B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - TR NăCHỂUăNGUYểN C C,ă IăC CăVĨă NGăD NGă TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C Hà N i – N m 2016 B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă I H CăTH NGăLONG Tr năChơuăNguyênăậ C00451 C C,ă IăC CăVĨă NGăD NG TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C Chuyên ngành: Ph Mã s : Ng ih ngăphápătoánăs ăc p 60.46.01.13 ng d n khoa h c: PGS.TSKH S ă CăQUANG Hà N i – N m 2016 Thang Long University Libraty L IăC Mă N Lu n v n đ h c hoàn thành t i tr ng d n khoa h c c a PGS.TSKH S ng i h c Th ng Long d is c Quang Tôi xin g i l i c m n đ n Ban Giám hi u, Th y Cô Khoa Toán, Phòng Sau đ i h c phòng ban liên quan Tr ng i h c Th ng Long t n tình giúp đ t o u ki n thu n l i cho trình h c t p nghiên c u c bi t, xin chân thành c m n Th y h PGS.TSKH S c Quang t n tình h trình nghiên c u hoàn thi n lu n v n n đ n toàn th gia đình, ng ng d n khoa h c c a ng d n giúp đ ng th i xin đ cg il ic m i thân b n l p cao h c Toán K3 Tr ng i h c Th ng Long đ ng viên, giúp đ trình h c t p nghiên c u Vì u ki n công tác th i gian có h n v i kh i l ng ki n th c l n nên lu n v n khó tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi kính mong Th y, Cô b n đ c ti p t c góp ý ki n đ lu n v n đ Xin chân thành c m n! c hoàn thi n h n M CăL C L IăC Mă N M CăL C M ă U Ch ngă1:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH 1.1 Không gian x nh 1.2 T s kép hàng m u hòa 1.3 Ánh x x nh 13 1.3.1 nh ngh a 12 1.3.2 Tính ch t c a ánh x x nh 14 1.4 Siêu m t b c hai không gian x nh P  R  16 1.4.1 nh ngh a 16 1.4.2 Giao c a đ ng b c hai v i đ ng th ng 17 1.4.3 D ng chu n t c c a siêu m t b c hai không gian x nh th c 18 1.5 i m liên h p qua siêu m t b c hai P  R  19 1.6 Nguyên t c đ i ng u 23 1.7 Các đ nh lý c n c a hình h c x nh 24 1.8 Mô hình afin c a m t ph ng x nh: 30 1.8.1 Mô hình afin c a m t ph ng x nh: 30 1.8.2 M t s nh n xét: 31 1.8.3 M t s khái ni m đ i ng u P2 : 32 Ch ngă2:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGă CLIT 35 2.1 Phép ngh ch đ o 35 2.2 ng tròn tr c giao 36 2.3 C c đ i c c 36 Ch ngă3:ăH ăTH NGăBĨIăTOÁNă I NăHÌNHă NGăD NGăC CăVĨă IăC CăTRONGăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG 39 3.1 Các toán v quan h vuông góc, song song: 39 3.2 Các toán v tính đ ng quy, th ng hàng: 43 K TăLU N 53 DANH M CăTĨIăLI UăTHAMăKH O 54 Thang Long University Libraty M ă U C c đ i c c m t công c m nh thú v đ nghiên c u hình h c ph thông V i khái ni m c c đ i c c, có th đ a cách nhìn nh t quán đ i v i m t s d ng toán đ c tr ng (quan h vuông góc, th ng hàng, đ ng quy, ) đ iv iđ b c THPT, xem xét khái ni m c c đ i c c ng tròn, đ i v i đ ng cô-níc ho c v i c p đ ng th ng Tuy nhiên hi n nay, vi c v n d ng ki n th c v c c đ i c c vào nghiên c u gi i quy t toán hình h c ph thông ch a đ thác ch c quan tâm khai ng trình sách giáo khoa, nh ng l i n m ph m vi ki n th c c a đ thi h c sinh gi i môn Toán tr ng THPT Vì v y l a ch n nghiên c u đ tài “C c, đ i c c ng d ng d y hình h c ph thông” M c đích c a lu n v n nh m trình bày ph ng pháp s d ng c c đ i c c đ gi i quy t toán hình h c ph thông Chúng s đ a h ng gi i quy t m t s d ng toán hình h c s c p b ng cách s d ng ki n th c v c c đ i c c mà ph nhi u công s c m i gi i quy t đ ng pháp thông th ng m t c V i mong mu n nh v y, hy v ng lu n v n có th m t tài li u tham kh o cho h c sinh ph thông đ ng nghi p giáo viên Toán THPT THCS đ ti p c n toán hình h c s c p theo m t h Lu n v n đ ng m i c chia làm ch ng Trong Ch ng 1, s trình bày ki n th c v c c đ i c c m t ph ng x dành Ch ch nh Chúng s ng đ trình bày c c đ i c c m t ph ng Euclid Ch ng ng cu i c a lu n v n s dành đ trình bày h th ng m t s d ng t p hình h c s c p đ c gi i b ng ph ng pháp s d ng c c, đ i c c Ch ngă1 C CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH 1.1ăKhôngăgianăx ă nh Cho V n không gian véc-t n chi u tr  V n  t p h p không gian véc-t ng K , v i n  Ta kí hi u m t chi u c a V n Theo kí hi u đó, ta hi u V1   V1 nhă ngh aă 1.1.1 (Không gian x gian véc-t  P, p, V  n+1 nh) Cho m t t p h p P , m t K –không n  chi u V n+1 , m t song ánh p :  V n1   P Khi b ba đ c g i không gian x K – không gian véc-t nh n chi u tr ng K , liên k t v i V n+1 b i song ánh p đ n gi n, ta kí hi u  P, p, Vn+1  b i P , đ ng th i đ ch rõ có s chi u b ng n , ta kí hi u Pn M i ph n t c a Pn đ c g i m t m c a không gian x nh Pn G i u véc-t khác c a V n+1 u không gian véc-t m t chi u sinh b i véc-t u , p  u   U m t m c a Pn Khi ta nói r ng véc-t u đ i di n c a m U Hai véc-t u u ' (khác ) đ i di n cho m t m ch chúng ph thu c n tính, t c u  ku ' , v i k  K \ 0 Không gian x đ nh tr c g i không gian x ng s th c R liên k t v i không gian véc t ¡ n nh th c n chi u, kí hi u P n  R  Trong lu n v n này, xét đ n không gian x nh th c chi u P  R  Thang Long University Libraty nhă ngh aă 1.1.2ă (Ph ng không gian x nh  P , p, R  G i W không gian véc-t (  m  ) Khi t p h p p  W  đ nh P ) Cho không gian x m chi u c a R c g i ph ng m chi u (ho c m ph ng) c a P Nh v y, m i m c a P m t  ph ng; 1 ph ng c a P g i đ ng th ng;  ph ng c a P c không gian P nhă ngh aă 1.1.3ă (H m đ c l p c a P ) H r m ( r  ) c a không gian x nh P đ c g i h m đ c l p n u h r véc-t đ i di n cho chúng h véc-t đ c l p n tính R H m không đ c l p g i h m ph thu c Theo đ nh ngh a đó, P h ch có m t m h đ c l p, h g m hai m h đ c l p n u hai m phân bi t, h g m ba m đ c l p n u ba m không th ng hàng H g m m tr lên luôn h m ph thu c nhăngh aă1.1.4ă(M c tiêu x P nh) M t t p h p có th t g m m c a S0 , S1, S2 ; E đ c g i m c tiêu x nh n u b t kì m m đ u đ c l p Các m Si (v i i  0,1, ) g i đ nh c a m c tiêu x m đ n v Các đ ng th ng Si S j v i i  j i, j  0,1, , g i tr c t a đ V i m i m c tiêu x e , e , e  c véc-t a R cho véc-t nh S0 , S1, S2 ; E , tìm đ c m t c s ei đ i di n c a đ nh Si (v i i  0,1, ) e  e0  e1  e2 đ i di n c a m E C di n c a m c tiêu x nh, m E g i nh cho s đ c g i c s đ i nhăngh aă1.1.5ă (T a đ m đ i v i m t m c tiêu x e , e , e  c nh S0 , S1, S2 ; E có c s đ i di n nh P  R  cho m c tiêu x gian x nh) Trong không a R V i m i m X b t kì c a P ta l y véc-t X Khi t a đ  x0 ; x1; x2  c a véc-t x đ i v i c s x đ i di n cho e , e , e  c ng đ cg i t a đ c a m X đ i v i m c tiêu S0 , S1, S2 ; E vi t X  ( x0 ; x1; x2 ) 1.2.ăT ăs ăképăvƠăhƠngăđi măđi uăhòa Trong không gian x nh P  R  cho m th ng hàng A, B, C , D ba m A, B, C đôi m t không trùng Ta g i a , b, c, d véc-t l n l t đ i di n cho m A, B, C , D véc-t thu c m t không gian véc-t chi u, a , b đ c l p n tính Khi có s k1, l1 k2, l2 cho c  k1 a  l1 b; d  k2 a  l2 b Ta ý r ng k1  l1  C không trùng v i A B nhăngh aă1.2.1ă (T s kép c a b n m th ng hàng) N u t s ngh a (t c l2  0), đ k2 k1 có : l2 l1 c g i t s kép c a m th ng hàng A, B, C , D kí hi u  A, B, C, D N u l2  phân s k2 ngh a, l2 ta xem t s kép c a m A, B, C , D b ng  (vô cùng)  k2 k1  : , l2  Nh v y  A, B, C , D    l2 l1 , l   nh ngh a không ph thu c vào vi c ch n véc-t đ i di n cho m Thang Long University Libraty nhă lýă 1.2.2 (M t s tính ch t c a t s kép) N u m A, B, C , D th ng hàng phân bi t thì: i) Khi hoán v m đ u v i nhau, ho c m cu i v i t s kép tr thành s ngh ch đ o ii) Khi hoán v đ ng th i m đ u v i m cu i v i nhau, t s kép không thay đ i iii) Khi hoán v c p m đ u v i c p m cu i, t s kép không thay đ i iv) Khi hoán v m v i đ v) N u gi a v i nhau, ho c hoán v m đ u m cu i c t s kép m i b ng tr t s kép c A,B,C,D,E m th ng hàng phân  A, B, C , D   A, B, D, E    A, B, C , E  Ch ng minh i) Ta có c  l1 b  k1 a d  l2 b  k2 a v y  B, A, C , D   l2 l1 1 :   , k2 k1 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1  A, B, D, C   k1 k2 1 :   l1 l2 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1 ii) Tính ch t (ii) h qu c a tính ch t (i) Ta có:  B, A, D, C     A, B, D, C    A, B, C , D  ,  A, B, C, D C , D, A, B   A, B, C , D  c  k1 a  l1 b iii) Ta có  T ta suy d  k2 a  l2 b (k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d   k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d Vì v y ta đ c bi t k l k k C , D, A, B  :  :   A, B, C , D  k1 l1 l2 l1 iv) Th t v y, ta có c  k1 a  l1 b  d  k a  l b  2 Do v y ta có l1 b  k1 a  c     l d l k l k a l c    1 2 Vì v y, ta đ c:  A, C , B, D   l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1 lk :       A, B, C , D  l2 l2 k1 l2 k1 v) Th t v y, ta có c  k1 a  l1 b   d  k2 a  l2 b  e  k3 a  l3 b T đó, ta suy k k  k k  k k  A, B, C , D   A, B, D, E    :   :   :   A, B, C , E   l2 l1   l3 l2  l3 l1 nhăngh aă1.2.3ă (Hàng m u hòa) N u t s kép  A, B, C, D  1 ta nói r ng c p m C , D chia u hòa hai m A, B Khi đó, C, D, A, B  1 nên c p m A, B c ng chia u hòa hai m C , D B i th , ta nói c p m A, B c p m C , D liên hi p u hòa Ta c ng nói A, B, C , D m t hàng m u hòa 10 Thang Long University Libraty đ ng đ i c c c a H AB n theo nhă lýă 2.3.4ă ta có OH  AB Ngoài m t đ nh lí n i ti ng c a hình h c ph ng sau đ c ch ng minh r t ng n g n d a theo c c đ i c c BƠiătoánă2 ( nhălíăBrokard) Cho t giác ABCD n i ti p đ Gi s AC c t BD E , AB c t CD F , AD c t BC ng tròn  O  K Ch ng minh r ng O tr c tâm c a tam giác EFK L i gi i K A B E C O D F Xét c c đ i c c đ i v i  O  Ta th y KE đ theo T ng đ i c c c a F nên nhălýă2.3.4 có OF  KE (3.1.1) OE  KF (3.1.2) ng t có : T (3.1.1) (3.1.2) suy O tr c tâm c a tam giác EFK 40 Thang Long University Libraty BƠiătoánă3 Cho tam giác ABC cân t i A Hai đ qua A Các đ ng th ng t ng th ng d1, d2 b t kì ng ng vuông góc v i d1, d2 c t t i D ng th ng qua B vuông góc v i AB c t d1 t i E , đ ng th ng qua C vuông góc v i AC c t d2 t i F Ch ng minh r ng AD vuông góc v i EF Nh nă xét: Rõ ràng đ toán không th y s xu t hi n c a b t c đ ng tròn Tuy nhiên, t gi thi t ban đ u ta có AB  AC , v y xu t ng tròn tâm A, bán kính AB (g i t t  A ) hi n đ L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  A Ta thêm m t s kí hi u: d đ ng th ng qua B vuông góc v i d1 d đ ng th ng qua C vuông góc v i d Ta th y BE, CF ti p n c a  A 41 ng th i ta có: ng đ i c c c a E s qua B vuông góc v i AE , d T đ i c c c a F d Áp d ng k t qu c a ng t đ ng nhălý 2.3.5 ( nh lý La Hire) ta s có c c c a EF D Do v y theo nhă lýă 2.3.4ă AD  EF Ta xét m t toán s d ng c c đ i c c đ ch ng minh song song: BƠiătoánă4 Cho tam giác ABC có đ c a  I  BC, CA, AB l n l ng tròn n i ti p  I  Ti p m t D, E, F AD c t l i  I  th ng qua K vuông góc v i AD c t EF K ng T Ch ng minh r ng AT / / BC L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  I  G i X giao m th hai c a KT v i  I  , ta th y D, X, I th ng hàng EF c t IX, IA l n l t J , G Ta th y AK.AD  AE  AG.AI Nên ta suy K, G, I , D đ ng viên Do 42 Thang Long University Libraty GK, GF   GA, GF   GA, GK   2   DI , DK    KD, KX    DI , DK    XK, XJ  Do t giác KGJX n i ti p V y ta có TJ TG  TXTK  TETF Chú ý r ng G trung m c a FE nên theo b đ Maclaurine suy T, J , E, F   1 Hay T thu M t khác đ c đ ng đ i c c c a J (theo H ăqu ă2.3.3) (3.1.3) ng đ i c c c a A EF qua J nên đ ng đ i c c c a J qua A ( nhălý 2.3.5 ( nh lý La Hire)) T hai u ta suy đ (3.1.4) ng đ i c c c a J AT V y theo nhă lýă 2.3.4, ta có : IJ  AT M t khác IJ  BC nên suy AT / / BC Nh năxét Ch ng minh song song b ng ý t ng dùng c c đ i c c giúp toán c a ta tr nên thú v h n 3.2.ăCácăbƠiătoánăv ătínhăđ ngăquy,ăth ngăhƠng: BƠiătoánă5 ( nh lí Brianchon) Ch ng minh r ng ba đ giác ngo i ti p đ ng quy L i gi i 43 ng chéo c a m t l c Ta kí hi u ABCDEF l c giác ngo i ti p  O  Ti p m c a  O  AB, BC, CD, DE, EF , FA l n l t G, H , I , J , K, L Xét c c đ i c c đ i v i  O  G i M, N, P l n l c pđ t giao m c a ng th ng  LG, IJ  ,  GH , JK  ,  HI , KL Dùng đ nh lí Pascal cho l c giác n i ti p GHIJKL ta có M, N, P th ng hàng Theo đ nhălý 2.3.6 ng đ i c c c a M, N, P ho c đ ng quy ho c đôi m t song song M t khác, đ ng đ i c c c a M, N, P l n l t AD, BE, CF nên ta có AD, BE, CF đ ng quy BƠiătoánă6 Cho tam giác ABC v i  I  đ I  BC, CA, AB l n l c a c p đ ng tròn n i ti p Ti p m c a t D, E, F G i M, N, P l n l t m chung ng th ng  EF , BC  ,  DF , CA ,  DE, AB Ch ng minh r ng M, N, P th ng hàng L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  I  ng đ i c c c a A EF qua M , nên đ nhălý 2.3.5 ( nh lý La Hire)) M t khác, ng đ i c c c a M qua A ( 44 Thang Long University Libraty đ ng đ i c c c a M qua D nên suy đ Hoàn toàn t ng t , ta c ng có: ng đ i c c c a M AD ng đ i c c c a N BE đ ng đ i c c c a P CF Khi đó, s đ ng d nh lí Ceva ta có AD, BE, CF đ ng quy Theo nhălý 2.3.6 ta có M, N, P th ng hàng BƠiătoánă7 Cho tam giác ABC , đ BC, CA, AB l n l t t i D, E, F v i EF , FD, DE l n l ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i ng tròn n i ti p tam giác DEF ti p xúc t t i J , K, L Ch ng minh r ng AJ , BK, CL đ ng quy L i gi i G i I ,O l n l G i M, N, P l n l t tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF ABC t giao m c a c p đ  EF , LK  ,  FD, JL ,  DE, KJ  ng th ng Theo Bài toán ta có M, N, P th ng hàng.(*) 45 Chú ý r ng DJ , FL, EK đ ng quy nên  M , J , F , E   1 Do J ng đ i c c c a M đ i v i  O  (theo H ăqu ă2.3.3) M t khác d thu c đ th y A thu c đ ng đ i c c c a M đ i v i  O  nên ta có AJ đ c c c a M đ i v i O  T O  CL đ ng t có BK đ ng đ i ng đ i c c c a N đ i v i ng đ i c c c a P đ i v i  O  T ba u (*) nhălý 2.3.6 ta có AJ , BK , CL đ ng qui Qua hai toán, th y rõ hi u l c c a nhălý 2.3.6 cho nh ng toán ch ng minh tính th ng hàng đ ng qui Tuy nhiên ta c n áp d ng linh ho t đ nh lí vào gi i toán nh sau: BƠiătoánă8 Trong tam giác ABC k đ ng cao AA' , BB' , CC ' g i H tr c tâm c a tam giác G i J m t giao m c a AA' v i đ I  đ ng tròn ' ' ng kính BC Ch ng minh r ng BC, BC ti p n t i J c a  I  đ ng quy L i gi i 46 Thang Long University Libraty G i giao m c a AH v i  I  J , J nh hình v , nh v y J s J , ho c J Ta s ch ng minh BC, B' C ' ti p n t i J c a  I  đ ng qui (v i tr ng h p c a ti p n t i J ch ng minh t ng t ) Xét c c đ i c c đ i v i I  Bình lu n: Ta th y BC không h có c c, nên áp d ng Ta s s d ng m t ph nhălý 2.3.6 không th ng th c ti p c n khác nh sau: G i giao m c a BC B ' C ' K Ta có AH đ K , mà AH qua J nên đ ng đ i c c c a ng đ i c c c a J s qua K (theo nhălý 2.3.5 ( nh lý La Hire)) hay ti p n t i J qua K T c ta có BC, B'C ' ti p n t i J đ ng qui t i K BƠiătoán G i O tâm đ l n l t v đ ng th ng dA, dB, dC, dD t OA, OB, OC, OD Các c p đ dD dA t ng tròn n i ti p t giác ABCD Qua A, B, C, D ng ng vuông góc v i ng th ng dA dB , dB dC , dC dD , ng ng c t K, L, M, N Ch ng minh r ng KM LN c t t i O (Trích cu c thi toán mùa đông t i Bulgaria ,1996 ) 47 L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  O  Bình lu n: toán c ng không th s d ng tr c ti p nhălý 2.3.6 m O m đ i c c Tuy nhiên, có th áp d ng đ nh lý nhălý 2.3.4 đ gi i toán nh sau: G i I , J , P, Q l n l E, F , G, H ln l t t ti p m c a  O  AB, BC, CD, DA G i giao m QI , OA ,  IJ , OB ,  JP , OC  ,  PQ, OD  Ta s c a cp đ ng th ng: ch ng minh N, O, L th ng hàng, ph n ch ng minh M, O, K th ng hàng hoàn toàn t ng t Theo gi thi t toán ta s có: dB đ ng đ i c c c a F , dC đ ng đ i c c c a G T suy FG đ ng đ i c c c a m L T ng t , ta c ng có HE đ (3.2.1) ng đ i c c c a m N M t khác t giác IJPQ , ta ch ng minh đ T (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), th ng hàng Chúng minh t c FG / / HE (3.2.2) (3.2.3) nhălý 2.3.4 tiên đ Euclide ta có N, O, L ng t , ta c ng có M, O, K th ng hàng V y KM LN c t t i O 48 Thang Long University Libraty BƠiătoánă10 Cho tam giác ABC ngo i ti p đ I  BC, CA, AB l n l ng tròn  I  Ti p m c a t D, E, F Trên BC l y m J , CA l y m K cho IJ / / EF , IK / / DF Ch ng minh r ng AJ , BK, IF đ ng qui L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  I  K DM, EN l n l t vuông góc v i FE, FD G i giao m c a AJ BK P , ta s ch ng minh I , F , P th ng hàng Ta th y đ ng đ i c c c a J ph i qua D vuông góc v i IJ mà IJ / / EF nên suy DM đ ng đ i c c c a J Suy M thu c đ c cc a J (3.2.4) M t khác M thu c FE đ T (3.2.4), (3.2.5) đ ng đ i c c c a A (3.2.6) ng đ i c c c a N T (3.2.6), (3.2.7) (3.2.5) nhă lý 2.3.5 ( nh lý La Hire), ta suy AJ ng đ i c c c a M T ng t BK đ đ ng đ i (3.2.7) nhă lý 2.3.5 ( nh lý La Hire) ta ti p t c suy ng đ i c c c a P MN M t khác  MF , MN    DE, DN    FD, FN   mod   nên ta suy MN / / AB T ta có AJ , BK, IF đ ng qui t i m P 49 3.3.ăCácăbƠiătoánăv ăqu ătích,ăđi măb tăđ ng: BƠiă toánă 11 Cho đ ng tròn  O  m t đ M t m C ch y d T ng th ng d n m  O  C ta k t i  O  hai ti p n CA, CB ( A, B ti p m).Ch ng minh r ng C ch y d AB qua m t m c đ nh L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  O  G i K c c c a d , d c đ nh nên K c đ nh C thu c d suy đ đ ng đ i c c c a C s qua c c c a d hay ng th ng AB qua m K c đ nh BƠiătoánă12 Cho góc xOy c đ nh m t m A c đ nh n m tia Ox ng tròn  K  thay đ i nh ng ti p xúc v i v i hai tia Ox, Oy G i ti p m c a  K  Ox, Oy l n l t B, C T A ta k ti p n AD t i 50 Thang Long University Libraty K ( D ti p m, D khác B ) OK c t BD E G i d đ ng th ng qua K vuông góc v i CE Ch ng minh r ng  K  di đ ng (nh ng th a mãn u ki n toán) d qua m t m c đ nh L i gi i Xét c c đ i c c đ i v i  K  ng th ng d c t Oy đ i c c c a F CE (qua m E ) suy đ F , ta có đ ng đ i c c c a E s qua F nhălý 2.3.5 ( nh lý La Hire)) (theo ng đ i c c c a A BD (qua m E ) suy đ qua A (theo (3.3.1) ng đ i c c c a E s nhălý 2.3.5) T (3.3.1),(3.3.2) theo ng (3.3.2) nhălý 2.3.5 ta suy AF đ ng đ i c c c a E Theo nhălý 2.3.5 ta có AF vuông góc v i EK , m t khác ta có EK phân giác góc xOy c đ nh nên m F c đ nh T ta có u c n ch ng minh 51 BƠiă toánă 13 Cho đ đ ng tròn tâm O m t m I c đ nh n m ng tròn  O  Dây cung AB c a  O  quay quanh I , OI c t ti p n t i A B c a  O  l n l t t i M, N G i giao m c a hai đ ng th ng AN, BM J Tìm qu tích c a m J AB quay quanh I L i gi i F J G M A I O B N G i F giao m c a AM BN , FJ c t AB đ G Ta có AB ng đ i c c c a m F đ i v i  O  i m I thu c AB nên theo 2.3.5 ta có F thu c đ Áp d ng nhă lý  FJ , FI , FB, FA  1 m G thu c đ ng đ i c c c a I đ i v i  O  2.3.7 cho b n m nhălý (3.3.3) A, B, M, N ta có nên suy G, I , B, A  1 , theo H ă qu ă 2.3.3 ta có ng đ i c c c a I đ i v i  O  (3.3.4) T (3.3.3) (3.3.4) suy FG đ ng đ i c c c a I đ i v i  O  M t khác, gi thi t m I c đ nh nên đ ng đ i c c FG c ng c đ nh V y m J thu c m t đ ng th ng c đ nh Gi i h n c a qu tích m J đo n th ng mà biên giao m c a hai ti p n t i A ho c t i B tr song v i đ ng h p t ng ti p n song ng th ng c đ nh OI 52 Thang Long University Libraty K TăLU N Lu n v n trình bày m t h ng nghiên c u m t nhóm toán hình h c ph ng ph thông nh s d ng tính ch t liên quan đ n c c đ i c c mà sách giáo khoa đ c p đ n nh ng l i n m ph m vi ki n th c c a đ thi *ăTómăt tăvƠăđánhăgiáăk tăqu ănghiênăc uăchínhăc aălu năv n: Lu n v n cho ta th y đ qu quan tr ng v c h th ng ki n th c c s đ s d ng k t c c đ i c c vào m t nhóm toán hình h c ph thông theo k t qu nghiên c u sau: ng d ng c c đ i c c đ gi i toán ch ng minh song song, vuông góc ng d ng c c đ i c c đ gi i toán ch ng minh đ ng qui, th ng hàng ng d ng c c đ i c c đ gi i toán qu tích, m b t đ ng *ăG iăm ăh -H ngăphátătri năc aăđ ătƠi: ng phát tri n c a lu n v n là: + Ti p t c nghiên c u ph ng pháp s d ng lí thuy t v c c đ i c c m t ph ng đ gi i quy t thêm m t s toán hình h c ph thông, bao g m c toán không gian Euclide ba chi u P3(R) + T ng quát ph ng pháp đ có th gi i quy t toán không gian Euclide n chi u Pn(R) 53 DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O [1] V n Nh C ng (2006), Hình h c x nh, NXB i h c S ph m [2] Titu Andreescu (2009), Mathematical Olympic Challenges, Birkhäuser Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition [3] Hoàng Qu c Khánh, http://forummathscope.org/showthread.php?t=7287 54 Thang Long University Libraty [...]... di n là : AB và CD, AD và BC, các c p đ nh đ i di n là A và C, B và D) (Hình 4) i v i hình ba đ nh ABC n i ti p m t đ tr ng ôvan, n u ta xem nó là ng h p đ c bi t c a hình sáu đ nh AABBCC thì đ H ăqu ă1.7.5 N u m t hình ba đ nh n i ti p m t đ c k t qu sau đây: ng ôvan thì giao đi m c a m t c nh v i ti p tuy n t i đ nh đ i di n là ba đi m th ng hàng (Hình 5) nhăngh aă1.7.6ă (Hình sáu c nh) Hình sáu c nh... ng g p là: đ nh lí Pascal và đ nh lí Brianshon; đ nh lí Desargues th nh t và đ nh lí Desargues th hai; đ nh lí hình b n c nh toàn ph n và đ nh lí hình b n đ nh toàn ph n 1.8.4ăVíăd ă ng d ngăc aănguyênălýăđ iăng u trong m tăph ngăafin M t k t qu quen thu c c a hình h c Euclide sau đây: Trong tam giác ABC , đ ng trung bình DE luôn song song v i c nh đáy AC t Trong hình h c x Trong m t ph ng x đ nh,ta... hình sáu c nh đó Các giao đi m a1  a2 , a2  a3 , a3  a 4 , a 4  a5 , a5  a6 , a6  a1 đ 27 c g i là các đ nh c a hình sáu c nh Các c p c nh a1 và a 4 , a 2 và a 5 , a 3 và a 6 đ c g i là các c p c nh đ i di n Các c p đ nh a1  a2 và a 4  a5 , a 2  a3 và a5  a 6 , a3  a 4 và a6  a1 đ c g i là các c p đ nh đ i di n nh lý Pascal có đ i ng u là đ nh lí sau đây, còn g i là đ nh lí Brianchon (Hình. .. aăđ nhălýăPascal Ta có th đ nh ngh a hình n m đ nh, hình b n đ nh, hình ba đ nh t ng t nh đ nh ngh a hình sáu đ nh Hãy xét m t hình n m đ nh AA 1 2 A3 A4 A5 n i ti p đ ng ôvan  S  Ta xem hình n m đ nh đó nh là m t tr ng h p đ c bi t c a hình sáu đ nh khi hai đ nh liên ti p nào đó trùng nhau, ch ng h n đó 25 là hình sáu đ nh AA 1 2 A3 A4 A5 A5 Khi đó l p lu n trong ch ng minh c a đ nh lí Pascal v... 1.7.ăCácăđ nhălýăc ăđi năc a hình h căx ă nh nhăngh aă1.7.1ă (Hình sáu đ nh) T p h p g m 6 đi m phân bi t có th t A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 đ c g i là m t hình sáu đ nh Nó đ c kí hi u là AA 1 2 A3 A4 A5 A6 Các đi m Ai g i là các đ nh c a hình sáu đ nh đó Các đ ng th ng AA 1 2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 g i là các c nh c a hình sáu đ nh Các c p đ nh A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 g i là các c p... c p đ nh đ i di n Các c p c nh A1 A2 và A4 A5 , A2 A3 và A5 A6 , A3 A4 và A6 A1 g i là các c p c nh đ i di n nhălýă1.7.2ă( nh lý Pascal) N u m t hình 6 đ nh có 6 đ nh n m trên m t đ ng ôvan (còn g i là hình sáu đ nh n i ti p đ các c nh đ i di n n m trên m t đ ng ôvan) thì giao đi m c a ng th ng Ch ng minh (hình v ) 24 Thang Long University Libraty (Hình 1) Gi s hình 6 đ nh AA 1 2 A3 A4 A5 A6 n i ti... giao đi m hai c nh AB và CD, giao đi m c a ti p tuy n t i B v i c nh AD (Hình 3) C ng v i hình b n đ nh ABCD nói trên, n u ta xem nó là tr bi t c a hình sáu đ nh AABCCD ho c ABBCDD thì s đ ng h p đ c c k t qu sau: 26 Thang Long University Libraty H ă qu ă 1.7.4 N u m t hình b n đ nh ABCD n i ti p m t đ ng ôvan thì giao đi m các c p c nh đ i di n và giao đi m các c p c nh đ i di n và giao đi m các ti... y, gi s A và B là hai đi m c a P mà f  A  f  B Khi đó, n u g i a và b là các vec-t đ i di n c a A và B thì  (a ) và   b  cùng đ i di n cho m t đi m  f  A  f  B nên     a  k b   kb , k  0 Vì  đ n c u nên suy ra a  kb , t c là A và B trùng nhau c Ánh x x nh b o t n tính đ c l p và tính ph thu c c a m t h đi m (do đ n c u tuy n tính b o t n s đ c l p tuy n tính và s ph thu... u trong không gian x S , S , S ; E ' thì có phép bi ' 0 ' 1 ' 2 nh P 2 cho hai m c tiêu x nđ ix nh S0 , S1, S2 ; E và nh duy nh t f c a P 2 , bi n các đi m Si thành các đi m Si'  i  0,1, 2 và bi n E thành E ' d) M i t p con H c a P 2 đ đ ng x c g i là m t hình Hình H đ nh v i hình H ' n u có m t phép bi n đ i x 15 c g i là t ng nh f bi n H thành H ' Quan h t ng đ ng x M t tính ch t c a hình. .. nhau) 1.5.ă i măliênăh păquaăsiêuăm tăb căhai trong P 2  R  Trong P 2  R  v i m c tiêu đã ch n, cho siêu m t b c hai  S  có ph ng trình xt Ax  0 , và hai đi m Y  ( y0 : y1 : y2 ) và Z  ( z0 : z1 : z2 ) nhăngh aă1.5.1 ( i m liên h p) i mYđ c g i là liên h p v i đi m Z đ i v i  S  n u yt Az  0 , trong đó y và z l n l t là ma tr n c t t a đ c a đi m Y và đi m Z Khi đó ta c ng có zt Ay  0 ,