B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN èNH HUY Thnh ph H Chớ Minh 2013 LI CM N Tụi xin gi li cm n chõn thnh nht, sõu sc nht n cỏc Thy, Cụ Khoa Toỏn Tin, lónh o v cỏc chuyờn viờn Phũng Sau i hc Trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh ó giỳp tụi hon thnh chng trỡnh hc v lun ny c bit, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS TS Nguyn ỡnh Huy, thy ó tn tỡnh hng dn tụi nghiờn cu khoa hc núi chung v giỳp tụi hon thnh lun ny núi riờng Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh tụi, bn bố v ng nghip ó luụn ng h, giỳp , to mi iu kin thun li cho tụi sut thi gian hc v thc hin lun ny Trn Quc Ton MC LC LI CM N MC LC BNG K HIU M U Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp 1.2 nh x a tr 1.3 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr 10 Chng 2: KHONG CCH HAUSDORFF V CI U HAUSDORFF 15 2.1 Khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian mờtric .15 2.2 Trng hp ca khụng gian u, cỏi u Hausdorff .20 2.3 Khụng gian cỏc li úng ca khụng gian li a phng 22 2.4 Tớnh liờn tc ca hm a tr li 27 Chng 3: TNH O C CA HM A TR .32 Kin thc chun b 32 3.1 Hm a tr o c nhn giỏ tr l compact ca khụng gian kh li metric húa c 34 3.2 nh lý hm chn Hm a tr o c vi giỏ tr l y ca mt khụng gian metric kh li 36 3.3 Hm a tr o c li compact 41 3.4 nh lý chiu nh lý hm chn Von Neumann - Aumann 42 3.5 Tớnh o c khụng gian Suslin li a phng 49 3.6 nh lý hm n Nhng tớnh cht n nh ca hm a tr o c 53 Chng 4: NGUYấN HM CA HM A TR 57 4.1 Nguyờn hm ca hm a tr .57 4.2 Phộp ly o hm ca hm a tr cú bin phõn b chn 61 4.3 nh lý v tớnh compact ca nghim phng trỡnh vi phõn a tr .64 4.4 nh lý s tn ti nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr 67 4.5 S tn ti nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn cú chm .80 KT LUN .87 BNG K HIU : T 2X Hm a tr t T vo X dom Min hu hiu ca Gr() th ca range Min nh ca (U ) Nghch nh ca U (U ) Nhõn ca U nh x a tr ngc ca d ( x, y ) Khong cỏch gia x v y d ( x, A) Khong cỏch t x n A e( A, B ) dụi ca A trờn B h( A, B ) Khong cỏch Hausdorff ca A v B ( X ) Tp tt c cỏc ca X f ( X ) Tp tt c cỏc úng ca X tb ( X ) Tp tt c cỏc úng hon ton b chn ca X k (X ) Tp tt c cỏc compact ca X B X ( x, r ) Qu cu tõm x bỏn kớnh r > B = BX (0,1) Qu cu tõm bỏn kớnh bng BX ( A, ) -lõn cn ca khụng rng A X* Khụng gian i ngu ca khụng gian vector topo X int A Phn ca A A Bao úng ca A Ao Tp cc ca A coA Bao li ca A coA Bao li úng ca A ( A) Hm cc ca A * ( A) Hm ta ca A n.l.t.t Na liờn tc trờn n.l.t.d Na liờn tc di h.k.n Hu khp ni ( X ) Nhúm Borel nh nht cha tt c cỏc m ca khụng gian topo X Nhúm nh nht cha tt c cỏc A ì B ( A , B ) prT : T ì U T nh x chiu lờn T s -trng trờn T sinh bi nhng Suslin ca T à -y ca vi l o dng trờn (T , ) = vi mi o dng b chn trờn (T , ) A (.) Hm c trng ca A C X ([a; b]) Khụng gian cỏc hm liờn tc t [a;b] vo X L1X ([a; b]) Khụng gian lp cỏc hm kh tớch t [a;b] vo X M U Lí DO CHN TI Gii tớch a tr l mt hng nghiờn cu tng i mi Toỏn hc, c nh hỡnh khong na u ca th k 20 i tng ca Gii tớch a tr l cỏc ỏnh x a tr m lý thuyt ca nú c trỡnh by mt cỏch tng i cú h thng u tiờn khụng gian topo ca Claude Berge (1963) Vai trũ ca Gii tớch a tr Toỏn hc v cỏc ng dng toỏn hc ngy cng c cụng nhn rng rói c bit, Gii tớch a tr cú nhiu ng dng lý thuyt ti u v lý thuyt bao hm thc vi phõn Trong quỏ trỡnh hc tỡm hiu tri thc toỏn hc ca mỡnh, tụi nhn thy Gii tớch a tr l mt ti khỏ hp dn Di s hng dn ca PGS TS Nguyn ỡnh Huy, tụi chn thc hin ti: Mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v ng dng MC CH NGHIấN CU Trong lun ny, chỳng tụi kho sỏt mt s nh ngha v khong cỏch Hausdorff, tớnh liờn tc v tớnh o c ca hm a tr v cỏc ng dng ca chỳng phng trỡnh vi phõn a tr I TNG, PHM VI NGHIấN CU i tng nghiờn cu ca lun l khoaỷng caựch Hausdorff, mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v mt s ng dng ca chỳng Phm vi nghiờn cu l gii tớch hm, lý thuyt o PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu mang tớnh lớ thuyt: tỡm hiu, phõn tớch cỏc ti liu tham kho, tng hp cỏc ni dung cú liờn quan n ti nghiờn cu v trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu c (vi cỏc chng minh chi tit) theo mt mch thng nht p dng cỏc kt qu v phng phỏp lp lun ca Tụpụ i cng, Gii tớch hm, Lý thuyt o CU TRC CA TI Lun c trỡnh by gm phn: phn m u, phn ni dung v phn kt lun Phn m u nờu rừ lý chn ti, xỏc nh rừ i tng nghiờn cu phm vi nghiờn cu ca ti, phng phỏp nghiờn cu v cu trỳc ca ti Phn ni dung gm chng Chng 1: Chng ny gii thiu cỏc khỏi nim v mt s nh lớ c bn v hm a tr v tớnh liờn tc ca hm a tr Chng 2: Chng ny trỡnh by v khong cỏch Hausdorff v cỏi u Hausdorff Chng 3: Chng ny trỡnh by v tớnh o c ca ỏnh x a tr Chng 4: Trỡnh by v nguyờn hm ca hm a tr v phng trỡnh vi phõn a tr Phn kt lun trỡnh by túm gn nhng kt qu ó nghiờn cu c, nhng hn ch cũn tn ti, ng thi nờu nhng hng nghiờn cu tip theo 3 Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp nh ngha 1.1 Gi s X l khụng gian metric v ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú ta nh ngha a) Gii hn trờn ca dóy ( K n ) l lim sup K n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} n n b) Gii hn di ca dóy ( K n ) l lim inf K n = {x X / lim d ( x, K n ) = 0} n n c) Ta núi dóy ( K n ) cú gii hn l K , kớ hiu: lim K n = K , nu n lim sup K n lim inf K n K = = n n nh lý 1.2 Gi s X l khụng gian metric, ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú: ((ii)) lim sup K n l tp hp tt c cỏc im t ca mi dóy ( xn ) , xn K n , n cú th lp v lim inf K n l hp tt c cỏc gii hn ca nhng dóy ú n ((iiii)) lim= sup K n = K m B( K m , ) n m n n >0 n m n ((iiiiii)) lim inf K n = B ( K m , ) n >0 n m n Chng minh (i) Ta cú {x X / x =lim xnk , xn K n } = {x X / lim d ( x, xnk ) =0, xn K n } k k = {x X / lim inf d ( x, xn ) = 0, xn K n } n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} = lim sup K n n n (ii) Nu x lim sup K n thỡ hin nhiờn x K m n m n n Gi s x K m , ta xõy dng dóy X nh sau n m n Cho trc > Vi n = , x K m nờn tn ti cho d ( x, y1 ) < 21 m t n1 = min{m / y1 K m } v xn1 = y1 Do x K m nờn tn ti y2 K m cho d ( x, y2 ) < 22 m n1 +1 m n1 +1 t n2 = min{m / y2 K m , m > n1} v xn1 = y2 Gi s ta ó cú xnk , ú x K m nờn tn ti yk +1 K m cho d ( x, yk +1 ) < k m nk +1 m nk +1 t nk +1 = min{m / yk +1 K m , m > nk } v xnk +1 = yk +1 Nh vy ta cú th xõy dng c dóy ( xnk ) , ú xnk K nk , m lim xnk = x k Do ú x lim sup K n (do (i)) n Bõy gi ta chng minh lim sup K n = B ( K m , ) >0 n m n n Ta cú lim sup K n = {x X / x = lim xnk , xn K n } k n = {x X / > 0, n , m , m n : d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n , m , m n : x B( K m , )} = B( K m , ) >0 n m n (iii) Ta cú lim inf K n = {x X / x = lim xn , xn K n } n n = {x X / > 0, n : m n, d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n : m n, x B ( K m , )} = B( K m , ) >0 n m n Chỳ ý lim sup K n l hp tt c im t ca cỏc dóy xp x, tc l cỏc n dóy {xn } tha > 0, N , n , n > N cho xn B ( K n , ) 1) lim inf K n lim sup K n n n 2) lim sup K n = lim sup K n v lim inf K n = lim inf K n n n n n (bi vỡ d ( x, K n ) = d ( x, K n ) ) 3) lim sup K n v lim inf K n l nhng úng n n Tht vy, gi s ( zm ) l mt dóy lim inf K n hi t n z X n 4) Nu dóy ( K n ) tha K1 K K n thỡ lim K n = K n n n =1 Bi vỡ lim= sup K n = K m K n v n m n n n K n B( K m , ) = lim inf K n , vỡ K m cha B ( K m , ) , ú n >0 n m n n = = = K n lim inf K n lim Kn Kn lim sup n n n n =1 Gii hn ca dóy khụng gian topo Trong khụng gian topo tng quỏt, khụng gian metric húa c, lim sup K v lim inf K c nh ngha thụng qua dóy suy rng ca cỏc phn t x mt cỏch tng t nh nh ngha gii hn ca dóy khụng gian metric Gi s X l khụng gian nh chun , X * l khụng gian i ngu ca X , ( K n ) l dóy X v ( Ln ) l dóy X * Khi ú ta cú cỏc nh ngha sau: Gii hn trờn v gii hn di yu ca dóy ( K n ) i vi topo yu ( X , X * ) - lim sup K n = {x X / x = - lim xn , xn K n } n k k - lim inf K n = {x X / x = - lim xn , xn K n } n n Gii hn trờn v gii hn di yu ca dóy ( Ln ) i vi topo yu ( X * , X ) - lim sup Ln = { x* X * / x* = - lim xn* , xn* Ln } k n K - lim inf Ln = - lim xn* , xn* Ln } { x* X * / x* = n n nh lý 1.3 (nh lý v tớnh compact) Mi dóy ( K n ) khụng gian metric kh li X u cha dóy cú gii hn (gii hn ny cú th bng rng) Chng minh Vỡ X l khụng gian metric kh li nờn tn ti h m c cỏc m (U n ) cho: vi mi m U X , vi mi x U tn ti U m cho x U m U Gi s ( K n ) l mt dóy cỏc hp ca X , ta xõy dng dóy ca nú Trc ht ta xõy dng dóy ca cỏc dóy ( K nm ) nh sau Chn chn dóy ( K n0 ) cho K n= K n , n Gi s vi m ó lp c cỏc dóy ( K np ) vi p m Ta lp dóy ( K nm ) nh sau Vi U m cú hai trng hp: Nu U m (lim sup K nmk ) vi mi dóy nk , thỡ ta lp ( K nm ) bi k K km = K km1 Nu U m (lim sup K nmk ) = vi mt dóy nk no ú, thỡ ta lp k ( K nm ) bi K km = K nmk Tip theo, ta chn dóy ( Ln ) cho L= K nn , n Khi ú ( Ln ) l dóy n ca ( K nm ) v cú gii hn, tht vy: Gi s ( Ln ) khụng cú gii hn, ngha l tn ti xo X cho xo lim sup Ln , xo lim inf Ln n n Vỡ xo lim inf Ln nờn tn ti lõn cn m U ca xo v dóy ( Lnk ) cho n U Lnk = vi mi k Ta c nh mt U m m xo U m U Khi ú U m (lim sup Lnk ) = k nk Vi nk m thỡ = Lnk K= K pmk1 vi pk no ú Do ú ( Lnk ) l dóy ca nk dóy K mm1 ( m c nh) Nh vy vi m ny ta ri vo trng hp th hai trờn Do ú theo cỏch xõy dng dóy ( K nm ) thỡ cú K km = K pmk1 n Vỡ = Ln K= K pmn vi pn no ú, nờn ( Ln ) n m l mt dóy ca ( K km ) Vỡ n vy xo l im sup Ln lim sup K km X \ U m n k iu ny mõu thun vi xo U m Do vy ( Ln ) cú gii hn Sau õy l nh lý i ngu khụng gian Banch Nhc li Cho X l khụng gian nh chun, K l ca X v L l ca X * Khi ú Nún liờn hip õm (hay nún i õm cc) ca K l K= {x* X * / x* , x 0, x K } Nún liờn hip õm ca L l L= {x X / x* , x 0, x* L} nh lý 1.4 Gi s X l khụng gian Banch, ( K n ) l dóy cỏc nún li úng ca X Khi ú lim inf K n = ( - lim sup K n ) n n Chng minh Gi s x lim inf K n , ú x lim xn , xn K n n = n Ly x* - lim sup K n , ta chng t x* , x Vỡ x* - lim sup K n nờn n n x* = - lim xn*k , vi xn* K n Do ú xn*k , xnk Cho k thỡ x* , x Ngc li, gi s x ( - lim sup K n ) , x lim inf K n Khi ú tn ti > v n n dóy con, kớ hiu l ( K n ) , cho ( x + B (0,1)) K n = n ( B (0,1) l qu cu n v m ca X ) C nh n bt k, theo nh lý tỏch tn ti xn* X * , xn* = , cho sup xn* , y inf xn* , x + B (0,1) yK n = xn* , x xn* = xn* , x T ú suy xn* K n v sup xn* , y =0 (do K n l nún) Qu cu n v úng yK n X * l compact i vi topo yu ( X * , X ) nờn tn ti dóy ( xn*k ) hi t theo topo ( X * , X ) n x* no ú Theo nh ngha gii hn trờn thỡ x* - lim sup K n M x ( - lim sup K n ) nờn x* , x n n Ta cú x* , x Cho n thỡ x* , x , suy x* , x (vụ lý) 1.2 nh x a tr Cho hai hp bt k X v Y Mt ỏnh x t X vo hp tt c cỏc ca Y c gi l ỏnh x a tr t X vo Y Nh vy, vi mi x X thỡ ( x) l mt (cú th rng) ca Y nh ngha 1.5 Gi s l ỏnh x a tr t X vo Y Khi ú ta cú cỏc nh ngha sau: th ca , kớ hiu Gr() , c xỏc nh bi Gr( = ) {( x, y ) X ì Y / y ( x)} Min hu hiu ca , kớ hiu dom , c xỏc nh bi dom= {x X / ( x) } Min nh ca , kớ hiu range , c xỏc nh bi range= { y Y / x X , y ( x)} nh x ngc ca ỏnh x l ỏnh x a tr t Y vo X xỏc nh bi ( y )= {x X / y ( x)} Nghch nh (inverse image) ca U Y (U )= {x X / ( x) U } Nhõn (core) ca ca U Y (U ) ={x X / ( x) U } C mi phộp toỏn trờn cỏc ca Y u xỏc nh c mt phộp toỏn tng ng i vi cỏc hm a tr theo cụng thc sau (1 )( x) = ( x) ( x) nh ngha 1.6 Gi s X , Y l cỏc khụng gian topo, v l ỏnh x a tr t X vo Y a) Nu th Gr() l úng khụng gian topo tớch X ì Y , thỡ c gi l ỏnh x a tr úng b) Nu ( x) l úng vi mi x X , thỡ c gi l ỏnh x cú giỏ tr úng c) Nu X , Y l cỏc khụng gian vector topo, v G () l li khụng gian tớch X ì Y , thỡ c gi l ỏnh x a tr li d) Nu Y l khụng gian vector topo, v ( x) l li Y , thỡ c gi l ỏnh x cú giỏ tr li nh ngha 1.7 Gi s l ỏnh x a tr t X vo Y , l ỏnh x a tr t Y vo Z nh x a tr t X vo Z xỏc nh bi x) ( )(= ( y ), x X y ( x ) c gi l ỏnh x tớch (hp) ca v nh x a tr t X vo Z xỏc nh bi ()(= x) ( y ), x X y ( y ) c gi l ỏnh x tớch vuụng ca v 10 1.3 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr Cho l ỏnh x a tr t khụng gian topo T vo khụng gian topo E nh ngha 1.8 nh x a tr c núi l na liờn tc trờn (n.l.t.t.) ti to dom nu mi m U E cha (to ) , tn ti mt lõn cn m V ca to cho (t ) U , t V Nu n.l.t.t ti mi im thuc dom , thỡ c gi l n.l.t.t T nh ngha 1.9 nh x a tr c núi l na liờn tc di (n.l.t.d.) ti to dom nu vi mi m U E tha (to ) U , tn ti mt lõn cn m V ca to cho (t ) U , t V Nu n.l.t.d ti mi im thuc dom , thỡ c gi l n.l.t.d T nh ngha 1.10 nh x a tr c núi l liờn tc ti to dom nu nú va liờn tc trờn va liờn tc di ti to Nu liờn tc ti mi im thuc dom , thỡ c gi liờn tc trờn T Mnh 1.11 (i) na liờn tc trờn ti to v ch nhõn ca mi m U cha (to ) l mt lõn cn ca to Suy na liờn tc trờn trờn T v ch nhõn ca mi m l mt m (ii) na liờn tc di ti to v ch nghch nh ca mi m U , m (to ) U , l mt lõn cn ca to Suy na liờn tc di trờn T v ch nghch nh ca mi m l mt m (iii) Gi s dom l úng Khi ú, na liờn tc trờn trờn T v ch nghch nh ca mi úng l mt úng, v na liờn tc di trờn T v ch nhõn ca mi úng l mt úng Chng minh (i) Gi s U l m cha (to ) thỡ (U ) l lõn cn ca to Khi ú tn ti m V cha to cho V (U ) Do ú (V ) ( (U )) U , iu ny cú ngha n.l.t.t ti to 11 Ngc li, gi s n.l.t.t ti to Khi ú, vi mi m U cha (to ) thỡ tn ti mt lõn cn m V ca to cho (t ) U , t V , suy V (U ) (ii) Gi s U l m , (to ) U , thỡ (U ) l lõn cn ca to Khi ú tn ti m V cha to cho V (U ) Vi mi t V thỡ t (U ) , nờn (t ) U Vy n.l.t.d ti to Ngc li, gi s na liờn tc di ti to Khi ú, vi mi m U cho (to ) U thỡ tn ti mt lõn cn m V ca to tha (t ) U , t V , suy V (U ) (iii) Gi s n.l.t.t v W l úng E Ta cn chng t (W ) l úng T , ngha l T \ (W ) m Ly t T \ (W ) thỡ t (W ) , ú (t ) W = hay (t ) E \ W _m Vỡ n.l.t.t nờn tn ti m V l lõn cn ca t cho ( s ) E \ W , s V , suy ( s ) W =, s V iu ú cú ngha l s (W ), s V hay V T \ (W ) Ngc li, gi s nghch nh ca mi úng l úng, ta cn chng minh n.l.t.t Vi mi m U E , ta cú ( E \ U ) l úng T M T \ ( E \ U ) = (U ) nờn (U ) l m T Do vy n.l.t.t Trng hp n.l.t.d chng minh tng t Sau õy ta xột mi liờn h gia gii hn v tớnh liờn tc Ta bt u vi khỏi nim gii hn ca hm a tr trờn khụng gian metric nh ngha 1.12 Gi s X , Y l hai khụng gian metric v l ỏnh x a tr t X vo Y Gii hn trờn ca ti xo l c nh bi lim sup ( x) ={ y Y / lim inf d ( y, ( x)) = 0} x xo x xo Gii hn di ca ti xo l c nh bi lim inf ( x) ={ y Y / lim d ( y, ( x)) = 0} x xo x xo 12 Chỳ ý Gii hn trờn v gii hn di ca ti xo u l nhng úng ng thi, lim inf ( x) ( xo ) lim sup ( x) , tht vy: x xo x xo Vi mi y lim inf ( x) Theo nh ngha, vi x dom cho x xo kộo x xo theo d ( y, ( x) Chn x xo thỡ d ( y, ( xo ) = , ú y ( xo ) Nu y ( xo ) , thỡ tn ti dóy ( xn ) = ( xo ) lim d ( y, ( xn ) = d ( y, ( xo )) = n ú y lim sup ( x) Chỳ ý y lim sup ( x) ng ngha vi tn ti x xo x xo x xo cho cú dóy xn xo cho lim d ( y, ( xn )) = n Mnh 1.13 Gi s X , Y l hai khụng gian metric v l ỏnh x a tr t X vo Y Khi ú, (i) ( xo , yo ) Gr() v ch yo lim sup ( x) x xo (ii) na liờn tc di ti xo dom v ch ( xo ) lim inf ( x) (4) x xo Chng minh (i) Ta cú yo lim sup ( x) nu v ch nu tn ti dóy ( xn ) cho xn xo x xo kộo theo lim d ( yo , ( xn )) = ( lim inf d ( y, ( x)) = ) n x xo M lim d ( yo , ( xn ))= yn ( xn ) : lim d ( yo , yn )= n n yn Y cho ( xn , yn ) G (), lim d ( yo , yn ) =0 n Do vy, ( xo , yo ) G () (ii) Gi s ( xo ) lim inf ( x) Vỡ lim inf ( x) l úng nờn tn ti x xo x xo yo ( xo ) v lõn cn m U ca yo cho U lim inf ( x) = iu ny x xo 13 cú ngha l tn ti xn xo , m vi mi yn ( xn ) ta u cú yn / yo Do vy khụng n.l.t.d ti xo Chỳ ý T mnh 1.13 (i) ta thy Gr() l úng v chỡ , x dom , (= x) limsup ( z ) (5) zx Nh li rng hm n tr f l hm n.l.t.d v ch vi mi x xỏc nh ta cú, tng t (4), f ( x) lim inf f ( z ) f n.l.t.t v ch vi zx mi xo xỏc nh ta cú, tng t (5), f ( x) limsup f ( z ) Vỡ vy, zx nhiu tỏc gi cng nh ngha hm a tr l n.l.t.t v ch Gr() úng l n.l.t.t ti x nu ( xn , yn ) Gr(),( xn , yn ) ( x, y ) thỡ ( x, y ) Gr() nh ngha nh vy s cú liờn h vi (5), trc tip vi limsup nh ngha ca ta khụng cú quan h trc tip vi limsup Nhng hai nh ngha rt gn theo mnh sau Mnh 1.14 (i) Gi s cú nh úng, tc l ( x) úng vi mi x dom Khi ú, nu na liờn tc trờn thỡ Gr() úng (ii) Ngc li, gi s Y l khụng gian compact Khi ú, nu Gr() úng thỡ na liờn tc trờn Chng minh (i) Gi s Gr() khụng úng, tc l cú dóy ( xn , yn ) Gr() cho ( xn , yn ) ( x, y ) m y ( x) Do ( x) úng nờn s cú lõn cn U ca ( x) y U Do n.l.t.t nờn tn ti > cho B ( x, ) U Khi ú, vi n ln thỡ xn B ( x, ) nờn ( xn ) U M yn ( xn ) thỡ mõu thun vi gi thit y U , yn y (ii) Gi s khụng n.l.t.t ti x Khi ú, cú lõn cn U ca ( x) B ( x, ) / U , > Vỡ vy s cú dóy xn x v dóy yn ( xn ) cho 14 yn U , n Do Y compact nờn cú dóy ( ynk ) hi t n y no ú Y Vỡ Gr() úng nờn ( x, y ) Gr() mõu thun vi yn U , n (nờn y U ) [...]... xạ đa trị Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y Một ánh xạ Γ từ tập X vào tập hợp tất cả các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X thì Γ( x) là một tập con (có thể rỗng) của Y Định nghĩa 1.5 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y Khi đó ta có các định nghĩa sau: Đồ thị của Γ , kí hiệu Gr(Γ) , được xác định bởi Gr( = Γ) {( x, y ) ∈ X × Y / y ∈ Γ( x)} Miền hữu hiệu của. .. topo, và G (Γ) là tập lồi trong không gian tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị lồi d) Nếu Y là không gian vector topo, và Γ( x) là tập lồi trong Y , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị lồi Định nghĩa 1.7 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y , Ω là ánh xạ đa trị từ Y vào Z Ánh xạ đa trị Ω  Γ từ X vào Z xác định bởi x) (Ω  Γ)(=  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( x ) được gọi là ánh xạ tích (hợp) của Γ và. .. Γ và Ω Ánh xạ đa trị ΩΓ từ X vào Z xác định bởi (ΩΓ)(= x)  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( y ) được gọi là ánh xạ tích vuông của Γ và Ω 10 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Cho Γ là ánh xạ đa trị từ không gian topo T vào không gian topo E Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) tại to ∈ domΓ nếu mọi tập mở U trong E chứa Γ(to ) , tồn tại một lân cận mở V của to sao cho... tập con của Y đều xác định được một phép toán tương ứng đối với các hàm đa trị theo công thức sau (Γ1 ∗ Γ 2 )( x) = Γ1 ( x) ∗ Γ 2 ( x) Định nghĩa 1.6 Giả sử X , Y là các không gian topo, và Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y a) Nếu đồ thị Gr(Γ) là tập đóng trong không gian topo tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị đóng b) Nếu Γ( x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị đóng... nửa liên tục trên tại to khi và chỉ khi nhân của mỗi tập mở U chứa Γ(to ) là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ khi nhân của mọi tập mở là một tập mở (ii) Γ nửa liên tục dưới tại to khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập mở U , mà Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục dưới trên T khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là một tập mở (iii) Giả sử domΓ... hiệu của Γ , kí hiệu dom Γ , được xác định bởi domΓ= {x ∈ X / Γ( x) ≠ ∅} Miền ảnh của Γ , kí hiệu rangeΓ , được xác định bởi 9 rangeΓ= { y ∈ Y / ∃x ∈ X , y ∈ Γ( x)} Ánh xạ ngược của ánh xạ Γ là ánh xạ đa trị Γ −1 từ Y vào X xác định bởi Γ −1 ( y )= {x ∈ X / y ∈ Γ( x)} Nghịch ảnh (inverse image) của tập U trong Y Γ − (U )= {x ∈ X / Γ( x)  U ≠ ∅} Nhân (core) của của tập U trong Y Γ − (U ) ={x ∈ X /... cần chứng minh Γ n.l.t.t Với mỗi tập mở U trong E , ta có Γ − ( E \ U ) là tập đóng trong T Mà T \ Γ − ( E \ U ) = Γ − (U ) nên Γ − (U ) là tập mở trong T Do vậy Γ n.l.t.t Trường hợp n.l.t.d chứng minh tương tự Sau đây ta xét mối liên hệ giữa giới hạn và tính liên tục Ta bắt đầu với khái niệm giới hạn của hàm đa trị trên không gian metric Định nghĩa 1.12 Giả sử X , Y là hai không gian metric và Γ... inf f ( z ) f n.l.t.t khi và chỉ khi với z→x mọi xo trong miền xác định ta có, tương tự (5), f ( x) ≥ limsup f ( z ) Vì vậy, z→x nhiều tác giả cũng định nghĩa hàm đa trị Γ là n.l.t.t khi và chỉ khi Gr(Γ) đóng Γ là n.l.t.t tại x nếu ∀( xn , yn ) ∈ Gr(Γ),( xn , yn ) → ( x, y ) thì ( x, y ) ∈ Gr(Γ) Định nghĩa như vậy sẽ có liên hệ với (5), trực tiếp với limsup Định nghĩa 8 của ta không có quan hệ trực... giới hạn Sau đây là định lý đối ngẫu trong không gian Banch Nhắc lại Cho X là không gian định chuẩn, K là tập con của X và L là tập con của X * Khi đó Nón liên hiệp âm (hay nón đối âm cực) của K là − K= {x* ∈ X * / 〈 x* , x〉 ≤ 0 ≤ 0, ∀x ∈ K } Nón liên hiệp âm của L là L−= {x ∈ X / 〈 x* , x〉 ≤ 0 ≤ 0, ∀x* ∈ L} Định lý 1.4 Giả sử X là không gian Banch, ( K n ) là dãy các nón lồi đóng của X Khi đó lim... 1.12 Giả sử X , Y là hai không gian metric và Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y Giới hạn trên của Γ tại xo là tập được định bởi lim sup Γ( x) ={ y ∈ Y / lim inf d ( y, Γ( x)) = 0} x → xo x → xo Giới hạn dưới của Γ tại xo là tập được định bởi lim inf Γ( x) ={ y ∈ Y / lim d ( y, Γ( x)) = 0} x → xo x → xo 12 Chú ý Giới hạn trên và giới hạn dưới của Γ tại xo đều là những tập đóng Đồng thời, lim inf Γ( x)