Đang tải... (xem toàn văn)
LỜI NÓI ĐẦU Khoảng cách và thể tích là hai vấn đề khó trong hình học nói chung và hình học không gian nói riêng. Chuyên đề này được biên soạn dành cho các học sinh muốn có thêm tư liệu ôn tập, tự kiểm tra lại các kĩ năng làm bài của mình và tham khảo các dạng bài tập. Chuyên đề bám sát nội dung sách giáo khoa và có các bài tập nâng cao sẽ giúp các bạn nắm vững các dạng bài tập, phương pháp để tính thể tích và xác định khoảng cách trong không gian. Chuyên đề bao gồm các phần: Phần I: Tóm tắt lý thuyết về khoảng cách và thể tích trong không gian Phần II: Các dạng bài tập và phương pháp giải Phần III: Bài tập áp dụng và các bài tập tự luyện Nội dung của chuyên đề sẽ giúp khái quát một số dạng bài tập và cách giải chi tiết kết hợp với lý thuyết và các dạng bài tập tự luyện có lời giải và hướng dẫn sẽ giúp các bạn hệ thống và nắm vững các dạng bài tập khó này . Hi vọng chuyên đề này sẽ giúp các bạn học tập tốt và có thêm tư liệu củng cố kiến thức và rèn luyện để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập Trân trọng cảm ơn NHÓM BIÊN SOẠN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN LINH - - CHUYÊN ĐỀ Nhóm thực hiện: • • • Nguyễn Hải Đăng Đoàn Xuân Quyền Nguyễn Thành Sửu • • • Phạm Minh Hoàng Nguyễn Văn Vũ Huỳnh Chí Công LỜI NÓI ĐẦU Khoảng cách thể tích hai vấn đề khó hình học nói chung hình học không gian nói riêng Chuyên đề biên soạn dành cho học sinh muốn có thêm tư liệu ôn tập, tự kiểm tra lại kĩ làm tham khảo dạng tập Chuyên đề bám sát nội dung sách giáo khoa có tập nâng cao giúp bạn nắm vững dạng tập, phương pháp để tính thể tích xác định khoảng cách không gian Chuyên đề bao gồm phần: - Phần I: Tóm tắt lý thuyết khoảng cách thể tích không gian - Phần II: Các dạng tập phương pháp giải - Phần III: Bài tập áp dụng tập tự luyện Nội dung chuyên đề giúp khái quát số dạng tập cách giải chi tiết kết hợp với lý thuyết dạng tập tự luyện có lời giải hướng dẫn giúp bạn hệ thống nắm vững dạng tập khó Hi vọng chuyên đề giúp bạn học tập tốt có thêm tư liệu củng cố kiến thức rèn luyện để đạt kết tốt học tập! Trân trọng cảm ơn! NHÓM BIÊN SOẠN MỤC LỤC Trang Lời nói đầu PHẦN I KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH A Tóm tắt lý thuyết khoảng cách B Tóm tắt lý thuyết thể tích PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề Dựng đoạn vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 12 Vấn đề Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo tính độ dài đoạn vuông góc chung 14 Vấn đề Tính khoảng cách thể tích 18 PHẦN III BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN A BÀI TẬP ÁP DỤNG 20 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 59 Tài liệu tham khảo 64 PHẦN I: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHOẢNG CÁCH 1.1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG((4)/tr197) Trong không gian cho điểm M đường thẳng a Kẻ MH ⊥ a, cho H ∈a Độ dài đoạn MH gọi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a, kí hiệu d(M ; a) 1.2 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG ((4)/tr198) Cho điểm M mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu M (P) Độ dài đoạn thagnwr MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(M,(P)) 1.3 KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG((4)/tr198) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng α Khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng a tới mặt phẳng α không phụ thuộc vào vị trí điểm M, gọi khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng α , kí hiệu d(a , α ) 1.4 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ((4)/tr198) Cho hai mặt phẳng α , β Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng α tới mặt phẳng β không phụ thuộc vào vị trí điểm M, gọi khoảng cách hai mặt phẳng α β , kí hiệu d( α , β ) 1.5 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1.5.1 Đoạn vuông góc chung ((4)/tr199) Định nghĩa: Đoạn thẳng AB đoạn thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b khi: Đường thẳng AB gọi đường vuông góc chung a b Định lí: Định lí Hai đường thẳng vuông góc có đoạn vuông góc chung Định lí Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn nối hai điểm nằm hai đường thẳng 1.5.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau((4)/tr199) Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Nhận xét Khoảng cách d hai đường thẳng chéo a,b bằng: - Khoảng cách từ đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với mặt phẳng thứ - Khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa a b b) a) B TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ THỂ TÍCH (8) CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ×S đ ×h V= Trong đó: Sđ diện tích đáy h chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 10 Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD) (SAD) ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD) Mặt khác: SC ∩ (ABCD) = {C} ⇒ AC hình chiếu vuông góc SC (ABCD) o · · ¼ Khi đó: ( SC ,( ABCD )) = ( SC , AC ) = ABC = 60 Xét ∆ABC vuông B: AC = AB + BC = a + 4a = a Xét ∆SAC vuông A (vì SA ⊥ (ABCD)): SA ⇔ SA = AC.tan 60o = a = a 15 AC S ABCD = AB.BC = a.2a = 2a Ta có: 1 2a 15 VS ABCD = SA.S ABCD = a 15.2a = 3 · tan SCA = 2a 15 V = Vậy S ABCD (đvtt) 55 Bài 23 ((6),bt4):Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên o mặt đáy 60 Tính thể tích hình chóp Bài làm: Gọi O tâm mặt đáy ⇒ SO ⊥ (ABCD) (vì S.ABCD hình chóp đều) Gọi M trung điểm CD Ta có: SM ⊥ CD (vì ∆SCD đều) OM ⊥ CD (vì ∆OCD cân O) SM ⊂ (SCD) OM ⊂ (ABCD) (SCD) ∩ (ABCD) = CD o · · · ⇒ (( SCD),( ABCD )) = ( SM , OM ) = SMO = 60 Vì O, M trung điểm BD, CD nên OM đường trung bình ∆BCD BD = =a ⇒ OM Xét ∆SOM vuông O (vì SO ⊥ (ABCD)): SO · ⇔ SO = OM tan SMO = a.tan 60o = a OM S ABCD = AB.BC = 2a.2a = 4a Ta có: · tan SMO = 56 1 4a 3 V = SO.S = a 3.4a = ABCD 3 ⇒ S ABCD 4a 3 V = Vậy S ABCD (đvtt) Bài 24 ((6),bt5): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi D, E hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Biết AB = 3, BC = 2, SA = Tính thể tích khối hình chóp S.ADE Bài làm: Xét ∆SAB vuông A, có đường cao AD: SB = SA2 + AB = 32 + 62 = 1 1 = + = + = AD SA2 AB 62 32 36 5 ⇒ Xét ∆ABC vuông B: AD = AC = BC + AB = 22 + 32 = 13 Xét ∆SAC vuông A, có đường cao AE: SC = AC + SA2 = 13 + 36 = 1 1 49 = + = + = AE SA2 AC 62 13 468 57 13 ⇒ Xét ∆SAD vuông D: AE = SD = SA2 − AD = 62 − 36 12 = 5 Xét ∆SAE vuông E: SE = SA2 − AE = 62 − 468 36 = 49 Ta có diện tích ∆ABC: 1 S = AB.BC = 3.2 = ABC 2 1 VS ABC = SA.S ABC = 6.3 = 3 ⇒ Thể tích hình chóp S.ABC: Ta có: VS ADE SA SD SE SD SE 12 36 864 = ⇔ VS ADE = VS ABC = = V SA SB SC SB SC 5 7 245 S ABC 864 V = S ADE 245 (đvtt) Vậy Bài 25 ((7)/tr2) : Cho tứ diện S.ABC có góc phẳng đỉnh S vuông S ΔABC ≥ SΔSBC + SΔSAB + SΔSAC a) CMR: b) Cho SA = a, SB + SC = k Đặt SB = x Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a, k, x Xác định SB, SC để thể tích S.ABC max Bài làm: 58 K = AH ∩ BC ⇒ AH ⊥ BC Gọi H trực tâm ΔABC, gọi { } (1) Ta có SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ ( SBC ) ⇒ SA ⊥ BC (2) SA ⊥ SC Từ (1) (2) ta có BC ⊥ (SAH) ≡ (SAK) ⇒ BC ⊥ SH Chứng minh tương tự ta có AC ⊥ SH ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ΔSAK vuông có SH đường cao nên SK BC KH BC KA.BC SK = KH KA = ( ) =( ).( ) 2 ⇔ (SΔSBC)2= SΔHBC SΔABC Tương tự (SΔSAB)2= SΔABC SΔHAB (SΔSAC)2= SΔHAC SΔABC Cộng vế với ta được: (SΔSAB)2+ (SΔSBC)2+ (SΔSAC)2= (SΔABC)2 Theo BĐT B.C.S ta có: SΔSAB+ SΔSAC+ SΔSBC ( ≤ (1 + + 1)( S∆SAB ) + ( S∆SAC ) + ( S∆SBC ) ) = 59 2 3S∆ABC SA.SB.SC = ax(k − x) ≤ a( x + k − x)2 = ak 6 b) Max VSABC = ⇒ Max V = ak ⇔ x = k − x ⇔ x = k ⇔ SB = SC = k SABC 2 Câu 26 ((6),bt6): Cho khối hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), o tam giác ABC vuông cân B, SA = a, SB hợp với đáy góc 30 Tính tích khối chóp S.ABC Bài làm: Ta có: SB ∩ (ABC) = {B} SA ⊥ (ABC) (gt) ⇒ AB hình chiếu vuông góc SB (ABC) o · · · Khi đó: ( SB,( ABC )) = ( SB, AB ) = SBA = 30 Xét ∆SAB vuông A (vì SA ⊥ (ABC)): SA SA 3a · tan SBA = ⇔ AB = = =a o AB tan 30 60 Ta có diện tích ∆ABC vuông cân B: 1 3a 2 S = AB.BC = AB = ABC 2 2 1 3a a3 V = SA.S = a = ABC 2 ⇒ S ABC 3 a V = Vậy S ABC (đvtt) Câu 27 ((6),bt8): Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I trung điểm cạnh AB a) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC) o b) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài làm: a) Ta có: SI ⊥ AB (vì ∆SAB vuông cân S) (SAB) ⊥ (ABC) (gt) (ABC) ∩ (SAB) = AB SI ⊂ (SAB) 61 ⇒ SI ⊥ (ABC) b) Gọi K trung điểm AC Mặt khác: I trung điểm AB ⇒ IK đường trung bình ∆ABC ⇒ IK // BC Mà BC ⊥ AC (gt) ⇒ IK ⊥ AC (1) Ta lại có: AC ⊥ SI (vì SI ⊥ (ABC)) ⇒ AC ⊥ (SIK) ⇒ AC ⊥ SK (2) Từ (1) (2) Mặt khác: (SAC) ∩ (ABC) = AC IK ⊂ (ABC) SK ⊂ (SAC) o · · · ⇒ (( SAC ),( ABC )) = ( IK , SK ) = SKI = 60 Xét ∆SIK vuông I (vì SI ⊥ (ABC)): · tan SKI = SI BC 2a · ⇔ SI = IK tan SKI = tan 60o = = a IK 2 Vì ∆SAB vuông cân S có SI đường cao nên: AB = SI = 2a Xét ∆ABC vuông C: AC = AB − BC = 12a − 4a = 2a Ta có diện tích ∆ABC: S ABC = 1 AC.BC = 2a 2.2a = 2a 2 2 1 2a V = SI S ABC = a 3.2a = 3 ⇒ S ABC 62 2a V = Vậy S ABC (đvtt) B Bài tập tự luyện Bài (khối A/2013) : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ¼ ABC = 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến (SAB) a 39 a3 Đáp án:VSABC = 16 (đvtt); d(C;(SAB)) = 13 (đvđd) Bài (tốt nghiệp THPTQG năm 2014): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A SC = 2a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (SBC) trung điểm M cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2a3 15 Đáp án :VSABC= (đvtt) Bài (tốt nghiệp THPTQG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Đáp án :.VSABCD= 2a3 (đvtt); d(AC,SB) = 10a (đvđd) Bài (thi thử): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA = a, AB = a, AC = 2a, SA ⊥ (ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG) 63 a3 a Đáp án :VSABCD = (đvtt); d(A,(BCG)) = (đvđd) Bài (thi thử đại học chuyên Vinh 2016) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SD ⊥ (ABCD), AD = a, góc AOB 120O , góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách AC SB a Đáp án : VSABCD = a3(đvtt); d(AC,SB) = (đvđd) Bài (thi thử THPT chuyên Nguyễn Huệ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60o Gọi M trung điểm DC.Tính thể tích khối chóp S.ABM khoảng cách hai đường thẳng SA BM a 15 a3 15 Đáp án : VSABM = 12 (đvtt) ; d(SA,BM) = 19 (đvđd) Bài (thi thử THPT chuyên Lương Văn Chánh 2015) : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a Đỉnh S cách A,B,C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 Đáp án : VSABC = (đvtt) 64 Bài (thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc 2016): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) a 21 a3 Đáp án: VSABC = 16 (đvtt); d(H,(SBC)) = 29 (đvđd) 65 Những tài liệu link tập sử dụng chuyên đề: (1): Sách giáo khoa Hình học(nâng cao) lớp 11: Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân; NXB Giáo dục Việt Nam; năm 2010 (tái lần thứ ba) (2): Sách giáo khoa Hình học (cơ bản) lớp 11: Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện; NXB Giáo dục Việt Nam; năm 2007 (3): Phân loại phương pháp giải loại tập Toán 11 (tập 2): Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng; NXB Đại học quốc gia Hà Nội; năm 2007 (4): Giải toán Hình học 11(dùng cho học sinh lớp chuyên): Võ Anh Dũng,Trần Đức Huyên; NXB Giáo dục Việt Nam; năm 2014 (tái lần thứ năm) 66 (5): http://toanhoc247.com/bai-tap-ve-khoang-cach-trong-hinh-hockhong-gian-cuc-hay-a459.html (6):http://thaytoan.net/hinh-hoc-khong-gian-co-dien/chuyen-de-khoangcach-trong-hinh-hoc-khong-gian-co-giai (7):http://123doc.org/document/1972534-bai-6-the-tich-khoi-da-dien-coket-hop-min-max-doc.htm (8): http://www.mathvn.com/2014/09/cong-thuc-tinh-tich-khoi-choplang-tru.html 67 LỜI KẾT Kết thúc chuyên đề, hẳn bạn đã nắm phần phương pháp giải tập dạng toán thể tích khoảng cách không gian.Dạng toán bạn học kĩ, nắm lý thuyết kĩ giải hẳn tập khó cản trở bạn.Nói tóm lại, bạn cần phải có kiên trì học tập Bất môn “Có công mài sắt, có ngày nên kim” đặc biệt với môn toán, cần tư óc sáng tạo cao Đây lần nhóm biên soạn chuyên đề nên nhiều thiếu sót.Mong bạn độc giả đóng góp thêm nhiều ý kiến để chuyên đề ngày cang cải thiện có chất lượng cao Chúc bạn học tập tốt đạt thành tích cao đường học vấn NHÓM BIÊN SOẠN 68 Tài liệu tham khảo Phương pháp giải toán chuyên đề hình học không gian: Nguyễn Văn • Nho, Lê Bảy; NXB Đại học Sư phạm; năm 2015 (tái lần thứ • bảy) Chuyên đề toán hình học không gian thể tích(bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học): Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Viết Đông, Hoàng Ngọc Cảnh, Trần Quang Tài, Hàn Minh Toàn, Hồ Điện Biên; • NXB Đại học quốc gia TP.HCM; năm 2010 Phương pháp giải toán tự luận hình học không gian: Trần Thị Vân • Anh; NXB Đại hoc quốc gia Hà Nội; năm 2009 Chuyên đề ứng dụng thể tích giải hình học không gian: Võ Thanh Văn, Lê Hiến Dương, Nguyễn Ngọc Giang; NXB Đại học sư • phạm; năm 2010 Giải toán hình học không gian hai cách lớp 11 12: Lê Mậu • Thống, Lê Bá Hào; NXB Đại học Sư phạm; năm 2009 Tuyển tập 500 toán hình học không gian chọn lọc: Nguyễn Đức • Đồng; NXB Đại học quốc gia Hà Nội; năm 2014 Thần tốc luyện đề 2016 môn toán: Nguyễn Thanh Tuyên; NXB Đại • học quốc gia Hà Nội; 2015 Ngoài tài liệu download tài liệu miễn phí web học trực tuyến như: Moon.vn; Hocmai.vn; Viettelstudy.vn… Những tài liệu giúp bạn học tập tốt 69