B ơ• GIÁO DUC • VÀ ĐÀO TAO • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG CÔNG HN PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LN • VĂN THAC • S ĩ TỐN HOC • Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu toàn thể thầy cô giáo trường T H PT Tam Đảo, Vĩnh Phúc giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Sau đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn th àn h luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 T ác g iả D ương C ông H uân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn luận văn: P h n g p h p s p l i n e c o llo c a tio n g iả i p h n g t r ì n h t í c h p h â n cơng trình nghiên cứu tác giả Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừ a thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2015 T ác g iả D ương C ông H uân M ục lục M đ ầ u C h n g K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị 1 Không gian tuyến tính Khơng gian định chuẩn 1.3 Xấp xỉ không gian hữu hạn chiều 10 K ế t lu ậ n 72 T ài liệu th a m k h ả o 73 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học, phương pháp spline collocation m ột phương pháp giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường, phương tình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân Ý tưởng phương pháp chọn m ột không gian hữu hạn chiều chứa nghiệm có tốn, khơng gian thường dùng không gian đa thức đặc biệt gồm đa thức đoạn (piecewise polynomial)-gọi spline có bậc hữu hạn biết chọn điểm miền xác định nằm không gian đa thức hữu hạn chiều đó, điểm gọi điểm collocation chọn nghiệm m thỏa m ãn phương trình cho điểm collocation Như vậy, nghiệm xấp xỉ phương trình nhờ thu phương pháp spline collocation Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp xỉ phương trình vi tích phân nói chung nâng cao tốc độ hội tụ phương pháp (siêu hội tụ) mà luận văn Thạc sỹ học viên trước chưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học, chọn đề tài P h n g p h p s p l i n e c o llo c a tio n g iả i p h n g t r ĩ n h v i t í c h p h â n làm luận văn cao học M ục đích nghiên cứu - Trình bày m ột số khái niệm phương pháp spline collocation, phương trình tích phân Volterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân Volterra - Nghiên cứu siêu hội tụ phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân - Xây dựng nghiệm spline collocation cho m ột lớp phương trình vi tích phân N h iệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân, cụ thể lớp phương trình tích phân Volterra, siêu hội tụ nghiệm xấp xỉ Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đ ố i tư ợ n g n g h iê n u : Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân phương pháp spline collocation P h m v i n g h iê n u : Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân phương pháp spline collocation Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất; - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn N hữ ng đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành m ột tài liệu tham khảo tố t cho sinh viên học viên cao học phương pháp spline collocation Chương K iến thức chuẩn bị* 1.1 K hông gian tu y ến tín h Trong mục này, ta nhớ lại khái niệm khơng gian tuyến tính, khơng gian con, chuẩn sở Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 Cho X tập hợp gồm phần tử X, y, z , mà ta gọi vectơ, cho p trường số thực phức Trên X ta trang bị hai phép toán cộng nhăn sau: Phép cộng, kí hiệu là: + : X X X — >X (x ,y) I— >x + y Phép nhăn với vơ hướng, kí hiệu • : p X X — >X (À, X) I— > Xx thỏa mãn tiên đề sau đây: (x + y) + z = x + y = y + x, X + (y + z), \/x,y,z€ X \ Vx,|/€l; 36 € X , Vx G X : X + = x; ị \/x G X , — X G X : X + (—x) = ớ; (A + ịì)x — \ x + ịix, ổ A[ịix) = (A/jl) x , VA, jiiG P , \/ x , e X ; va ,/i G P,Va:, € -X"; A(x + 2/) = Ax 4- Ay, Vx, y , z € X-, Vx £ X : ■X = x; phần tứ —X gọi phần tử đối phần tứ X, phần tứ gọi phần tử khơng, ta nói (X , +, •) (Taoặc đơn giản X ) không gian tuyến tính trường p Tùy theo trường p thực phức ta gọi X tương ứng khơng gian tuyến tính thực phức V í d ụ Khơng gian tuyến tính thực C[a,b] Xét tập hợp tấ t hàm số giá trị thực xác định liên tục đoạn [a,b], (—oo < a < b < +oo) Các phép tốn cộng nhân với vơ hướng C[a, 6] xác định sau: Phép cộng: + : C[a, 6] X Cịa, 6] — > Cịa, 6] (x,y) I - >x + y xác định (a? + y){t) = x{t) + y(t), V í G [a,b] Phép nhân với vơ hướng: • : M X C ị a , 6] — > C ị a , 6] (À, a?) I— > Xx xác định (Ax)(t) = Xx(t), V í e [a,b] Dễ dàng thấy tập hợp C[a, b] với hai phép toán cộng nhân với vô hướng lập th àn h không gian vector trường số thực K V í d ụ 1.1.2 Đặt Pn[a,b] ỉà tập hợp tất đa thức bậc không vượt n xác định đoạn [a, tíị Tức P n [ a, b] = { a nt n + • • • + d ị t + a ữ : dị E M , j = , , , n , a < t < b} Tương tự C[a, b], ta dễ dàng thấy Pn[a, b] khơng gian tuyến tính thực Phần tử không không gian đa thức khơng (hàm khơng) Hơn nữa, đa thức liên tục nên, Pn[a, b] с [а, Ь] V í d ụ 1.1.3 Đặt L 2[a, b] tập hợp tất hàm xác định đo đoạn [a, b] b Ị \ f { t ) \ 2dt < 00, a tích phẫn hiểu theo nghĩa Lebesgue Ta kiểm tra L 2[a, b] với phép toán cộng hai hàm số nhân m ột vô hướng vổi hàm số, tức f , g £ L 2[a, tíị V ael: f + g e L 2[a, b] a f G L 2[a, b] không gian vectơ thực Ta nhớ lại khái niệm khơng gian tuyến tính Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 Một tập M khơng gian tuyến tính X gọi khơng gian X i) M tập X \ ii) Với x , y € M ta có a x + ß y G -M, Va, ß Dễ dàng thấy rằng, tập hợp Pn[a, b] không gian không gian C[a, b] Không gian Cịa, b] không gian không gian L 2[a, b] Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tuyến tính B n = { x i i x 2, , x n} tập hợp n phần tử X Tập B n gọi độc lập tuyến tính từ phương trình aiXi + a2x + -b anx n = kéo theo a,ị = a2 = • • • = an = Nếu B n khơng độc lập tuyến tính ta gọi B n phụ thuộc tuyến tính V í d ụ 1.1.4 X ét tập hợp Mỗi hàm t k, < k < n, có bậc k Do đó, ta lấy t đoạn [a, b], ta thấy B n tập p n[a, 6] Khi đó, B n tập độc lập tuyến tính khơng gian Pn[a, 6] đa thức có bậc khơng vượt q n T h ật vậy, giả sử p(t) = ant n + - 1- d ịt + aQ = Khi p ( t) = 0, Ví ẽ [a, 6] Do đó, p ( t) đa thức có nhiều n nghiệm theo định lí đại số th ì an = an_ = • • • = a = Do đó, B n độc lập tuyến tính Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính X gọi có số chiều n khơng gian X chứa tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính {íCi, rc2, ■■■, x n} tập hợp gồm n + vectơ phụ thuộc lập tuyến tính Rõ ràng p n phép chiếu từ C[a,b] vào Sp(7ĩn, d, 0) Trên đoạn [ti,= , , n — 1, Pnf đa thức có cấp < d nội suy hàm / hệ sở đa thức có cấp < d (ij Nếu ta kí hiệu [tị, t i+i\ thỏa m ãn lj((ik = ỏjki к = , ,d) ỏjk kí hiệu Kronecker (ỏjk — j ^ к vầ ỗjk — j = к ), đó, với / ẽ C[a, 6] ta có d \\Pnf II < m ax < г < п —1 max t i < t < t i+1 Ị d fiCijlj(t))Ị < II/ II max t i < t < t i+1 j =0 I (t ) ) Ị, j =о Ta có 1Л*) = П м * = , “ I * Ẽẻ I'jW I = “ fx Ế j =0 j =о M số Lebesgue không phụ thuộc vào i n Do đó, \\pn\\ < M nên p n liên tục Cho p* số xấp xỉ tố t / đa thức cấp d đoạn [ti,ti+i] Khi Ip * ( t ) - Pnf(t)\ = - f(Cij))ỉj{t)\ j =0 < \\p* - / I I max Z |ỉ ,( í ) | =о 4SÍS4+I < M 2\ \ f - p * \ \ 58 Ta có max Ip*(t) - p nf { t )I < M 2gk{f,d), f e c k[a,b] M / lĩ), G t ( f , d ) = ị 3Jt \ \ f (]k(k — 1)k~1 ( - ) ! # Il/(t>11’ í h i k > ’d > k - ^ 1- k 0, k 1, Như vậy, I I / - -p„/(í)ll = IIP* - j\ / ll + II/ -p * ll (2.2.13) < (M + l)gk(f,d ) Với k = ta có \\ i - P J W < (M + hn € C[a,bị Phép chiếu Pn có tính chất nêu Bổ đề 2.1 Do đó, ta thu kết sau: Đ ịn h lý 2.2.2 Cho d j , f G C[a,b],j = , , m — l , K i ( t , s ) E C(rt),i = 1,2, L > 0, \K2{ti,s) - K 2{t2,s)\ < L\tx - *21, v t i,*2 e [a,b] Giả sử p n ỉà phép chiếu (2.2.12) tồn toán tử ngược ự + T) phương trình (2.2.5) có nghiệm tầm thường Khi đó: (ỉ) Với n đủ lớn (n > N 0) tồn nghiệm collocation x n toán (2.2.1 )-(2.2.4) cho x n E Sp(ĩTn, m + d, m) S n', 59 (ii) Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ x n tới nghiệm xác X đánh sau 0(uj(x^m\ hn)), X e c m[a, b], \x —x n\\ — < ( h *), X €E c m+k[a, b],ĩ < k < d + ĩ C h ứ n g m in h Áp dụng Định lí 2.2.1, ta thu (i) Dể chứng minh (ii), ta có từ (2.2.11) (2.2.13) I® - x n \\ < 7||£/||||z("° - íW ro)II < i \ \ u \ w + Do đó, O(oj(x^m\ hn)), O(h^), X X € c m[a, b], E c m+k[a, ] , l < A ; < í Z + l Điều hồn thành chứng minh Định lí 2.2.2, □ Bây ta xét 7Tn phân hoạch đoạn [a, 6], 7Tn : a — to < t\ ••• số tự nhiên n > 2k — 1, S n = {t0, , t n} Xét ánh xạ p n : C[a, b] -» Sp(7Tn, 2k - , k - 2) cho = ỉ = 0, f{ti) ,n, DJ(Pnf) {a) = D i ( L 2k- ltof)(a) j = 1, , k - 1, & { P nf){b) = D i { L 2i- ltlf){b) j = 1, , k - 1, 60 (2.2.14) L 2k- 0/5 {L2k - 1/ ) tương ứng đa thức nội suy Lagrange CUâ h â m f t ậ l CâC đ lG ĩĩl Íq j J t ĩ k —l ỉ i j ' n —2 k + l ỉ t n —2fej • • ■ ) t n } • Rõ ràng, Pn phép chiếu tuyến tính liên tục từ [a, 6] tới Sp(ĩTn, 2k — 1,2 k — 2) \ \ f - p nf \ \ < u ; ( f , h ) , d số không phụ thuộc vào n Hiến nhiên, Pn thỏa m ãn điều kiện Bố đề |2.2.1[ Do đó, ta có kết sau: Đ ịn h lý 2 Cho dj,f e C[a,b],j = , , m — l , K i ( t , s ) e C ( í l ) , i = 1,2, L > 0, \K2{ti,s) - K 2{t2,s)\ < L\ti - í 2|, VÍ1 ,Í e [a, 6] Giả sử p n ỉà phép chiếu (2.2.14) tồn tốn tử ngược ự + T) phương trình (2.2.5) có nghiệm tầm thường Khi đó: (i) Với n đủ lớn (n > N q) tồn nghiệm collocation x n toán (2.2.1 )-(2.2.4) cho x n G Sp(7ĩn, m + 2k — l , m + 2k — 2); (ỉỉ) Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ x n tới nghiệm xác X đánh sau \ \ x - x n\\ = { h ruj{x{m+r\ h ) ) : < r < 2k — 1, X € C r+m[a, 6], r G N C h ứ n g m in h P h át biểu (i) rõ ràng Ta cần chứng minh (ii), từ 61 (2.2.11) ta có l k - z j < Il^ llll7 llb r e s ta r t; > wi t h( ỉ i naỉ g) : > N := 4096 : h := — : m := : d := : N > c := a rray(l d, 1) : > c[ 1,1] := 0.4 : c[2,1] := 0.6 : > t := t Ơ k ã h] t := t —»■k • h 63 > T := (n , j ) -+ i • (n - 1) + c[j, 1] • h] m / -\ n T := (n , j ) ~ + Cj;1/i (sin(i) cos(i) + exp(i)) - > / := t —> — sm(t)—cos(t)—exp(t); y := t —> -: Li f := t —> — sin(i) — cos(i) — e* 1 V - = t ~ > sin (t) + - cos (t) + —e* > e v a l f ( f ( T ( 2,1)) — /( T ( l, 2))) : > a[n] := array(l m + d + ,1 1) g[n] : = > array(l m + d + a [l][l,l] := , ) : > Qi[n + 1] : = : a [l][2 ,l] := : a [l][3 ,l] array(l m + d + := -1 3 4 - , 1 ) C T 16 a [ l ] [ , 1] : = 8 7 • " 16 : > a[ 1] := array ([[a[l][l, 1]], [a[l][2,1]], [a[l][3,1]], [a[l][4,1]]]) : > V : = array(l m + d+1, m + d+1) : V2 := array(l m + d + 1, m + d+1) : V3 := array(l m + d + 1, l m + d + 1) : V4 := array(l m + d + 1, l m + d + 1) : VO := array(l m + d + 1, l m + d + 1) : := array(l m + d + 1, l m + d + 1) : > for i t o d + ld o forj to m + d + VI[i,j] := 0;V2[i,j] := 0;V3[i,j] := 0; V4[i,j] := 0; ifz < j o r i > j t h e n V [ i , j ] = O e lse V ^ j] = l;if ;y [z ,j] := binomial(j — 1,i — l) o d ;o d ; > for i to d + a[i] := 0; od : > for j from d + to m + d+1 a[j] := e v a l f ( f ( T ( , j — (d+l))) — f { T { l , j ) — {d + 1)), 15); od : > e v a l f ( f ( T ( , 1)) — / ( T ( l , 2)), 15) : >g[l] := > for i from d+2 to m + d + ld o iorj to m +d + VI[i,j] := (j — 64 l ) -c[i -(d+l )Y~*;V2{i , j ] := c [ i - ( d + l)p'->;V3[i,j] := № (rf+1)1),; V4[i,j] := \ \ V[ i , j ] := {j - 1) • (j - 2) • (c[i - {d + l)])j“3; VO[i, j] := 0' - 1) • (j ~ 2) • (c[* - (d + l)])-7’-3; od; od; > for z from d + to m + d + l for j to m + d + V I [i, j] y - l) - c [ i - ( d + l ) ] i - J;V2[i,j] := c[i-(d+l)Y-'-,V3{i,j] := № ~ {d + 1)1)J; Vi[i,H ■= := (j — 1) - (j — 2) - (c[i — (d + 1)])J-3; V0[i,j] := (.j ~ !) ' U ~ 2) ã (c[đ - (d + l)])j' 3; od; od; > A := ev al m( y - h ■V I - h2 ■V2 - h3 ■V3) : > B := inverse(A) : > C := evalm{{V0 - h • ^1 - h2 ■V2 - /i3 • (^3 - F4))) : > g[ 1] := array ([[a[l][l, 1]], [a[l][2,1]], [a[l][3,1]], [a[l][4,1]]]) : > G : multiply(C, a[l]) : > evalm{h2 • g[l]) : > H[ 1,1] := evalm(G + h2 ■y[l]) : > for i to N L[i] := array([[g[i][ 1,1]], \g\i][2,1]], [g[i][3,1]], [y[®][451]]]); od : > print(L[ 14]) : 0 -0.000488281 > for i to N —2 G[i, 1] := multiply (C,a[i\) : H[i, 1] := evalf(G[i, 1]+ h2 • L[i]) : a[i + 1] := multipl y(B, H[i, 1]) : od : 65 > p r i n t ( e v a ỉ f ( H [13,1])) 1.003173833 0.0002441406261 1.361360792 • IO“ 13 -1.0194098058 • IO"7 > print(evalf(a[3])) : 1.00488282 0.0002441406250 3.536079190 • IO“ 15 1.34- IO"15 > for j t o N - ß[i] := array([[a[j][ 1,1]], [a[j][2,1]], [a[j][3,1]], № ] [4,1]]]); o d : > print(evalf(ò[2])) : 1.000244141 0.0002441406250 5.960791899 ã IO 16 9.8 • IO"16 > for j t o N - и := (t , j ) / Щ З ,1] ■JV2 ( i - ß[j][l, l ] +ß[ j ] [ 2, 1]-JV- Ị t - ^ ~ + |8[j][4,1] ■№ ■( t - > u ( t , 3) : > (u(i,2)) : > w(0.075,3); 1.075000039 66 ; od : + > к := array(l .ll, 5) : к \ 1,1] := T T : ft[1,2] := BL : ÄT[1,3] := GT у : K[ 1,4] := G Tui : K [l,5] := S S : for i from to 10 K [ i + 1,1] := *; /С[*+1,2] := ev a ỉ/ : K ß + ,3] := evalf (у ( ị + ^ ) ) : K[i + 1,4] := evalỊ (tí ( ( ± + jỹ?ĩõ) , 2)) : K[i + 1,5] : = e v a l f ị a b s ị y ( § + ĩírĩõ)-M ( ( f + tfíĩõ),2) Ì > 13J : od: print(K)-, G T и2 TT BL 0.0002685546875 L.ŨŨŨ268555 L0002Ỏ8555 0.0002929687500 1.000292969 1,000292969 3.75 10 10 0.000 31 7382« 125 1.ШЮЗ 17383 1,000317383 3.75 lí) 0.0003417968750 1.00Ũ341797 1.000341797 3.75 IO'10 0.0003662109375 1.000366211 1,000366211 3.74 10 ш 0.0003906250000 1.000391)625 1,000390625 3.75 10-'" Q.0Q04150390625 L.ŨŨŨ415Ũ39 1X500415039 3.76 10 10 0.0004394531250 1.000439453 ụ 0.000463867] »75 l.U(K)4G38G7 1ЛЮ04Ш68 3.74 10 10 0.0004882812500 SS €Tу 1,000439454 3.74 10 10 3.75 10 10 “ 1.0Û0488281 -Iß -1Ũ 1.000488282 3.75 IO'10 > maximize(u(ty 1)yt = 1.000244141 k > for k to N —1 z[k] := ĩĩiaxỉĩĩiỉze(u{t)k))t = t(k —l)*-2y)ỵ ° d : > seq(z[k],k = N — 1) : > aLỉst := [seq^ịk^k = N — 1)] : > M := op(l,aList) : for i to nops(aList) if opụ^aLỉst) > M t h e n M := op(ỉ, aList) fĩ : o d : M ; 67 > 7.952150910 • IO703 > p := агтау(1 и, 5) : P [l,l] := TT : h[ 1,2] := B L : P [l,3] := GT у : F [lj4 ] := GTui : F [lj5 ] := s s : for i from to 10 p[i + 1,1] := t; P[i + 1,2] := e v a l f ( f + j i f i ) : p[* + 1,3] := e v a l f (у ( f + ^ ) ) : P[i + 1,4] := e v a l f H ( i + * y , 30)) : p[i + 1,5] := e v a l f i a b s i y (f- + ((f + TT BL 007104492188 ,30) J , 13J : o d : print(P); GTy ss 1.007104492 007104503 1-0770 10 0.00712S9062S0 1.007128906 1.007128917 1.0769 10 0Ü715332Ü312 1.007153320 1.007] 53331 1.Ü7(ỴS K) 0.007177734375 1.007177734 1.007177745 LÛ76S 1Û 0.007202148438 1.007202148 1.007202159 1.Ũ76S 10 b 0ДШ722656250и 1.007226562 ] 007226573 1.Ü767 LO' 0007250976562 1.007250977 007250987 1.0767 10 0.007275390625 1.007275391 1.007275402 1.0767 10 O.UU72ÿ9№688 1.007299805 ] ,0 9 « 16 1.U766 10' 10 0.007324218750 1.007324219 1.007324230 1.0767 10 > restart; > Vũỉthịỉỉnaỉg) : > D 2(y)(t) = y(t) + D(y)(t)+int(y(s), s = O i)-sin (i)-c o s(t)-e x p (t) : = t _^ (sin(i) + cos(t) + exp00) y „Л í y : = t ~* ^ + COS^ + 68 > / := t —> —sin(í) —cos(t) —exp(i); > N := 4096 : h :m \ : d := : N > a := аттш /(1 т + d + ,1 1) > a[l, 1] := : a[2,1] := : > с := array(l d, 1) : > c[ 1,1] := 0.4 : c[2,1] := 0.6 : > N - 2- a [3 ,1] + iV2 • • a [4,1] • c[ 1,1] = a[l, 1] + a [2 ,1] • c[l, 1] + a [3 ,1] • (c[ 1, l])2 + a [4 ,1] • (c[l, l])3 + JV • (a [2,1] + • c[l, 1] • a [3 ,1] + ■a [4 ,1] • № ,1 ] ) 2) + ^ ( c [ l , l ] a [ l , l ] + a[4 , 1] • (c[M ]) > s i m p l i f y (%) 3.3554432 • 107а3д + 4.026531840 • 107а4д = 5.000000000 • IO“9 + З276.960005а3д + 1966.144002o4ji > (3.3554432-107—3276.960005)-a[3,1]+ (4.026531840-107—1966.144002)• a [4,1] = 5.000000000 • 10“9 3.355115504 • 107a3 i + 4.026335226 • 107a4,i = 5.000000000 • 10“9 > • N • a[3,1] + N ■6 • a [4,1] • c[2,1] = a[l, 1] + a[2,1] • c[2,1] + a[3,1] • (c[2, l])2 + a [4 ,1] • (c[2, l])3 + JV • (o[2,1] + • c[2,1] • a [3 ,1] + ■o [4 ,1] • a [2 ,1] ■(c[2, l])2 a [3 ,1] ■(c[2,1])3 № ,1 ] ) 2) + ^ i c[2,1] o[l, 1] + fl[4,1] • (c[2,1]) + : ) 69 33554432а3д + 6.03979776 • 107а4,1 = 1.0 • 1СГ8 + 4915.560018азд -|- 4423.896008а4 > (33554432—4915.560018)а[3,1] + (6.03979776-107-44 0 )а [4 ,1] = 1.0 • 10-8 3.354951644 • 107а3,1 + 6.039355370 • 107а4,1 = 1.0 • 1(Г8 > soỉt>e({3.355115504-107a3ii+4.026335226-107a4ji = 5.000000000-1СГ9, 3.354951644 • 107а3,1 + 6.039355370 • 107а4,1 = 1.0 • 1(Г8}); {а 3д = -1.490334423 • 1(Г16,а 4,1 = 2.483708774 • 1(Г16} > а3д = -1.490334423 ■1 -16,а 4,1 = 2.483708774 ■IO“16 : > Ml := Í -»• + N ■ а[2,1] + iV2 • а [3 , 1] - t + N ■ а[4,1] • Í3; ỈL\ \= t —У N 0,21 N ữ3 i t N^ữ4 ị t ^ > N -а[2,1]; > Ь : = array{ 11,1 5) : Ь[1,1] := тт : 6[1, 2] := B L : 6[1,3] := G T у : &[1,4] := G T щ : 0[1,5] := S S : for i from to 10 b[i + 1,1] := i; b[i+1,2] := e v a lf b[i + 1,4] := e v a l f (ui + O.OOOl) : b[i+1,3] := e v a l f (у + O.OOOl)) : (jÿTjg + O.OOOl)) : b[i+1,5] := e v a lf (abs ( y + O.OOOl) - Щ od: print{b)\ 70 + O.OOOl) ^ , 8^ : 77 BL GTy GTtíỉ SS ] 0.0001244140625 1.UÜ0124414 1.ООО124414 0.0001488281250 1.000148828 1.000148828 0,0001732421875 1.000173242 1.000173242 ũ 0.0001976562500 1.(Ж) 197656 1.ООО197656 ] К)15 0,0002220703125 1.000222070 1.000222070 ũ 0,0002464843750 1.000246484 1.000246484 IO'16 0,000270Ш4375 \хш \ % т Ш027089& L lO'1* 0,0002953125000 1,000295312 1.000295312 1.10'16 0,0003197265625 1.000319727 1.000319727 10'16 10 0,0003441406250 1.иuü344141 1.000344141 \0'[(> 71 K ết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Phương pháp spline collocation giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai phương trình Fredholm-Volterra cấp cao; Tốc độ hội tụ bậc cao nghiệm xấp xỉ đề cập, xây dựng nghiệm xấp xỉ spline collocation cho lớp phương trình vi tích phân Volterra cấp hai phương pháp lặp; Trình bày m ột số ví dụ áp dụng vào phương trình tích phân Volterra cấp hai Do lực nghiên cứu trình độ th ân hạn chế nên luận văn chắn khó trán h khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 72