ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP SÁC XUẤT THỐNG KÊ PHẦN LÝ THUYẾT (Trang 1-15) PHẦN BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI (TRANG 15-40) PHẦN BÀI TẬP TỰ LÀM (TRANG 40-43) PHẦN MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO (TRANG 43-49) ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM PHẦN : LÝ THUYẾT A.Các khái niệm xát suất Biến cố ngẩu nhiên Phép thử biến cố - phép thử việc thực thí nghiệm hay quan sát tượng để xem có xảy hay không Hiện tượng có xảy hay không phép thử gọi biến cố ngẩu nhiên Biến cố ngẩu nhiên ký hiệu A,B,C… Các loại biến cố - Trong phép thử, tập hợp tất kết xảy gọi không gian mẩu ký hiệu Ω - Mỗi phân tử ω ∈ Ω phân nhỏ thành hai biến cố gọi biến cố sơ cấp a) Biến cố chắn phép thử , biến cố định xảy chắn , ký hiệu Ω b) Biến cố Biến cố xảy thực phép thử , ký hiệu ∅ c) Số trường hợp đồng khả - Hai hay nhiều biến cố phép thử có khả xảy gọi đồng khả - Trong phép thử mà biến cố sơ cấp đồng khả số phân tử không gian mẫu gọi số trường hợp đồng khả phép thử d) Các phép toán ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM Cho A,B ⊂ Ω - Tổng A B C = A ∪ B hay C=A+B C xảy hai biến cố A,B xảy Quan hệ giửa biến cố a) Biến cố xung khắc - Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử - Họ biến cố A1 , A2 , A3 , …, An gọi xung khắc ( hay đôi xung khắc ) biến cố họ xảy biến cố lại không xảy Nghỉa Ai ∩ Aj = ∅ , ∀ i ≠ j b) Biến cố đối lập - Hai biến cố A B gọi đối lập chúng thỏa mãn điều kiện sau : 1) A B xung khắc với 2) Phải có hai biến cố xảy nghĩa A∪ B = Ω II XÁT SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1.Định nghĩa xát suất dạng cổ điên Trong phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả , có m khả thuận lợi cho biến cố A xuất xát suất A : P(A) = = Ưu điểm hạn chế ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM - Ưu điểm : Tính xát giá trị xác suất mà không cần thực phép thử - Hạn chế : Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn biến cố biến cố không đồng khả 2.2 Định nghĩa theo thống kê - Quan sát biến cố A phép thử , lặp lại phép thử n lần với điều kiện Gọi m số lần xuất tần suất A n phép thử fn(A)= - Xát suất biến cố A P(A) = lim fn (A) Trong thực hành , với n đủ lớn P(A) ≈ fn (A) Ưu điểm hạn chế -Ưu điểm : không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố biến cố đồng khả mà dựa quan sát thực tế , định nghĩa ứng dụng rộng rãi - Hạn chế : Đòi hỏi phải lăp lại phép thử nhiều lần , Trong thực tế có nhiều toán không cho phép diều kiện kinh phí làm phép thử 2.3.Định nghĩa theo hình học Cho miền Ω Gọi độ đo Ω độ dài , diện tích ,thể tích ( ứng với Ω đường cong, miền phẳng khối ) Gọi A biến cố điểm M ∈ S ⊂ b Ω Ta có P(A) = 2.4 Tính chất xác suất i) ≤ P(A) ≤ , với biến cố A ; P(Ω)=1 ii) P(∅ ) = iii) ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM 2.5 Ý nghĩa xát suất Xát suất số đo mức độ tin , thường xuyên xảy biển cố phép thử Chú ý : Xát suất phụ thuộc vào điều kiện phép thử III CÔNG THỨC TÍNH XÁT SUẤT 3.1 Công thức cộng xát suất a) Biến cố xung khắc -A B xung khắc : P(A∪ B) = P(A) + P(B) - Họ { Ai} (i=1,2,…,n) : P ( A ∪ A2 ∪….∪ An )=P(A1) + P(A2) + …+ P(An) b) Biến cố tùy ý - A B hai biến cố tùy ý : P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(AB) - Họ {Ai} ( i = 1,2,…,n) biến cố tùy ý :  n  P   Ai  =  i =1  ∑ P( Ai) - ∑ P( AiAj ) n i −1 i< j + ∑ P( AiAjAk ) + …+ (-1)n-1P(A1A2….An ) i< j P(B) P(B / A) = P(BA) , P(A) > P(A) 1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân: Biến cố độc lập: biến cố A B gọi độc lập P(A/B)=P(A) (hoặc P(B/A)=P(B)), tức xảy hay không biến cố không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố Chú ý: + Biến cố A, B độc lập ⇔ Ā, B độc lập + Việc kiểm tra tính độc lập biến cố thường dựa vào thực tế trực giác Công thức nhân: + A, B độc lập: P(AB)=P(A)P(B) Mở rộng: + A, B tùy ý: Mở rộng: P(A1A A n ) = P(A1 )P(A / A1 )P(A / A1A ) P(A n / A1A A n −1 ) ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM 1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 1.5.1 Hệ đầy đủ biến cố xung khắc đôi Hệ biến cố: gọi đầy đủ xung khắc đôi phép A1 U A U U A n = Ω thử bắt buộc có biến cố xảy A i A j = ∅, i ≠ j 1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes: Nếu phép thử có biến cố B hệ đầy đủ biến cố xung khắc đôi P(B) = P(A1 )P(B/ A1 ) + P(A )P(B/ A ) + - Công thức xác suất đầy đủ: + P(A n )P(B/ A n ) - Công thức Bayes (giả thiết): P(A )P(B/ A i ) P(A i )P(B/ A i ) P(A i / B) = n i = P(B) ∑ P(Ai )P(B/ Ai ) i=1 II.Biên ngẩu nhiên luật phân phối xác suất 1.1Khái niệm phân loại biến ngẩu nhiên a Khái niệm: ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM -Một biến số gọi ngẩu nhiên kêtd phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẩu nhiên - biến cố ngẩu nhiên gọi là:X,Y,Z giá trị chúng là:x,y,x b phân loại biến ngẩu nhiên: -Biên ngẩu nhiên (bnn) gọi rời rạc giá trị lập nên tập hợp hữu hạn điếm 1.2 Luật phân phối xác suất biến ngẩu nhiên -luật phân phối xác suất biến ngẩu nhiên cách biểu diễn quan hệ giá trị biến ngẩu nhiên với xác suất tương ứng mà nhận giá trị 1.2.1 Phân phối xác suất biến ngẩu nhiên a trường hợp rời rạc Cho biến ngẩu nhiên rời rạc X có X = { x 1,x2, xn } với xác suất tương ứng pi =P { X= xi} Ta có phân phối xác suất (dạng bảng ) X P Trong : pi ; i =1 x1 P1 x2 xn p2 .pn i = 1( vô hạn) P{ a < X < b } = i b.Trường hợp liên tục Trường hợp biến ngẩu nhiên liên tục thi phân phối xác suất gọi hàm độ xác suất cho biến ngẩu nhiên liên tục X.Hàm f(x), x R gọi hàm mật độ xác suất X thỏa: ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM i) F(x) 0, x R ; ii) ; iii) P{ a < X < b } = ) Chú ý - Nhiều người ta dùng kí hiệu f x(x) để hàm độ xác suất để nhận giá trị cụ thể - Do P{ a = P{ a = P{ a = - Về măt hình học ,xác suất biến ngẩu nhiên (bnn) X nhận giá trị (a;b) diện tích hình thang cong giới hạn x=a ,x=b ,y = f(x) trục Ox - Nếu f(x) thỏa f(x) 0, x R f(x) hàm xác suất bnn 1.2.2 Hàm phân phối xác suất - Hàm phân phôi xác suất biến ngẩu nhiên X ,kí hiệu F(x) F x(x), xác suất để X nhận giá trị nhỏ x (với x số thực F(x) =P{ X