dạng câu hỏi này, bạn cần: - Nắm vững kiến thức hình học lớp 10, kiến thức vecto, tích vơ hướng, khoảng cách, đường thẳng, phương trình tham số, tổng quát, elip (riêng phần hypebol parabol năm gần giảm tải, bạn nên hỏi rõ lại thầy cô giáo để biết thêm chi tiết, năm có cấu trúc khác nhau) - Xem lại kiến thức hình học THCS: đường tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, ), tứ giác nội tiếp (về góc chắn cung, góc ngồi đỉnh, ), định lí Talét đường thẳng song song (tỉ số đoạn thẳng), tam giác nhau, tam giác đồng dạng, tính chất tam giác đều, tam giác cân, - Có khả nhận dạng yếu tố mà đề cho: riêng phần đề cập kĩ viết - Khi làm xong, dựng hệ trục Oxy giấy nháp, thể lên hệ trục điểm, đường thẳng mà đề yêu cầu xem có hợp lí hay khơng Đây bước kiểm tra kết quan trọng, giúp bạn chắn “xử đẹp” tốn hình học phẳng Oxy - Một điều mà nhiều bạn hay bỏ qua phải vẽ hình thật chuẩn Thường đề cho tam giác, hình chữ nhật, hình vng, với yếu tố, tính chất hình học đặc biệt che giấu đi, yêu cầu người giải tìm hi vọng giải trọn vẹn tốn Hoặc chí nhận điều đặc biệt, nêu mà khơng chứng minh chứng minh không được, trường hợp bạn bị trừ từ 0.25-0.5đ cho tốn 1đ (nếu bước tính tốn cịn lại bạn làm đúng) Vì thế, tốn dạng khó đạt trọn vẹn 1đ việc kiếm từ 0.5-0.75đ điều mà bạn hồn tồn làm Đừng bỏ qua hội dù nhỏ nhoi này! Chốt lại, với gạch đầu dòng vừa nêu, bạn có tất cơng việc để đến lời giải cho tốn Oxy, riêng gạch đầu dịng địi hỏi bạn, xem lại mục kinh nghiệm q trình ơn luyện để rút cho hướng phù hợp DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Vì người có khả hay cách học khác nên bạn đừng để tâm đến cách học bạn xung quanh, bạn đến đích cuối ăn trọn câu hỏi 8đ KINH NGHIỆM XỬ LÍ CÁC BÀI TỐN HÌNH PHẲNG OXY: Hướng giải chung: - Bước 1: Đọc đề thật kĩ, đọc đến đâu vẽ hình đến nên vẽ thật chuẩn Bước khởi đầu đơn giản quan trọng Ví dụ: Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường trịn tâm O Bạn vẽ sau: C1: (Được khuyến khích) Vẽ đường trịn trước, sau vẽ tam giác vng ABC C2: (Hơi khó hơn) Vẽ tam giác vng ABC, lấy giao điểm trung trực, dựng đường tròn Khi vẽ xong xố trung trực, khơng quan trọng Một lời khuyên nho nhỏ: bạn yếu phần dựng hình thơng qua tính chất đường tam giác nên làm theo C1 DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực, cần lấy đường đủ) - Bước 2: Xâu chuỗi kiện tìm tính chất hình học (nếu có): Vì xu hướng đề năm gần đánh mạnh vào phần tính chất hình học phẳng ẩn sau tốn hình học giải tích nên địi hỏi bạn phải tìm mấu chốt toán tác giả giấu kĩ, qua kết thúc trọn vẹn tốn Trong bước này, dù tính chất giấu, có kiện tốn mà dựa vào đó, ta tìm Tuy nhiên có nhiều ý kiến cho đề kiểu chưa hay chưa mang lại tốn hình giải tích phẳng Oxy đẹp mắt tuý giải tích, nên xu hướng vài năm tới thay đổi, đánh mạnh vào phần kiến thức giải tích nhiều Vì vậy, bước bỏ qua xu hướng bị thay đổi - Bước 3: Dựa vào tính chất phát cộng với kiện toán, kết hợp kiến thức phương trình đường thẳng, tích vơ hướng, tìm điểm, phương trình đường thẳng hay đường trịn mà đề yêu cầu - Bước 4: Thể hình vẽ lên hệ trục toạ độ Oxy ngồi giấy nháp để kiểm tra tính đắn lời giải Một số hướng giải kiện toán: - Giả thiết toán cho toạ độ điểm A,B chẳng hạn, ta viết AB , ta có thể: viết phương trình đường thẳng AB, phương trình đường thẳng qua A vng góc AB, phương trình đường thẳng qua B vng góc AB, tính độ dài AB, - Giả thiết tốn cho toạ độ điểm C phương trình đường thẳng AB, ta có thể: tính khoảng cách từ C đến AB, viết phương trình đường thẳng CD qua C vng góc song song với AB, tìm toạ độ điểm đối xứng với C qua AB, - Giả thiết toán cho kiện phương trình đường trịn: xác định toạ độ tâm độ dài bán kính, đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, muốn tìm toạ độ điểm B, C, ta cần viết phương trình BC, sau giải hệ phương trình đường thẳng BC phương trình đường trịn ngoại tiếp, suy điểm B,C - Nếu biết trước phương trình đường thẳng, ta tham số hố điểm thuộc đường thẳng để dễ tính tốn VD: cho đường thẳng AB : x y , ta có: điểm A thuộc AB => A t ; t 1 Việc sử dụng tham số t thường gặp, cịn muốn, bạn hồn tồn theo tham số khác (a,b,c, ), cách tham số hiểu sau: với DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG phương trình AB : x y , ta cho x t , y x t , điểm A có toạ độ A x; y nên biểu diễn A t ; t 1 Bước quen khơng có đáng lo ngại Tham số hoá toạ độ điểm để làm gì? VD: với đề cho phương trình đường thẳng AB : x y điểm C 2;5 , tìm toạ độ điểm D thuộc AB, biết CD 10 Ta tham số hố D t; t 1 tính độ dài đoạn thẳng CD thơng qua 2 đường tính vecto: CD t 2; t CD t t , từ kiện CD 10 , giải tìm t, suy toạ độ D Cịn nhiều kiểu kiện tốn tất kiện qui việc yêu cầu tìm toạ độ điểm viết phương trình đường thẳng, bạn phải nắm lí thuyết cho thật vững Suy luận yêu cầu toán từ giả thiết: Dữ kiện toán đưa dẫn dắt ta đến yêu cầu Đó khơng phải kết tốn, bước đệm để dẫn đến kết cuối Ví dụ: cho tam giác ABC, có kiện kèm theo yêu cầu tìm toạ độ đỉnh A, kiện khơng dẫn đến toạ độ điểm A cần tìm, mà ta phải tìm toạ độ B,C hay toạ độ điểm đặc biệt khác tam giác trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, Do đó, phải thật bình tĩnh đối mặt với tốn Oxy, phải đưa hướng tư mở đường, đặt câu hỏi cho thân như: tìm điểm trước, kiện đề cho khai thác nào, từ sâu chuỗi kiện để đến kết có lợi Ta xem xét đề sau, tơi xem đề ví dụ xuyên suốt phần viết, tốn trích từ đề thi THPT Quốc gia 2016 (lượt bỏ chút xíu): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng BC, BD P giao điểm hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình x y , M 0;4 , N 2;2 Tìm toạ độ điểm P, A, B * Xâu chuỗi kiện: nhìn nhận đề bài, bạn rút kiện tốn, theo ta thấy rằng: DUCTRONGT13-16TKN Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - Đã có phương trình AC, ta có thể: mã hố toạ độ điểm A, điểm C, tính khoảng cách từ điểm khác nằm ngồi AC đến AC Vì đề hỏi điểm A nên ta ưu tiên suy nghĩ vào điểm A trước (bỏ qua suy nghĩ dành cho điểm C) - Đề cho toạ độ điểm MN: ta viết phương trình đường thẳng qua điểm M N (dưới dạng phương trình tổng qt), tính độ dài đoạn thẳng MN, viết phương trình qua M vng góc với MN, qua N vng góc với MN - Tiếp theo kiện liên quan đến tính chất hình học: tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD, suy góc BAD, BCD vng (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - Cuối giả thiết: AM BC , AN BD Đến đây, ta coi tóm gọn giả thiết để dễ hình dung Cơng việc giúp bạn bỏ qua đề đầy chữ tâm vào tóm lược hình vẽ chuẩn Riêng tính chất hình học nên biểu diễn lên hình vẽ đừng dại viết giấy Kết thúc trình xâu chuỗi giả thiết Tiếp theo, ta suy luận yêu cầu toán từ giả thiết Yêu cầu tốn tìm toạ độ điểm P, A, B Có chi tiết dù nhỏ thơng dụng, toạ độ điểm xác định ta biết phương trình đường thẳng tạo nên giao điểm Trong tốn này, ta xét từ từ điểm đề yêu cầu Ta thấy điểm P MN AC , mà MN AC ta hồn tồn viết phương trình đường thẳng Do coi ta xử lí xong điểm P Ta có MN : x y AC: x y nên toạ độ điểm P x y , giải hệ ta tìm toạ độ P Xong! Ta tiến đến giải nghiệm hệ x y 1 điểm A B Ta thấy rằng: điểm A thuộc đường thẳng AC biết phương trình, cịn điểm B hồn tồn chưa có manh mối (có B thuộc đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD), đó, ta ưu tiên suy nghĩ tìm điểm A trước Khi giải trọn 5 3 vẹn điểm P, lúc ta có thêm giả thiết P ; Ta tiến hành phân tích điểm A 2 2 Muốn tìm toạ độ điểm, thường ta dùng phương pháp giống tìm điểm P, tức tìm phương trình đường thẳng mà A giao điểm nó, DUCTRONGT13-16TKN Trang 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Delta ta biểu diễn thành dạng bình phương nên hướng ta xem bước đầu thành công Bằng công thức nghiệm pt bậc 2: x b Ta suy ra: 2a y 17 y 17 y 17 y 17 y 17 Đến đây, thay vào pt thứ giải y, x 4 hoàn tất hệ pt x C2: Rút pt bậc theo y : ta có 1 y x 17 y x 17 x 3x 17 x 17 x x 34 x 289 x 17 , cách tương tự, suy ra: y x 17, y x Thay x y vào (2), ta có: 2 x 10 x x x 11 Pt có nghiệm đẹp nên vào khuôn khổ liên hiệp nhị thức Thay y x 17 * vào (2), ta có 2 x 7 x x x 11 Bấm nghiệm pt máy báo pt vô nghiệm, nên ta phải tìm lí pt vơ nghiệm y 10 , mà điều kiện pt suy Các bạn để ý, điều kiện hệ pt ban đầu x 3 7 7 x x , x 3 nên xảy điều mâu thuẫn, pt vừa suy vơ 2 nghiệm Ta kết luận hệ pt có nghiệm Cốt lõi pp delta phương hi vọng bạn nắm được, pp tương đối dễ tiếp nhận Tư tưởng “chính phương” chủ đạo, delta biểu thức khơng phương xem pp thất bại - Tìm quan hệ nghiệm máy tính, kết hợp với sơ đồ Hoocne Chức vượt trội máy tính Casio, Vinacal khơng thể bàn cãi Tuy khơng thể thay hồn tồn chất tư tốn học trở thành công cụ lợi hại để tìm hướng phù hợp cho toán Quan hệ x , y DUCTRONGT13-16TKN Trang 63 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG pt hoàn tồn tìm máy tính Tuy nhiên để dễ dàng đơi phải “đẹp” chút Ta xét pt có hệ pt sau: x y x y x xy xy 10 x y y 10 y Một pt mà hình thức gây “ức chế” cho số bạn ^^ Tất nhiên tốn dùng thi cử khơng tới cồng kềnh đâu, với tốn có nhiều lời giải mà đơi vơ tình hướng bạn lại đưa đến pt sởn óc phải tìm cách xử lí Trước tiên, ta dùng máy tính nhập pt vào, dùng chức solve Máy hỏi Y?, ta cho giá trị Y bất kì, thường số đẹp 1,2,3, chẳng hạn solve tiếp tục Khi cho Y=1, máy cho kết X=-1 Đến đây, ta phải nghi ngờ quan hệ x , y x y x y , điều rèn luyện trình bạn làm Do đó, để kiểm chứng kết quả, cho giá trị Y solve giá trị X, hình Solve for X, nên nhập giá trị X Y, ví dụ bạn cho giá trị Y=2, nên nhập vào hình Solve for X -2, dễ kiểm chứng dự đoán ta, kết solve X=-2 xem dự đốn ta thêm sở để tin tưởng, ta làm thêm 1, trường hợp tương tự để khẳng định quan hệ x , y x y Cịn trường hợp máy khơng kết trên, dự đốn ta sai chuyển sang trường hợp x y , tức cho Y=4 chẳng hạn, nên Solve for X Tóm lại, hướng tiếp cận trên, ta tìm quan hệ x y Do đó, pt ban đầu có nhân tử chung x y Đến đây, ta dùng sơ đồ Hoocne để tách nhân tử cho pt ban đầu Ta chuyển pt thành dạng pt bậc theo biến x xem y tham số Ta có pt tương đương: x y 1 x y y 10 x y y y 10 y 1 Ta lập sơ đồ Hoocne sau: 5y 1 y y 5y 1 Do ta rút nhân tử chung cho pt là: XXX y y y 10 y y y 10 y y y 10 y 1 x y x3 yx2 y y 1 x y3 y y 10 2 DUCTRONGT13-16TKN Trang 64 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Trong sơ đồ trên, quan hệ nghiệm x y nên ta xem pt có nghiệm y biểu thức chứa y phía trước x hệ số Qui tắc hoocne trình bày phần trước, bạn xem lại nhé! Đến đây, biểu thức ngoặc vuông cịn dạng đa thức, nên phân tích thành nhân tử Ta tiếp tục tìm nhân tử cho biểu thức Cho Y=1, ta có X=-1, cho Y=2, ta có X=0, cho Y=3, ta có X=1 Ta thấy rằng, Y=X+2 qui tắc chung cho biểu thức đó, biểu thức ngoặc vng lại có nghiệm x y Tiếp tục với sơ đồ hoocne, ta tách biểu thức sau: XXXX y2 1 y y2 y 1 y y y 10 -2 y2 3y Do x y x y x x y y 2 Nếu bạn nghi ngờ ngoặc trịn cuối có nghiệm, nên solve tiếp, ta thấy vơ nghiệm, solve máy báo Can’t solve Vì sao? Ta thấy 3 x x y y x x y y x 1 y nên biểu thức 2 x y Đến coi tách nhân tử chung tiếp, pt 1 x y 2 2 2 bước tách nhân tử cho pt thành công mĩ mãn ^^ Trong nhiều sách tham khảo, bạn thấy nhiều tách nhân tử theo hướng cốt lõi, tư nhân tử từ đầu đến cuối người ta giản lược Có thể có phương pháp tách khác hay hơn, cá nhân tơi nghĩ dùng Casio cộng với sơ đồ Hoocne giải tốt dạng tốn Pt vừa xét tơi trích sách “Tư Logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình” Ts Mai Xuân Vinh nhóm tác giả trang web k2pi.vn biên soạn Nguồn gốc pt xuất phát từ phương pháp kết hợp pt hệ tương đối khó Riêng sách tài liệu hệ pt hay mà muốn giới thiệu với bạn Phương pháp chủ yếu dựa bước chính, tìm quan hệ x , y dựa máy tính Casio tách nhân tử thơng qua sơ đồ Hoocne Riêng phần tìm quan hệ x , y theo kiểu có pp hay khác dùng tư phương trình đường thẳng hình học Oxy PP trình bày sách tơi vừa nêu xuất nhiều trang mạng Các bạn quan tâm theo dõi tiếp thu Tơi khơng tiện để đề cập viết thân chưa nắm vững pp ^^ DUCTRONGT13-16TKN Trang 65 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - Dấu “đẳng cấp” chuyển phương trình dạng pt đẳng cấp Một pt ẩn rút quan hệ x , y dễ dàng pt đẳng cấp Vì vậy, nhiều trường hợp, ta dùng lối tư để hi vọng tìm hướng giải cho phương trình Tính đẳng cấp pt thể đa dạng Ta xét ví dụ thấy điều đó: - Quan hệ biểu thức không chứa thức chứa tích biểu thức 2 y x x xy x y 1 Ta xét hpt sau: x 3x y x x x Điều kiện x xy x y 3 x y Ta ý vào phương trình Nếu chuyển biểu thức không chứa qua vế phải bình phương lên thật rối trí Để ý thấy biểu thức biểu diễn thành: x y x y , nên ta hi vọng rút nhân tử pp delta phương, ta có: y 4.2 y y Ý tưởng thành cơng Ta tìm 2 x y x nên ta suy x y x y x 1 x y Hoặc khơng cần đến pp mà bạn rút nhân tử dựa vào kinh nghiệm, cách hay Nên pt (1) y x x 1 x y Ta thấy rằng, biểu thức dấu có bậc 1, biểu thức dấu tích biểu thức bậc 1, dạng pt đẳng cấp, ta biểu diễn y x theo x 2x y Việc quen thuộc thôi, ta muốn biểu diễn biểu thức theo biểu thức khác, ta dùng kĩ thuật hệ số bất định, tức ta tìm số , cho đẳng thức sau thoả mãn: y 3x x 1 x y Đồng hệ số, ta suy 1, 2 (nếu quên, bạn xem lại số ví dụ trước) Do ta viết lại pt: (1) x DUCTRONGT13-16TKN x 1 x y x y Trang 66 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Vì điều kiện hệ pt x nên ta có x 1 x y x xác định, ta viết sau: x x y Do pt x x x y x y A , khơng cẩn thận, A B B toán bạn khơng chặt chẽ bước Pt pt đẳng cấp ta a x đặt , x y , ta có: a ab 2b Dễ dàng suy b x y AB Có lưu ý nho nhỏ thức x 1 x a b a 2b Với a 2b x 2 x y 2 x y y Thay vào (2) thấy thoả mãn, x; y 1; nghiệm hệ pt Với a b x x y x x y y x Thay vào (2) ta có: x3 x x x x x 1 x x x Tư hàm x 1 y số lộ diện, ta giải x x x x x y Vậy hệ pt cho có nghiệm Tư đẳng cấp xuất nhiều việc tìm quan hệ x , y mà tốn vừa nêu điển hình nhỏ lớp toán rộng Bên cạnh pp đẳng cấp hố pt ẩn vừa rồi, cịn có loại đưa dạng phương trình bậc theo biểu thức đó, ví dụ ta chuyển pt dạng: x y x y xem pt bậc theo biến suy luận thêm 3x y PP tương tự nên bạn tìm hiểu Liên hiệp - Liên hiệp dựa vào quan hệ thức Ý tưởng chung: dựa vào biểu thức dấu thức, ta nhẩm trừ biểu thức với xem có thành phần nhân tử chung với phần lại pt hay không Điều kiện thức ta liên hiệp phải trái dấu Ta xét ví dụ: x y x xy DUCTRONGT13-16TKN Trang 67 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Điều kiện ban đầu thức xuất trái dấu thoả mãn Ta nhẩm trừ biểu thức dấu thức Ta có: x y x x y xy 1 xy 1 , có thành phần giống phần cịn lại pt xy (so với xy ) nên ý tưởng ta thành công Một yếu tố ban đầu giải liên hiệp chuyển tất pt vế, ta có pt xy 1 xy 1 xy x y x xy x2 y2 x2 xy xy xy xy 1 1 * x2 y x2 2 x 1 y 1 x Bằng máy tính ta thấy pt (*) vơ nghiệm Do ta tìm cách chứng minh Qui đồng mẫu số, ta có * xy x 1 y x Bài cần điều kiện ràng buộc, pt thứ hệ x xy hệ x x x 3xy nên điều kiện xác định 2 Do ta chứng minh (*) vơ nghiệm x Ta có: 3 * xy x y x2 x y y x2 Vì y y y y y 0, y Do x y y x * vơ nghiệm Do ta rút quan hệ x , y pt xy - Liên hiệp dựa quan hệ nghiệm 11x x y x y xy x Xét hệ pt: y x 13 x y y 16 x x 11 1 2 Đây hệ tương đối khó, thể rõ ràng chất pp liên hiệp Ta xét xem pt nhẹ nhàng giải Với pt thứ nhất, máy tính kĩ thuật quen thuộc, cho Y tìm X, Y=1 X=1, Y=2 X=2, Do ta dự đốn pt (1) có quan hệ x , y x y hay x y Kiểm chứng lại, ta thay y x vào DUCTRONGT13-16TKN Trang 68 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG (1), ta có 11x x x x , đẳng thức quan hệ x y mà ta dự đốn xác Bước ta tìm giải pháp xử lí Có quan hệ x , y đẹp nên ta nghĩ đến pp liên hiệp, với ví dụ trước mà ta xét, vd hồn tồn trái ngược: thức dấu Khó khăn xuất hiện, lúc chất liên hiệp thể rõ Từ tiếp cận với liên hiệp viết này, lưu ý với bạn “ tổng 0” việc chọn biểu thức liên hiệp Và chìa khố để xử lí tốn Ta thấy rằng, thay x y vào thứ 11x x y x y 3x , tương tự ta có xy x , để liên hiệp, ta phải làm cho phần liên hiệp 0, tức chuyển pt dạng: 11x x y x y x xy x Ta tiến hành liên hiệp bình thường Pt tương đương y xy 11x x y x y x 11x x y x y x 11x x y x y x xy x xy x 0 xy x 0 xy x y y x 11x x y x y x 2x y x xy x y 2x 0 y x 11x x y x y 3x xy y Đến nhiệm vụ ta kiểm chứng xem ngoặc vng có nghiệm hay khơng, máy tính ta thấy pt vơ nghiệm Do đó, ta tìm cách chứng minh Ta thấy rằng, biểu y 2x * vô nghiệm Và thức xy y 11x x y x y x mấu chốt pp chứng minh vô nghiệm dựa vào điều kiện xác định x , y hệ Điều kiện phải chặt nên ta phải ý xét cho thật kĩ Từ pt thứ (2) ta suy x y , điều kết luận dấu x , y Ta chuyển lên pt (1) Điều lưu ý VT pt (1) biểu thức ln , nên để (1) có nghiệm x x , lại có chứa xy , x y phải Nhưng mà, với x y xy y vơ nghĩa nên xem biểu thức liên hợp ta thất bại Nên điều kiện x 0, y chưa chặt, điều kiện phải x 0, y Điều ta dùng thủ thuật nhỏ Ta xét x y có phải nghiệm hệ hay khơng Thay vào ta thấy không thoả hệ Thêm trường hợp x 0, y x 0, y ta xét tương tự Do ta DUCTRONGT13-16TKN Trang 69 0 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG có điều kiện x 0, y Đến ta dễ dàng suy ngoặc vuông vô nghiệm Nên pt 1 y x x y Qua ví dụ trên, bạn thấy chất liên hiệp Bên cạnh kĩ “xử lí ngoặc vng” cịn lại sau liên hiệp Điều tương đối khó thường dựa vào đánh giá bất đẳng thức tính chất bình phương, quan trọng không dựa vào điều kiện xác định hệ pt, bạn phải đánh giá x , y thật kĩ để đưa đến kết có lợi cho tốn mà giải Thay x y vào pt (2), ta có: x x 13 x x3 16 x x 11 Sẵn tiện ta phân tích ln pt Một pt tương đối khó xơi Nhẩm nghiệm ta thấy pt có nghiệm xấu, với hình thức khó đặt nhân tử chung tuý Chuyển vế pt cho dễ “kiểm sốt” Ta có pt tương đương: x3 16 x x 11 x x 13 x * Pt chứa với biểu thức x phía ngồi có 5x3 nên ta tách thành pt bậc theo x , với hi vọng giải theo delta phương Ta có * x 3 x x x 13 có: x x 13 x 3 x x 14 x x x 14 Ta x 36 x 169 12 x 26 x 156 x x3 48 x 164 x 168 x x3 14 x x Tách phương không ^^ Nếu biểu thức tách bình phương có dạng x x thấy kĩ thuật mạnh mẽ chưa ^^), ta có nên ta dùng hệ số bất định (các bạn x x3 14 x x x 2 x 2 x 2 x (tơi giản lược bước tính tốn) Đồng hệ số ta có (nếu không tồn số , thoả hệ khơng phương) Do đó, x x Đến xem tốn hồn tất DUCTRONGT13-16TKN Trang 70 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Có điều lạ tách biểu thức cho dạng: * x 5x2 1 x x 13 x 16 x x 11 lại khơng tìm số , thoả mãn Các bạn tìm suy nghĩ giúp tơi chỗ ^^ Một hệ pt khó phải dùng nhiều công cụ Nhưng để thấy nhiều chất thực pp mà ta xét Các bạn thấy rằng, liên hiệp xảy biểu thức ta trừ Bên cạnh đó, kĩ phân tích delta phương mà ta xét phần trước lại đưa dạng bình phương biểu thức bậc 2, khó thú vị Một lần kĩ thuật hệ số bất định sử dụng, thắc mắc bạn đọc sách, nghĩ Phương pháp hàm số Ta xét pp số định dạng phần pt Ở phần hệ pt, pp dùng để tìm quan hệ x , y pt Tư xuyên suốt phần là: ta phải tách (cô lập) x y hai vế pt xét x y y x x 1 Ta xét hệ pt sau: 2 y 3x x 2 Để cho quen, ta tìm điều kiện xác định cho pt, bước tương đối quan trọng Ta thấy thức >0 với x , y Nhưng pt (2) lại dạng mà ta xét pt hệ trước Vế trái biểu thức ln dương, ln >0 (vì bình phương mà cộng thêm số ln dương) Do để (2) có nghiệm, tức hệ pt có nghiệm, x x Vì vậy, điều kiện hệ pt x Tất nhiên, bước ta phải xem pt giải trước, ta thấy pt thứ có quan hệ x , y xấu Lại thấy pt (1) lập x , y vế Do đó, ta tập trung xử lí pt (1) Ta tìm cách lập, ta thấy VP toàn x vế trái biểu thức chứa y có lẫn phần tử x , ta tìm cách khử ln x Để thực hiện, ta chia vế pt cho x , trước tiên, điều kiện kiên x , điều thoả mãn hệ pt có điều 2 kiện x , nên ta chia vế (1) cho x , ta có: 1 y y x x x Ta tìm dạng hàm số thích hợp Ta lấy vế pt “làm chuẩn”, ví dụ ta lấy VT làm chuẩn: f t t t , ta cố gắng biểu diễn VP theo f t , ta có: DUCTRONGT13-16TKN Trang 71 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2 x x2 2 x 1 x 4 x x 2 2 1 1 x x Cách tách dựa ý tưởng f t nên ta trước hết rút nhân tử chung cho giống “t”, sau biểu diễn phần cịn lại ngoặc thành t Đó hướng tư ta nghi ngờ hàm số f t , hàm đồng biến nên ta dễ dàng suy y (2) ta có: 3x x x , x y Thay vào x x x 3x x x 3x x Pt ta nhẩm nghiệm đẹp x nghiệm khác âm Do đó, ta bình phương vế, dùng sơ đồ Hoocne cho pt bậc để giải phần ngoặc bậc cịn lại chứng minh vơ nghiệm với x Cách xem tự nhiên Điều kiện pt cho phép ta suy x dương nên ta thật tiện lợi trình giải Do đó, lần bạn ý tìm điều kiện cho biến thật chặt tốt Bên cạnh đó, tư tưởng hàm số lập biến điều bắt buộc pp hàm số giải hệ pt loại Có nhiều cách để lập Các bạn cố gắng tìm chúng Điều khơng q khó khăn bạn luyện tập nhiều Ta xét thêm hệ nữa, rắc rối tí: x 3x2 y x y x y x y 1 2 Ta kết luận nhiều điều kiện hệ Từ pt (2), ta thấy biến y bậc nên x2 , chưa có nhiều lợi ích, x2 thay lên (1), lại có pt tương đối lằng nhằng Với tư tưởng hàm số, ta xét pt (1) Một hình thức pt tương đối quen thuộc giống giống hệ pt vừa xét Ý tưởng chủ đạo phải cô lập biến x , y Ta thấy rằng, chia vế cho nhân tử pp rút truyền thống rút y y x , VP tồn biến y , ta có 1 DUCTRONGT13-16TKN x2 y3 y x2 y2 Trang 72 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG x2 y3 y * Bước lập xem hồn tất, biểu x2 y2 thức xấu không gợi lên hàm số hết Phân tích tiếp Ta thấy rằng, VT thức nằm tử, đó, để “đối xứng” thức VP phải nằm tử Để làm điều này, ta thực trục thức mẫu, kiến thức học lớp 9, nói đâu xa, kĩ liên hiệp thơi Và kĩ thuật hay dùng toán sử y3 dụng hàm số Ta có có: 4y 1 1 3y y3 3y y y2 1 1 4y y y Do ta x2 y y y 3 Đến đây, từ hình thức biểu thức VP ta x * t suy nghĩ đến dạng hàm số f t t t Ta tìm cách phân tích x2 x2 x x2 theo x2 , không đảm bảo dạng f t , x x hợp lí Do cách tách ta theo dạng f t khơng phải mà phải x 2x chưa hợp lí Vấn đề ta nằm số 2, nên ta ý vào nhiều Lại thấy pt (2) ta rút x x y nên ta thay vào pt, ta có: f t Ta có: x2 x x2 y y y2 y x 3 x x2 x y y2 y x 1 y y y Cách tách cho ta dạng hàm số x x f t t t t , hàm số đồng biến nên xem thành công Tuy nhiên, trình bày tốn ta khơng có điểm nào, lí có vài chỗ không chặt chẽ Thứ nhất, chia vế pt cho y x biểu thức chưa sai Thứ hai, phép liên hiệp rút thức mẫu sau: y3 4y 1 1 y3 4y 1 1 DUCTRONGT13-16TKN y2 1 y 1 1 2y y nói chung chưa chặt chẽ, Trang 73 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG biểu thức nhân vào chưa với y , hay nói cách khác, phép tính x2 x2 x y Thứ ba, biểu thức không với x x x vào Đó vấn đề bạn bỏ qua, x lỗi sai mà cho điểm Nói tóm lại, từ vấn đề trên, ta phải được: x y x y Điều cần chút kinh x đưa nghiệm giải bạn Xét pt (1): thấy, với y 3 x y , x 3x y x x y y x y ta y suy VT lớn hẳn 0, VP x y Do pt vơ nghiệm với y Suy điều kiện pt y Ta giải vướng mắt Tiếp theo, ta tìm điều kiện để x2 y x , tốt Tới đây, coi tốn hồn x2 tất ta giải tất rào cản trước xét hàm số Bước vào (2) tương đối đơn giản x Từ pt (2), ta có Một tốn khó địi hỏi cộng gộp kĩ định hướng giải vấn đề phát sinh Đây kĩ dễ Do hi vọng bạn có quĩ thời gian định để rèn luyện thêm nhiều toán khác nhau, có nhìn sâu Kĩ liên hiệp đưa dạng pt đẹp ý quan trọng hệ pt Ngoài ra, ta cịn có vài ý nho nhỏ khác Một số cơng cụ bổ trợ q trình rút quan hệ x , y - Liên hiệp đưa dạng hàm số: Xét pt: 3xy y x 3y y2 1 Cơ lập hai vế pt, ta có: x 1 x x 1 x Vì thức VP tử số nên VP nên x Để làm điều này, ta dùng liên hiệp: y y 3y y2 DUCTRONGT13-16TKN x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 3y y2 Xong! x x x Trang 74 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - “Chuyển cộng thành trừ” Đây mẹo nhỏ, dựa tư tưởng đơn giản không đơn giản ^^ là: x x , dùng mẹo để chuyển dạng hàm số thích hợp Ta xét pt: 2x x2 y y x x2 2x 4x y2 y y y2 x x2 y y y2 y y y2 2x 4x2 y y2 Xét hàm số xong Có thể bạn thắc mắc lại liên hiệp với y y mà y y cho thuận Lí để sau liên hiệp xét dấu dễ dàng Ta có: y2 1 y2 y y y y , khơng phải lo sợ trường hợp âm hay gây khó xử - Tìm điều kiện xác định cho x , y dựa vào biểu thức pt bậc hai Các bạn biết rằng, pt bậc có nghiệm Từ biểu thức này, ta tìm ĐKXĐ cho x , y Cụ thể, ta xét pt sau: x y xy x y 14 Ta xem pt cho pt bậc theo x nên ghép pt : x y x y y 14 Pt có biểu thức delta: y y y 14 3 y 10 y Để pt có Tương tự, để tìm điều kiện cho x , ta xét pt bậc theo y , làm tương tự PP bổ trợ đắc lực nghiệm, tức có quan hệ x , y 3 y 10 y y việc chứng minh đạo hàm hàm đại diện đơn điệu Ví dụ, ta có hệ sau: x y xy x y 14 2 x 3x y y 18 DUCTRONGT13-16TKN Trang 75 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Thông qua xét hệ pt này, đề cập ln dạng khác hay hàm số, đánh giá giá trị hàm số biên, tạm gọi Cơ sở tìm min, max hàm số pp đạo hàm, ta có linh cảm giá trị cực trị hàm số trùng với giá trị pt Với 10 toán này, dùng delta trên, ta suy ĐKXĐ là: y , x Do 3 7 7 xét hàm số f x x x 1; , ta có f ' x x 0, x 1; , 3 3 7 7 f x đồng biến 1; , nên f 1 f x f f x Một cách tương tự, 3 3 10 ta xét hàm số f y y y 2; suy f y f Do 3 đó, ta có f x f y 18 Yêu cầu toán suy x 1, y Về mặt lí thuyết hàm số xét khơng đơn điệu tồn nên bước chặn giá trị x , y làm ta dễ dàng việc xét hàm số đánh giá Riêng phương pháp ẩn phụ đánh giá tơi xin dành cho bạn, loại thường khơng có điển hình cụ thể mà biến đổi theo dạng hệ pt nên đòi hỏi bạn phải tư Đặt ẩn phụ có tư chủ yếu gom thành phần giống nhau, sau đặt ẩn cho gọn nhẹ chuyển hệ cho thành hệ đối xứng, hệ giải pp nhân tử chung, hàm số, Đánh giá với tảng sử dụng bất đẳng thức bản, sử dụng đạo hàm Dấu hiệu chúng ta chuyển vế pt với x , y thuộc miền xác định, ta thấy biểu thức Do đó, trường hợp xảy dấu “=” bất đẳng thức ta đánh giá quan hệ x , y nghiệm hệ pt Phương pháp kết hợp pt hệ dạng rộng khó Nên e phạm vi ngắn ngủi viết lộ tả hết chất dấu hiệu cho bạn Nếu bạn quan tâm tìm đọc sách mà tơi giới thiệu phần trước cách loại sách khác có đề cập Định hướng tảng kiến thức trình bày rõ ràng, tất nhiên phải trải qua trình rèn luyện trải nghiệm thấu hết phương pháp biến dạng Bài viết tơi tạm thời dừng lại Nếu có thêm thời gian, tơi tiếp tục với chủ đề bất đẳng thức toán max Một số, số kiến thức mà thu nhặt q trình học, tơi người yếu phần DUCTRONGT13-16TKN Trang 76 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com KINH NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Bên cạnh đó, tơi đề cập thêm phần dạng tập nâng cao có liên quan đến kiến thức đạo hàm, dãy số, Đó chuyện tương lai Xin mạo muội kết thúc Trong trình biên soạn ln chất chứa thiếu sót, hi vọng bạn bỏ qua đóng góp, trao đổi thêm kinh nghiệm bạn với Nếu thời gian cho phép trao đổi tiếp thu phần cịn thiếu sót Thân ái! ^^ DUCTRONGT13-16TKN Trang 77