M CL C Trang L i cam đoan ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ3 L i m đ u ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ4 CH NG KI N TH C CHU N B 1.1 Th ng d b c hai…….………………………………………………… 1.2 Bi u di n s nguyên d ng thành t ng c a bình ph ng 14 1.2.1 Bi u di n s nguyên d ng thành t ng hai s ph ng……14 1.2.2 Bi u di n s nguyên d ng thành t ng b n s ph ng 16 1.3 M t s tính ch t c a liên phân s ……………………………………….19 CH M TS L P PH NG NG TRỊNH NGHI M NGUYÊN B C HAI 2.1 Ph ng trình d ng x2  dy2  …………………………………… 23 2.2 Ph ng trình d ng x2  dy2  1…………………………………… 31 2.3 Ph ng trình d ng x2  y2  z2 ………………………………………37 2.4 Ph ng trình d ng x2  y2  n ……………………………………… 40 2.5 Ph ng trình d ng x2  y2  z2  t  n ……………………………… 42 Trang 2.6 Ph ng trình d ng x2  py  n  …………………………………… 43 CH M TS PH NG NG PHÁP GI I PH NGUYÊN B C HAI PH NG TRỊNH NGHI M THÔNG 3.1 Ph ng pháp phân tích………………………………………………….45 3.2 Ph ng pháp s d ng tính ch t chia h t chia có d …………………48 3.3 Ph ng pháp s d ng b t đ ng th c……………………………………49 3.4 Ph ng pháp xu ng thang (lùi vô h n)…………………………………51 3.5 Ph ng pháp tham s ………………………………………………… 53 3.6 Ph ng pháp quy n p ….……………………………………………….54 Bài t p đ ngh ………………………………………………………………57 H ng d n ho c đáp s …………………………………………………… 58 K T LU N ……………………………………………………………… 62 TÀI LI U THAM KH O…………………………………………………63 Trang Thang Long University Libraty L i cam đoan Tôi xin cam đoan, d i s ch b o h Công Minh, lu n v n chuyên ngành ph s l p ph ng d n c a PGS.TS Nguy n ng pháp toán s c p v i đ tài:“ M t ng trình nghi m nguyên b c hai ” đ c hoàn thành b i s nh n th c tìm hi u c a b n thân tác gi Trong trình nghiên c u th c hi n luân v n, tác gi k th a nh ng k t qu c a nhà khoa h c v i s trân tr ng bi t n Hà N i, tháng 05 n m 2016 Tác gi Hoàng V n N ng Trang L im đ u Ph ng trình toán v i nghi m nguyên m t đ tài lí thú c a S h c i s , m t nh ng d ng toán lâu đ i nh t c a Toán h c Ph ng trình nghi m nguyên đ th III, vô đa d ng th c nghiên c u t th i Diophant th k ng quy t c gi i t ng quát M i toán, v i s li u riêng c a nó, đòi h i m t cách gi i riêng Thông qua vi c gi i ph ng trình nghi m nguyên, nhà toán h c tìm nh ng tính ch t sâu s c c a s nguyên, s h u t , s đ i s Gi i ph ng trình nghi m nguyên đ a đ n s đ i c a liên phân s , lý thuy t đ ng cong eliptic, lý thuy t x p x Diophant, th ng d b c hai… Trong kì thi h c sinh gi i T nh, Qu c gia, Qu c t , ph nghi m nguyên v n th đ ng xuyên xu t hi n d ng trình i hình th c khác c đánh giá khó tính không m u m c c a M c đích c a lu n v n nêu m t s l p ph ng trình nghi m nguyên b c hai cách gi i cho t ng d ng Bên c nh lu n v n c ng đ a m t s ph hai ng pháp th ng dùng đ gi i ph ng trình nghi m nguyên b c ph thông N i dung c a lu n v n g m ba ch Ch ng 1: Ki n th c chu n b Ch ng 2: M t s l p ph Ch ng 3: M t s ph ng: ng trình nghi m nguyên b c hai ng pháp gi i ph ng trình nghi m nguyên b c hai ph thông Trang Thang Long University Libraty Lu n v n đ c hoàn thành v i s h PGS.TS Nguy n Công Minh – Tr dành nhi u th i gian h ng ng d n ch b o t n tình c a i h c s ph m Hà N i Th y ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n v n Tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y Tôi xin c m n S N i V , S giáo d c Tr ng THPT Ph ng S n, t Toán Tin tr t o t nh B c Giang, ng THPT Ph ng S n t o Tôi xin g i t i th y cô khoa Toán Tin, Phòng Sau i h c & Qu n u ki n giúp đ hoàn thành khóa h c lí Khoa h c Tr ng i h c Th ng Long, c ng nh th y giáo, cô giáo tham gia gi ng d y khóa cao h c 2014 – 2016 l i c m n sâu s c v công lao d y d trình giáo d c, đào t o c a nhà tr ng ng th i xin c m n t i t p th l p Cao h c Toán CTM3-BG Tr ng i h c Th ng Long đ ng viên, giúp đ trình h c t p làm lu n v n Tuy nhiên s hi u bi t c a b n thân khuôn kh c a lu n v n th c s nên ch c r ng trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y cô đ c gi quan tâm đ n lu n v n Hà N i, tháng 05 n m 2016 Tác gi Hoàng V n N ng Trang CH Trong ch NG KI N TH C CHU N B ng trình bày ki n th c c b n v th ng d b c hai bao g m: Kí hi u Legendre tính ch t, lu t thu n ngh ch b c hai áp d ng vi c tính kí hi u Legendre (xem  2 ) Trình bày v n đ v bi u di n m t s nguyên d ph ng thành t ng c a hai s ph ng, t ng c a b n s ng Nêu m t s tính ch t c b n c a liên phân s (xem 3 ) 1.1 Th ng d b c hai nh ngh a 1.1 Gi s p s nguyên t l a nguyên t v i p S a đ g i m t th ng d b c hai theo modulo p n u ph x2  a (mod p) có nghi m N u ng c ng trình đ ng d c l i, ta nói a b t th ng d b c hai modulo p B đ 1.1 Gi s Khi ph p s nguyên t l , a s nguyên không chia h t cho p ng trình đ ng d x2  a (mod p) nghi m, ho c có hai nghi m không đ ng d modulo p nh lý 1.1 N u p s nguyên t l , s 1,2, , p  có p 1 th ng d b c hai theo modulo p nh ngh a 1.2 Gi s p s nguyên t l , a s nguyên không chia h t a cho p Kí hi u Legendre   đ  p c đ nh ngh a nh sau: a i    n u a th ng d b c hai theo modulo p  p Trang Thang Long University Libraty a ii    1 n u a b t th ng d b c hai theo modulo p  p nh lý 1.2 (Tiêu chu n Euler) Gi s d p s nguyên t l , a s nguyên ng không chia h t cho p Khi p 1 a  p   a (mod p)   nh lý 1.3 Gi s p s nguyên t l , a b s nguyên không chia h t cho p Khi đó: a b i N u a  b(mod p)       p  p  ab   a  b  ii        p   p  p   a2  iii     p nh lý 1.4 N u p s nguyên t l ta có: p 1  1  i    (1)  p p 1 2 ii    (1)  p  p q nh lý sau cho ta m i quan h gi a kí hi u Legendre     q  p Trang v i p, q s nguyên t l nh lý th tính toán v i kí hi u Legendre ng đ c s d ng vi c ch ng minh lu t thu n ngh ch b c hai ta d a vào hai b đ sau B đ 1.2 (B đ Gauss) Gi s p s nguyên t l , a s nguyên không chia h t cho p N u s s th ng d bé nh t c a s nguyên a ,2a , , p 1 p a l nh n , 2 a s  p   (1)   Ch ng minh Gi s u1, u2 , , us th ng d d v1 , v2 , , vt th ng d nh nh t nh h n ( ja , p)  1, j :  j  s ch ng nh nh t l n h n p p 1 p a Vì c a s a ,2a , , 2 p nên th ng d nh nh t thu c 1,2, , p 1 Ta r ng t p  p  u1, p  u2 , , p  us , v1 , v2 , ,vt  p 1 p  1  s 1,2, ,  Vì 2   t p  p  u1, p  u2 , , p  us , v1, v2 , , vt  đ u nh h n p 1 nên ta ch c n ch ng t r ng chúng không đ ng d modulo p Hi n nhiên p  ui  p  u j (mod p) vi  vj (mod p) , n u i  j ; n u không ta suy ma  na (mod p) , hay m  n(mod p) , u không x y v i m  n mà  m, n  p 1 T ng t p  ui  vj (mod p) ; n u không m  n(mod p) , u không x y m  n  m, n  p 1 Trang Thang Long University Libraty V y  p 1 ( p  u1 )( p  u2 ) ( p  us )v1v2 vt   !   hay  p 1 (1) s u1u2 us v1v2 vt   !(mod p)   Do a p 1  p 1  p 1  !  a 2a   a  u1u2 usv1v2 vt (mod p) 2     suy (1) a s p 1  p 1  p 1  !   !(mod p)      p 1 Vì ( p,  !)  nên   (1) s a p 1  1(mod p) Suy p 1 a s  p   a  (1) (mod p)   V y a s  p   (1)    Trang B đ 1.3 N u p s nguyên t l a s l không chia h t cho p p 1  ja    p  a j 1  p   (1)   Ch ng minh Gi s u1, u2 , , us th ng d d v1 , v2 , , vt th ng d d ng nh nh t l n h n ng nh nh t nh h n p p c a s a, 2a, ,  p 1   a Ta có    ja  ja  p    r j ,  p r j m t u j ho c v j Nh v y p 1 p 1 t  ja  s ja p u       p   j  vj j 1 j 1 j 1   j 1 Nh ch ng minh b đ Gauss ch r ng t p  p  u1, p  u2 , , p  us , p  1  v1 , v2 , , vt  c ng t p 1,2, ,  , nên   p 1 s t s t j 1 j 1 j 1 j 1 j 1  j   ( p  u j )   vj  ps   u j   vj Suy Trang 10 Thang Long University Libraty Ta th y x   2(mod3) suy y( y  1)  2(mod3) Ch có th x y tr ng h p: y  3k  1, y   3k  v i k  Khi x   (3k  10)(3k  2)  x  9k(k  1)  x  k(k  1) Th l i ta th y x  k(k  1), y  3k  th a mãn ph nghi m c a ph ng trình cho V y t p ng trình ( x; y)  (k  k;3k  1) v i k s nguyên tùy ý c Ta có x2  x  19  y2  x2  x   21  y2 Ta th y 2( x  1)  (mod 2) nên ph ng trình có nghi m nguyên n u: 3(7  y2 )  0(mod 2) suy y l M t khác có  y2  nên ch có th y2  2( x  1)2  18 ta đ c x  2, x  4 V y ph ng trình cho có nghi m là: (2;1);(2; 1);(4;1);( 4; 1) 3.3 Ph ng pháp s d ng b t đ ng th c Trong gi i ph ng trình nghi m nguyên r t c n đánh giá mi n giá tr c a bi n, n u s giá tr mà bi n s có th nh n không nhi u ta có th dùng ph ng pháp th tr c ti p đ ki m tra đánh giá đ c mi n giá tr c a bi n s c n v n d ng linh ho t tích ch t chia h t, đ ng d , b t đ ng th c… Ví d 3.4 Gi i ph ng trình nghi m nguyên sau: a x2  xy  13 y2  4(25  y2 ) Trang 49 b x2  y2  xy  x  y c x2  xy  y2  d ( x  y  1)2  3( x2  y2  1) L i gi i a Ta có x2  xy  13 y2  4(25  y2 )  ( x  y)2  4(25  y2 ) Suy y2  25 25  y2 s ph ng Do y2 0;9;16;25 hay y0, 3, 4, 5 T ta có nghi m nguyên c a ph ng trình : (10;0);(10;0);(17;3);(1;3);(17; 3);(1; 3);(6;4);(18;4);(18; 4);(6; 4); (15;5);(15; 5) b Ta có x2  y2  xy  x  y  x2  2( y  1) x  y2  y  Khi '  ( y  1)2  y2  y   y2  y  Ph ng trình có nghi m nguyên n u: '    29  29  y 2 Do y  Z nên y0;1;2;3;4;5 Thay l n l trình tìm x ta đ t gí tr c a y vào ph c nghi m nguyên c a ph ng ng trình cho là: (0;0); (7; 5); (5; 5) c Ta có Trang 50 Thang Long University Libraty y2 y  x  xy  y    x     2  2 y2 y  Ta th y  x        2  y   y  2; 1;0 2  Thay vào ph ng trình tìm x th l i ta đ c t p nghiêm c a ph ng trình :  1;  2 ; 1; 2;  2;  1;  2;1;  1;1; 1;  1 d Áp d ng b t đ ng th c Bunyakovsky cho hai b s ( x; y;1) (1;1;1) ta có: ( x  y  1)2  (12  12  12 )( x2  y2  12 )  3( x2  y2  1) ng th c x y ch x  y  V y ph ng trình có nghi m nguyên ( x; y)  (1;1) 3.4 Ph Ph ng pháp xu ng thang ( lùi vô h n ) ng pháp dùng đ ch ng minh m t ph nghi m t m th khác Ph ng trình f ( x, y, z, )  ng x  y  z   không nghi m ng pháp đ c di n gi i nh sau : B t đ u b ng vi c gi s ( x0 ; y0 ; z0 ; ) nghi m c a ph đ i; suy lu n s h c ta tìm đ ng trình f ( x, y, z, )  Nh nh ng bi n c m t b nghi m khác ( x1; y1; z1; ) có quan h v i b nghi m đ u tiên b i m t t s k ch ng h n x0  kx1, y0  ky1, R i l i tìm đ c b nghi m ( x2 ; y2 ; z2 ; ) th a mãn x1  kx2 , y1  ky2 , Quá trình c ti p t c d n đ n x0 , y0 , z0 , chia h t cho k s v i s m t s t nhiên tùy ý i u x y ch x0  y0  z0   Ví d 3.5 Gi i ph ng trình nghi m nguyên sau: a x2  y2  3z2 Trang 51 b x2  y2  L i gi i a G i ( x0 ; y0 ; z0 ) m t nghi m c a ph ng trình t c : x02  y02  3z02 Do 3z02  0(mod3) nên ta suy x02  y02  0(mod3) Mà x02  0;1(mod3) , y02  0;1(mod3) nên x02  y02  0(mod3) ch x0  0(mod3) y0  0(mod3) t x0  3x1, y0  y1 ta đ c 3( x12  y12 )  z02 Rõ ràng z0  0(mod3) , đ t z0  3z1 ta đ ( x0 ; y0 ; z0 ) m t nghi m c a ph c x12  y12  3z12 T n u ng trình ( x1; y1; z1 ) c ng m t nghi m ti p t c lý lu n x1 , y1 , z1 đ u chia h t cho Ta l i tìm đ c nghi m ti p theo ( x2 ; y2 ; z2 ) v i x2 , y2 , z2 đ u chia h t cho Ti p t c d n đ n: x0 , y0 , z0 đ u chia h t cho 3k v i k tùy ý i u x y ch x0  y0  z0  V y ph ng trình cho có nghiêm nguyên nh t là: ( x; y; z)  (0;0;0) b Gi s ( x0 ; y0 ) nghi m c a ph ng trình x2  y2  Ta có x02  y02   x0 5 đ t x0  x1 (5x1 )2  y02   5x12  y02  Suy y0 5 đ t y0  y1  x12  y12  V y n u ( x0 ; y0 ) nghi m c a ph x y  ng trình cho  ;  c ng nghi m c a ph 5 5 C ti p t c l p lu n nh v y ta đ c ng nghi m c a ph V y ph ng trình cho x y  c  k0 ; k0  v i k nguyên d 5  ng b t kì ng trình i u x y ch x0  y0  ng trình có nghi m nh t ( x; y)  (0;0) Trang 52 Thang Long University Libraty 3.5 Ph Ph ng pháp tham s ng pháp th ng đ c áp d ng đ i v i nh ng ph ng trình có vô s nghi m nguyên mà nghi m nguyên c a ph thu c vào m t hay m t s tham s Ví d 3.6 Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình sau: a xy  z2 b xz  yz  xy L i gi i a Ta có th gi s ( x, y, z)  Th t v y, n u b ba s ( x0 ; y0 ; z0 ) th a mãn ph ng trình có c chung l n nh t d Gi s x0  dx1; y0  dy1 , z0  dz1 ( x1; y1; z1 ) c ng nghi m c a ph V i ( x, y, z)  , t ph ng trình ng trình ta suy x, y, z đôi m t nguyên t nhau, n u hai ba s có c chung d s l i c ng chia h t cho d T z2  xy mà ( x, y)  nên x  a , y  b2 , a , b  N* Suy z2  a 2b2 z  ab V y ta có x  na , y  nb2 , z  nab v i n, a , b s nguyên d ng tùy ý cho (a , b)  Th l i th y b s nguyên d ng ( x; y; z) có d ng nghi m V y t p h p t t c nghi m nguyên d ng c a ph  x  na   y  nb  z  nab  v i n, a , b s nguyên d ng tùy ý cho (a , b)  Trang 53 ng trình xy  z2 : b Ta có xz  yz  xy  ( x  y) z  xy  z  xy (Vì x, y nguyên d x y ng) t d  ( x, y) , ta có x  dm, y  dn v i (m, n)  Khi (mn, m  n)  , t z  xy dmn  ta suy m  n | d t c d  k(m  n) v i k  * x y m n Do nghi m c a ph ng trình đ c cho b i : * x  km(m  n); y  kn(m  n); z  kmn , v i k, m, n Ví d 3.7 Ch ng minh r ng ph ng trình xy  yz  zx  có vô s nghi m nguyên L i gi i Ta th y v i x  t , y   t có z  t  t  Ch n t  , ph ng trình cho có vô h n nghi m nguyên có d ng: x  t  y 1 t z  t2  t   V y ph ng trình cho có vô s nghi m nguyên 3.6 Ph ng pháp quy n p ây ph ng pháp t r t hi u qu ta c n ch ng minh m t ph ng trình có n nghi m nguyên ( ho c có nh t n nghi m nguyên ho c có không n nghi m nguyên) Ph nh ng ph ng pháp quy n p đ c s d ng đ i v i ng trình ch a tham s t nhiên Ví d 3.8 Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d x2  15 y2  4n ng n ph ng trình (3.1) có nh t n nghi m t nhiên Trang 54 Thang Long University Libraty L i gi i G i P (n) m nh đ ph ng trình (3.1) có nh t n nghi m t nhiên V i n  (2;0) nghi m c a ph V i n  ph ng trình (3.1) ng trình (3.1) có hai nghi m (4;0) (1;1) V y P (1) , P (2) Ta th y, n u ( x0 ; y0 ) nghi m c a ph (2 x0 ;2 y0 ) nghi m c a ph ng trình (3.1) ng trình x2  15 y2  4n1 (3.2) Gi s P (n) v i n  (3.1) có nh t m t nghi m l (a ; b) , t c a b l Khi ph ng trình (3.2) có n nghi m mà c x y đ u ch n Ta ch c n ch ng minh (3.2) có nh t m t nghi m ( x; y) v i x , y l Th t v y, ta có  a  15b   a  b   a  15b  a b 2 n 1    15      15     a  15b           2 2 M t khác a b a b   a 2 Mà a l nên hai s ph i có m t s l , gi s Khi a  15b a  b   8b l 2  a  15b a  b  Suy  m t nghi m t nhiên l c a (3.2) ; 2   Trang 55 a b V y (3.2) có nh t n  nghi m t nhiên hay P (n  1)  Ví d 3.9 Ch ng minh r ng v i n  , ph ng trình x2  y2  2n có nh t m t nghi m nguyên d L i gi i V i n  , ph có nghi m nguyên d ph (3.3) ng ( x; y) v i x y đ u l ng trình (3.3) có nghi m ( x; y)  (1;1) Gi s (3.3) ng l ( x; y)  (a ;b) n  k  Ta ch ng minh ng trình (3.3) có nghi m nguyên d ng l n  k  Th t v y, ta có a  b  2k mà  a  b   7a  b   a  b   7a  b  k 1 2 7     7     2(7a  b )          2 2  a  b 7a  b  Do  ;  nghi m nguyên d 2   ng c a ph ng trình (3.3) n  k  M t khác a b a b  a l 2 Trong hai s có m t s l , gi s a b L i có a  b 7a  b 7a  b   4a ch n nên l 2 Do ph ng trình (3.3) có nh t m t nghi m nguyên d ng l n  k  1. Trang 56 Thang Long University Libraty Bài t p đ ngh Bài Tìm t t c s nguyên t p đ ph nguyên d ng trình x2  16 y2  p có nghi m ng Bài Cho p m t s nguyên t l bi n lu n theo p s nghi m c a ph trình x2  py  3a  Bài Gi i ph ng trình nghi m nguyên sau : a x2  13 y   b x2  71y   Bài Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình sau: a 19 x2  28 y2  729 b x2  y2  1954 c x2  y2  10.20112000 Bài Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình ph a x  xy  y  b 3xy  x  y  52  c x2  12 x  y2  Bài Gi i ph ng trình nghi m nguyên a 3x2  y2  xy  x  y   b x  y  18  xy v i x, y nguyên d ng Trang 57 ng trình ng Bài Tìm t t c s nguyên t p đ ph ng trình x2  xy  y2  p có nghi m nguyên Bài Tìm t t c s nguyên d nghi m nguyên d ng n đ ph ng trình n( x  y)  3xy có ng Bài Ch ng minh r ng v i n  , ph ng trình x2  y2  2n  n  1 Có nh t  nghi m nguyên d   Bài 10 Ch ng minh r ng ph ng ( x; y) ng trình x2  y2  z2  59n có nghi m nguyên d H ng v i m i s nguyên d ng n ng d n ho c đáp s Bài N u ph ng trình có nghi m nguyên d nên p  1(mod8) Ng c l i, gi s ng p  x2 (mod8) Vì x l p  1(mod8) Suy t n t i m, n* : m2  n2  p Gi s n ch n, n  2v  p  m2  4v2 Vì m l nên m2  1(mod8)  4v2 8  v  y T p  m2  16 y2 Bài N u p = hi n nhiên ph ng trình cho có nghi m Trang 58 Thang Long University Libraty ( x; y)  (3t; a  3t ), t  N u p  3, tacó 31 p 1 p 1  3a    p p 2         (1)    (1)   3 3  p   p T suy ph ng trình cho có nghi m ch p  1(mod12) có hai h nghi m 3  11  2 Bài a            (1)   11  3  3 Ph ng trình cho có nghi m Mà ph ng trình đ ng d hai nghi m là: x  4(mod13); x  4(mod13) V y ph x2  3(mod13) có ng trình cho có hai h nghi m là: (13t  4;13t  8t  1) ; (13t  4;13t  8t  1) 7  71  1 b            1 Ph  71  7 7 Bài a Ph b Ph ng trình cho vô nghi m ng trình vô nghi m ng trình vô nghi m c (20111000 ;3.20111000 );(3.20111000 ;20111000 ) Bài a (1;4); (4;1); (-3;-6);(-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2) b (0;52); (-1;-56) c (0;0); (-12;0); (-16;8); (4;8); (4;-8) Bài a (2;-8); (2;2); (0;-4); (0;2); (-2;6); (-2;-4) b (19;4); (8;6); (4;14); (3;36) Trang 59 ng trình có nghi m ( x; y) Vì p l nên y l , 2x  y l Bài Gi s ph suy (2 x  y)2  1(mod8) Vì y l nên y2  1(mod8) Do p  x2  xy  y2  (2 x  y)2  y2  5(mod8) p  5(mod8)  p  1(mod 4) Khi t n t i m, n* : o l i, gi s p  m2  n2 Gi s m l , n ch n n  y  p  m2  y2 ; y ph i l n u không p  m2  1(mod8) t x m y  Ta có p  m2  n2  (2 x  y)2  y2  x2  xy  y2 Bài Ta th y n  3k ph ng trình có nghi m x  y  2k N u n không chia h t cho có d ng n  m(3k  1) x  mk; y  mk(3k  1) nghi m o l i, gi s ph minh n có ng trình có nghi m n không chia h t cho Ta ch ng c nguyên t d ng 3k  n( x  y)  3xy  (3x  n)(3 y  n)  n2 N u t t c c nguyên t c a n có d ng 3k  n có d ng 3k  3x  n có d ng 3k  có không c c a n không Bài Dùng ph c nguyên t d ng 3k  V y p c c a n Mâu thu n ng pháp quy n p ( xem ví d 3.9) Bài 10 V i n  , ta có ( x1; y1; z1 )  (1;3;7) m t nghi m nguyên d ph ng trình V i n  , ta có ( x2 ; y2 ; z2 )  (14;39;42) m t nghi m nguyên d ph ng c a ng c a ng trình Trang 60 Thang Long University Libraty V i n  ta xây d ng b s nguyên d ng nh sau : xn2  59 xn , yn2  59 yn , zn2  59 zn Khi ta có xk22  yk22  zk22  592 ( xk2  yk2  zk2 )  59k2 , k  T ta có + N u n  n s l t c n  2k  ( xn ; yn ; zn )  (1.59k1;3.59k1;7.59k1 ) m t nghi m nguyên d ng c a ph ng trình + N u n  n s ch n t c n  2k ( xn ; yn ; zn )  (14.59k ;39.59k ;42.59k ) m t nghi m nguyên d V y ph d ng c a ph ng trình ng trình cho có nghi m nguyên d ng n Trang 61 ng v i m i s nguyên K T LU N Trong lu n v n hoàn thành đ c nh ng vi c sau: Trình bày nh ng ki n th c c b n v th ng d b c hai, bi u di n s nguyên d ng thành t ng c a hai, c a b n s ph c a liên phân s Trình bày m t s l p ph Cu i nêu m t s ph ph ng trình nghi m nguyên b c hai ng pháp th ng trình nghi m nguyên b c hai ng, m t s tính ch t c b n ng đ d ng đ gi i ph thông Nh ng n m g n v n có nhi u k t qu m i đ t đ nghiên c u ph c s ng trình nghi m nguyên khác H theo c a đ tài nghiên c u ti p nh ng ph c trình ng phát tri n ti p ng trình nghi m nguyên b c hai mà hi n ch a có l i gi i c th Trang 62 Thang Long University Libraty TÀI LI U THAM KH O 1 V H u Bình (2014), chuyên đ s h c trung h c c s , NXB Giáo d c Vi t Nam, Hà N i  2 Hà Huy Khoái, Ph m Huy i n (2002), S h c thu t toán, NXB ih c Qu c gia Hà N i, Hà N i 3 b id àm V n Nh , ình Hanh, L u Bá Th ng (2014), Các chuyên đ ng h c sinh gi i Toán l p 9, NXB Giáo d c Vi t Nam, Hà N i  4 Ph B id ng m Minh Ph ng, Tr n V n T n, Nguy n Th Thanh Th y (2014), ng h c sinh gi i Toán trung h c c s - S h c, NXB Giáo d c Vi t Nam, Hà N i  5 ng Hùng Th ng, Nguy n V n Ng c, V Kim Th y (2010), Bài gi ng s h c, NXB Giáo d c Vi t Nam, Hà N i  6 D ng Qu c Vi t, NXB i h c s ph m, Hà N i àm V n Nh (2014), C s lí thuy t s Trang 63 a th c, [...]... i a Ta có 5 825  25 .23 3  52 (1 32  82 )  ( 42  32 )(1 32  82 )  6 52  4 02  28 2  7 12  7 2  7 62 b Ta có 29 9  13 .23  (22  22  22  12 )( 32  32  22  12 )  17 2  32  12  02  1 52  62  32  12  1 52  72  52  02  1 62  52  32  32 1.3 M t s tính ch t c a liên phân s nh ngh a 1.3 Cho a 0 là s nguyên, còn a1 , a 2 , , a n là các s nguyên d ng Khi đó đ i l ng  a0 ; a1, a 2 , , an  đ... bx 12  0 Do  x1 , y1  là nghi m c a (2. 7) nên 2  ax1  dby1  2  x 12  a 2 x 12  d 2b 2 y 12  x 12  2abdx1 y1  x 12 (a 2  1)  d 2b 2 y 12  2abdx1 y1  x 12 db 2  d 2b 2 y 12  2abdx1 y1 Trang 33  b  x 12  dy 12   2ax1 y1  bu  av  b 2u 2  a 2v2  b 2 (dv2  1)  v2 (db 2  1) bv  b  v, u  a o l i gi s (u;v) là nghi m h ph ng trình (2. 8) Ta có a 2  db2  1   u 2  dv2   d  2uv... University Libraty x 12  dy 12  x 22  dy 22  k Xét tích ( x1  y1 d )( x2  y2 d )  x1x2  dy1 y2  d ( x1 y2  x2 y1 ) (2. 2) Vì x1x2  dy1 y2  x 12  dy 12  0 (mod k ) x1 y2  x2 y1  x1 y1  x1 y1  0 (mod k ) V y t n t i u, v sao cho x1x2  dy1 y2  ku (2. 3) x1 y2  x2 y1  kv (2. 4) T (2. 2), (2. 3), (2. 4) suy ra ( x1  y1 d )( x2  y2 d )  k(u  v d ) ; ( x1  y1 d )( x2  y2 d )  k(u  v d )...     2  2   2   2   2  2 2 2 2 đi u này vô lý v i gi thi t v tính nh nh t c a m Bây gi gi s m là s l G i a, b, c, d là các s nguyên sao cho: a  x (mod m), b  y (mod m), c  z (mod m), d  t (mod m) và  m m m m m m m m  a  ,  b  ,  c  ,  d  2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có a 2  b2  c 2  d 2  x2  y2  z2  t 2 (mod m) Trang 17 Do đó a 2  b2  c2  d 2  km v i k là s nguyên nào...   u 2  dv2   1 ho c u 2  dv2  1 2 2 2 N u u 2  dv2  1 thì (u;v ) là nghi m c a x2  dy2  1 do đó u  a  u 2  dv2 Mâu thu n V y u 2  dv2  1 do đó (2. 7) có nghi m (u; v) Ti p theo ta ch ng minh (u; v) là nghi m nh nh t c a (2. 7) Gi s ( x1; y1 ) là nghi m nh nh t c a (2. 7) Theo ch ng minh trên ta có a  u 2  dv2  x 12  dy 12 ; b  2uv  2 x1 y1  u 2  dv2  2uv  x 12  dy 12  2 x1 y1...  24 lo i V i y  2 : x2  23 .4  1  93 lo i V i y  3: x2  23 .9  1  20 8 lo i V i y  4 : x2  23 .16  1  369 lo i V i y  5: x2  23 .25  1  576 nên x = 24 Suy ra nghi m nh nh t c a ph ng trình là (24 ; 5) Trang 29 ng sau: V y t p h p nghi m  xn ; yn  c a ph xn   24  5 23   n  24  5 23 ng trình đ  2 n ; yn   c xác đ nh b i công th c: 24  5 23   n  24  5 23 2 23  n Ho c theo h... ng trình x2  y2  mp có nghi m nguyên x, y Hi n nhiên là m < p, vì kp  x2  12  ( p 1 )2 1  p2 Chúng ta s ch ng t r ng m  1 Gi s là m  1 G i a, b là các s nguyên sao cho  m m m m  a  ,   b  v i a  x (mod m) và b  y (mod m), ta có 2 2 2 2 a 2  b2  x2  y2  mp  0 (mod m) Th thì có s nguyên t sao cho a 2  b2  tm Suy ra (a 2  b2 )( x2  y2 )  (tm)(mp)  tm2 p T đ ng th c (a 2  b2... x1; y1   ( x2 ; y2 )  Ak  x 12  dy 12  x 22  dy 22  k, ta đ c k 2  k 2 (u 2  dv2 )  u 2  dv2  1 Ta ch ng minh u, v  0 Rõ ràng u  0 N u trái l i v  0 thì u  1 suy ra Trang 25 ( x1  y1 d )( x2  y2 d )   k    x 12  dy 12   ( x1  y1 d )( x1  y1 d )  x2  y2 d  x1  y1 d  x1  x2 , y1  y2 Ta có mâu thu n V y (u; v) là nghi m nguyên d ng c a (2. 1)  nh lý 2. 2 (Công th c nghi... mod p  2  2 2 2  p 1  1  0 , 1 1 , , 1    đôi m t không đ ng d mod p  2  2 C ng v y, các s 2 2 Trang 16 Thang Long University Libraty 2 2   p 1   p 1    2 2  2 2 Vì 0 ,1 , ,  , 1  0 , 1 1 , , 1    có c th y p  1 s nên    2   2      có 0  x, y  p sao cho x2  y2 1  zp G i m là s nguyên d 2 sao cho ph ng trình x2  y2  z2  t 2  mp có nghi m nguyên. .. sv )2 ta suy ra u là t ng c a hai s chính ph ng Gi s u  x2  y2 , khi đó ta có n  (tx )2  (ty )2  1 .2. 2 Bi u di n s nguyên d ng thƠnh t ng b n s chính ph B đ 1.5 N u m, n đ u là t ng c a b n s chính ph t ng c a b n s chính ph ng ng thì tích mn c ng là ng Ch ng minh Gi s m  x2  y2  z2  t 2 và n  a 2  b2  c2  d 2 Ta có mn  ( x2  y2  z2  t 2 )(a 2  b2  c 2  d 2 )  (ax  by  cz  dt )2