Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CÁC PP TRỌNG TÂM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG PP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x ( x + ) + ( x − x − 3) x + = −6 x Lời giải: −3 ĐK: x ≥ Khi đó: PT ⇔ x3 + x ( x + 3) + ( x − x − 3) x + = Đặt y = x + ta có: x + xy + ( x − y ) y = ⇔ x3 + x y + xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = ⇔ x = y ⇔ x = x + x ≥ ⇔ ⇔x= 4 x − x − = Vậy PT có nghiệm là: x = 1  Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x − x + =  + x −  x − x  Lời giải: ĐK: x ≥ Khi ta có: PT ⇔ x3 − ( x − 1) x =  x − + x  x − Đặt y = x − ≥ ta có: x − xy = ( x + y ) y ⇔ x3 − x y − xy − y = x ≥ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = ⇔ x = y ⇔ x = 2 x − ⇔  ⇔ x = ± 12 ( tm )  x − 8x + = Vậy nghiệm PT là: x = ± 12 Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình 1  = 2 x +  x x  Lời giải: − x2 + − 5 − x ≥  ĐK:  Khi VT>0 nên x > 5 − ≥  x Ta có: − x + − + x ( − x )  − x12  =  x + 1x  2 1      ⇔ 10 −  x +  + 26 −  x +  =  x + +  x  x  x     Đặt t = x + ( t ≥ ) ta có: 10 − t + 26 − 5t = + 4t ⇔ − 5t = −2 26 − 5t x ⇔ ( 26 − 5t ) + 26 − 5t − 24 = ⇔ 26 − 5t = ⇔ t = ⇒ x + = ⇒ x = ( x > ) x Vậy x = nghiệm nất PT cho Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x − + x + x + = x + 3x − 15 Lời giải: ĐK: x ≥ Khi đó: PT ⇔ ( x − 3) + x + x + + ( x − 3)( x + 1)( x + 3) = x + 3x − 15 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔4 ( x − 3)( x + 1)( x + 3) = x − x − ⇔ (x Facebook: LyHung95 − x − 3) ( x + ) = ( x − x − 3) + ( x + 3) Đặt u = x − x − 3; v = x + ( u; v ≥ ) ta có 3u − 4uv + v = ⇔ ( 3u − v )( u − v ) = + 33 19 + 631 TH2: Với 3u = v ⇔ x − 19 x − 30 = ⇔ x = 18 Vậy PT cho có nghiệm TH1: Với u = v ⇒ x − x − = ⇔ x = Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x + + x − x + = 24 x − x + 14 Lời giải: Đặt u = x + 1; v = x − x + ( v > ) ta có: u + 2v = 4u + 5v u + 2v ≥ u + 2v ≥ u = v ⇔ ⇔ ⇔   2 ( u − v )( 3u − v ) = 3u = v u + 4uv + 4v = 4u + 5v x =1  x ≥ −1 Với u = v ta có: x + = x − x + ⇔  ⇔ x = 3 x − x + =   x ≥ −1 −10 + 65 ⇔ x= Với 3u = v ta có: 3x + = x − x + ⇔  5 x + 20 x + = −10 + 65 Kết luận: Vậy PT cho có nghiệm x = 1; x = ; x = ( x − 1) Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x  x ( x − 1) ≥  Điều kiện:  x ( x − ) ≥ ⇔ x ≥ x ≠  Phương trình tương đương với 2x − + x−2 = x x Lời giải 2 + 1− = x x x  a + b = x a = x − a + b = x 1 1 a2 x   Đặt  ⇒ ⇒ ⇒ a = x + − = + x −    2 x a − b = x − a − b = b = − x   x 2 ⇔ a + = 4a ⇔ ( a − ) = ⇔ a = ⇔ x − = x ⇔ x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = + (vì x ≥ ) x Vậy phương trình có nghiệm x = + Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình − x + 21x − 28 x3 = x x + x − x3 28 x + Lời giải: Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 28 Ta có x = không nghiệm phương trình Với x ≠ phương trình tương đương với − x + 21x − 28 x3 x ( 28 x + 1) 21 1  = x + x − x ⇔ − + − 28 =  28 +  + − 3 x x x x x x x x  Đặt t = ta được: t − 4t + 21t − 28 = ( t + 28) 2t + 9t − x Điều kiện: 28 x + ≠ ⇔ x ≠ − ⇔ ( t − 1) − ( t − 18t + 27 ) = ( t + 28 ) ( t + 28)( t − 1) + t − 18t + 27 Đặt a = t − 1; b = 2t + 9t − ta có hệ phương trình a − ( t + t + ) = ( t + 28 ) v  ⇒ a − b3 = ( t + 28 )( a − b ) ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + t + 28) =  v = ( t + 28 ) t + ( t + t + ) 2 1    86 +) Nếu a + ab + b + t + 28 = ⇔  a + b  +  t +  + = vô nghiệm 2   3 t =  x = −1  +) Nếu a = b ⇔ t − = 2t + 9t − ⇔ t − 5t − 6t = ⇔ t ( t + 1)( t − ) = ⇔ t = −1 ⇔   x =  t = 6   1 Vậy phương trình có tập nghiệm S =  −1;   6 Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình 2 − x 3− x + 3− x 6− x + − x − x = x Lời giải: Điều kiện: x ≤ ab + bc + ca = x a = − x ( a + b )( a + c ) = a + ab + bc + ca =   a = − x    Đặt b = − x ⇒  ⇒ b + ab + bc + ca = ⇔ ( b + a )( b + c ) =  b = − x c + ab + bc + ca =  c = − x  ( c + a )( c + b ) = c = − x   a + b =  ⇒ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ⇒ b + c = ⇒ a + b + c = ⇒ c = ⇒ x = (thỏa mãn) c + a =  Vậy phương trình có nghiệm x = ( ) Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình + x = x + x − 24 x + 20 Lời giải x ≥ Điều kiện:  5 x − 24 x + 20 ≥ Phương trình tương đương với ( − x ) + x = x − 24 x + 20 a = − x a + 2b ≥ Đặt  ( b ≥ ) ta a + 2b = 5a − 4b2 ⇔  2 2 b = x 5a − 4b = a + 4ab + 4b Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  a + 2b ≥  a + 2b ≥  ⇔ ⇔   a = −b  a − ab − 2b =    a = 2b +) Nếu a = −b ⇔ − x = − x ⇔ x − x − = ⇔ x = (t/m) +) Nếu a = 2b ⇔ − x = x ⇔ x + x − = ⇔ x = − (t/m) { Vậy pt có tập nghiệm S = 4;4 − Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình } x + x −1 − x − 33x + 54 =1 Lời giải x ≥  Điều kiện: 6 x − 33x + 54 = 6 x − 33x + 50 ≠  Phương trình tương đương với x + x − = − x − 33x + 54 ⇔ − x − x = x − 33x + 54  a − 2b ≥ a = − x a − 2b ≥  2 Đặt  ( b ≥ ) ta a − 2b = 6a + 3b ⇔  ⇔  a = −b a + ab − b = b = x  5a = b  + 13 (loại a − 2b < ) 301 − +) Nếu b = 5a ⇔ x = 15 − x ⇔ x + x − 15 = ⇔ x = (loại a − 2b < ) 10 Vậy phương trình vô nghiệm +) Nếu a = −b ⇔ − x = − x ⇔ x − x − = ⇔ x = Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải phương trình + x + = x + x − 32 x + 44 Lời giải  x ≥ − Điều kiện:  5 x − 32 x + 44 ≥ Phương trình tương đương với − x + x + = x − 32 x + 44 a + b ≥ a = − x a + b ≥  2 Đặt  ta a + b = 5a − b ⇔  ⇔ a = b b = x + 2a − ab − b =    2a = − b x ≤ +) Nếu a = b ⇔ − x = x + ⇔  ⇔ x = − 2 (t/m) x − x + =  x ≥ 13 + 29 +) Nếu 2a = −b ⇔ x − = x + ⇔  ⇔x= (t/m) 4 x − 26 x + 35 =  13 + 29  Vậy phương trình có tập nghiệm S = 4 − 2;    Ví dụ 12 [ĐVH]: Giải phương trình x + + 2 − x = x + 31x + 34 Lời giải Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x ≤ Điều kiện:  8 x + 31x + 34 ≥  a + 2b ≥ a + b ≥ a = x +   Đặt  ta a + 2b = 8a + b2 ⇔  ⇔  a = b b = − x 7a − 4ab − 3b =   7a = −3b  x ≥ −2 17 − +) Nếu a = b ⇔ x + = − x ⇔  ⇔x= (thỏa mãn)  x + 5x + = −205 − 793  x ≤ −2 +) Nếu 7a = −3b ⇔ −7 ( x + ) = − x ⇔  (thỏa mãn) ⇔x= 98  49 x + 205 x + 178 =  −205 − 793 17 −  Vậy phương trình có tập nghiệm S =  ;  98   Ví dụ 13 [ĐVH]: Giải phương trình 3x − + x − x2 + x − − =1 Lời giải  x ≥  Điều kiện: 9 x + x − ≥   9x + 6x − ≠  Phương trình tương đương với: 3x − + x − = x + x − a = 3x − Đặt  ta a + b = a + 3b2 b = x − a + b ≥ ⇔ b = ab +) Nếu b = ⇔ x =  x ≥ +) Nếu b = a ⇔ 3x − = x − ⇔  vô nghiệm 9 x − 10 x + = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 14 [ĐVH]: Giải phương trình x − + x + = 3x + x + Lời giải x ≥ Điều kiện:  3 x + x + ≥ a + b ≥ a = x − a + b ≥  2 Đặt  ta a + b = 3b − 2a ⇔  ⇔  a = b b = x + 9a + 2ab − 11b =  9a = −11b  Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x ≥ −1 vô nghiệm +) Nếu a = b ⇔ x + = x − ⇔  x + x + =  x ≤ −1 vô nghiệm +) Nếu 9a = −11b ⇔ x − = −11 ( x + 1) ⇔  121x + 161x + 202 = Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 15 [ĐVH]: Giải phương trình x + x − = x x − x ( x ∈ ℝ) Lời giải  x ≠ Điều kiện   x ( x − 1) ≥ Phương trình cho tương đương với ( x − 1) + x = x x − 2x − Đặt = t , t ≥ thu x  x2 −  x2 −1 ⇔ 2 − +1 =  x x  x  t ≥ t ≥ 1  ⇔ ⇔ t ∈  ;1  2  ( t − 1)( 2t − 1) = 2t − 3t + = x2 −   t =1⇔ = ⇔ x − x − = ⇔ ( x − 1)( x + 1) = ⇔ x ∈ − ;1 x   1 + 129 − 129  2x2 −1 t= ⇔ = ⇔ ( x − 1) = x ⇔ x − x − = ⇔ x ∈  ;  x 16   16  1 + 129 − 129  Đối chiếu điều kiện suy phương trình cho có bốn nghiệm x ∈ − ;1; ;  16 16   8x + − x2 + x − = 2x + Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với Ví dụ 16 [ĐVH]: Giải phương trình ( x ∈ ℝ) 16 x + 14 = ( x + ) − x + x − ⇔ − x + x − − x − x + x − + x − − x + x − + x + 20 = ⇔ ( ) ( − x2 + x − − x − ) − x + x − − x + 20 = − x + x − − x = t ta thu Đặt  −x2 + x − = x + t − 9t + 20 = ⇔ ( t − )( t − ) = ⇔ t ∈ {4;5} ⇔   −x2 + x − = x +  Xét hai trường hợp xảy x + ≥  x ≥ −4 • (1) ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅ − x + x − = x + x + 16 2 x + x + 22 = (1) ( 2)  x ≥ −5 ⇔ ⇔ x ∈∅  2 − x + x − = x + 10 x + 25 2 x + x + 31 = Vậy phương trình cho vô nghiệm • x + ≥ ( 2) ⇔  Ví dụ 17 [ĐVH]: Giải phương trình x + 3x + x + = x ( x + 3) x + +6 x ( x ∈ ℝ) Lời giải Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Điều kiện x ( x3 + x + ) ≥ 0; x ≠ Phương trình cho tương đương với 2x2 + 2 + x + = ( x + 3) x + + x x ⇔ x2 + 2 + − x x + + + x − x + + + 3x + = x x x     2 ⇔  x + + − x  −  x + + − x  + = x x     Đặt x2 + + − x = t ta thu x  2  x + + = x +1 x t − 3t + = ⇔ ( t − 1)( t − ) = ⇔ t ∈ {1; 2} ⇔   2  x + +6 = x+2 x  Xét hai trường hợp xảy (1) ( 2)  x ≥ −1  + 41 − 41   x ≥ −1 x ⇔ ⇔ ∈ ;    2  2 x − x − =  x + x + = x ( x + x + 1)   x ≥ −2  x ≥ −2   ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ − ;1 ( )    4 x − x − =  x + x + = x ( x + x + ) (1) ⇔  Vậy phương trình cho có bốn nghiệm kể = ( x + 5) x Lời giải Ví dụ 18 [ĐVH]: Giải phương trình ( + x ) x + Điều kiện x > ( x ∈ ℝ) Phương trình cho tương đương với ( x + 3) x + = ( x + ) x Đặt u = v x + = u; x = v ( u > 0; v > ) ta có ( v + 3) u = ( u + 3) v ⇔ ( u − v )( uv − 3) = ⇔  uv = o u = v ⇔ x − x + = (Vô nghiệm) o uv = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = So sánh điều kiện ta thu nghiệm S = {1} (1 + x ) 3x − Ví dụ 19 [ĐVH]: Giải phương trình =2 5x − 5x − Lời giải 3x − Điều kiện ≥ 5x − Đặt x − = u;5 x − = v ⇒ x + = u + 4;5 x − = v + Với ( x ∈ ℝ) u+4 ≥ , phương trình cho trở thành v +1 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 u+4 u =2 ⇔ ( u + 8u + 16 ) v = 4u ( v + 2v + 1) ⇔ u v − 4uv = 4u − 16v v +1 v uv = ⇔ uv ( u − 4v ) = ( u − 4v ) ⇔ ( uv − )( u − 4v ) = ⇔   u = 4v uv = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = ⇔ 15 x3 − x − x − = ⇔ ( x − 1) (15 x + x + 1) = ⇔ x = 10 + 67 10 − 67 ;x = 3 10 + 67 10 − 67 Đối chiếu điều kiện suy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = ;x = 3 u = 4v ⇔ x − = ( x − 3) ⇔ x − 20 x + 11 = ⇔ x = Ví dụ 20 [ĐVH]: Giải phương trình x3 + x + 27 x + 12 − + x = + x ( x ∈ ℝ) Lời giải  x + x + 27 x + 12 ≥ Điều kiện   x ≥ −1 Bất phương trình cho tương đương với x3 + x + 27 x + 12 = + x3 + + x ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + ) ⇔ x + x + 27 x + 12 = x + x + + ( x + 1)( x + ) ⇔ x + 26 x + = x2 − x + ⇔ ( x + x + ) − ( x − x + 1) = x + x + x − x + x + 3x + = u; x − x + = v ( u ≥ 0; v > ) ta thu Đặt 7u − 5v = 2uv ⇔ ( u − v )( 7u + 5v ) = ⇔ u = v ⇔ x + x + = x − x + ⇔ x = −  1 Thử lại, kết luận nghiệm S = −   4 Ví dụ 21 [ĐVH]: Giải phương trình x3 + 5x + x + + 3x = + x 4x − 8x + Lời giải Điều kiện x − x + ≠ Phương trình cho tương đương với 3 ( x ∈ ℝ) x + 10 x + x + = ( x − x + 1) x3 − x + ⇔ x3 + 12 x + x + − ( x + x − 1) = ( x − x + 1) ( x3 − x − x + 1) + x + x − ⇔ ( x + 1) − ( x + x − 1) = ( x − x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) + x + x − Đặt x + = u; x3 − x + = v ta thu hệ phương trình u − ( x + x − 1) = ( x − x + 1) v u = v  ⇒ u − v3 = ( x − x + 1) ( v − u ) ⇔   2 2 v − ( x + x − 1) = ( x − x + 1) u u + uv + v + ( x − x + 1) = o u = v ⇔ x + = x3 − x + = v ⇔ x + 12 x + x + = x3 − x +  −5 + 19 −5 − 19  ⇔ x3 + 20 x + x = ⇔ x ( x + 10 x + 3) = ⇔ x ∈ 0; ;  2   Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 o 1  u + uv + v + ( x − x + 1) = ⇔  u + v  + v + ( x − x + 1) = 2  2 2 2 3 23 1  1   ⇔  u + v  + ( x + 1) + ( x − x + 1) = ⇔  u + v  +  x −  = − (Vô nghiệm) 10 2  2   10  Kết luận phương trình cho có ba nghiệm kể 2+ x 2− x 20 Ví dụ 22 [ĐVH]: Giải phương trình + = ( x ∈ ℝ) 20 − x 20 + x Lời giải Điều kiện −20 < x < 20 Đặt 20 − x = u; 20 + x = v, ( u > 0, v > ) ⇒ x = 20 − u = v − 20 Phương trình cho trở thành 2 + 20 − u 2 − ( v − 20 ) 20 22 22 20 + = ⇔ + =u+v+ u v u v ( u + v ) − 2uv = 40 2uv = ( u + v )2 − 40 u + v = 40    Ta thu hệ phương trình  22 22 ⇔  44 ( u + v ) 20 ⇔  22 ( u + v ) 20 20 =u+v+ =u+v+ =u+v+  +   v u 3  uv  2uv Đặt u + v = t , t > 3.44t = ( 3t + 20 ) ( t − 40 ) ⇔ 3t + 20t − 252t − 800 = t = ⇔ ( t − ) ( 3t + 44t + 100 ) = ⇔  ⇒ t = ⇒ uv = 12 3t + 44t + 100 = ⇔ ( 20 − x )( 20 + x ) = 12 ⇔ 400 − x = 144 ⇔ x = 256 ⇔ x = −16; x = 16 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = −16; x = 16 Ví dụ 23 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x − − x2 + x2 − x + = x ( x ∈ ℝ) Lời giải 4 x − − x ≥ Điều kiện  x ≥ Nhận thấy x = không thỏa mãn phương trình cho Với x > ta biến đổi dạng Đặt 1  −  2x +  + 2x + − = x x  1  −  x +  = u; x + − = v, ( u ≥ 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình x x  2 u + v = 2 u + 2uv + v = ⇔ 2 ⇒ ( − 2uv ) − 2u v =  4 2 u + v = ( u + v ) − 2u v = ⇔ ( − uv ) − u v = ⇔ u v − 8uv + = ⇔ ( uv − 1)( uv − ) = Rõ ràng u; v ∈ [ 0; 2] ⇒ uv ≤ , loại trường hợp uv = Đặt x + = u , u ≥ 2, ∀x > x 2 Với uv = ⇔ ( − t )( t − ) = ⇔ t − 6t + = ⇔ ( t − 3) = ⇔ t = ⇒ 2x + 1 = ⇔ x − x + = ⇔ x = 1; x = x Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x = 1; x = Facebook: LyHung95 Ví dụ 24 [ĐVH]: Giải phương trình 10 x + = ( x + ) x − x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ( x − 1) ≥ Đặt ( t ≥ ) ⇒ 5x = t + x Phương trình cho trở thành ( t + x ) + = ( x + ) t ⇔ 2t − ( x + ) t + x + = ⇔ 2t ( t − ) − x ( t − ) − ( t − ) = ⇔ ( t − )( 2t − x − 3) = 5x − x = t 5 x − x − =  5x − x = t =    ⇔ ⇔ ⇔   x ≥ −3 ⇔ x ∈ − ; − ;1  19   x − x = x +  2t = x +  19 x − 10 x − =     Đối chiếu điều kiện thu nghiệm S = − ; − ;1  19  Ví dụ 25 [ĐVH]: Giải phương trình x3 − x = + ( 3x − ) x + 3x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x + x + ≥ x3 + x + = t , t ≥ ⇒ x3 = t − x − Phương trình cho tương đương với Đặt t − 3x − − x = + ( 3x − ) t ⇔ t − ( 3x − ) t − x − = • •  t = −3 ⇔ t ( t + 3) − x ( t + 3) − ( t + 3) = ⇔ ( t − x − 1)( t + 3) ⇔  t = x + Loại giá trị t = −3 <  + 93 − 93  3 x + ≥ 3 x + ≥ t = 3x + ⇔  ⇔ ⇔ x ∈ 0; ;  2 2   x + 3x + = x + x +  x − x − 3x =   + 93 − 93  Đối chiếu điều kiện đến đáp số S = 0; ;  2   Ví dụ 26 [ĐVH]: Giải phương trình x + x + = ( x − 1) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Phương trình cho tương đương với x + x + 10 = ( x − 1) x + ⇔ ( x + 3) − ( x − 1) x + + x − = Đặt ( ) x + = u; x − = v, u ≥ ta thu 4u − 2uv + v − = ⇔ 4u − − v ( 2u − 1) = ⇔ ( 2u − 1)( 2u − v + 1) = u ≥ ⇒ 2u − ≠ ⇒ x + = v − = x − ⇔ x + = x − 1  2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ 2 4 x + 12 = x − x + 4 x = −11  Kết luận toán vô nghiệm ( Ví dụ 27 [ĐVH]: Giải phương trình x + + x + x − ĐK: x ≥ )( ) x + − x − = 45 Lời giải Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 ) ( x+4+ + 3x − ) − ( x + + PT cho tương đương với x + + x + x − = 45 ( ⇔ 2x + + x2 Đặt t = x + + x − ( t > ) ⇒ t = x + + x − + ) x −1) − = x −1 ( x + )( x − 1) = x + + x + 3x − t = ⇒ PT ⇔ 2t − 9t − = ⇔  −1 t = (loai )  2 1   Với t = ⇒ x + + x − = ⇔ ( x − )  +  = ⇒ x = (thỏa mãn) x −1 +   x+4 +3 >0 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x Lời giải Ví dụ 28 [ĐVH]: Giải phương trình x − x + = x x + ĐK: x > Do x = không nghiệm phương trình chia vế phương trình cho x ta 4 PT ⇔ x + − x + − = x x t = 4 Đặt t = x + với t > ⇒ t = x + ⇒ PT ⇔ t − t − = ⇔  x x t = −3(loai ) 4 Với t = ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = x x Vậy phương trình cho có nghiệm x = x − x − + x − = x − 14 x − Lời giải Ví dụ 29 [ĐVH]: Giải phương trình  x2 − x − ≥ + 21  ĐK:  x − ≥ ⇒x≥  5 x − 14 x − ≥ PT ⇔ x − x − + x − = ( x − x − 3) − ( x − )  A = x − x − ( A > ) ⇒ A2 = x − x − Đặt   B = x − ( B > ) ⇒ B = x − ⇒ PT ⇔ A + B = A2 − B ⇔ A2 − AB − 8B = ⇔ ( A + B )( A − B ) = ⇒ A = B >0  x = 5(t / m) Với A = B ⇒ x − x − = x − ⇔ x − x + = ⇔   x = 1(loai ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( Ví dụ 30 [ĐVH]: Giải phương trình x + 10 x − = x + 3 x − 10 x + PT ⇔ x − ( x − 10 x + ) − x ) Lời giải 23 x − 10 x + = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đặt t = x − 10 x + ⇒ t = x − 10 x + ⇒ PT ⇔ x3 − 3x 2t − t = ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t ) = ⇒ x − t = ⇔ x = t >0 Với x = t ⇒ x = x − 10 x + ⇔ x − x + 10 x − = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 31 [ĐVH]: Giải phương trình 11x + x + = x 3x + x + Lời giải PT ⇔ ( x + x + ) − x x + x + + x = Đặt t = x + x + 2(t > 0) ⇒ t = x + x + t = x ⇒ PT ⇔ t − xt + x = ⇔ ( t − x )( t − x ) = ⇔  t = x  x =  x2 − x − =  TH1 : t = x ⇒ 3x + x + = x ⇔  ⇔   x = −1 ⇒ x = x ≥ x ≥   ± 105 13 x − x − = + 105 x = ⇔ ⇒x= TH : t = x ⇒ x + x + = x ⇔  2 x ≥  x ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Ví dụ 32 [ĐVH]: Giải phương trình (x + 105 + x ) + ( x − 1) = x ( x + 1) 2 − x2 x ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải: x ≠ − x2  ĐK: 1 − x (*) Khi (1) ⇔ x + x3 + x + x − x + = ( x + x ) x ≥0   x   − x2 2  1    ⇔ x2 + x + − + =  x +  ⇔  x2 + +  +  2x −  =  x +  −x x x  x x x x  x x    1 1  1   ⇔  x +  − 2 − x =  x +  −x x x x  x   Đặt x + = a; x (2) − x = b x b = − a Khi (2) trở thành a − 2b = ab ⇔ a − ab − 2b = ⇔ ( a + b )( a − 2b ) = ⇔  2b = a •   1  x + ≤0 −  x + x  ≥  x  1     TH1 b = −a ⇒ − x = − x +  ⇔  ⇔ 2 x x  1 − x =  x +   x −  + +  x −  =       x  x x  x  (3) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1  1  15   Mặt khác  x −  + +  x −  =  x − +  + > ⇒ (3) vô nghiệm x x  x 2    x2 +  x + ≥ ≥0   x 1   x TH2 2b = a ⇒ −x = x+ ⇔  ⇔  x x 4  − x  =  x +  4  − x  =  x −  +          x x x       x • x > x > x >    ⇔  ⇔  ⇔ 1  1 1   x − x  +  x − x  + =  x − x +  =  x − x + =        x > x > ⇔ ⇔ ⇔ x = − Đã thỏa mãn (*) + − = x 2x = − ± x    Đ/s: x = − x+ Ví dụ 33 [ĐVH]: Giải phương trình 1  1 + x − = x  x + − x −  x x  x x ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải: ĐK: x ≠ 0; x + Khi (1) ⇔ Đặt x+ 1 ≥ 0; x − ≥ (*) x x 2 1  18 x  1  x + + x −  =  x + − x −  x x x  x x = a; x x− (2) = b ( a, b ≥ ) ⇒ a + b = x; a − b = x x Phương trình (2) trở thành ( a − b ) ( a + b ) = a + b2 ) ( a − b ) ( ⇔ ( a − b ) ( a + b ) − ( a − b )( a + b ) = ⇔ ( a − b ) ( 9a + 9b − 5a − 5b − 10ab ) = a = b ⇔ ( a − b ) ( 4a + 4b − 10ab ) = ⇔ ( a − b )( a − 2b )( 4a − 2b ) = ⇔  a = 2b  2a = b 2 • 1   x+ ≥0 x+ ≥0   1   x x TH1 a = b ⇒ x + = x − ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅ x x x + = x − 2 =  x x x  •  x+ ≥0  x2 +  ≥0 x 1   TH2 a = 2b ⇒ x + = x − ⇔  ⇔ x x x  x + =  x −   x + = 4x −  x x   Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x ≥ x >  ⇔ ⇔ Đã thỏa mãn (*) ⇔x= 3 x = x = ±  •  x + ≥0  x2 +  x > ≥0 x 1   TH3 2a = b ⇒ x + = x − ⇔  ⇔ x ⇔ ⇔ x ∈∅ x x 4  x +  = x −  x + = x − 3 x + =    x x Đ/s: x = x + x2 − = Ví dụ 34 [ĐVH]: Giải phương trình 27 2 ( x − 1) x − ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải: x ≥  ĐK:  x − ≥ ⇔ x ≥ (*)  x + x −1 ≥ Khi (1) ⇔ x + x − = ⇔ ( x +1 + x −1 Đặt a = x + 1; ) = 27 ( x − 1) x − 27 27 2 ( x − 1) x − ⇔ x + + x − = ( x − 1) x − 4 ( ) x − = b a ≥ 2; b ≥ ⇒ a − b = Khi (2) trở thành a + b = (2) (3) 27 b ⇔ 27b5 = ( a + b ) Kết hợp với (3) ta có 27b5 = ( a − b ) ( a + b ) (4) Với b = vào (4) ta ( a − ) ( a + ) = ⇔ a = loại a ≥ 2  a2   a  Với b ≠ ta có (4) ⇔ 27 =  − 1  + 1 b  b  Đặt a = t ( t ≥ ) ⇒ phương trình 27 = ( t − 1) ( t + 1) ⇔ ( t + 1) ( t − 2t + 1) = 27 b t = ⇔ t + t − 2t − 2t + t − 26 = ⇔ ( t − ) ( t + 3t + 4t + 6t − 13) = ⇔  t + 3t + 4t + 6t − 13 = • x ≥  x − ≥ a  TH1 t = ⇒ = ⇔ a = 2b ⇒ x + = x − ⇔  ⇔ 5⇔x= b  x + = ( x − 1)  x = Đã thỏa mãn (*) ⇒ x = • nghiệm (1) TH2 t + 3t + 4t + 6t − 13 = (5) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với ĐK (*) có t = a = b x +1 = x −1 Facebook: LyHung95 x +1 = 1+ > ⇒ VT (5) > + + + − 13 = > ⇒ (5) vô nghiệm x −1 x −1 Đ/s: x = Ví dụ 35 [ĐVH]: Giải phương trình x x + + ( x + 1) x + x + = 26 x + 13 ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải:  x + ≥  x + ≥ ĐK:  ⇔ ⇔ x ∈ ℝ (*) ( x + 1) + ≥  x + x + ≥ 2 Đặt x + x + = a; Khi (1) trở thành b  a2 − b2 −  x = x + = b ( a, b ≥ ) ⇒ a − b = x + ⇒  2 x +1 = a − b +1  a − b2 − a − b + 13 2 + a = (a − b ) 2 ⇔ ( a 2b − b3 − b ) + ( a − ab + a ) = ⇔ ( a − b3 ) + ( a 2b − ab ) − 26 2 (a − b ) 26 2 (a − b ) + (a − b) = ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b ) + ab ( a − b ) − 26 ( a − b )( a + b ) + ( a − b ) = 26 26 26     ⇔ ( a − b )  a + ab + b + ab − a − b + 1 = ⇔ ( a − b ) ( a + b ) − ( a + b ) + 1 = 5     a = b  1  ⇔ ( a − b ) ( a + b − 5)  a + b −  = ⇔  a + b = 5   a + b =  •  x2 + ≥  x + ≥   TH1 a = b ⇒ x + = x + x + ⇔  ⇔ ⇔ x=− 2  x + = x + x +  x = −  Đã thỏa mãn (*) ⇒ x = − • TH2 a + b = Với ∀x ∈ ℝ có • nghiệm (1) 1 ⇒ x2 + + x2 + x + = 5 x2 + + x2 + x + > + > (2) ⇒ (2) vô nghiệm TH3 a + b = ⇒ x + + x + x + = ⇔ x + x + = − x + Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 5 − x + ≥  ⇔ 2 x + 2x + = − x +  ( ) Facebook: LyHung95 2  x + ≤ 25  x ≤ 23 ⇔ ⇔ 2 2  x + x + = x + 27 − 10 x + 10 x + = 24 − x  − 23 ≤ x ≤ 23  − 23 ≤ x ≤ 23 − 23 ≤ x ≤ 23   ⇔ ⇔  24 − x ≥ ⇔  x ≤ 12   2 10 x + = 24 − x  25 ( x + ) = x − 24 x + 144 100 ( x + ) = (12 − x ) − 23 ≤ x ≤ 23 − 23 ≤ x ≤ 23 −3 ±  Đã thỏa mãn (*) ⇔ ⇔ ⇔ x =  −3 ± 6 x = 24 x + 24 x − 94 =   Đ/s: x = − −3 ± x = Ví dụ 36 [ĐVH]: Giải phương trình 5x 17 = 4x −1 + x − 3x + x +1 ( x ∈ ℝ) (1) Lời giải:   x ≥ 17 x − x + ĐK:  (*) Khi (1) ⇔ x = x + x − + 17 x − x + ≥  ⇔ ( x + 1) + ( x − 1) = Đặt x + = a; ( x + 1) + ( x − 1) 2 + x + x − x − = b ( a, b ≥ ) Khi (2) trở thành a + b = (2) a + b4 + ab (3) 1  b4  b b Với x ≥ có a = x + > Do (3) ⇔ +   = 1 +  +  a4  a a b t4 +1 t4 +1 2 Đặt = t ( t ≥ ) ⇒ phương trình + t = +t ⇔ = t − t +1 a 2 2 t − t + ≥ t − t + ≥ t − t + ≥ t − t + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ t = 4   2 t − 4t + 6t − 4t + = t = ( t − 1) = t + = ( t − t + 1) 4 x ≥ 4 x − ≥ b  ⇒ = ⇒ a = b ⇒ x +1 = 4x −1 ⇔  ⇔ ⇔ x = Đã thỏa mãn (*) a  x + = 4x −1  x =  Đ/s: x = Cách Ý tưởng toán – dùng BĐT để đánh giá (3) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học TỔNG ÔN môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  a4 + b4  + a 2b  ≥ a + b = a + b + 2a b = (1 + )    2 4 2 2 Facebook: LyHung95  a4 + b4  a + b4 + a 2b  = + ab    2   Dấu " = " xảy ⇔ a = b Khi (3) ⇔ a = b Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia !