BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Hữu Hòa TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại Số Lý Thuyết Số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THẦY HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Phó Giáo Sư Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy bước hướng dẫn tác giả tìm hiểu kiến thức kết nghiên cứu định hướng hướng dẫn tác giả tự giải vấn đề đề đề cương luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh Quang, Tiến sỹ Trần Huyên người thầy nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả nâng cao chuyên môn phương pháp làm việc có hiệu suốt thời gian khóa học sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Phòng KHCN – SĐH Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM tạo điều kiện tốt giúp tác giả suốt trình tham gia khóa học trường trình hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn bè khóa học động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả luận văn MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 1.1 Một số kết vành giao hoán có đơn vị 1.2 Một số khái niệm không gian tôpô 15 1.3 Một số tính chất phổ nguyên tố vành giao hoán có đơn vị 17 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 26 2.1 Đại số tự vành giao hoán có có đơn vị K 26 2.2 Một số kết PI – đại số nguyên thủy 33 2.3 Địa phương hóa theo tâm 41 2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thật 46 Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ 51 3.1 Ứng dụng đồng thức, đa thức tâm PI – vành 51 3.2 Phổ nguyên tố PI – vành nguyên tố nguyên tố 61 3.2.1 Sự so sánh tập ideals nguyên tố vành với phổ nguyên tố vành giao hoán 61 3.2.2 Hạng ideal nguyên tố 64 3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n vành R 66 3.2.4 Ideal tối tiểu g n ( R ) 72 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) S : ideal sinh tập S vành R a : ideal sinh phần tử a vành R rad ( R ) : nilradical vành R Jac ( R ) : Jacobson vành R r (α) : radial ideal α Spec(R) : phổ nguyên tố vành R Spec A ( R ) : tập hợp ideal nguyên tố vành R mà chứa tập A Spec n ( R ) : phổ nguyên tố bậc n vành R Z(R ) : tâm vành R V (E) : tập tất ideal nguyên tố p vành R mà p chứa E, với E tập R deg x i f : bậc biến x i đa thức f ( x1 , , x i , , x m ) deg f : bậc đa thức f ( x1 , , x i , , x m ) htf : chiều cao đa thức f [n] : phần nguyên số thực n RS : địa phương hóa vành R tập đóng nhân S nằm tâm R Sn ( x1 , x , , x n ) : đa thức chuẩn tắc bậc n Cn ( x1 , x , , x n ) : đa thức Capelli bậc n rank ( P ) : hạng ideal nguyên tố P MỞ ĐẦU Vấn đề trọng tâm đại số giao hoán nghiên cứu ideal nguyên tố Khái niệm ideal nguyên tố tổng quát hóa khái niệm số nguyên tố số học khái niệm tập hợp điểm hình học Vấn đề tập trung ý hình học khái niệm “lân cận điểm” đại số trình địa phương hóa vành ideal nguyên tố Việc nghiên cứu phổ nguyên tố lớp vành giao hoán có đơn vị xem hoàn chỉnh Ta cố gắng nghiên cứu tập ideals nguyên tố vài lớp PI – vành (tức vành không giao hoán) mô tả số tính chất tập ideals nguyên tố lớp PI – vành Vì lẽ đó, chọn đề tài “Tập ideals nguyên tố PI – đại số” làm chủ đề cho luận văn bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển hoàn chỉnh số kết mối liên hệ tập hợp ideals nguyên tố vành R với tập ideals nguyên tố vành R1 giao hoán R đặc biệt R1 tâm vành R Hướng nghiên cứu mà tiếp cận dựa kết nghiên cứu Rowen (giao ideal khác không với tâm PI – vành nguyên tố luôn khác không), từ ta nghiên cứu tập hợp ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố thông qua việc nghiên cứu ideals nguyên tố tâm tức vành giao hoán có đơn vị Trong luận văn tập trung nghiên cứu tập ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố nửa nguyên tố NỘI DUNG ĐỀ TÀI Luận văn chia thành chương CHƯƠNG I: Giới thiệu vành giao hoán kết phổ nguyên tố vành giao hoán có đơn vị 5 CHƯƠNG II: Giới thiệu PI – vành không giao hoán kết PI – vành không giao hoán CHƯƠNG III: Tìm hiểu tập hợp ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố nửa nguyên tố 6 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị tập hợp R khác rỗng với hai phép toán hai ngôi, viết theo lối cộng viết theo lối nhân, thỏa mãn điều kiện sau: i) R với phép cộng nhóm abel ii) R với phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân có tính phân phối phép cộng, nghĩa là: Với x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x = yx + zx iv) Với x, y ∈ A xy = yx v) Tồn phần tử ∈ R cho x1 = 1x = x với x ∈ R Trong chương đề cập đến vành giao hoán có đơn vị không nói thêm vành R thường hiểu vành giao hoán có đơn vị, tức vành thỏa mãn tính chất Định nghĩa 1.1.2: Cho R vành Vành α R gọi ideal A xa ∈ α với x ∈ α,a ∈ R Nhận xét: - Giao họ không rỗng ideal vành R ideal R - Cho S tập vành R Khi có ideal vành R chứa S (chẳng hạn R) Bởi giao tất ideal R chứa S ideal R chứa S Ideal gọi ideal sinh tập S, kí hiệu: S Hiển nhiên ideal bé (theo quan hệ bao hàm) lớp ideal R chứa S 7 Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh tập gồm phần tử {a} gọi ideal sinh a, kí hiệu: a Định nghĩa 1.1.4: - Một ideal p vành R gọi ideal nguyên tố p ≠ xy ∈ p x ∈ p y ∈ p - Một ideal m vành R gọi ideal tối đại m ≠ ideal α cho: m ⊂ α ⊂ (bao hàm nghiêm ngặt) Mệnh đề 1.1.5: p ideal nguyên tố vành R A m ideal tối đại vành R A m p miền nguyên trường Hệ 1.1.6: Mọi ideal tối đại ideal nguyên tố Mệnh đề 1.1.7: Cho R vành Giả sử p ideal nguyên tố α, β ideal R Khi αβ ⊂ p α ⊂ p β ⊂ p Chứng minh: Giả sử α ⊄ p β ⊄ p Khi tồn x ∈ α; y ∈β cho x ∉ p; y ∉ p ⇒ xy ∉ p (vì p ideal nguyên tố) Mặt khác xy ∈ αβ ⊂ p ⇒ xy ∈ p (vô lý) Vậy α ⊂ p β ⊂ p Mệnh đề 1.1.8: Giả sử p ideal nguyên tố α1 , α , , α n ideal R Khi đó: n - Nếu ∩α i ⊂ p tồn i cho: αi ⊂ p i = p tồn i cho: αi = p i =1 n - Nếu ∩α i =1 Chứng minh: Bằng phản chứng giả sử αi ⊂ p; ∀i = 1, n ⇒ ∃f i ∈ α i f i ∉ p với i Suy ra: n ∏ f ∉ p (vì p ideal nguyên tố) i i =1 n n n i =1 i =1 i =1 Mặt khác fi ∈ αi , ∀i = 1, n ⇒ ∏ fi ∈ ∏ αi ⊂ ∩ αi n n ∩ αi ⊂ p nên ta có: Theo giả thiết: i =1 ∏ fi ∈ p (mâu thuẫn với i =1 n ∏f ∉ p ) i i =1 Vậy tồn i cho: αi ⊆ p n Đặc biệt nếu: ∩α i = p ⇒ p ⊂ α i ; ∀i = 1, n Mặt khác kết tồn i i =1 cho: αi0 ⊆ p Vậy tồn i cho: α i0 = p Bổ đề Zorn: Cho S tập không rỗng thứ tự ≤ Nếu tập T S, toàn phần ≤ , có cận S có phần tử tối đại Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác có ideal tối đại Hệ 1.1.10: Nếu α ≠ ideal vành R α chứa ideal tối đại R Mọi phần tử không khả nghịch vành R chứa ideal tối đại R Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x ∈ R gọi lũy linh có số nguyên dương n cho: x n = Hiển nhiên, x ≠ , x lũy linh x ước Tập hợp gồm phần tử lũy linh vành R ideal R gọi nilradical R, kí hiệu: rad ( R ) Khi đó: R rad ( R ) phần tử lũy linh khác Mệnh đề 1.1.12: Nilradical vành R giao ideal nguyên tố vành R Chứng minh: Gọi ℜ giao tất ideal nguyên tố R 9 Giả sử f ∈ R phần tử lũy linh p ideal nguyên tố Khi tồn số nguyên dương n cho: f n = ∈ p ⇒ f ∈ p (vì p ideal nguyên tố) Do đó: rad ( R ) ⊂ ℜ Ngược lại: giả sử f phần tử không lũy linh, tức ∀n ∈ ℕ* : f n > Xét Σ tập hợp gồm ideal α thỏa mãn tính chất: ∀n ∈ ℕ* : f n ∉ α Hiển nhiên Σ ≠ ∅ (vì ∈ Σ ) Σ thứ tự quan hệ bao hàm Lấy T = {αi }i∈I tập Σ thứ tự toàn phần quan hệ bao hàm Đặt β = ∪ αi Khi β ideal A, vì: ∀f ,g ∈β, ∀h ∈ A , T i∈I thứ tự toàn phần quan hệ bao hàm nên tồn αi ∈ T cho f ,g ∈ α i ⊂ β ⇒ f − g ∈ αi ⊂ β;hf ∈ αi ⊂ β Vậy β ideal A Vì αi ∈ Σ, ∀i ∈ I ⇒ f n ∉ αi , ∀i ∈ I, ∀n > ⇒ f n ∉β, ∀n > Vậy β cận Σ Theo bổ đề Zorn, tập Σ có phần tử tối đại p Ta chứng minh p ideal nguyên tố Giả sử x, y ∉ p p + x ⊃ p,p + y ⊃ p (bao hàm nghiêm ngặt) không thuộc Σ Vậy tồn m, n cho: f m ∈ p + x ,f n ∈ p + y Suy ra: f m + n ∈ p + xy , nên p + xy ∉ Σ ⇒ xy ∉ p Vậy p ideal nguyên tố Do có ideal nguyên tố p cho f ∉ p ⇒ f ∉ℜ ⇒ ℜ ⊂ rad ( R ) Vậy rad ( R ) = ℜ Định nghĩa 1.1.13: Cho α ideal vành R Tập tất phần tử x ∈ R cho có n > : x n ∈ α , gọi radical ideal α , kí hiệu: r ( α ) Mệnh đề 1.1.14: r ( α ) ideal R Mệnh đề 1.1.15: Radical ideal α giao tất ideal nguyên tố mà chứa α Chứng minh: 10 Giả sử α ideal R Gọi A giao tất ideal nguyên tố chứa α Ta chứng minh: r ( α ) = A • r (α) ⊂ A ∀f ∈ R,f ∈ r ( α ) ⇒ ∃n ∈ ℕ, n > : f n ∈ α Do với idal nguyên tố p, p chứa α , ta có: f n ∈ p ⇒ f ∈ p ⇒ f ∈ A Vậy r ( α ) ⊂ A • r (α) ⊃ A ∀f ∈ R,f ∈ A Bằng phản chứng, giả sử f ∉ r ( α ) Gọi S tập hợp tất ideal β R cho β ⊃ α f n ∉β, ∀n ∈ ℕ* Ta thấy S ≠ ∅ α ∈ S , S có phần tử tối đại Gọi p phần tử tối đại S với p ideal nguyên tố chứa α Vậy f ∉ p ⇒ f ∉ A (mâu thuẫn f ∈ A ) Vậy r ( α ) ⊃ A Vậy r ( α ) = A Định nghĩa 1.1.16: Một vành R có đơn vị gọi vành Boole nếu: f = f , ∀f ∈ R Mệnh đề 1.1.17: Vành Boole vành giao hoán Chứng minh: Giả sử R vành Boole Với f ,g ∈ R ta có: f + g = ( f + g ) = f + fg + gf + g = f + fg + gf + g 2 ⇒ fg + gf = ⇒ fg = −gf = ( −gf ) = ( gf ) = gf Vậy R vành giao hoán Mệnh đề 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố vành Boole ideal tối đại Chứng minh: Giả sử p ideal nguyên tố vành Boole R Giả sử tồn ideal α R cho: p ⊂ α ⇒ ∃f ∈ α : f ∉ p 11 Vì R vành Boole nên: f ( f − 1) = f − f = ∈ p Suy f − ∈ p (vì f ∉ p ) Suy f − ∈ α ⇒ f − ( f − 1) ∈ α ⇒ ∈ α ⇒ α = R Vậy p ideal tối đại vành Boole R Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh vành Boole ideal Chứng minh: Giả sử R vành Boole, α ideal hữu hạn sinh R Nếu α = f α ideal Nếu α = f ,g Đặt h = f + g − fg Ta chứng minh: f ,g = h Ta có h ∈ α ⇒ h ⊂ α Mặt khác: fh = f + fg − f g = f ⇒ f ∈ h   ⇒ α = f ,g ⊂ h gh = gf + g − fg = g ⇒ g ∈ h  Vậy f ,g = h α ideal Bằng quy nạp ta chứng minh ideal hữu hạn sinh vành Boole ideal Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, điều kiện sau tương đương: i) Mọi ideal R hữu hạn sinh ii) Mọi dãy tăng ideal R, tức là: α1 ⊂ α ⊂ α ⊂ với αi ≠ α i +1 hữu hạn, nghĩa tồn số nguyên dương n cho: α n = α n +1 = α n + = iii) Mọi tập không rỗng S gồm ideal R có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm) Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử có chuỗi tăng ideal R: α1 ⊂ α ⊂ α ⊂ với αi ≠ α i +1 12 ∞ Đặt: α = ∪ αi i =1 Khi ta có α ideal hữu hạn sinh R, giả sử α = f1 ,f , ,f k với fi ∈ αi Do ∃n ∈ ℕ, n > : f1 ,f , ,f k ∈ α n Khi đó: f1 ,f , ,f k ⊂ α n ⊂ α = f1 ,f , ,f k ⇒ α n = α Vậy ∃n ∈ ℕ, n > : α n = α n +1 = α n + = ii) ⇒ iii) Giả sử S tập không rỗng ideal R, ∃α1 ∈ S Nếu α1 phần tử tối đại S ⇒ ∃α ∈ S : α1 ⊂ α Tương tự α phần tử tối đại S ⇒ ∃α3 ∈ S : α ⊂ α3 … tiếp tục ta chuỗi tăng ideal R: α1 ⊂ α ⊂ α3 ⊂ Theo giả thiết chuỗi tăng ideal hữu hạn, S có phần tử tối đại iii) ⇒ i) Giả sử α ideal R Lấy f1 ∈ α Nếu f1 = α α hữu hạn sinh Nếu f1 ≠ α ⇒ ∃f ∈ α : f ∉ f1 ⇒ f1 ⊂ f1 ,f Nếu f1 ,f = α α hữu hạn sinh Nếu f1 ,f ≠ α ⇒ ∃f3 ∈ α : f3 ∉ f1 ,f ⇒ f1 ,f ⊂ f1 ,f ,f3 Tiếp tục ta chuỗi tăng ideal hữu hạn sinh R Gọi S tập ideal hữu hạn sinh, S ≠ ∅ S có phần tử tối đại Giả sử f1 ,f , ,f n phần tử tối đại S Ta chứng minh: f1 ,f , ,f n = α Thật giả sử f1 ,f , ,f n ≠ α ⇒ ∃f n +1 ∈ α : f1 ,f , ,f n ⊂ f1 ,f , ,f n ,f n +1 ⇒ f1 ,f , ,f n ,f n +1 ∈ S (mâu thuẫn tính tối đại f1 ,f , ,f n S) Vậy f1 ,f , ,f n = α α hữu hạn sinh Vậy ideal R hữu hạn sinh 13 Định nghĩa 1.1.21: Một vành R gọi vành Nether thỏa mãn ba điều kiện tương đương mệnh đề 1.1.20 Mệnh đề 1.1.22: Cho vành R, điều kiện sau tương đương: i) Mọi dãy giảm ideal R, tức là: α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ với αi ≠ α i +1 hữu hạn, nghĩa tồn số nguyên dương n cho: α n = α n +1 = α n + = ii) Mọi tập không rỗng S ideal R có phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm) Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử S ≠ ∅ tập ideal R Lấy α1 ∈ S α1 phần tử tối tiểu S mệnh đề chứng minh xong, α1 phần tử tối tiểu S ⇒ ∃α ∈ S : α1 ⊃ α Tương tự α phần tử tối đại S ⇒ ∃α3 ∈ S : α ⊃ α … tiếp tục ta chuỗi giảm ideal A: α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ Theo giả thiết chuỗi hữu hạn, nên S có phần tử tối tiểu ii) ⇒ i) Xét chuỗi giảm ideal R: α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ Gọi tập hợp S = {αi }i≥1 Theo giả thiết S có phần tử tối tiểu, giả sử α n phần tử tối tiểu S Vậy chuỗi ideal α1 ⊃ α ⊃ α3 ⊃ hữu hạn Định nghĩa 1.1.23: Một vành R gọi vành Artin thỏa mãn điều kiện tương đương mệnh đề 1.1.22 Mệnh đề 1.1.24: Cho R vành Artin, α ideal R Khi vành thương R vành Artin Chứng minh: Xét toàn cấu tắc: ϕ : R  →R α α 14 Giả sử α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ chuỗi giảm ideal R Khi : α ( ) α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ chuỗi giảm ideal R, với αi = ϕ−1 αi Do R vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + = , mà αi = ϕ ( αi ) với i = 1, 2,3 ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + = Vậy α1 ⊃ α ⊃ α ⊃ chuỗi hữu hạn ideal R , R vành α α Artin Mệnh đề 1.1.25: Mọi ideal nguyên tố vành Artin R ideal tối đại Chứng minh: Giả sử p ideal nguyên tố vành Artin R Khi R p miền nguyên Mặt khác ∀f ∈ R ,f ≠ ta có: f ⊃ f ⊃ f ⊃ chuỗi giảm ideal p R , theo mệnh đề ta có R vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : f n = f n +1 = p p Suy ra: ∃g ∈ R : f n = f n +1.g ⇒ = f g p Vậy f khả nghịch R , R trường p p Suy p ideal tối đại R Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R có hữu hạn ideal tối đại Chứng minh: Xét tập hợp S gồm tất giao hữu hạn: m1 ∩ m ∩ ∩ m k m i ideal tối đại A Hiển nhiên, S ≠ ∅ m1 ∩ m ∩ ∩ m k ideal A, S có phần tử tối tiểu, giả sử m1 ∩ m ∩ ∩ m n phần tử tối tiểu S Khi với m ideal tối đại R, ta có: m ∩ m1 ∩ m ∩ ∩ m n ⊂ m1 ∩ m ∩ ∩ m n , m1 ∩ m ∩ ∩ m n phần tử tối tiểu S, nên m ∩ m1 ∩ m ∩ ∩ m n = m1 ∩ m ∩ ∩ m n , đó: 15 m1 ∩ m ∩ ∩ m n ⊂ m Mặt khác m ideal tối đại R, nên ∃i ∈ {1, , n} : m ⊃ mi0 Suy m = mi0 (vì mi0 ideal tối đại R) Vậy R có hữu hạn ideal tối đại 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1: Cho tập hợp X Một họ τ gọi tôpô X tỏa mãn điều kiện: ( τ1 ) X ∅ ( τ2 ) thuộc τ ; Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ ; ( τ3 ) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Định nghĩa 1.2.2: Cho tập hợp X tôpô X gọi không gian tôpô Định nghĩa 1.2.3: Với tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ tất tập G X có X \ G hữu hạn, tôpô X tôpô gọi tôpô Zariski Định nghĩa 1.2.4: Cho τ tôpô X Một họ β τ gọi sở τ tập thuộc τ hợp họ tập thuộc β Nói cách khác, họ β τ sở τ G ∈ τ x ∈ G tồn V ∈β cho x∈V ⊂ G Định nghĩa 1.2.5: Cho X không gian tôpô • Không gian tôpô X gọi T0 − không gian hai điểm x, y khác thuộc X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x • Không gian tôpô X gọi T1 − không gian hai điểm x, y khác X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x • Không gian tôpô X gọi T2 − không gian (hay không gian Hausdorff) hai điểm x, y khác X, tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩ V = ∅ 16 • Không gian tôpô X gọi T3 − không gian (hay không gian quy) X T1 − không gian với x ∈ X , tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U V cho x ∈ U, F ⊂ V U ∩ V = ∅ • Không gian tôpô X gọi T − không gian (hay không gian hoàn toàn quy) X T1 − không gian với x ∈ X , tập đóng F X không chứa x, tồn tồn hàm liên tục f : X → [ 0;1] cho f ( x ) = f ( y ) = với y ∈ F • Không gian hoàn toàn quy gọi không gian Tikhonov • Không gian tôpô X gọi T4 − không gian (hay không gian chuẩn tắc) X T1 − không gian hai tập đóng A, B không giao X, tồn tập mở U V cho A ⊂ U, B ⊂ V U ∩ V = ∅ Mệnh đề 1.2.6: Cho X không gian tôpô Khi X T1 − không gian với x ∈ X , tập {x} tập đóng Hệ 1.2.7: Không gian chuẩn tắc không gian quy Không gian quy không gian Hausdorff Hiển nhiên theo định nghĩa ta có không gian Hausdorff T1 − không gian T1 − không gian T0 − không gian Định nghĩa 1.2.8: Cho X không gian mêtric • Một họ {Vα }( α∈I) tập không gian X gọi phủ của tập A X A ⊂ ∪ Vα Nếu Vα tập mở phủ gọi α∈I phủ mở • Cho {Vα }( α∈I) phủ A Nếu J ⊂ I mà {Vα }( α∈J ) phủ A {Vα }( α∈J ) gọi phủ {Vα }( α∈I) Nếu J tập hữu hạn {V }( α α∈J ) gọi phủ hữu hạn phủ {Vα }( α∈I) Định nghĩa 1.2.9: Cho X không gian tôpô 17 • Tập A X gọi tập compact phủ mở A X có phủ hữu hạn • Không gian X gọi không gian compact X tập compact X • Tập A X gọi tập compact tương đối bao đóng A compact X Mệnh đề 1.2.10: a) Tập đóng không gian compact tập compact b) Tập compact không gian Hausdorff tập đóng c) Không gian compact, Hausdorff không gian chuẩn tắc Định nghĩa 1.2.11: • Không gian tôpô X gọi liên thông X không biểu diễn dạng hợp hai tập mở khác rỗng rời nhau, tức không tồn hai tập mỡ, khác rỗng U V cho U ∪ V = X U ∩ V = ∅ • Tập A không gian X gọi tập liên thông X A với tôpô cảm sinh không gian liên thông Mệnh đề 1.2.12: Không gian tôpô X không gian liên thông thỏa mãn hai điều kiện sau: a) X không biểu diễn dạng hợp hai tập đóng khác rỗng, rời b) X tập thực khác rỗng vừa đóng vừa mở 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.3.1: Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, với tập E R ta kí hiệu V(E) tập tất ideal nguyên tố p R mà p chứa E Mệnh đề 1.3.2: Cho R vành, E tập R Nếu α ideal R sinh E thì: V ( E ) = V ( α ) = V ( r ( α ) ) Chứng minh: V ( E) = V (α) Với ideal nguyên tố p R ta có: 18 p ∈ V (E) ⇔ p ⊃ E (theo định nghĩa V(E)) (do α = E ) ⇔p⊃α ⇔ p ∈ V (α) Từ V ( E ) = V ( α ) V (α ) = V ( r ( α )) Do r ( α ) giao ideal nguyên tố R chứa α nên r ( α ) ideal chứa α Vì với ideal nguyên tố p R ta có: p ∈ V (α) ⇔ p ⊃ α ⇔ p ⊃ r (α) ⇔ p ∈ V ( r ( α )) Từ V ( α ) = V ( r ( α ) ) Mệnh đề 1.3.3: Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, đặt X tập gồm tất ideal nguyên tố R Khi ta có: V ( ) = X; V (1) = ∅ Chứng minh: Do ideal nguyên tố R chứa không chứa nên ta có: V ( ) = X V (1) = ∅ Mệnh đề 1.3.4: Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, {E i }i∈I họ tập R thì:   ∩ V ( E ) = V  ∪ E  i i∈I i i∈I Chứng minh: Với ideal nguyên tố p vành R, ta có: p ∈ ∩ V ( E i ) ⇔ p ∈ V ( E i ) ; ∀i ∈ I i∈I ⇔ p ⊃ Ei ; ⇔ p ⊃ ∪ Ei i∈I ∀i ∈ I 19   ⇔ p ∈ V  ∪ Ei   i∈I  Vậy   ∩ V ( E ) = V  ∪ E  i i i∈I i∈I Mệnh đề 1.3.5: Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, α, β ideal R Khi đó: V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) Chứng minh: V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) Theo định nghĩa tích hai ideal ta có: αβ ⊂ α   ⇒ αβ ⊂ α ∩ β ⇒ V ( αβ ) ⊃ V ( α ∩ β ) αβ ⊂ β  Ngược lại, với ideal nguyên tố p R, ta có: p ∈ V ( αβ ) ⇔ p ⊃ αβ p ⊃ α ⇒ p ⊃ β ⇒ p ⊃ α ∩β ⇒ p ∈ V ( α ∩ β) Suy ra: V ( αβ ) ⊂ V ( α ∩ β ) Vậy: V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) Với ideal nguyên tố p vành R, ta có: p ∈ V ( α ) p ∈ V ( α ) ∪ V (β ) ⇔   p ∈ V ( β ) p ⊃ α ⇔ p ⊃ β ⇔ p ⊃ αβ ⇔ p ∈ V ( αβ ) [...]... do m là ideal tối đại của R, nên ∃i 0 ∈ {1, , n} : m ⊃ mi0 Suy ra m = mi0 (vì mi0 là ideal tối đại của R) Vậy trong R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X Một họ τ gọi là một tôpô trên X nếu tỏa mãn các điều kiện: ( τ1 ) X và ∅ ( τ2 ) thuộc τ ; Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; ( τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là... ideal nguyên tố của vành Artin R Khi đó R p là miền nguyên Mặt khác ∀f ∈ R ,f ≠ 0 ta có: f ⊃ f 2 ⊃ f 3 ⊃ là chuỗi giảm các ideal của p R , theo mệnh đề trên ta có R là vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : f n = f n +1 = p p Suy ra: ∃g ∈ R : f n = f n +1.g ⇒ 1 = f g p Vậy f khả nghịch trong R , do đó R là trường p p Suy ra p là ideal tối đại trong R Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại. .. tối đại Chứng minh: Xét tập hợp S gồm tất cả các giao hữu hạn: m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m k trong đó m i là các ideal tối đại của A Hiển nhiên, S ≠ ∅ và m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m k là ideal của A, vậy S có phần tử tối tiểu, giả sử m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m n là phần tử tối tiểu của S Khi đó với mọi m là ideal tối đại của R, ta có: m ∩ m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m n ⊂ m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m n , do m1 ∩ m 2 ∩ ∩ m n là phần tử tối tiểu của S, nên m ∩... mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương: i) Mọi ideal trong R là hữu hạn sinh ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R, tức là: α1 ⊂ α 2 ⊂ α 3 ⊂ với αi ≠ α i +1 đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho: α n = α n +1 = α n + 2 = iii) Mọi tập không rỗng S gồm các ideal của R đều có phần tử tối đại (theo quan hệ bao... gian tôpô 17 • Tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn • Không gian X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X • Tập con A của X được gọi là tập compact tương đối nếu bao đóng A là compact trong X Mệnh đề 1.2.10: a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact b) Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng c) Không... 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố trong vành Boole là ideal tối đại Chứng minh: Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Boole R Giả sử tồn tại ideal α của R sao cho: p ⊂ α ⇒ ∃f ∈ α : f ∉ p 11 Vì R là vành Boole nên: f ( f − 1) = f 2 − f = 0 ∈ p Suy ra f − 1 ∈ p (vì f ∉ p ) Suy ra f − 1 ∈ α ⇒ f − ( f − 1) ∈ α ⇒ 1 ∈ α ⇒ α = R Vậy p là ideal tối đại của vành Boole R Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh trong vành... vậy ta được một chuỗi tăng các ideal hữu hạn sinh của R Gọi S là tập các ideal hữu hạn sinh, khi đó S ≠ ∅ và S có phần tử tối đại Giả sử f1 ,f 2 , ,f n là phần tử tối đại của S Ta chứng minh: f1 ,f 2 , ,f n = α Thật vậy giả sử f1 ,f 2 , ,f n ≠ α ⇒ ∃f n +1 ∈ α : f1 ,f 2 , ,f n ⊂ f1 ,f 2 , ,f n ,f n +1 ⇒ f1 ,f 2 , ,f n ,f n +1 ∈ S (mâu thuẫn tính tối đại của f1 ,f 2 , ,f n trong S) Vậy f1 ,f 2 , ,f n... hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau b) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.3.1: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, với mỗi tập con E của R ta kí hiệu V(E) là tập tất cả các ideal nguyên tố p của R mà p chứa E Mệnh đề 1.3.2: Cho R là vành, E là tập con của R Nếu α là ideal của R sinh bởi E thì: V (... có đơn vị 1, đặt X là tập gồm tất cả các ideal nguyên tố của R Khi đó ta có: V ( 0 ) = X; V (1) = ∅ Chứng minh: Do mọi ideal nguyên tố của R đều chứa 0 và không chứa 1 nên ta có: V ( 0 ) = X và V (1) = ∅ Mệnh đề 1.3.4: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, nếu {E i }i∈I là một họ các tập con của R thì:   ∩ V ( E ) = V  ∪ E  i i∈I i i∈I Chứng minh: Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta có:... nghĩa 1.2.2: Cho một tập hợp X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Định nghĩa 1.2.3: Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X có X \ G hữu hạn, là một tôpô trên X và tôpô này được gọi là tôpô Zariski Định nghĩa 1.2.4: Cho τ là một tôpô trên X Một họ con β của τ gọi là cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β Nói cách khác, họ con