BÔ GIÂO DUC VÀ DÀO TAO TRU ÔNG DAI SU* PHAM HÀ NÔI ■ HOC • • • DÔ ANH SON THUÂT TOÂN TÔ MÀU DÔ THI VÀ tfNG DUNG LUÂN VAN THAC SÏ TOAN HOC • • • HÀ NÔI, NAM 2015 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI ĐỖ ANH SƠN THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 ’ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS Trần Vĩnh Đức HÀ NỘI, NĂM 2015 LỜI CẢM ƠN Lời em xin ừân ừọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Trần Vĩnh Đức, thầy tận tình bảo hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu đề tài để em hoàn thành tốt luận văn mình! Tiếp đến em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo Phòng sau Đại học, thày giáo, cô giáo ừong trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy giáo, cô giáo thỉnh giảng từ trường Đại học địa bàn Thủ đô Hà Nội nhiệt tình truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho em suốt năm học trường Em xin chân thành biết ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ động viên em ừong suốt trình học tập, nghiên cứu làm việc Trân trọng cảm ơn! Đại học Sư phạm Hà Nôi Ngày tháng 12 năm 2015 Đỗ Anh S(m LỜI CAM ĐOAN Tô xin cam đoan: a) Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trược tiếp Tiến sĩ Trần Vĩnh Đức b) Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố c) Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy tắc đào tạo, hay gian dối, xin chịu hoàn toàn ừách nhiệm Xuân Hòa, tháng 12 năm 2015 TÁC GIẢ Đỗ Anh Sơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Một số khái niệm .3 1.2 Hành trình, chu trình đường 1.3 Cây 1.4 Đồ thịphẳng 1.5 Biểu diễn đồ thị ma trận 13 1.5.1 Biểu diễn đồ thị ma ừận kề 13 1.5.2 Biểu diễn đồ thị ma trận liên thuộc 14 CHƯƠNG 2: TÔ MÀU ĐỒ THỊ 16 2.1 Định nghĩa số kết 16 2.2 Đa thức tô màu 20 2.3 Thuật toán tham lam tô màu đồ thị 23 2.4 Một số toán 25 2.4.1 Bài toán điều khiển đèn hiệu nút giao thông 25 2.4.2 Bài toán lập lịch thi 28 2.4.3 Bài toán phân chia tần số 29 2.4.4 Bài nữ sinh Kừkman .31 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG 33 3.1 Bài toán lập thời khóa biểu 33 3.2 Mô hình toán đồ thị 36 3.3 Siêu đồ thị 41 3.3.1 Khái niệm siêu đồ th ị 41 3.3.2 Tô màu siêu đồ th ị 43 3.4 Mô hình toán siêu đồ thị 46 3.5 xếp thời khóa biểu 51 3.6 Kết luận chương 57 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 KÍ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hỉêu Từ đươc viết tắt ■ • LTĐT Lý thuyết đồ thị THCS Trung học sở CN Công nghệ GDCD Giáo dục công dân TBK Thời khóa biểu DANH MỤC CAC BANG Sổ hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Khoảng cách đài phát 30 2.2 Gán màu theo bậc đính 31 3.1 Môn học khối lượng tiết học tuần 33, 34 3.2 Phân công chuyên môn 30 giáo viên 34, 35 3.3 3.4 Phân công chuyên môn giáo viên 36 3.5 Tô màu đỉnh tương ứng 39 3.6 Bậc đỉnh cạnh liên thuộc 43 3.7 Số hóa tiết học môn tuần 47 3.8 Mã số tiết dạy giáo viên ký hiệu 48, 49 3.9 Đỉnh đồ thị H màu tô tương ứng 53, 54 3.10 Tham chiếu màu tô đỉnh với siêu cạnh Ả, B, c, , AA, AB, AE 55, 56, Môn học ứng với đỉnh đồ thị 37, 38 57 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Sổ hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 ĐỒ thị G = (V, 1.2 Hai đồ thị đẳng cấu 1.3 Đồ thị Petersen 1.4 Một rừng gồm 1.5 Đồ thị phẳng đồ thị không phẳng 1.6 Ví dụ đồ thị phẳng G 11 1.7 Đồ thị đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc 12 1.8 Biểu diễn đồ thị G 14 2.1 Đồ thị G ° 22 2.2 Tô màu đồ thị G 25 2.3 Đồ thị mô pha điều khiển giao thông 27 2.4 Đồ thị mô môn thi 28 2.5 Đồ thị mô đài phát 30 3.1 Đồ thị môn dạy giáo viên 38 3.2 Tô màu đồ thị môn dạy giáo viên 40 3.3 Siêu đồ thị H 42 3.4 Hàng xóm đỉnh Vn+1 45 MỞ ĐẦU Có thể nói, Leonhard Euler người nghiên cứu lý thuyết đồ thị (LTĐT) Bài báo ông Bảy Cây cầu thành phố Königsberg xem xuất LTĐT Đen nay, LTĐT có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều lĩnh vực khác ừong kinh tế tài chính, công nghiệp, công nghệ thông tin LTĐT thực bắt đầu nghiên cứu rộng rãi từ năm 60 kỷ trước phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử Một cách không hình thức, đồ thị gồm hai loại đối tượng: tập đỉnh quan hệ tập đỉnh Không bất ngờ, mô hình tự nhiên cho phép mô hình hóa hiệu toán thực tế Các toán thực tế thường chuyển cách tự nhiên thành toán đồ thị, từ dễ dàng thiết kế thuật toán để giải máy tính Ngược lại, nhiều khái niệm đồ thị lấy từ thực tế Ví dụ, khái niệm đường đi, cây, rừng Quan hệ hai chiều làm cho LTĐT trở thành lĩnh vực hấp dẫn không cho nhà lý thuyết mà cho người làm thực hành Một toán quan ttọng LTĐT toán tô màu Tô màu đồ thị cách gán giá tri màu cho đỉnh cho hai đỉnh kề có màu khác Khái niệm tô màu đồ thị cho phép mô hình toán lập lịch, phân công công việc, toán thỏa mãn ràng buộc lìm cách tô màu đồ thị số màu toán khó, vô quan trọng Lợi ích tương ứng thực tế lòi giải cho vấn đề lập lịch công việc tối ưu, phân công công việc hợp lý Mục đích luận văn “Thuật toán tô màu đồ thị ứng dụng” nghiên cứu thuật toán tô màu đồ thị ứng dụng vào ttong toán xếp thòi khóa biểu Trường THCS Trưng Vương, Mê Linh, Hà Nội Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết đồ thị tìm hiểu thuật toán tô màu đồ thị để giải toán xếp thòi khóa biểu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết đồ thị, toán vận dụng thuật toán tô màu đồ thị giải toán thực tế lập thời khóa biểu cho giáo viên, học sinh trường phổ thông Đổi tượng phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cụ thể lý thuyết đồ thị, toán tô màu đồ thị ứng dụng thực tế lập thời khóa biểu Trong phạm vi giới hạn đề tài, luận văn nghiên cứu giải số toán thực tế mô hình lập lịch thời khóa biểu trường Trung học sở Trưng Vương huyện Mê Linh Phương pháp nghiền cứu Đọc, phân tích tổng hợp tài liệu Giả thuyết khoa học Phần nghiên cứu lý thuyết cung cấp cách nhìn tổng quát lý thuyết đồ thị thuật toán đồ thị Kết nghiên cứu áp dụng cho trường học phổ thông Cấu trúc luận văn: Ngoài chương mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: • Chương đưa số khái niệm lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị số thuật toán liên quan đến đồ thị • Chương đưa khái niệm tô màu đồ thị, đa thức tô màu trình bày thuật toán tham lam tô màu đồ thị, vài ứng dụng đơn giản • Chương trình bày ứng dụng tô màu đồ thị để giải toán lập thời khóa biểu trường THCS Trưng Vương, Mê Linh, Hà Nội 44 Trong thuật toán trên, màu с hợp lệ cho đỉnh V hàng xóm Vhoặc có màu khác с chưa tô màu Ví dụ 3.6 Xét siêu đồ thị biểu diễn Hình 3.3 Bước 1: Sắp đỉnh theo thứ tự Vi, v2, v3, v4, v5, v6 Bước 2: For i = 1,2, Bước 3: Gán màu cho đỉnh 1, gán màu cho đỉnh 2, gán màu cho đính 3, gán màu cho đỉnh 4, gán màu cho đỉnh gán màu cho đỉnh Nói chung, thuật toán tham lam không cho cách tô màu tối ưu Mệnh đề cho ta ước lượng thô số màu mà thuật toán sử dụng Nó với nhiều lớp siêu đồ thị, số màu thuật toán dùng không nhiều Trước hết ta cần vài ký hiệu Xét đỉnh X thuộc siêu đồ thị H Ta định nghĩa H(x) siêu đồ thị chứa siêu cạnh chứa X , ta ký hiệu D(x) = n(H(x)) - số lượng đỉnh kề với đỉnh X ữong H Ta ký hiệu: А(Я) =maxD(jc) xeV Ví dụ 3.7 Xét siêu đồ thị H biểu diễn Hlnh 3.3 ta có: Đ ỉnhx D(x) Vl v2 v3 v4 v5 Vố V7 45 Mệnh đề 3.8 Thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H dùng nhiều A{H) + màu Chứng minh Đặt P(n) mệnh đề “ Thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H với n đỉnh dùng nhiều A( H) + màu.” Bước sở: P(ỉ) siêu đồ thị có đính tô màu Bước quy nạp: Giả sử P(n) Bây ta chứng minh P(n+1) đứng Thật vậy, xét siêu đồ thị H với n + đỉnh Ta đỉnh H theo thứ tự V j, V2 , —,vn+i Bây giờ, ta xóa đinh v„+i H ta siêu đồ thị H ’ với n đỉnh Theo quy nạp, thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H ’ A (//') +1 < A(H) +1 màu Tiếp theo, ta thêm đính Vn+J siêu cạnh liên quan vào lại H ’ để H Ta thấy rằng: Đỉnh Vn + có không A(H) hàng xóm Vậy tồn màu hợp lệ nhỏ c {1, 2, A( H) + 1} tô màu cho vn+1 Từ suy thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H dùng không A(H) + màu □ Hình 3.4: Hàng xóm đỉnh v„+i 46 Hệ 3.9 Cho G đồ thị với đỉnh có bậc không vượt k, thuật toán tham lam tô màu cho G dùng không к + màu Chứng minh Với đồ thị G, ta có A(G) < к Theo Mệnh đề 3.8 G tô к + màu □ 3.4 Mô hình toán siêu đồ thị Xét toán toán nêu đầu chương Căn vào Bảng 3.2 phân công chuyên môn 30 giáo viên cụ thể hóa tiết dạy môn học tuần dãy số tự nhiên từ đến 315 thể Bảng 3.7 Ở chi tiết môn đến tiết học môn học nhiều ngày tuần Ví dụ: môn Văn lớp 6A1 Bảng 3.7 mã hóa tiết Văn 1, 2, 3, 47 TT M ôn học 6A1 6A2 6A3 Văn 2Ổ 29 51 54 Sử 30 7A1 7A2 7A3 8A1 8A2 8A3 9A1 9A2 9A3 76 .79 103 106 130 133 157 160 184 187 211 214 238 242 264 2Ổ8 290 .294 55 80,81 107,108 134,135 161 188 215 243 269 295 Địa 31 56 82, 83 109,110 136, 137 162 189 216 244 270 296 GDCD 32 57 84 111 138 163 190 217 245 271 297 Toán 11 33 36 58 61 85 88 112 115 139 142 164 167 191 194 218 221 24Ổ 249 212.215 298 301 Lý 12 37 62 98 116 143 168 195 222 250,251 276, 277 302, 303 Hóa 169,170 196, 197 223, 224 252, 253 278, 279 304, 305 Sinh 13 14 38, 39 63,64 90,91 117,118 144,145 171,172 198, 199 225, 226 254, 255 280, 281 306, 307 Tin 15 16 40,41 65,66 92, 93 119,120 146,147 173,174 200, 201 227, 228 256, 257 282, 283 308, 309 10 Công nghệ 17 18 42, 43 67, 68 94,95 121,122 148,149 175,176 202, 203 229, 230 258 284 310 11 Tiếng Anh 19 21 44 4Ổ 69 71 96 .98 123 125 150 152 177 179 204 206 231 233 259, 260 285,286 311,312 12 Thể dục 22,23 47, 48 72, 73 99,100 126, 127 153,154 180, 181 207, 208 234, 235 261, 262 287, 288 313,314 13 Mỹ Thuật 24 49 74 101 128 155 182 209 236 263 289 315 14 Âm nhạc 25 50 75 102 129 156 183 210 237 Bảng 3.7: Số hóa tiết học môn tuần 48 Từ Bảng 3.2 Bảng 3.7 xây dựng bảng thể môn dạy giáo viên mã số ký hiệu giáo viên thể Bảng 3.8 TT Giáo viên Giảng dạy tiết SỐ tiết Ký hiệu nhóm tiết Ngọc Lời 264, , 268, 290, , 294 13 A Phạm Hoa 157, , 160, 184, , 187, 245, 271, 297 11 B Phạm Hằng 12 c Nguyễn Bích 15 D 16 E 169, 170, 196, 197, 223, 224, 252, 253, 278, 279, 304, 305 98, 116, 143, 250, 251, 276, 277, 302, 303, 175, 176, 202, 203, 229, 230 126, 127, 153, 154, 180, 181, 207, Lê Thái 208, 234, 235, 261, 262, 287, 288, 313, 134 Tràn Hằng 211,212,213,214 F Đỗ Thao 139, 140, 141, 142 G Tràn Dung 130, , 133, 238, , 242 H Phạm Nguyệt 15 I 10 Mỹ Dung 26, , 29, 51, , 54 J 11 Nguyễn Ngọc 8, , 11,33, , 36, 58, , 61 12 K 12 Kiều Hà 246, , 249, 272, , 275, 298, , 301 12 L 13 Lưu Hưng 85, , 88, 99, 100, 112, , 115 10 N 14 Hải Duơng 162, 189, 216, 244, 270, 296 M Nguyễn 12, 37, 62, 94, 95, 121, 122, 148, 149, Giang 168, 195, 222 12 12 p 15 16 Hoàng Hoa 1,.,4, 76,.,79, 103,., 106, 258, 284, 310 90, 91, 117, 118, 144, 145, 254, 255, 280, 281, 306, 307 49 13, 14, 17, 18, 38, 39, 63, 34, 171, 17 Lê Hương 18 Nguyễn Mai 19 172, 198, 199, 225, 226 Nguyễn 190, 217, 243, 269, 295 5, 30, 55, 67, 68, 161, 188, 215 Huyền 20 Đàm Nguyên 21 Đoàn Thu 22 Đỗ Thuỷ 23 Đoàn Thoan 24 Lưu Sơn 25 57, 80, 81, 107, 108, 134, 135, 163, 22, 23, 47, 48, 72, 73, 285, 286, 310, 312 96, 97, 98, 17, 178, 179, 204, 205, 206 69, 70,71,231,232, 233 7, 32, 92, 93, 119, 120, 146, 147, 256, 257, 282, 283, 308, 309 15, 16, 40, 41, 65, 66, 173, 174, 200, 201, 227, 228 Nguyễn 24, 49, 74, 101, 128, 155, 182, 209, Chung 136, 263,289,315 25, 50, 75, 102, 129, 156, 183, 210, 14 Q 13 R s 10 T u V 14 X 12 Y 12 z AA 26 Nguyễn Lan 27 rp Trân Tiên 164, , 167, 191, , 194, 218, , 221 12 AB 28 Nguyễn Hoa 6, 31, 56, 82, 83, 109, 110, 136,137 AC 29 Lê Hà 42,43, 123, 124, 125, 150, 151,152 AD 30 Trần Anh 19, 20, 21, 44, 45, 46, 259, 260 AE > A 237 r rp • Á Tổng số tiết 315 Bảng 3.8: Mã số tiết dạy giáo viên ký hiệu Chúng mô hình toán xếp thời khóa biểu ban đầu dùng siêu đồ thị Ta xây dựng siêu đồ thị TKB = (V, E) 50 • V tập môn học (tính theo tiết) • Tập cạnh E hợp tập môn lớp môn dạy giáo viên Ví dụ 3.10 Siêu đồ thị phàn siêu đồ thị cho toán ban đầu Tập đỉnh v = { , 6, 7, 30,31,55} Căn vào Bảng 3.7 Bảng 3.8 xác định tập cạnh E = {{5, 6,7 }, {5, 30, 55}, {30, 31}, {6, 31}} • Cạnh {5, 6, 7} môn học Sử, Địa, GDCD lớp 6A1 (Bảng 3.7 dòng 2, 4) • Cạnh {5, 30, 55} tương ứng tiết Sử lớp 6A1, 6A2 6A3 giáo viên Nguyễn Huyền giảng dạy (Bảng 3.8 dòng 19) • Cạnh {30, 31} môn học Sử, Địa lớp 6A2 (Bảng 3.7 dòng 3) • Cạnh {6, 31} tương ứng tiết Địa lớp 6A1, 6A2 giáo viên Nguyễn Hoa giảng dạy (Bảng 3.8 dòng 28) Cuối ta vẽ mô hình siêu đồ thị biểu diễn hình sau 51 3.5 xếp thòi khóa biểu Bài toán xếp thời khóa biểu cho Trường THCS Trưng Vương với 12 lớp học 30 giáo viên giảng dạy quy toán tô màu siêu đồ thị TBK = (V,E) nêu Đồ thị có 315 đỉnh 12 + 30 = 42 siêu cạnh Tập môn học lớp tên lớp, tập môn dạy giáo viên ký hiệu (Ẩ,B, с, , X, Y, z, AA, AB, AC, AD, AE) Ta siêu đồ thị với tập đinh V = {1,2, , , 315} tập cạnh E = {9A1, 9A2, 9A3, 8A1, 8A2, 8A3, 7A1, 7A2, 7A3, 6A1, 6A2, 6A3, A,B,C, ,X, Y, z, AA, AB, AC, AD, AE) Thuật toán chạy tiết sau Bước 1: Xét siêu cạnh 9A1, 9A2, 6A2, 6A3, A, B, X, Y, z, AA, AB, AC, AD, AE Sắp xếp đỉnh siêu cạnh theo thứ tự 1, 2, 3, , 314, 315 Bước 2: Nhận xét 2: Từ Bảng 3.7 ta thấy giáo viên dạy môn Âm nhạc dạy tất lớp lớp tiết Vậy ưu tiên tô trước để số màu lớn không dùng cho người Việc tô màu cho cạnh 6A1, 6A2, , 9A2, 9A3 thực theo quy tắc duyệt ngược xuôi xen kẽ tránh số màu cao dồn môn Bước 3: Tô màu cho đỉnh thuộc cạnh AA, gán màu cho môn 25, gán màu cho môn 50, gán màu cho môn 75, màu gán cho môn 102, màu gán cho môn 129, màu gán cho môn 156, màu gán cho môn 210, màu gán cho môn 237 Duyệt ngược cạnh 6A1, gán màu nhỏ cho môn 24 màu 2, màu cho môn 23 màu 25 gán cho môn Duyệt xuôi cạnh 6A2, gán màu nhỏ cho môn 26, màu nhỏ chưa tô cho đỉnh cho môn 27, gán màu nhỏ cho môn 52 phải xét đến việc màu tô cho hàng xóm đỉnh chưa Tương tự duyệt xuôi xen kẽ duyệt ngược siêu cạnh đồ thị Nếu bước tô màu đỉnh thuộc cạnh mà không đủ số màu tối thiểu để tô đỉnh ta làm thêm bước duyệt lại từ đầu dãy xem có hoán vị màu xét hay không trước sang tô màu cạnh Hoán vị gặp màu thỏa mãn điều kiện chưa dùng cho cạnh liên quan khác, không thỏa mãn hoán vị, tiếp tục chọn màu dừng đỉnh đạt mục đích, (đây kỹ thuật để giúp cho người chia lịch bớt phần công đoạn làm mượt TKB) Sau hữu hạn số bước ta tô màu cho đỉnh siêu đồ thị thể ừong Bảng 3.9 sau: 53 TT 6A1 M àu 6A2 M àu 6A3 M àu 7A1 M àu 7A2 M àu 7A3 M àu 1 25 26 51 25 76 103 27 130 2 24 27 52 24 77 104 26 131 3 23 28 53 23 78 105 21 132 4 22 29 54 22 79 106 20 133 5 21 30 55 18 80 107 25 134 6 20 31 56 17 81 108 24 135 7 19 32 57 16 82 109 23 136 10 8 18 33 58 21 83 110 22 137 11 9 17 34 10 59 20 84 10 111 19 138 10 10 16 35 11 60 19 85 11 112 18 139 11 И 15 36 12 61 14 86 12 113 17 140 12 12 12 14 37 13 62 15 87 13 114 16 141 13 13 13 13 38 14 63 11 88 14 115 15 142 14 14 14 12 39 15 64 10 89 15 116 14 143 16 15 15 11 40 16 65 13 90 16 117 13 144 15 16 16 10 41 17 66 12 91 17 118 12 145 18 17 17 42 18 67 92 18 119 11 146 17 18 18 43 19 68 93 20 120 10 147 21 19 19 44 20 69 94 19 121 148 20 20 20 45 21 70 95 21 122 149 22 21 21 46 22 71 96 22 123 150 23 22 22 47 23 72 97 23 124 151 24 23 23 48 24 73 98 24 125 152 25 24 24 49 25 74 99 25 126 153 26 25 25 50 75 100 26 127 154 27 26 101 27 128 155 19 27 102 129 156 54 TT 8A1 M àu 8A2 M àu 8A3 M àu 9A1 M àu 9A2 M àu 9A3 M àu 157 27 184 211 27 238 264 26 290 2 158 26 185 212 26 239 21 265 291 159 25 186 213 25 240 26 266 292 160 24 187 214 23 241 267 23 293 161 23 188 215 24 242 268 20 294 162 22 189 216 19 243 269 17 295 163 21 190 10 217 13 244 270 12 296 164 20 191 218 22 245 10 271 11 297 165 19 192 219 18 246 272 16 298 24 10 166 13 193 11 220 17 247 273 15 299 25 11 167 12 194 14 221 15 248 11 274 14 300 26 12 168 18 195 12 222 11 249 12 275 13 301 18 13 169 10 196 13 223 16 250 13 276 22 302 11 14 170 11 197 15 224 12 251 18 277 21 303 12 15 171 17 198 18 225 21 252 14 278 19 304 20 16 172 16 199 19 226 20 253 17 279 18 305 21 17 173 15 200 22 227 14 254 19 280 10 306 14 18 174 14 201 23 228 255 20 281 307 22 19 175 202 17 229 10 256 15 282 308 13 20 176 203 20 230 257 16 283 24 309 23 21 177 204 21 231 258 284 310 15 22 178 205 25 232 259 23 285 311 16 23 179 206 27 233 260 24 286 25 312 19 24 180 207 16 234 261 22 287 313 25 181 208 24 235 262 25 288 314 10 26 182 209 26 236 263 289 315 17 27 183 210 237 Bảng 3.9: Đỉnh đồ thị H màu tô tương ứng 55 Sau tô màu xong đỉnh siêu đồ thị, xếp quy chiếu đính tô màu theo siêu cạnh Ả, в, c, Y, z, AA, AB, AE trình bày Bảng 3.10 C ạnh/ m àu C c đ ỉn h th u ộ c siêu c n h v m u tô tư o n g ứ n g tô 266 267 268 290 291 292 293 294 23 20 157 158 159 160 184 185 27 26 25 24 169 170 196 197 Màu 10 11 13 15 16 D 98 116 143 250 251 Màu 24 14 16 13 18 126 127 153 154 180 181 26 27 211 212 213 214 27 26 25 23 139 140 141 142 27 26 25 24 130 131 132 133 А Màu В Màu С E Màu F Màu G Màu H 264 265 26 1 2 186 187 271 297 11 223 224 225 253 278 279 304 305 12 19 18 20 276 277 302 303 175 176 202 22 21 21 17 11 12 21 17 207 208 234 235 261 262 16 24 22 25 10 287 288 238 239 240 241 242 Màu 21 26 I 76 77 78 79 103 104 105 106 Màu 25 24 23 22 27 26 21 20 J 26 27 28 29 51 52 53 54 Màu 25 24 23 22 К 10 11 33 34 35 36 58 59 60 61 Màu 18 17 16 15 10 11 12 21 20 19 14 246 247 248 249 L 229 230 272 273 274 275 298 299 300 301 258 284 310 15 56 Màu 11 12 16 15 14 24 25 N 85 86 87 88 99 100 112 113 114 115 Màu 11 12 13 14 25 26 18 16 15 162 189 216 244 122 148 149 168 195 222 22 18 12 M 13 17 26 18 270 296 Màu 22 19 12 О 12 37 62 94 95 121 Màu 14 13 15 19 21 p 90 91 117 118 144 145 254 255 280 281 Màu 16 17 13 12 15 18 19 20 10 Q 13 14 17 18 38 39 63 34 Màu 13 12 14 15 11 10 R 57 80 81 107 108 134 135 Màu 16 25 24 s 30 55 67 68 161 Màu 21 18 23 T 22 23 47 48 72 73 Màu 23 24 u 96 97 98 17 178 Màu 22 23 24 V 69 70 71 231 Màu X 32 92 93 119 Màu 19 18 20 Y 15 16 40 Màu 11 10 z 24 Màu 20 11 306 307 14 22 171 172 198 199 225 226 17 16 18 19 21 163 190 217 243 269 295 21 10 13 17 24 285 286 310 312 25 15 19 179 204 205 206 25 120 146 147 256 257 282 283 11 10 17 21 41 65 66 173 174 200 201 16 17 13 12 15 14 49 74 101 128 155 182 209 136 263 289 315 25 27 19 AA 25 50 75 102 Màu 166 167 191 192 193 164 165 188 215 21 AB 20 27 232 233 129 156 26 15 22 10 16 23 24 227 228 14 17 183 210 237 194 218 219 220 221 308 309 13 23 57 Màu 20 19 13 12 11 14 AC 31 56 82 83 109 110 136 137 Màu 20 17 23 22 10 AD 42 43 123 124 125 150 151 152 Màu 18 19 23 24 25 AE 19 20 21 44 45 46 259 260 Màu 20 21 22 23 22 18 17 15 11 24 Bảng 3.10: Tham chiếu màu tô đỉnh với siêu cạnh A ,B , ,Y ,Z,A A ,A B , ,A E Nhận xét So sách màu tô cho đính biểu diễn Bảng 3.9 quy chiếu sang cạnh ràng buộc biểu diễn Bảng 3.10 môn học tô màu môn học có màu xếp để học chứng ta thấy ừong siêu cạnh không tồn hai đỉnh tô màu, chứng tỏ trùng giờ, trùng tiết giáo viên lớp học Điều cho thấy kết luận cách dùng thuật toán tham lam tô màu đồ thị ta xếp lịch trường với số lượng lớp, giáo viên không nhỏ Bảng 3.10 sở cho người chia lịch theo tiết dạy tuần cho lớp học mà không cần tính đến trường họp trùng giờ, trùng tiết 3.6 Kết luận chương Thuật toán tham lam mô tả mục 3.3.2 chưa thể ưu siêu đồ thị toán Thực chất thuật toán tương đương với thuật toán Welsh Powell chương Tuy tính toán ừên liệu chương phương pháp tính toán siêu cạnh phù hợp với toán số đinh lớn (315 đỉnh) số siêu cạnh (42 siêu cạnh) Quan sát cần nghiên cứu thêm để cải thiện tốc độ thuật toán 58 KẾT LUẬN ■ Một số kết trình nghiên cứu đề tài: Hệ thống kiến thức lý thuyết đồ thị, tô màu đồ thị hiểu sâu định nghĩa, định lí, thuật toán, toán tô màu đồ thị Đưa toán khác vận dụng thuật toán tô màu đồ thị để giải toán thực tế lập lịch thi, toán nút giao thông, toán phân chia tần số, Trong toán lập thời khóa biểu cho trường THCS Trưng Vương toán lớn nghiều khó khăn Vận dụng thuật toán tô màu đồ thị để lập thời khóa biểu Luận văn viết với mong muốn hiểu sâu kiến thức đồ thị ứng dụng đồ thị vào thực tế Cụ thể, khái niệm tô màu đồ thị tô màu siêu đồ thị sử dụng để mô hình hóa toán lập thời khóa biểu cho trường THCS Trưng Vương Với mô hình đưa thời khóa biểu thô thỏa mãn điều kiện ràng buộc Hướng phát triển luận văn: Các phương pháp sử dụng luận văn mở rộng cho toán lập lịch có nhiều ràng buộc Các thuật toán nên cài đặt phát triển thành phàn mềm để sử dụng thuận tiện thực tế [...]... một màu trong một tô màu của đồ thị được gọi là lớp đỉnh đồng màu của tô màu đó Như vậy, một к -tô màu phân hoạch tập đỉnh của đồ thị thành к lớp đỉnh đồng màu Định nghĩa 2.2 sắc số của một đồ thị G, ký hiệu là ỵ {G ) , là số tự nhiên k nhỏ nhất để G có một к -tô màu Đồ thị G được gọi là đồ thị к -tô màu được nếu z(G ) < к và được gọi là к-sắc nếu z(G ) = k 17 Mệnh đề 2.3 Neu đồ thị G chứa một đồ thị. .. dụng bởi thuật toán Định lý 2.19 Neu mọi đỉnh trong đồ thị G đều có bậc không vượt quá d thì thuật toán Welsh-Powell dùng không quá d + 1 màu Ví dụ 2.20 Thuật toán Welsh-Powell tô màu các đỉnh của đồ thị G = (V, E) trong Hình 2.2 Đầu tiên, thuật toán chọn đỉnh Vi và v5 để tô màu xanh Tiếp 25 theo, thuật toán chọn tập đỉnh v2 và v4 để tô màu vàng Cuối cùng thuật toán chọn được V3 và v 6 để tô màu đỏ Hình... vài kết quả cơ bản về tô màu đỉnh của đồ thị Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa số màu có thể tô một đồ thị và bậc của đỉnh, liên hệ giữa đa thức tô màu và sắc số Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một thuật toán tham lam cho phép tô màu với số màu họp lý, và cuối cùng sử dụng thuật toán này để giải một vài bài toán đơn giản có thể mô hình bằng tô màu đồ thị 2.1 Định nghĩa và một số kết quả cơ... về tô màu đỉnh đồ thị và một vài kết quả liên quan đến một số ước lượng của sắc số Định nghĩa 2.1 Một tô màu đỉnh của một đồ thị, mà ta sẽ đơn giản gọi là một tô màu, là một phép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà ta dùng để tô trong một tô màu của đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k thì tô màu đó cũng được gọi là к -tô màu Tập tất cả các đỉnh được tô. .. không đồng thời giao thông, và cho phép đồng thời lưu thông những tuyến không xung khắc Ta mô hình hóa bài toán bằng đồ thị và đưa về bài toán tô màu đồ thị như sau: Các đỉnh của đồ thị là các tuyến đường, và hai tuyến kề nhau khi và chỉ khi chúng xung khắc Ta tô màu các đỉnh đồ thị sao cho các đỉnh kề nhau không cùng màu Ta coi mỗi màu đại diện cho một pha điều khiển đèn báo: các tuyến cùng màu đó... Hiển nhiên là nếu một đồ thị có cấp bằng n thì cỡ m của nó thỏa mãn 0< m < Đồ thị cấp n và cỡ m = 0 được gọi là n -đồ thị rỗng hay n -đồ thị v2y hoàn toàn rời rạc và được ký hiệu là On hay En Còn đồ thị cấp n và cỡ m= được gọi là n -đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu Kn v2y Định nghĩa 1.4 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với \v\ = n Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu G , là đồ thị với tập đỉnh cũng... rằng V] và v 2 là hai lớp đinh đồng màu của G ừong một 2 -tô màu nào đó Khi đó dễ thấy rằng G là đồ thị 2-phàn với các phàn là V] và v 2 Vì G là 2-sắc nên hiển nhiên nó không là đồ thị rỗng (b) => (a): Giả sử G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng Ta cũng giả sử rằng V] và v 2 là các phần của G Ta tô các đỉnh của Vj bằng một màu và tô các đỉnh của v 2 bằng một màu khác Khi đó ta nhận được một 2 -tô màu của... x(G) >n Chứng minh Vì mọi đỉnh trong đồ thị Kn đều kề nhau nên mọi cách tô màu đều phải dùng ít nhất n màu □ Định lý 2.4 (König, 1936) Giả sử G = (V,E) là một đồ thị bất kỳ Khỉ đó các khắng định sau đây là tương đương nhau: (a) G là đồ thị 2-sẳc; (b) G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng; (c) G là đồ thị khác đồ thị rỗng và mọi chu trình trongG đều cỏ độ dài chẵn Chứng minh (a) => (b)\ Giả sử G là đồ thi... định nghĩa đồ thị G ° là đồ thị nhận được từ đồ thị G bằng cánh đồng nhất hai đỉnh đầu mút của e với nhau Ví dụ 2.16 Neu G là đồ thị cho ở Hình 2.1 (a) và e là cạnh của G được chỉ ra trên hình vẽ đó, thì đồ thị G ° là đồ thị cho ở Hình 2.1 (b) Ọ 9 0 G Goe (a) (b) Hình 2.1: Đồ thị G và G° Định lý 2.17 (Whitney, 1932) Giả sử e là một cạnh của đồ thị G Khi đó P(G,k) = P ( G - e ,k ) - P ( G ° Chứng minh... chung Biểu diễn nói trên của đồ thị phẳng được gọi là biểu diễn phẳng Ví dụ 1.20 Trên Hình 1.5 Đồ thị đày đủ K4 biểu diễn bên ừái không là đồ thị phẳng, còn biểu diễn ở là biểu diễn phẳng của K4 Đồ thị đầy đủ K5 và đồ thị 2-phần đày đủ K33 không là đồ thị phẳng KI 1 3 )# к4 К5 Hình 1.5: Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng Кз 3 10 Định nghĩa 1.21 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị phẳng Khi đó, phàn mặt phẳng