BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== HOÀNG TUYẾT NHUNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, thầy, cô phòng sau đại học thầy cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tất người hỗ trợ hoàn thành Luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để hoàn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Hà Nội, 15 tháng năm 2015 Tác giả Hoàng Tuyết Nhung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ thầy, cô khoa Toán trường ĐHSP Hà nội thầy, cô trực tiếp giảng dạy Trong trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 15 tháng năm 2015 Tác giả Hoàng Tuyết Nhung Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Một số khái niệm không gian Banach 10 1.2 Hàm không gian Banach 12 1.3 Dưới vi phân Fréchet 15 1.4 Quy tắc tổng mờ 19 1.5 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng 28 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng 2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ 30 30 2.2 Ứng dụng 33 2.2.1 Tính Lipschitz 33 2.2.2 Tính đơn điệu theo nón tính đơn điệu yếu 34 2.2.3 Tính tựa lồi tính lồi 36 2.2.4 Tính đơn điệu cực đại 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Bảng kí hiệu R Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :X →R dom(f ) epi(f ) f ′(x) ∇f (x) ∇2f (x) E∗ intA A,clA f ′(x) ∂f (x) ||.|| đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều tập số thực suy rộng ánh xạ từ X vào R miền hữu hiệu f đồ thị f đạo hàm f x gradient f x ma trận Hessian f x không gian liên hợp E phần A bao đóng A đạo hàm Fréchet f x vi phân f x chuẩn không gian Banach Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích không trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho toán với kiện không trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đưa thường gọi với tên “dưới vi phân” như: vi phân suy rộng Clarke, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Đặc biệt việc mở rộng kết biết đạo hàm cổ điển sang cho đạo hàm suy rộng (xem [3],[4],[6],[7]) Các định lý giá trị trung bình cổ điển (Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy) kết quan trọng Giải tích toán học Đó “cây cầu” kết nối tính chất hàm số khả vi với đạo hàm Năm 1988, D Zagrodny [7] đưa kết mở rộng định lý giá trị trung bình cho hàm không khả vi gọi định lý giá trị trung bình xấp xỉ Kết coi công cụ then chốt (theo đánh giá J.M Borwein Q J Zhu [4]) có vai trò tương đương với qui tắc tổng mờ nguyên lý cực trị, để nghiên cứu hàm không trơn Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài nghiên cứu: ”Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng việc nghiên cứu tính chất hàm số không trơn như: tính Lipschitz, tính đơn điệu, tính lồi, Nhiệm vụ nghiên cứu -Tìm hiểu vi phân Fréchet tính chất vi phân -Tìm hiểu định lý giá trị trung bình xấp xỉ -Tìm hiểu khả ứng dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng - Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm giải tích không trơn Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống khái niệm vi phân Fréchet, đính lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng 10 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm không gian Banach, vi phân Fréchet, qui tắc tổng mờ bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng 1.1 Một số khái niệm không gian Banach Trong luận văn này, nói tới không gian Banach hiểu không gian Banach thực, thường kí hiệu X, với chuẩn X hay đơn giản Cho X không gian Banach Kí hiệu hình cầu đơn vị (đóng) mặt cầu đơn vị X tập hợp BX := {x ∈ X : x ≤ 1}, SX := {x ∈ X : x = 1} Ví dụ 1.1 ([4]) Ta có: Không gian tuyến tính Rk với chuẩn x = k i=1 |x(i)| không gian Banach Cho Ω ⊂ Rk tập đo Lebesgue Khi không gian tuyến 11 tính Lp(Ω) (1 ≤ p < ∞) tất hàm số thực đo x = x(t) Ω cho p Ω |x(t)| dt < ∞ với chuẩn x = 1/p p Ω |x(t)| dt không gian Banach Không gian tuyến tính L∞ (Ω) tất hàm số thực đo x = x(t) Ω cho esssupΩ |x(t)| < +∞ với chuẩn x = supΩ |x(t)| không gian Banach Không gian tuyến tính lp (1 ≤ p < ∞) tất dãy số thực x = (x(i)) cho chuỗi ∞ i=1 p |x(i)| hội tụ với chuẩn x = ∞ i=1 p 1/p |x(i)| không gian Banach Không gian tuyến tính l∞ tất dãy số thực x = (x(i)) cho supi |x(i)| < +∞ với chuẩn x = supi |x(i)| không gian Banach Không gian tuyến tính C[a, b] hàm thực liên tục đoạn [a, b] với chuẩn x = max |x(t)| không gian Banach [a,b] Với không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗ tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian đối ngẫu X Nếu x∗ ∈ X ∗ x ∈ X giá trị x∗ x kí hiệu x∗, x Định lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78) Không gian đối ngẫu X ∗ không gian định chuẩn X với chuẩn xác định x không gian Banach ∗ | x∗ , x | = sup x x=0 28 1.5 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Kết Clarke Ledyaev cho phép ta đánh giá giá trị cực trị hàm tập hợp Kí hiệu [x, Y ] bao lồi {x} ∪ Y, tức [x, Y ] := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1], y ∈ Y } d(Y, x) := inf{ x − y : y ∈ Y } khoảng cách từ x tới Y Trước hết ta trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng trường hợp lồi Định lý 1.36 (Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng lồi, [4], Định lý 2.13) Cho X không gian Banach, Y tập lồi đóng, khác rỗng X, x ∈ X f : X → R hàm lồi liên tục Giả sử f bị chặn [x, Y ] inf f (y) − f (x) > r y∈Y Khi đó, với ε > 0, tồn z ∈ [x, Y ] z ∗ ∈ ∂f (z), vi phân lồi f z, cho r < z ∗ , y − x + ε y − x với y ∈ Y Hơn nữa, ta chọn z thỏa mãn f (z) < inf f + |r| + ε y∈Y 29 Định lý 1.37 (Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng, [4], Định lý 2.14) Cho Y tập lồi đóng, khác rỗng X không gian Banach X, x ∈ X f : X → R hàm nửa liên tục Giả sử với h > 0, f bị chặn [x, Y ] + hBX lim inf η→0 y∈Y +ηBX f (y) − f (x) > r Khi đó, với ε > 0, tồn z ∈ [x, Y ] + εBX z ∗ ∈ D− f (z) cho r < z ∗ , y − x + ε y − x với y ∈ Y Hơn nữa, ta chọn z thỏa mãn f (z) < lim inf η→0 y∈Y +ηBX f + |r| + ε 30 Chương Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng Định lý giá trị trung bình số khả vi thường biết đến với tên định lý Lagrange Đây kết có nhiều ứng dụng đặc biệt việc nghiên cứu tính chất hàm số Đối với hàm không khả vi, nói chung ta định lý giá trị trung bình "chính xác" mà có mô hình "xấp xỉ" (xem [7]) Trong chương tìm hiểu định lý giá trị trung bình xấp xỉ trình bày [4] ứng dụng trong việc nghiên cứu tính chất hàm số Trong chương này, giả thiết X không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet 2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ Để tiện theo dõi, nhắc lại định lý giá trị trung bình hàm số khả vi: Định lý 2.1 Cho U ⊂ X tập lồi mở, f : U → R hàm khả vi Khi 31 với a, b ∈ U, tồn c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = ∇f (c).(b − a) Chứng minh Đặt g(t) = f ((1 − t)a + tb), t ∈ [0, 1] Theo giả thiết, hàm g thỏa mãn giả thiết định lý Lagrange hàm số biến số đoạn [0, 1] nên tồn t0 ∈ (0, 1) để g(1) − g(0) = g ′ (t0 ) hay f (b) − f (a) = ∇f (c).(b − a), c = (1 − t0 )a + t0 b ∈ (a, b) Dưới dạng định giá trị trung bình xấp xỉ trình bày theo vi phân Fréchet Định lý 2.2 (Định lý giá trị trung bình xấp xỉ, [4], trang 27) Cho f : X → R hàm nửa liên tục xác định X cho a, b ∈ X hai điểm phân biệt với f (a) < ∞ gọi r ∈ R cho r ≤ f (b) Khi tồn c ∈ [a, b) dãy số xn với xn → c, f (xn) → f (c) x∗ ∈ D− f (xn) cho (i) lim inf x∗n , c − xn ≥ n→∞ (ii) lim inf x∗n , b − a ≥ r − f (a) n→∞ 32 Chứng minh Lấy v ∈ X ∗ cho v, a − b = r − f (a) Khi g(x) := f (x) + v, x + δ[a,b] (x) đạt cực tiểu c ∈ [a, b) g(b) ≥ g(a) Áp dụng quy tắc tổng mờ địa phương Định lý 1.30, tồn dãy số xn, yn , x∗n, yn∗ thỏa mãn (xn, f (xn)) → (c, f (c)), x∗n ∈ D− f (xn), [a, b] ∋ yn → c yn∗ ∈ NF ([a, b], yn) cho x∗n · xn − yn < 1/n, yn∗ · xn − yn < 1/n x∗n + yn∗ + v < 1/n Khi ta thu (i) cách trực tiếp thông qua lim inf x∗n, c − xn = lim inf x∗n + v, c − xn n→∞ n→∞ = lim inf −yn∗ + v, c − yn ≥ n→∞ Để chứng minh (ii) ta ý c ∈ [a, b) kéo theo yn ∈ [a, b) với n đủ lớn Khi x∗n + v, b − a = x∗n + v, b − yn b−a b − yn Chuyển qua giới hạn ta lim inf x∗n + v, b − a = lim inf x∗n + v, b − yn n→∞ n→∞ = lim inf − yn∗ , b − yn n→∞ b−a b − yn b−a ≥ b−c Do lim inf x∗n , b − a ≥ v, a − b = r − f (a) n→∞ Vậy ta có (ii) 33 Nhận xét 2.3 Bằng cách chuyển qua dãy ta thay giới hạn Định lý 2.2 giới hạn 2.2 2.2.1 Ứng dụng Tính Lipschitz Trước hết nhắc lại khái niệm hàm số Lipschitz Định nghĩa 2.4 Hàm số f : X → R gọi liên tục Lipschitz tập U ⊂ X với tồn số L > cho với x, y ∈ U ta có |f (y) − f (x)| ≤ L y − x Đối với hàm số khả vi, ta dễ dàng suy từ định lý giá trị trung bình (Định lý 2.1) điều kiện đủ để hàm số Lipschitz là: hàm có đạo hàm với chuẩn bị chặn U hàm liên tục Lipschitz U Đối với hàm không khả vi, ta sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ để đạt điều kiện đủ theo cách tương tự Định lý 2.5 Cho U ⊂ X tập lồi mở cho U ∩ dom(f ) ∈ / ∅ L > Khi f Lipschitz với số Lipschitz L U với x ∈ U , sup{ x∗ : x∗ ∈ D− f (x)} ≤ L Chứng minh Phần “chỉ khi” hiển nhiên Ta chứng minh phần ”khi” Gọi a, b ∈ U với a ∈ dom(f ) a = b, gọi r ∈ R cho r ≤ f (b), gọi ε > Từ Định lý 2.2 (ii) suy tồn x ∈ U x∗ ∈ Df (x) cho r − f (a) ≤ x∗, b − a + ε ≤ L b − a + ε 34 Vì r ≤ f (b) ε > tùy ý, ta suy f (b) − f (a) ≤ L b − a Do đó, f (b) < ∞ Thay đổi vai trò a b ta kết luận f Lipschitz với số Lipschitz L U Hệ 2.6 Cho U ⊂ X tập mở liên thông đường cho U ∩ dom(f ) = ∅ Khi f hàm U với x ∈ U, D− f (x) ⊂ {0} 2.2.2 Tính đơn điệu theo nón tính đơn điệu yếu Trong mục đề cập tới hai kết tính đơn điệu theo nón tính đơn điệu yếu hàm Định nghĩa 2.7 Tập K ⊂ X gọi nón (với đỉnh 0) với x ∈ K, với t ≥ ta có tx ∈ K Nếu K nón l(K) = K ∩ (−K) không gian tuyến tính nhỏ nằm K gọi phần tuyến tính nón K Nếu K nón, ta có quan hệ thứ tự phần X theo nón K xác định x, y ∈ X, x ≥ y x − y ∈ K hay y ∈ x + K Ví dụ 2.8 i) Trong R, tập K = [0, +∞) nón Quan hệ thứ tự theo nón quan hệ thứ tự thông thường R ii) Trong Rn , tập K = {x = (x1 , · · · , xn) : xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, · · · , n} nón gọi nón orthant dương 35 Định nghĩa 2.9 Cho K nón X Hàm f : X → R gọi K−không tăng với x, y ∈ X thỏa mãn y ∈ x + K ta có f (y) ≤ f (x) Ví dụ 2.10 i) Khi X = R K = [0, ∞) khái niệm K−không tăng trở thành khái niệm hàm không tăng theo nghĩa thông thường ii) Khi X = R2 K nón orthant dương hàm f (x) = x1 + 3x2 hàm K−không tăng Định lý 2.11 ([4], trang 28) Cho K nón X Nếu với x, D− f (x) ⊂ K − := {x∗ ∈ X ∗ : x∗, k ≤ 0, ∀k ∈ K} f K -không tăng Chứng minh Gọi x, y ∈ X cho f (x) < f (y) Theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ suy tồn z ∈ dom(f ) z ∗ ∈ D− f (x) với z ∗ , y − x > Do y − x không thuộc K Tiếp đến kết tính đơn điệu yếu rút tương tự cách thay định lý giá trị trung bình xấp xỉ bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Định lý 2.12 ([4], trang 28) Gọi D tập lồi, compact, khác rỗng X cho f : X → R hàm nửa liên tục Giả sử với u ∈ X, u∗ ∈ D− f (u) kéo theo mind∈D u∗ , d ≤ Khi đó, với 36 x t > 0, ta có f (y) ≤ f (x) y∈x+tD Chứng minh Nếu f (x) = +∞ để chứng minh Nếu f (x) < +∞ áp dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng với Y := x + tD ta có lim inf η→0 y∈Y +ηBX f (y) − f (x) = f (y) − f (x) y∈x+tD Chọn r < miny∈x+tD f (y) − f (x) Định lý 2.14 Chý ý 2.14 (c) khẳng định tồn z z ∗ ∈ D− f (z) cho r < z ∗ , d ≤ d∈D Cho r → miny∈x+tD f (y) − f (x) ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Tính tựa lồi tính lồi Định nghĩa 2.13 Hàm f : X → R gọi tựa lồi với x, y ∈ dom(f ) z ∈ [x, y] ta có f (z) ≤ max{f (x), f (y)} Hàm đa trị F : X → X ∗ gọi tựa đơn điệu x∗ ∈ F (x), y ∗ ∈ F (y) x∗, y − x > ⇒ y ∗ , y − x ≥ Ví dụ 2.14 i) Theo định nghĩa, hàm f tựa lồi với x, y ∈ dom(f ), giá trị hàm f điểm nằm x y không 37 vượt hai giá trị f hai đầu mút Do vậy, dễ thấy hàm biến đơn điệu hàm tựa lồi ii) Mọi hàm lồi hàm tựa lồi iii) Hàm f : R → R xác định f (x) = ln x hàm tựa lồi (do hàm đơn điệu) không hàm lồi Thực tế f hàm lõm iv) Hiển nhiên hàm đa trị F : X → X ∗ đơn điệu F tựa đơn điệu Thật vậy, theo định nghĩa, F đơn điệu với x∗ ∈ F (x), y ∗ ∈ F (y) ta có y ∗ − x∗ , y − x ≥ nên y ∗ , y − x ≥ x∗ , y − x Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 2.15 ([4], trang 28) Nếu D− f tựa đơn điệu f tựa lồi Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn x, y, z ∈ X cho z ∈ [x, y] f (z) > max{f (x), f (y)} Áp dụng Định lý 2.2 với a = x b = z , tồn dãy xn x∗n ∈ D− f (xn) cho xn → x¯ ∈ [x, z), lim inf n→∞ x∗n, x¯ − xn ≥ lim inf n→∞ x∗n, z − x > Kết hợp y−x với y − x ¯= (z − x) ta có z−x lim inf x∗n, y − xn > n→∞ (2.1) Gọi λ ∈ (0, 1) cho z = x + λ(y − x ¯) đặt zn := xn + λ(y − xn ) Khi 38 zn → z Vì f nửa liên tục dưới, hệ thức (2.1) ta chọn số nguyên n cho f (zn) > f (y) x∗n, y − xn > (2.2) Áp dụng Định lý 2.2 lần với a := y b := zn , tồn dãy yk yk∗ ∈ D− f (yk ) cho yk → y¯ ∈ [y, zn ), lim inf k→∞ yk∗ , y¯ − yk ≥ lim inf k→∞ yk∗ , zn − y > Chú ý zn − y xn − y¯ nằm hướng ta thu lim inf yk∗ , xn − yk > k→∞ (2.3) Bởi y¯ ∈ [xn, y) bất đẳng thức (2.2) suy lim inf x∗n , yk − xn = x∗n , y¯ − xn > k→∞ (2.4) Bất đẳng thức (2.3) (2.4) kéo theo với k đủ lớn, ta có yk∗ , xn −yk > x∗n, y¯ − xn > 0, tức D− f tựa đơn điệu, mâu thuẫn Tiếp đến kết tính lồi Định lý 2.16 ([4], trang 29) Nếu D− f đơn điệu f lồi Chứng minh Nếu D− f đơn điệu với ξ ∈ X ∗ toán tử x → D− f (x) + ξ = D− (f + ξ)(x) đơn điệu, tựa đơn điệu Theo Định lý 2.15, với ξ ∈ X ∗ , hàm (f + ξ) tựa lồi Điều tương đương với tính lồi f 39 2.2.4 Tính đơn điệu cực đại Định lý giá trị trung bình xấp xỉ dùng để chứng minh tính đơn điệu cực đại gradient lồi hàm nửa liên tục lồi Định nghĩa 2.17 Hàm đa trị F : X → 2X gọi đơn điệu cực đại ∗ đồ thị F không chứa thực đồ thị hàm đa trị đơn điệu Định lý 2.18 ([4], trang 29) Cho f : X → R hàm nửa liên tục dưới, thường Nếu domf = ∅ D− f đơn điệu D− f đơn điệu cực đại Chứng minh Lấy b ∈ X b∗ ∈ X ∗ cho b∗ ∈ / D− f (b) Chúng ta cần tồn x ∈ X x∗ ∈ D− f (x) thỏa mãn x∗ − b∗ , x − b < Ta thấy ∈ / D− (f − b∗)(b) b không cực tiểu f − b∗ , tồn a ∈ X cho (f − b∗ )(a) < (f − b∗ )(b) Khi từ Định lý 2.2 tồn dãy xn hội tụ tới c ∈ [a, b) x∗n ∈ D− f (xn) cho yn∗ := x∗n − b∗ ∈ D− (f − b∗)(xn) thỏa mãn lim inf n→∞ yn∗ , c − xn ≥ lim inf n→∞ yn∗ , b − a > Suy lim inf x∗n − b∗, b − xn n→∞ ≥ lim inf yn∗ , b − c + lim inf yn∗ , c − xn n→∞ ≥ n→∞ b−c lim inf yn∗ , b − a + lim inf yn∗ , c − xn > n→∞ b − a n→∞ Chỉ cần đặt x := xn x∗ := x∗n với n đủ lớn 40 Kết luận Luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống số nội dung sau: • Dưới vi phân Fréchet hàm nủa liên tục không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet • Qui tắc tổng mờ địa phương: Qui tắc cho phép đánh giá cỡ vi phân Fréchet tổng hai hàm nửa liên tục • Định lý giá trị trung bình xấp xỉ ứng dụng việc nghiên cứu tính chất hàm nửa liên tục 41 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (2000),Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội [2] Hoàng Tụy (2003),Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007),Giáo trình Giải tích đa trị, NXB KH Tự nhiên Công nghệ, Hà nội Tài liệu tiếng Anh [4] J M Borwein and Q J Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications , Nonlinear analysis: Theory, methods and applications, Vol 38, Issue [5] H.Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer [6] A Ya.Kruger(2003), On Fréchet subdifferential, Journal of Mathermatical Sciences 9, pp.3325-3358 42 [7] D Zagrodny (1988), Approximate mean value theorem for upper subderivatives, Nonlinear analysis TMA 12, 1413-1428 [...]... |r| + ε 30 Chương 2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng Định lý giá trị trung bình đối với các số khả vi thường được biết đến với cái tên định lý Lagrange Đây là một trong những kết quả có nhiều ứng dụng đặc biệt là trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số Đối với hàm không khả vi, nói chung ta không có định lý giá trị trung bình "chính xác" mà chỉ có mô hình "xấp xỉ" (xem [7]) Trong... chúng tôi tìm hiểu về một định lý giá trị trung bình xấp xỉ được trình bày trong [4] và ứng dụng của nó trong trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số Trong chương này, chúng ta vẫn luôn giả thiết X là một không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet 2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại định lý giá trị trung bình đối với hàm số khả vi: Định lý 2.1 Cho U ⊂ X là tập... f (y) Theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ suy ra tồn tại z ∈ dom(f ) và z ∗ ∈ D− f (x) với z ∗ , y − x > 0 Do đó y − x không thuộc K Tiếp đến là một kết quả về tính đơn điệu yếu được rút ra tương tự bằng cách thay định lý giá trị trung bình xấp xỉ bởi bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Định lý 2.12 ([4], trang 28) Gọi D là một tập con lồi, compact, khác rỗng của X và cho f : X → R là một... khả vi, ta có thể sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ để đạt được điều kiện đủ theo cách tương tự Định lý 2.5 Cho U ⊂ X là một tập lồi mở sao cho U ∩ dom(f ) ∈ / ∅ và L > 0 Khi đó f là Lipschitz với hằng số Lipschitz L trên U khi và chỉ khi với mọi x ∈ U , sup{ x∗ : x∗ ∈ D− f (x)} ≤ L Chứng minh Phần “chỉ khi” là hiển nhiên Ta chứng minh phần ”khi” Gọi a, b ∈ U với a ∈ dom(f ) và a = b, gọi r ∈... Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Kết quả này của Clarke và Ledyaev cho phép ta đánh giá các giá trị cực trị của một hàm trên các tập hợp Kí hiệu [x, Y ] là bao lồi của {x} ∪ Y, tức là [x, Y ] := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1], y ∈ Y } và d(Y, x) := inf{ x − y : y ∈ Y } là khoảng cách từ x tới Y Trước hết ta trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng trong trường hợp lồi Định lý 1.36 (Bất... Chứng minh Đặt g(t) = f ((1 − t)a + tb), t ∈ [0, 1] Theo giả thiết, hàm g thỏa mãn các giả thiết của định lý Lagrange đối với hàm số một biến số trên đoạn [0, 1] nên tồn tại t0 ∈ (0, 1) để g(1) − g(0) = g ′ (t0 ) hay f (b) − f (a) = ∇f (c).(b − a), trong đó c = (1 − t0 )a + t0 b ∈ (a, b) Dưới đây là một dạng của định giá trị trung bình xấp xỉ trình bày theo dưới vi phân Fréchet Định lý 2.2 (Định lý giá. .. thay giới hạn dưới trong Định lý 2.2 bằng giới hạn 2.2 2.2.1 Ứng dụng Tính Lipschitz Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm hàm số Lipschitz Định nghĩa 2.4 Hàm số f : X → R được gọi là liên tục Lipschitz trên tập U ⊂ X với nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U ta có |f (y) − f (x)| ≤ L y − x Đối với hàm số khả vi, ta dễ dàng suy ra từ định lý giá trị trung bình (Định lý 2.1) một điều kiện... 0 Khi đó, với 36 bất kỳ x và bất kỳ t > 0, ta có min f (y) ≤ f (x) y∈x+tD Chứng minh Nếu f (x) = +∞ thì không có gì để chứng minh Nếu f (x) < +∞ áp dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng với Y := x + tD ta có lim inf η→0 y∈Y +ηBX f (y) − f (x) = min f (y) − f (x) y∈x+tD Chọn bất kỳ r < miny∈x+tD f (y) − f (x) Định lý 2.14 và Chý ý 2.14 (c) khẳng định rằng tồn tại z và z ∗ ∈ D− f (z) sao cho... x∗ , y − x Từ đây ta có điều phải chứng minh Định lý 2.15 ([4], trang 28) Nếu D− f là tựa đơn điệu thì f là tựa lồi Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại x, y, z ∈ X sao cho z ∈ [x, y] và f (z) > max{f (x), f (y)} Áp dụng Định lý 2.2 với a = x và b = z , tồn tại các dãy xn và x∗n ∈ D− f (xn) sao cho xn → x¯ ∈ [x, z), lim inf n→∞ x∗n, x¯ − xn ≥ 0 và lim inf n→∞ x∗n, z − x > 0 Kết hợp... Định lý 2.2 (Định lý giá trị trung bình xấp xỉ, [4], trang 27) Cho f : X → R là một hàm nửa liên tục dưới xác định trên X và cho a, b ∈ X là hai điểm phân biệt với f (a) < ∞ và gọi r ∈ R sao cho r ≤ f (b) Khi đó tồn tại c ∈ [a, b) và dãy số xn với xn → c, f (xn) → f (c) và x∗ ∈ D− f (xn) sao cho (i) lim inf x∗n , c − xn ≥ 0 n→∞ (ii) lim inf x∗n , b − a ≥ r − f (a) n→∞ 32 Chứng minh Lấy v ∈ X ∗ sao