Thông tin tài liệu
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com I BÀI T P VÍ D Ví d 1: Gi i ph ng trình log5 3x 1 log0,2 2x2 x log 2x Phân tích: Khi đ i m t v i nh ng tốn có ch a hàm s logarit, c n ph i nghĩ t i vi c kh logarit b ng công th c bi n đ i logarit m c đích đ đ a t t c logarit toán v c s s tốn khơng khó đ có th đ a ph ng trình v logarit c nh sau log5 3x 1 log 2x2 x log 2x b d ng: log a b loga c loga bc log a b log a c log a đ a tốn c Ởau s 3x v d ng c b n h n: Đ gi i ph 2x x 2x f x h x ng trình ta đ a v d ng: f x g x h x 2 f x g x h x Bài gi i: 3 x x2 x Đi u ki n xác đ nh: x 3 x 3 x ởa có ph ng trình log5 3x 1 log0,2 log 3x 1 log 51 log5 3x 1 log x2 x log 2x2 x log 1 52 2x 2x2 x log 2x 3x 3x log log 2x 2x 2 2x x 2x x 2x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 3x 2x 2x2 2x2 x 2x 2x2 2x2 10x ng hai v : 2x x2 2 x2 10x Bình ph Đ t u ki n: x 2 x2 10 x * ) Ph ng trình t ng đ ng v i: 12x4 64x3 134x2 104x 22 x 1 12 x3 52 x2 82 x 22 x 1 3x 1 x2 16 x 22 x TM 3x L x x 16 x 22 VN K t lu n: V y ph ng trình có m t nghi m nh t: x Bình lu n: Bài tốn khơng q khó khăn đ kh hàm s logarit đ có th đ a v ph ng trình vơ t b n d ng: f x g x h x Tuy nhiên c n ph i nh cách chia đa th c ho c s d ng s đ Horner đ có th gi m b c c a ph đ c bi t u ki n bình ph ng trình sau bình ph ng c n ý ng hai v Chúng ta cịn có th s d ng kĩ thu t chia đa th c b ng máy tính CAỞIO đ tốn tr nên ng n g n h n mà tác gi s đ c p đ n ch đ sau c a cu n sách Ngoài b n c n ý t i nh ng u sau: V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng h s b ng ph ng trình ln ln có nghi m x V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng h s b c ch n b ng t ng h s b c l ph ng trình ln ln có nghi m x 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ng trình log x log Ví d 2: Gi i ph x log 3x 10 x 24 Bài gi i: x 241 2x x Đi u ki n xác đ nh: 3x 10 x 24 10 x 24 ởa có ph ng trình log x log log 2 log x log log 2x log x log 22 3x 10 x 24 3x 10x 24 2x 2x 2x x log 3x 10 x 24 2x log 3x 10 x 24 log 2x log 2x 2x 2x 3x 10x 24 3x 10x 24 2x 3x 10x 24 (Do: x x ) 2x 3x 10x 24 Bình ph ng hai v ta đ c: 2x 3x 10x 24 3x 10x 24 10x 24 x 3x 10x 24 Ti p t c bình ph ng hai v ta đ c: x2 10 x 24 x 10 x 24 3x 10 x 24 x2 2x 24 2x 10x 24 Ti p t c t c bình ph x2 2x 24 2x 4 10x 24 ng hai v ta có ph x4 44 x3 116 x2 128 x 192 x x3 40 x2 44 x 48 x x 40x 44x 48 0(*) ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi i ph ng trình ởa có u ki n sau: 241 x 3x 10x 24 x 2.(1) 9x 10x 24 L i có: 10x 24 x 3x 10x 24 10x 24 x 2 x 12.(2) T (1) (2) x 2;12 V y: Ta ch ng minh x3 40x2 44x 48 vô nghi m b ng cách l p b ng bi n thiên Xét hàm s : f x x3 40x2 44x 48 v i x 2;12 ta có: f ' x 3x2 80x 44 0, x 2;12 L p b ng bi n thiên: x 12 f ' x 288 f x 4608 T b ng bi n thiên ta th y f x nh h n v i m i x 2;12 V y ph ng trình vơ nghi m kho ng 2;12 K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t : x Bình lu n: Bài tốn có hai v n đ khó khăn chính: Th nh t vi c phân tích x 2x x Đây k thu t liên h p ng c gi i toán ph ng trình vơ t Th hai g p ph i m t ph ng trình b c có nghi m r t x u (nghi m l khó bi u di n d i d ng căn) Tuy nhiên không th ghi k t qu nghi m x p x vào làm h n n a nghi m khơng th a mãn u ki n, v y ta c n khai thác tri t đ u ki n đ ng th i ti n hành kh o sát ch ng minh ph ng trình b c ba vô nghi m kho ng ch T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com c ph ng trình ng trình log9 x log 1 x log x2 x Ví d 3: Gi i ph Phân tích: Bài tốn khơng q khó khăn đ kh logarit thu đ x x x2 x Đ n ta bình ph ng hai v đ th c hi n vi c kh th c đ a v ph d ng c b n Bài gi i: Cách Nâng lũy th a khơng hồn tồn: x Đi u ki n xác đ nh: 1 x x x x 1 1 ng trình log9 x log 1 x log x2 x ởa có ph log x log 31 1 x log x x log x log x log x2 x log x log x log x2 x log x x log x2 x x x x2 x x x 1 x2 x Bình ph ng hai v ta đ c: x 1 x 1 x 2x2 2x x2 x x 1 x ng trình vơ t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x2 2x x 1 x x x x x 1 x 3 x x 1 x x x K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x 3 Cách 2: Nâng lũy th a hoàn toàn: x Đi u ki n xác đ nh: 1 x x x x 1 1 ng trình log9 x log 1 x log x2 x ởa có ph log x log 31 1 x log x x log x log x log x2 x log x log x log x2 x log x x log x2 x x x x2 x x x 1 x2 x Bình ph ng hai v ta đ c: x 1 x 1 x 2x2 2x x2 x x 1 x x2 x 1 x x Do v khơng âm bình ph ng v ta đ c ph x2 x 1 x x x4 6x3 11x2 6x x2 3x 2 ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 3 L x 3 x 3 TM x K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x 3 Cách 3: Nâng lũy th a hoàn toàn k t h p v i n ph : x Đi u ki n xác đ nh: 1 x x x x 1 1 ng trình log9 x log 1 x log x2 x ởa có ph log x log 31 1 x log x x log x log x log x2 x log x log x log x2 x log x x log x2 x x x x2 x x x 1 x2 x Bình ph ng hai v ta đ c: x 1 x 1 x 2x2 2x x2 x x 1 x x2 x 1 x x Do v không âm bình ph x2 x 1 x x x4 6x3 11x2 6x 2 ng v ta đ c ph ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tr ng h p 1: x khơng th a mãn ph ng trình Tr ng h p 1: x , chia c v c a ph ng trình cho x2 ta đ c ph ng trình 1 x2 6x 11 x2 x 11 x x x x Đ t: t x 1 t x2 t x2 thay vào ph x x x t 6t 11 t 6t t 3 t x ng trình ta có 3 x 3 L x 3 x2 3x x2 3x x 3 TM x K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x 3 Bình lu n: Bài tốn m t nh ng toán c n v nghi m kép vô t , tác gi s sâu v v n đ ph n sau cu n sách đ b n đ c có nh ng cách gi i hay t i u cho toán Cách gi i cách gi i nh ng cách gi i khôn khéo b n đ c có th nhìn bình ph ng c a bi u th c s h ng Trong cách gi i s 3, ta ý r ng v i ph ng trình ax4 bx3 cx2 dx e e d , ta có th gi i toán theo h a b ng chia c hai v cho x2 (Chú ý c n xét x 0, x ) Ví d 4: Gi i b t ph ng trình 12 x x2 24 x x 24 x log log log x 24 x 12 x x 24 x Phân tích: Bài tốn có hình th c c ng k nh hàm s logarit nh ng khơng q khó khăn đ kh hàm s logarit đ đ a v b t ph ng trình sau T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x 24 x x 24 x Khi g p nh ng b t ph 27 12 x x2 24x 12 x x2 24x ng trình hay ph ng trình c ng k nh nh ta c n ph i có s quan sát ch khơng nên bi n đ i ch a có s quan sát Nh n th y r ng: 12 x x2 24x N u quan sát đ x 24 x 12 x x2 24x c u toán coi nh đ x 24 x c gi i quy t m t cách g n nh Bài gi i: Đi u ki n xác đ nh: x Ta có b t ph 12 x x2 24 x x 24 x ng trình log log log x 24 x x x x 12 24 12 x x2 24x x 24 x log log 27 log log x 24 x 12 x x 24x 12 x x2 24 x x 24 x 27 log log log x 24 x x x x 12 24 27 12 x x2 24 x x 24 x log log x 24 x 12 24 x x x x 24 x x 24 x x 24 x 27 12 x x2 24x 27 24 2x x x 24 12 x x2 24x 24 x x x 24 27 x 24 x x x 24 x x 24 x 24 x 27 x 24 x x 24 x 24 x x Do v khơng âm, nhân chéo v , ta có: x 24 x x 24 x x 24 25x 24 24x x x 24 x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com K t h p u ki n xác đ nh, suy x K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph ng trình S 0;1 Bình lu n: V i m i tốn q c ng k nh v m t hình th c đa s có th s rút g n đ t o thành t h ng đ ng th c Chúng ta c n ph i có s quan sát kĩ l b c ho c s ng tr cm i c bi n đ i tốn s tr lên đ n gi n h n Ví d 5: Gi i ph log 2 x ng trình 2x 2log log 3x2 x x x x log 2017.log 2017 2 Bài gi i: Đi u ki n xác đ nh: x , 3x x x x x Ta có: log a b.log b c log a c log Bình ph 2017.log 2017 log 2017.log 2017 log 2 Ta bi n đ i ph x 2x ng trình tr thành: log x 2x log 3x x x x x 3x2 x x x x x2 x 3x2 6x ng hai v ta đ c: x4 2x3 4x x 1 x3 3x2 3x * Ta ch ng t r ng ph ng trình x3 3x2 3x vô nghi m Th t v y, ta có hai cách x l nh sau Cách 1: S d ng ph ng pháp l p b ng bi n thiên c a hàm s : 1 Xét hàm s : f x x3 3x2 3x v i x ; ta có: 2 1 f ' x 3x2 +6 x 0, x ; 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có b ng bi n thiên nh sau x f ' x f x 11 Ta th y ph 1 ng trình x3 3x2 3x vô nghi m v i x ; 2 Nh v y * x (Th a mãn u ki n xác đ nh) Cách 2: S d ng h ng đ ng th c b c 3: Ta có: x3 3x2 3x x3 3x2 3x x 1 x x (Không th a mãn u ki n xác đ nh) Nh v y * x (Th a mãn u ki n xác đ nh) K t lu n: Ph ng trình có nghi m nh t x Bình lu n: Đ i v i ph ng trình b c có ch a nghi m l , ta có r t nhi u cách x lí toán ti p c n cách x nh ng t ng t lí c b n đ b n đ c có th áp d ng đ i m t v i Ởau tác gi mu n g i g m đ n đ c gi m t s t p áp d ng đ b n đ c có c h i rèn luy n thêm hi u kĩ l ng h n v v n đ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com II BÀI T P ÁP D NG: Bài toán 1: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log Bài toán 2: Gi i ph x log x x log x2 ng trình sau t p s th c: log8 x3 log4 x 1 log x log x2 x Bài tốn 3: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log0,25 x2 x log x 2x2 4x Bài toán 4: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log9 2x2 x log 2x x Bài toán 5: Gi i b t ph ng trình sau t p s th c: log4 1 x log0,25 1 x log Bài toán 6: Gi i b t ph 3x x2 x ng trình sau t p s th c: log 2x2 3x log x log 2 x3 x2 14 x 12 Bài toán 7: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log x 1 log 27 x2 x log x x Bài toán 8: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log2 x2 16x 19 log x log Bài tốn 10: Gi i ph ng trình sau t p s th c: ln x x ln 2x2 2x ln x2 x Bài toán 9: Gi i ph ng trình sau t p s th c: 2x2 16x 18 x2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com log Bài toán 11: Gi i ph x2 x2 log x x2 ng trình sau t p s th c: log x 1 log x 1 log 0,25 x3 x2 x log x2 x Bài toán 12: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log log 2x 2x IV H x x2 x x x log x x2 12 x NG D N GI I: Bài 1: Gi i ph ng trình log ng đ ng v i: x log x x log x2 Đi u ki n xác đ nh: x x Ta có ph log x log x x log ng trình t x x 1 1 x x8 x Vì x x x 1 1 x x8 x Do v khơng âm bình ph ng v x 1 1 ta đ c ph x 1 1 x x 1 x 1 ng trình x 1 x x x x x x x Do v không âm bình ph ng v l n ta đ c ph ng trình 3x x x x x 3x 16 x 3x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x x x L x 9 x2 64 x 64 x TM K t lu n: V y ph ng trình cho có nghi m nh t: x Bài 2: Gi i ph ng trình log8 x3 log4 x 1 3 log x 2 log x x 1 2 Đi u ki n xác đ nh: x ởa có ph ng trình log log2 x log2 x log x 23 22 x log x log x2 2x log x log2 x2 x 22 x x 1 log2 x x2 2x log x x2 x x x2 2x x x2 x Do v khơng âm bình ph ng v ta đ c ph ng trình x2 x2 2x x x2 x 5x3 5x2 8x x x 5x 5x x 5x 5x VN K t lu n: V y ph Bài 3: Gi i ph ng trình cho có ng trình log0,25 x2 x log x 2x2 4x Đ t u ki n xác đ nh: Ph nghi m nh t: x ng trình cho t x2 x x ng đ ng v i: log 22 x x log x 2x2 4x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com log x x2 x log 2 x x2 x x2 x Bình ph x 2x2 4x x2 x log 2 log x x x2 x x x2 x c: x2 x x2 4x 2x2 4x x 2x2 4x ng hai v ta đ x 4x x 2x 4x x x 2 t Ta có x x ng v i: (Vô nghi m) 2 x x x 7 x 20x ng đ K t lu n: V y ph Bài 4: Gi i ph ng trình cho có ng trình nghi m nh t: x 32 2x log3 log3 log3 Bình ph log9 2x2 x log 2x x Đi u ki n xác đ nh: 2x x ởa có ph log 3 log x TM 2x 4x x 2x2 4x * x log x x ng trình tr thành: 2x2 x log3 2x x 2x2 x log3 2x x 2x2 x 2x x ng hai v ta đ c: 6x2 3x x2 x x x x2 x x x x x K t lu n: V y ph ng trình cho có x x1 x nghi m nh t: x 1 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 5: Gi i b t ph ng trình: log4 1 x log0,25 1 x log 3x x2 x 1 x 1 x 1 Đi u ki n xác đ nh: 3x x2 x x 2 x x x B t ph ng trình t ng đ ng v i: log log2 x log2 x log log2 x x log 22 1 x log2 1 x log2 2 3x x2 x 3x x2 x 3x x x x x 3x x2 x x x 3x x Bình ph ng hai v không âm ta đ c: x x2 x x2 3x 4x2 x x x x x x2 x x2 x x x x2 x x x2 x x * 1 Do x 0; x x x B t ph ng trình * t ng đ ng v i: x2 x x x2 x x x2 x x 9x2 10x 5 34 x 5 34 1 ; K t h p v i u ki n xác đ nh x 5 34 x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph Bài 6: Gi i b t ph 5 34 1 ng trình S ; ng trình log 2x2 3x log x log 2 x3 x2 14 x 12 2 x x x Đi u ki n xác đ nh: x 2x x 14x 12 B t ph ng trình t ng đ ng v i: log log 2 x2 3x log 22 x log x3 x2 14x 12 log 2 log 2 x2 3x log x log 2 x3 x2 14 x 12 log x2 x x2 x x log 2 x3 x2 14 x 12 2x 2x3 x2 14x 12 x x x x x2 x x x2 x x x x x x Do: x 2x , suy b t ph M t khác: x 2x ng trình t ng đ 0 ng v i: x 2x 0 x Do ta có: x x x 2x x TM x 1 x 2x ( Do v không âm) x 2x x L K t lu n: V y b t ph ng trình có nghi m nh t: x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 7: Gi i ph ng trình log x 1 log 27 x2 x log x x x x 2x x Đi u ki n xác đ nh: x x x Ph ng trình cho t log x 1 log x 1 ng đ x 1 ng v i: log x 1 log 33 x 1 log 32 x x log x 1 x x log x 1 log x8 1 x8 1 Đ t u x u3 x x u3 ởhay vào ph ng trình ta có u u3 u u u u3 2 u u 2u u 1 u u u u u x TM u u u u u VN K t lu n: V y ph Bài 8: Gi i ph ng trình cho có nghi m nh t: x ng trình ln x x ln 2x2 2x ln x2 x x x 13 2 x x Đi u ki n xác đ nh: x 2 x x x x8 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ởa có ph ng trình tr thành: ln x x ln 2x2 2x ln x2 x ln x x x x3 2x2 2x ln x2 x x2 x x2 x x x x x Tr 13 x ng h p 1: V i x x x x x x x Tr ng h p 2: V i x2 x x x Do v khơng âm, bình ph ng hai v ta đ c: x2 x x2 x x x x2 x x x x x3 x x3 0 x K t lu n: V y ph Bài 9: Gi i ph 13 ng trình cho có nghi m nh t: x 13 ng trình log2 x2 16x 19 log x log 2x2 16x 18 x2 x2 16 x 19 x Đi u ki n xác đ nh : 2x2 16x 18 x2 x 8 5; 1 1; 16 18 x x x2 Ta bi n đ i ph ng trình tr thành: log2 x2 16x 19 log2 log x log log x2 16x 19 log 2 x 2x2 16x 18 x2 2x2 16x 18 x2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x2 16x 19 x x 16x 19 2x2 16x 18 x2 x x2 16x 19 2x2 16x 18 x2 Tr ng h p 1: V i: x2 16x 19 x 8 Tr ng h p 2: V i : Bình ph 2x2 16x 18 x2 x 2x2 16x 18 x x2 ng hai v ta đ c: 2x2 16x 18 x x2 x x2 x x 3x x x x x x x x2 1 x2 x x2 x x2 x Gi i (1): x2 x 1 x 2 4 x x 32 57 Gi i (2): x x2 x x x 32 57 K t h p v i u ki n xác đ nh ta thu đ K t lu n: V y ph Bài 10: Gi i ph ng trình cho có ng trình log c nghi m: x x 1 nghi m: x x 1 x2 x2 log x x2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x2 x2 x x2 14 Đi u ki n xác đ nh: 2 x2 x 2 x x2 Ph ng trình cho t log3 log 31 log 3 log ng đ ng v i: 2x2 2x2 log x x2 2x2 2x2 log x x2 3 log log x x2 x x2 2 2 2x 2x 2x 2x 3 x2 x2 x x2 x2 x2 x x2 x x2 x2 x2 x2 x2 x x2 x2 x2 x x2 3x 2 x x 3x x x x x x x Do v khơng âm bình ph x2 x2 ng ti p hai v ta đ c: x 2x 3x 12 xx 22 2 K t h p u ki n xác đ nh ta đ K t lu n: V y ph c: x ng trình cho có nghi m nh t: x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 11: Gi i ph ng trình log x 1 log x 1 log 0,25 x3 x2 x log x2 x x 2 x Đi u ki n xác đ nh: x 2 2 x x x x x Ph ng trình t ng đ log 2 log x 1 log ng v i: 22 2x 1 log2 2 2x x2 x log 22 x x2 log2 log2 x 1 log2 2x log 2x3 x2 6x log x2 x log2 2 x 1 2x log x3 x2 x x2 x x 1 2x 2x3 x2 6x x2 x x 1 2x 2x x2 x2 x Vì x ph ng trình t ng đ Do v khơng âm, bình ph ng v i: x 1 x2 x2 x ng hai v ta đ c: x 1 x2 x2 x x4 x3 x2 5x x 1 x3 x2 3x x 1TM x x 2x 3x x 2x 3x * Ta c n ch ng minh ph Xét hàm s ng trình vơ nghi m mi n xác đ nh f x x3 2x2 3x v i x Ta có: f ' x 3x2 4x B ng bi n thiên: T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x f ' x + f x ng trình x3 2x2 3x vô nghi m v i x T b ng bi n thiên ta th y ph Nh v y ph ng trình ch có nghi m nh t x (Th a mãn u ki n ) K t lu n: V y ph Bài 12: Gi i ph ng trình cho có nghi m nh t: x ng trình log log 2x 2x x x2 x x x log x x 12 x Đi u ki n xác đ nh: x Ph ng trình cho t ng đ log log 2x 2x ng v i : x x2 x x x log x x2 12 x x x2 x log log 2x 2x x x x x 12 x 2x 2x 2x 2x x8 x x x2 x 2x 4x2 12x 2x 2x 2x 2x x8 x x x2 x 4x 4x2 12x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 2x 2x x8 x x8 x x x 8 x x 2x 2x 1 2x 2x 2x 2x x8 x 2x 2x x x 2x 2x 2x x 2x x Bình ph ng hai v ta đ c: 3x 2 x x 3x 2 x x x x x x x K t lu n: V y ph ng trình cho có nghi m nh t: x
Ngày đăng: 19/08/2016, 14:33
Xem thêm: Phương pháp nâng lũy thừa trong bài toán phương trình hàm số logarit Nguyễn Đình Hoàn, Phương pháp nâng lũy thừa trong bài toán phương trình hàm số logarit Nguyễn Đình Hoàn