TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm 1 a , 2 a , ., n a . Ta có n a .aa n21 +++ ≥ n n21 a .aa Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 a = 2 a = . = n a . Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số 1 a , ., n a và 1 b , ., n b . Ta có ( 2 1 a + . + 2 n a )( 2 1 b + . + 2 n b ) ≥ 2 nn11 )ba .ba( ++ Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 1 b a = 2 2 b a = . = n n b a . Ví dụ 1. Cho x, y > 0. Tìm min f(x, y) = x + )yx(xy 1 − . Giải. f(x, y) = x + )yx(xy 1 − ≥ x + 2 ) 2 yxy (x 1 −+ = x + 3 x 4 = 3 x 4 3 x 3 x 3 x +++ ≥ 8. Vậy f(x, y) ≥ 8. Dấu “=” xảy ra ⇔      = −= 3 x 4 3 x yxy ⇔      = = 2 12 y 12x 4 4 . Ví dụ 2. Tìm GTNN của S = 33 zxy yx + với x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Giải. S = 33 zxy 3 y 3 y 3 y x +++ ≥ 33 4 3 zxy 3 y x4       ⇒ 4 S ≥ 12933 4 zyx 1 3 4 = 1293 12933 4 12 z 9 y 3 x 1 12933 4                   4 S ≥ 241236 4 1293 12 z 12 9 y 9 3 x 3 1 43 4             ++ ++ = 12 56 3 2 . S ≥ 3 14 3 2 . Dấu “= ” xảy ra ⇔          = = = 8 1 z 8 3 y 8 1 x . Ví dụ 3. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của hàm số: f(A, B, C) =             + 2 A sin 1 1             + 2 B sin 1 1             + 2 C sin 1 1 . Giải. Ta có: f(A, B, C) = 1 + 2 A sin 1 + 2 B sin 1 + 2 C sin 1 + 2 B sin 2 A sin 1 + 2 C sin 2 B sin 1 + 2 A sin 2 C sin 1 + 2 C sin 2 B sin 2 A sin 1 ≥ 1 + 3 3 2 C sin 2 B sin 2 A sin 1 + 3 3 2 2 C sin 2 B sin 2 A sin 1             + 2 C sin 2 B sin 2 A sin 1 = 3 3 2 C sin 2 B sin 2 A sin 1 1             + ≥ 3 3 8 1 1 1             + = 27. ⇒ min f = 27 khi tam giác ABC đều. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi: 1) Tìm min, max của hàm số: f(x, y, z) = xyz 3xyz2yxz1zxy −+−+− Trên D = ( ){ } 1z;2y;3x:z,y,x ≥≥≥ . 2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm min của f(x, y, z ) = xyz yx + . 3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y, z) = 222 zyx 1 ++ + xy 1 + yz 1 + xz 1 . (Đ/s: min f = 30 tại x = y = z = 3 1 ). 4) Cho ac > 0 và a 1 + c 1 = b 2 . Tìm min của f(a, b, c ) = ba2 ba − + + bc2 cb − + . Ví dụ 3. Tìm min của hàm số: f(x, y) = ycosdxsinc ycosbxsina 22 44 + + + ysindxcosc ysinbxcosa 22 44 + + . (với a, b, c là các hằng số dương) Giải. f(x, y) = a[ ycosdxsinc xsin 22 4 + + ysindxcosc xcos 22 4 + ] + b[ ycosdxsinc ycos 22 4 + + ysindxcosc ysin 22 4 + ] = a 1 f + b 2 f Áp dụng bất đẳng thức Bunhia: [(c xsin 2 + d ycos 2 ) + (c xcos 2 + d ysin 2 )][ ycosdxsinc xsin 22 4 + + ysindxcosc xcos 22 4 + ] ≥ 1 1 f ≥ dc 1 + . Dấu “=” xảy ra ⇔ ycosdxsinc xsin 22 2 + = ysindxcosc xcos 22 2 + = dc 1 + ⇔ xsin 2 = ycos 2 . tương tự: 2 f ≥ dc 1 + . Dấu “=” xảy ra ⇔ xsin 2 = ycos 2 . vậy f(x, y) ≥ dc ba + + . Dấu “=” xảy ra ⇔ xsin 2 = ycos 2 . min f = dc ba + + khi xsin 2 = ycos 2 . Bài tập áp dụng Bunhia: 1) Cho x, y, z > 0; x + y + z = 2 π . Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) = tgxtgy1 + + tgytgz1 + + tgxtgz1 + . 2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = x2 + y . Trên miền D= { } 1yx;0y;0x);y,x( 33 ≤+≥≥ . 3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác. Tìm min của biểu thức: M = A2cos2 1 + + B2cos2 1 + + C2cos2 1 − . Ví dụ 4. Cho x, y, z, t ∈       1; 4 1 . Tìm min của hàm số: f(x, y, z, t) = ) 4 1 y(log x − + ) 4 1 z(log y − + ) 4 1 t(log z − + ) 4 1 x(log t − . Giải. Vì x, y, z, t ∈       1; 4 1 và ta có 2 x ≥ x – 4 1 ⇒ 2 t xlog ≤ ) 4 1 x(log t − . Tương tự và cộng vế với vế ta có: f(x, y, z, t) ≥ 2( ylog x + zlog y + tlog z + xlog t ) ≥ 8 4 tzyx xlogtlogzlogylog = 8. ⇒ f(x, y, z, t) ≥ 8. Dấu “=” ⇔ x = y = z = t = 2 1 . II. Sử dụng các bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a + b ≥ ba + ba − ≤ ba − Dấu “=” xảy ra ⇔ ab > 0. Ví dụ. Cho 1 a , ., n a là các hằng số cho trước. Tìm min của biểu thức T = 1 ax − + 2 ax − + . + n ax − . Giải. Không mất tính tổng quát giả sử 1 a ≤ . ≤ n a TH1: n = 2k 1 ax − + n ax − ≥ n a – 1 a . Dấu “=” ⇔ 1 a ≤ x ≤ n a . 1k ax + − + k ax − ≥ 1k a + – k a . Dấu “=” ⇔ k a ≤ x ≤ 1k a + . ⇒ T ≥ ( n a + . + 1k a + ) – ( 1 a + . + k a ). Dấu “=” ⇔ k a ≤ x ≤ 1k a + . Với n = 2k thì minT = ( n a + . + 1k a + ) – ( 1 a + . + k a ) tại k a ≤ x ≤ 1k a + . TH2: n = 2k + 1. 1 ax − + n ax − ≥ n a – 1 a . Dấu “=” ⇔ 1 a ≤ x ≤ n a . 2k ax + − + k ax − ≥ 2k a + – k a . Dấu “=” ⇔ k a ≤ x ≤ 2k a + . 1k ax + − ≥ 0. Dấu “=” ⇔ 1k a + = 0. ⇒ T ≥ ( n a + . + 2k a + ) – ( 1 a + . + k a ). Dấu “=” ⇔ 1k a + = 0. Với n = 2k + 1 minT = ( n a + . + 2k a + ) – ( 1 a + . + k a ) khi 1k a + = 0. . TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm 1 a , 2 a ,. + = 27. ⇒ min f = 27 khi tam giác ABC đều. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi: 1) Tìm min, max của hàm số: f(x, y, z) = xyz 3xyz2yxz1zxy −+−+− Trên D =