BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Huyền SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 601410 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc ñến TS Nguyễn Ái Quốc, người ñã tận tình hướng dẫn động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy cơ: PGS TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh giảng didactic thú vị Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot TS Alain Birebent lời góp ý cho luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, q thầy em học sinh trường THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm sinh viên ngành quản lý mơi trường khóa 2010 ln hỗ trợ giúp đỡ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Khoa Học Cơng Nghệ Sau Đại Học, khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn ñến bạn anh chị lớp didactic tốn khóa 18 đặc biệt anh Đinh Quốc Khánh sẻ chia giúp ñỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành khóa học Lê Thị Huyền DANH MỤC VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên KNV : Kiểu nhiệm vụ T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” W W L Chen T3 : giáo trình “Số phức” TS Nguyễn Văn Đơng, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm [P] : Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation, Hanoi 2002 M1 : TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất giáo dục M2 : ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh Phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN Tôi tên: Lê Thị Huyền Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học Tốn khóa: 18 Tơi bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức ý nghĩa hình học chương trình phổ thơng” hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010 Tơi sửa chữa hồn chỉnh luận văn với góp ý, yêu cầu Hội đồng ủy viên nhận xét, gồm ý sau: + Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh việc giải phương trình tập số phức dạng lượng giác.” + Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, quan niệm sai lầm học sinh thường mắc phải học số phức? Những hợp đồng hình thành giáo viên học sinh dạy học số phức” + Thêm chiến lược phần phân tích thực nghiệm thực nghiệm số + Sửa số lỗi tả, số phần diễn đạt ý… Nay tơi xin báo cáo hồn thành sữa chữa luận văn đề nghị Hội đồng chấm luận văn, cán hướng dẫn xác nhận Tp Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng năm 2011 Học viên Lê Thị Huyền Xác nhận cán hướng dẫn Xác nhận chủ tịch Hội đồng Nguyễn Chí Thành MỞ ĐẦU Ghi nhận ban ñầu câu hỏi xuất phát: Khái niệm số phức đưa vào cuối chương trình Tốn giải tích lớp 12, sau hồn thành chương Ngun hàm, Tích phân ứng dụng Như ta biết, phương trình bậc hai với hệ số thực Ax + Bx + C = mà biệt thức ∆ < khơng có nghiệm thực, phát triển khoa học nói chung tốn học nói riêng địi hỏi phải mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số gọi tập hợp số phức, phép tính cộng nhân số phức với tính chất tương tự phép tốn cộng nhân số thực cho phương tình nói có nghiệm Ở chương trình phổ thơng, số phức xuất từ lâu chương trình tốn nhiều nước giới Tuy nhiên Việt Nam, ñối tượng số phức ñược ñưa vào giảng dạy chương trình SGK trước cải cách giáo dục phân ban thí điểm năm 1998 Sau ñó ñến năm học 2008-2009 ñưa vào Như có ngắt quãng Tại có khác biệt ngắt qng này? Vị trí vai trị khái niệm số phức chương trình phổ thơng Việt Nam giống khác so với nước khác? Ý nghĩa hình học ñược ñưa nào? Những ghi nhận ban đầu nói đưa chúng tơi đến việc đặt câu hỏi sau: Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức hình thành phát triển nào? Q2’: Trường số phức ñược xây dựng bậc ñại học? Q3’: Số phức đưa vào chương trình tốn THPT với mục tiêu gì? Nó tiếp cận sao? Ý nghĩa hình học đề cập ứng dụng sao? Có tương ñồng hay khác biệt lịch sử hệ thống dạy học? Q4:’ Những ràng buộc hệ thống dạy học ảnh hưởng giáo viên học sinh khái niệm số phức? Q5’: Học sinh hiểu khái niệm số phức; khó khăn học sinh thường gặp phải học tập kiến thức số phức; có hợp đồng hình thành giáo viên học sinh khơng; có quan niệm sai lầm học sinh học số phức? Khung lý thuyết tham chiếu: Chúng tơi đặt phạm vi lý thuyết Didactic Tốn Cụ thể chúng tơi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với khái niệm sau: 2.1 Chuyển ñổi Didactic: Trong nhà trường phổ thơng, mơn học, người ta khơng thể dạy cho học sinh tồn tri thức có liên quan mà nhân loại tích lũy ñược lịch sử Hơn nữa, ñể tri thức mơn trở nên dạy được, cần phải lựa chọn, xếp tái cấu trúc lại theo kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác định Chuyển đổi didactic, nói khác q trình biến đổi tri thức bác học thành ñối tượng tri thức dạy học Việc qui ñịnh đối tượng cần dạy thể thơng qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ơn thi Bộ giáo dục, tiểu ban khoa học giáo dục tác giả SGK Khái niệm ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách tri thức khoa học tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức Nó giúp nghiên cứu tính hợp pháp tri thức cần dạy giải thích số ràng buộc thể chế dạy học trường phổ thơng kiến thức nêu 2.2 Quan hệ thể chế Quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trị tồn … I 3 2.3 Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X, O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao? Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt R(I, O) 2.4 Tổ chức tốn học: Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T ,τ ,θ , Θ] , ñó T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ Một praxéologie mà thành phần mang chất tốn học gọi tổ chức toán học (TCTH) Việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà nhân X trì với tri thức O 2.5 Hợp đồng Didactic: Hợp đồng didactic mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ tiềm ẩn học sinh giáo viên đối tượng tri thức tốn học Thơng thường, tập hợp quy tắc phân chia giới hạn trách nhiệm thành viên – học sinh giáo viên – tri thức tốn học giảng dạy Hợp đồng didactic qui tắc giải mã hoạt động q trình học tập Chỉ hiểu thấu ý nghĩa định hướng cách ứng xử giáo viên học sinh giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát khn khổ hợp đồng Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát ñã chúng tơi cụ thể hóa sau: Q1: Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức hình thành phát triển nào? Các mơ hình hình học xây dựng sao? Q2: Trường số phức ñược xây dựng bậc ñại học? Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thơng với mục tiêu gì? Nó tiếp cận sao? Sự ràng buộc thể chế có ảnh hưởng đến việc dạy học giáo viên học sinh khái niệm số phức? Q4: “ Những khó khăn, quan niệm sai lầm học sinh thường mắc phải học số phức? Những hợp đồng hình thành giáo viên học sinh dạy học số phức” Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi ñã ñặt mục Để đạt mục đích đề ra, chúng tơi xác định phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm hiểu trình hình thành phát triển số phức lịch sử tốn học, làm rõ mối liên hệ hình học số phức Số phức ñược xây dựng nào, mơ hình hình học số phức nhà tốn học xây dựng nào? - Tìm hiểu việc xây dựng số phức giáo trình đại học Cụ thể giáo trình Mỹ, Anh Việt Nam Từ làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế chương sau - Phân tích chương trình sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt vấn ñề số phức ñể thấy ñược mong muốn thể chế đưa gì? Từ so sánh với thể chế dạy học toán Việt Nam khái niệm số phức - Xây dựng tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu trả lời cho giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt 5 Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần: Phần mở ñầu, chương phần kết luận chung Trong phần mở ñầu, chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét lịch sử xuất số phức; mơ hình học số phức lịch sử Chương 2, giới thiệu số quan ñiểm xây dựng số phức lịch sử số giáo trình Mỹ, Anh Việt Nam Chương 3, phân tích chương trình sách giáo khoa hai thể chế Pháp (chương trình song ngữ) Việt Nam khái niệm số phức Từ so sánh đưa số hợp ñồng didactic, sai lầm học sinh giả thuyết nghiên cứu Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng hợp ñồng didactic giả thuyết luận văn Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt kết ñã ñạt ñược chương 1,2, và nêu số hướng mở từ luận văn 6 Chương NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NĨ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN Mở ñầu Nghiên cứu thực chương với mục đích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành phát triển nào? Các mơ hình hình học xây dựng sao?” Chúng tơi tiến hành nghiên cứu, phân tích tổng hợp số tài liệu hình thành phát triển tốn học nói chung số phức nói riêng Các tài liệu chúng tơi chọn làm tư liệu chương gồm có: LÊ THỊ HỒI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trị phân tích khoa học luận lịch sử tốn học nghiên cứu thực hành dạy – học môn Tốn, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, Hồ Chí Minh HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, Nhà xuất khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học thành phố HCM NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất giáo dục NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất ñại học quốc gia thành phố HCM NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất trẻ WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others Remark on the history of Complex Numbers FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909 7 Vài nét lịch sử xuất số phức Trong “The Great Art” xuất năm 1545, Cardano đưa vấn đề việc tìm hai số cho tổng chúng 10 tích chúng 40 Theo kiến thức lúc khơng tồn hai số Cardano bỏ qua vô lý kí hiệu hai số có dạng + −15 − −15 thực có tổng 10 tích 40 Nhưng ơng đưa cách qua loa dạng “trị chơi vơ nghĩa” “kẻ rỗi việc” Trong sách khác, ơng nói hay -3 −9 +3 hay -3 chúng “số khơng có cả” Trong ví dụ đầu kỉ 17, Descartes lưu ý tìm giao điểm đường trịn đường thẳng ta phải giải phương trình bậc hai Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai dẫn ñến bậc hai số âm ñường thẳng thực tế khơng cắt đường trịn Vì hầu hết phần, cảm nhận có xuất nghiệm “khơng thể” hay “nghiệm ảo” đơn giản câu trả lời cho phương trình khơng có nghiệm Thành tựu lớn Cardano tìm cơng thức giải cho phương trình bậc ba Cho phương trình dạng x3 + px + q = , cơng thức nghiệm Cardano q2 p3 q q p3 + + − − + Công 27 27 q viết lại ngơn ngữ đại là: x = − + thức dùng cho phương trình bậc (phương trình dạng x3 + ax + bx + c = đưa dạng cách ñặt x = z − a2 Khi phương trình trở 3 thành z + Bz + C = với B = c − a , C = c − ab + 2a ) Tuy nhiên, vài 27 trường hợp gặp phải rắc rối Giả sử cho phương trình x3 = 15 x + ta viết lại thành x3 − 15 x − = , áp dụng công thức trên, ta ñược x = + −121 + − −121 Dựa vào ñiều ñã biết giải phương trình bậc hai, dường kết luận trường hợp phương trình vô nghiệm Nhưng rõ ràng x = nghiệm phương trình Vậy kết luận sai lầm Cardano ñã ñưa vấn ñề khơng biết đến Ơng đề cập hai lần sách Vào năm 1560, Bombelli đưa cách khỏi bối rối Ơng tranh luận rằng, ta khai triển với loại “căn số mới” Để nói bậc hai số âm, ông phát minh ngơn ngữ lạ Thay cho việc nói + −121 cộng trừ 121, ơng nói cộng trừ 121 Do đó, “cộng trừ” trở thành mật mã cho việc cộng bậc hai số âm Tất nhiên, trừ bậc hai trở thành “trừ trừ” Vì + −121 = + 11 −1 nên ông ñề cập ñến “hai cộng trừ 11” giải thích qui luật phép tốn sau: “Cộng trừ nhân cộng trừ thành trừ Trừ trừ nhân trừ trừ trừ Cộng trừ nhân trừ trừ cộng” Theo ngôn ngữ đại, có nghĩa: i × i = −1; − i × −i = −1 ; i × −i = Nhưng Bombelli không thực nghĩ “căn số mới” số Đúng hơn, ông dường đưa qui tắc mà cho phép ơng chuyển công thức phức tạp ( ) + −121 − + −121 biểu thức đơn giản Ơng đưa ± −1 = ± −121 Vì vậy, ( ) ( ) + −121 + − −121 = + −1 + − −1 = Đây nghiệm phương trình bậc ba, bắt đầu theo hướng này, ơng tìm nghiệm phương trình bậc Những cơng trình Bombelli việc tìm bậc hai số âm cần thiết cho việc tìm nghiệm thực phương trình Nói cách khác, ơng xuất biểu thức khơng ln tín hiệu cho phương trình khơng thể giải Đây dấu hiệu nói số phức cơng cụ tốn học thực hữu ích Nhưng điều ñều vấp phải phản ñối ñịnh kiến cũ Nữa kỷ sau đó, hai ơng Girard Descartes biết phương trình bậc n có n nghiệm Nó cho phép bậc hai (căn bậc hai số dương) bậc hai sai (căn bậc hai số âm) nghiệm phức Nó giúp tạo công thức nghiệm tổng quát ñơn giản Nhưng nghiệm phức thường ñược mô tả “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” “vơ nghĩa, vơ lý” Vào đầu (cos x + i sin x )n kỉ 18, Moivre ñưa công thức nối tiếng sau = cos nx + i sin nx (Công thức ngầm ẩn công trình Moivre, khơng phát biểu dạng này) Một năm sau đó, Leonhard Euler ñưa ký hiệu i thay cho − ñi ñến liên kết tất với ông phát minh công thức e ix = cos x + i sin x Khi x = π , ta ñược e iπ = −1 hay e iπ + = , công thức cơng thức quan trọng liên kết số khái niệm quan trọng toán học Giữa kỷ 18, người ta biết ñến số phức bước cần thiết ñể giải vấn ñề số thực Nó đóng vai trị quan trọng thuyết phương trình, có mối liên hệ sâu sắc số phức, hàm lượng giác dạng mũ Nhưng cịn nhiều vấn đề Ví dụ, Euler làm rối tung thức giống − Căn số thực ñược ñịnh nghĩa: có nghĩa bậc hai dương Vì số phức khơng dương, khơng âm nên khơng có lựa chọn bậc hai tốt Do đó, Euler nói rằng: − − = −2; − − = − − = ông không ý ông áp dụng công thức thứ vào công thức thứ kết khơng Mặc dù Euler sử dụng số phức nhiều, ông không giải lại điều mà nói Trong Đại số sơ cấp, ơng viết: 10 “ Vì số so sánh với 0, nhỏ hay lớn hay Do đó, ta khơng thể đưa bậc hai số âm vào đội ngũ “những số có thể” Trong cách này, số gọi đại lượng ảo tồn tưởng tượng Mọi ký hiệu − 1; − , − số không thể, số ảo Và thừa nhận số khơng cả, khơng lớn hay nhỏ thứ Điều có nghĩa chúng ảo hay khơng tồn Nhưng dù ñi nữa, số ñầu chúng ta, chúng tồn tưởng tượng có ý tưởng chúng” Quan ñiểm hầu hết nhà toán học kỷ 18 “Số phức số tưởng tượng có ích” Gauss người thực có ý tưởng số phức vào năm 1831 dùng kí hiệu a+bi để số phức, a, b số thực, i ñơn vị ảo Khi a = a+bi = bi số ảo; b = a+bi = a số thực Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất nhu cầu số phức Argand, người bán sách Paris người ñầu tiên ñưa ñề nghị xuất 1806 Nó làm rõ số giả thuyết số tưởng tượng hay số ảo kỳ quái cách biểu diễn chúng hình học Các điểm với toạ độ chúng có tương đồng, (x, y ) ֏ x + iy Giả thuyết Argand bị bác bỏ cho ñến Gauss ñề xuất nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và thành phần tốn học có ích.Và Gauss ñề xuất ñiều kiện cho số phức Hai năm sau đó, Hamilton rằng, ta bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa cặp thứ tự cách thuận lợi kết thúc đồng với số phức Hamilton số “hư cấu” i ñiểm (0, 1) Các nhà tốn học ln tìm kiếm đề tài cho số phức sau đó, chúng q hữu ích ñến nỗi mà khó tránh tiếp xúc với Euler Gauss dã ta sử dụng chúng ñể giải vấn ñề ñại số lý thuyết số 11 Hamilton ñã ñúc kết ứng dụng số phức vật lý Cauchy Gauss phát minh phương pháp tính ứng dụng cho số phức “Phép tính phức” đóng vai trị to lớn, phần chứng minh dễ dàng phép tính đơn dựa vào số thực Trong sổ tay Riemann,Weierstrass người khác, số phức trở thành công cụ mạnh mẽ, đóng vai trị trung tâm tốn học túy tốn học ứng dụng Thậm chí, Hadamard nói “nếu quan tâm số thực câu trả lời số thực, cách dễ thường chứa đựng số phức” Vì vậy, lý mà phải tin vào số phức là: “tại số phức hữu dụng” Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ nhu cầu giải tốn khoa học tốn học Tuy nhiên, khơng phải tốn bậc hai thường thấy chương trình tốn trường phổ thơng hay chí bậc đại học mà tốn gắn liền với việc tìm nghiệm thực phương trình bậc ba Tóm lại, q trình ñi tìm nghiệm thực phương trình bậc ba ñộng nảy sinh số phức Vấn ñề biểu diễn hình học số phức lịch sử Từ kỷ 16, mầm mống số phức xuất Việc mở rộng hệ thống tính tốn ñại số ñã ñòi hỏi phải ñưa vào bậc hai số âm với tư cách trung gian tính tốn Tuy nhiên, đến tận kỷ 19, vấn ñề hợp thức bậc hai số âm ln bận lịng nhà toán học phương diện triết học Người ta gọi đại lượng ảo, xem sản phẩm trí tuệ túy, ký hiệu hình thức, đối tượng lấy làm trung tâm cho tính tốn đại số Người ta ln quan tâm đến câu hỏi: biểu diễn cho ñối tượng thực tế toán học? 12 Việc tìm thấy nghĩa đại lượng ảo thực phạm vi hình học thơng qua cơng trình nhiều nhà tốn học 2.1 Mơ hình Wallis: Năm 1673, Wallis đề nghị hình ảnh phát họa cho ñại lượng ảo Trong “Algebra” xuất năm 1685, ơng thức đưa giải thích ñại lượng ảo: “Nếu ta giả sử mặt rộng -1600 perches, nghĩa 1600 perches mất, có dạng hình vng, liệu có hay khơng cạnh hình vng này? Nếu có bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh +40 hay -40, hình vng tương ứng cho 1600perches khơng phải -1600 perches Đó phải −1600 (căn giả ñịnh số âm), hay 10 −16 , 20 −4 , 40 −1 ” Như vậy, Wallis tưởng tượng 40 −1 cạnh hình vng diện tích -1600 perches, hình ảnh hình học sơ khai ñại lượng ảo tồn tưởng tượng Tuy nhiên mơ hình ơng thất bại ơng khơng đem lại giải thích thỏa đáng cho phép nhân Phương pháp ơng khái qt hóa vào mặt phẳng mơ hình cộng ñược ñã ñược sử dụng để giải thích cho đai lượng âm Theo ngơn ngữ đại ta nói rằng, việc mở rộng từ R vào C Wallis có chất với việc mở rộng từ N vào Z Thực ra, phép tương tự ñây tương tự bề ngồi, khơng tính đến cấu trúc nhân Trong thực tế, mơ hình ñược ñã ñược dùng cho ñại lượng âm khơng mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết tính đến cấu trúc cộng Z Thế ñây liên quan ñến tập hợp số ảo cấu trúc cộng mà cấu trúc nhân Mơ hình khơng cịn thích hợp 13 2.2 Mơ hình Wessel: Khám phá việc biểu diễn hình học số phức dường cơng trình nghiên cứu Wessel cơng bố năm 1797 Wessel khơng trực tiếp tìm cách giải thích tồn số phức, mà theo cách nói ơng tìm cách biểu diễn phương giải tích Ơng nhận thấy rằng, với kỹ thuật đại số cổ điển hướng biến đổi thành hướng đối nó, ñến mà ñã cố ñịnh phương người ta xét lúc đường có hai hướng đối Để khắc phục thiếu sót này, Wessel tìm cách mở rộng tính tốn ñại số ñường không gian cho khơng làm thay đổi qui tắc tính tốn quen thuộc Để xây dựng hệ thống tính tốn vậy, ơng định nghĩa phép cộng hai đường Trong định nghĩa ơng tổng hai đường, ta tìm thấy quan niệm (ngầm ẩn) đại diện vectơ Ơng lưu ý thứ tự đường phép cộng khơng quan trọng Sau đó, ơng đưa vào phép nhân hai đường đồng phẳng Tích hai đường ñồng phẳng ñường ñồng phẳng có chiều dài tích chiều dài độ nghiêng tổng ñộ nghiêng hai ñường ban ñầu Theo qui ước Wessel, ñường ñơn vị ñược ñược cố ñịnh kí hiệu +1 Một ñường ñơn vị khác vng góc với có điểm gốc kí hiệu +δ Ơng ký hiệu -1 ñơn vị ñối +1 với phép tốn định nghĩa −1 = δ ( +δ )( +δ ) = −1 Như vậy, Wessel ñã ñưa ñược cách giải thích hình học cho −1 Ơng chứng minh bán kính đường trịn đơn vị ñược viết dạng cos v + δ sin v hay a + δ b người ta nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ biểu thức 14 2.3 Mơ hình Argand Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) công bố Tiểu luận cách biểu diễn ñại lượng ảo phép dựng hình học, ơng đưa cách biểu diễn hình học phép cộng phép nhân số phức Điểm xuất phát ñầu tiên Argand ñại số Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân hai đơn vị có hướng đối nhau, ñại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức: +1 x = Hiển nhiên ta có x − x = −1 Vì đại x −1 lượng x khơng thể âm, dương nên cần hướng thứ chứa x Với tư tưởng này, ông biểu diễn số thực trục, sau xét trục vng góc với trục thứ điểm gốc Trên trục thứ hai, hai đại lượng đơn vị theo thứ tự ñược biểu diễn + −1 − −1 Như vậy, nguyên lý biểu diễn hình học đặt Ơng đưa vào khái niệm ñường ñịnh hướng: “Đường ñịnh hướng ñược phân biệt với ñường tuyệt ñối- ñường mà người ta xem xét chiều dài, khơng quan tâm hướng” Để liên kết ñường ñịnh hướng với nhau, ơng đường song song với trục thực ñược viết ± a , ñường vng góc với viết ±b −1 cuối đường mặt phẳng biểu diễn ± a ± b −1 Sau ông thiết lập tương ứng số ảo với phép dựng hình học thực đường định hướng Nhận xét Trong q trình tìm nghiệm phương trình bậc ba mầm mống số phức bắt đầu xuất Tuy nhiên, cách viết trung gian để tìm nghiệm phương trình bậc Chính tốn tìm nghiệm thực phương trình bậc ba 15 dặt vấn đề là: phương trình bậc ba có nghiệm thực khơng? Nếu có xác định chúng Người Hy Lạp cổ đặc biệt Euclide (330-275 trước cơng ngun) tìm cách giải khơng thành cơng tốn dẫn đến phương trình bậc ba Như tốn “chia ba góc 600 ” dẫn tới phương trình x3 = 3x + Việc giải phương trình thực nhờ vào phép dựng hình học Phép dựng hình học nghiệm thực phương trình bậc ba thành cơng nhiều nhà tốn học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) giải toán Archimede Bài tốn dẫn tới phương trình bậc ba dạng ax + a 2b = cx nghiệm ñược xác ñịnh từ giao parabol x = ay hyperbol y ( c − x ) = ab Nhưng biểu thức ñại số nghiệm chưa xuất lời giải Cũng q trình tìm cách biểu diễn hình học số phức mà hệ thống tính tốn vectơ ñã ñược tạo Kết luận Trong phân tích thấy rõ có số thực ta gặp bế tắc việc giải phương trình bậc ba việc giải bế tắc ñã ñưa ñến việc phát minh số phức Và từ số phức người ta chứng minh ñược phương trình bậc n có n nghiệm Đây ñịnh lý mà ngày người ta gọi “ Định lý Đại Số Học” Hơn việc phát minh số phức cịn thúc đẩy lĩnh vực khác tiến thêm bước có ngành Tốn học đời như: lý thuyết hàm số biến số phức… Có thể nói số phức cầu nối Đại Số Giải Tích 16 Chương SỐ PHỨC DƯỚI GĨC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC Mở ñầu Nghiên cứu thực chương với mục đích trả lời cho câu hỏi Q2: “Trường số phức ñược xây dựng bậc ñại học?” Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số quan điểm xây dựng số phức lịch sử cách xây dựng trường số phức bậc ñại học Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu ba giáo trình đại học khác ba nước Mỹ, Anh Việt Nam Để thực chương này, chúng tơi sử dụng số tài liệu tham khảo sau: NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất giáo dục NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất ñại học quốc gia thành phố HCM NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất trẻ ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà xuất giáo dục MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco State University, San Francisco CA 94132 W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Các quan ñiểm xây dựng khái niệm số phức lịch sử Năm 1799, Gauss ñưa cách chứng minh ñịnh lý Đại số học Nhưng Gauss có thói quen khơng hay vội vã cơng bố cơng trình Mãi