BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN HOA Sinh viên thực hiện: MAI THỊ ĐẮC KHUÊ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 4/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận – thầy tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em kiến thức bổ ích đóng góp kinh nghiệm quý báu để em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đóng góp ý kiến quý báu cho khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung tận tình giúp đỡ em suốt trình làm Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho em đọc mượn nhà tài liệu liệu quan đến đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Vật Lý tận tình dạy bảo em suốt bốn năm đại học, để em có kiến thức ngày hôm cụ thể qua kết khóa luận phần thể Em xin chân thành cảm ơn bạn lớp Lý khóa 32 bạn khác người thân giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Trong trình thực đề tài tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận góp ý tận tình quý thầy cô Cuối em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý tất quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe thành công! Sinh viên thực Mai Thị Đắc Khuê SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Tình hình nghiên cứu Lí chọn đề tài Mục tiêu đề tài Phương pháp nghiên cứu dự kiến kết đạt Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chương PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải xác cho toán nguyên tử hidro 1.1.1 Phương trình Schrodinger nguyên tử hydro 1.1.2 Năng lượng nguyên tử hydro 11 1.1.3 Hàm sóng nguyên tử hydro 12 1.2 Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro 13 1.2.1 Toán tử động 14 1.2.2 Toán tử 15 1.2.3 Toán tử hamilton 16 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức lượng nguyên tử hydro chưa có bổ 17 Chương SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 19 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 19 2.2 Tính bổ lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử 22 SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 2.2.1 Tính bổ bậc 22 2.2.2 Tính bổ bậc hai 22 2.3 Nhận xét 35 Chương VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 36 3.1 Vai trò tham số tự việc ứng dụng phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro 36 3.2 Sự phụ thuộc lượng nguyên tử hydro theo thông số biến phân 36 3.3 Nhận xét 40 Chương SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 42 4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 42 4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 42 4.3 Tính bổ lượng nguyên tử hydro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp 44 4.4 Nhận xét 46 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 PHỤ LỤC 48 Phụ lục Các toán tử sinh – hủy chiều 48 Phụ lục Dạng chuẩn (Normal) số biểu thức luận văn 51 Phụ lục Toán tử 53 Phụ lục Tính yếu tố ma trận Hˆ 58 Phụ lục Chương trình viết Fortran 61 SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm có bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có tính toán lý thuyết xác Trong đó, phương pháp gần chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô phương pháp nhiễu loạn không sử dụng cho toán nhiễu loạn Trước tình hình đó, việc tìm phương pháp hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi quan tâm năm gần Phương pháp toán tử với tính toán đại số, xây dựng cho nhóm toán nguyên tử phương pháp nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu Ý tưởng phương pháp toán tử xuất vào năm 1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) đưa vào năm 1982 nhóm nghiên cứu giáo sư Kamarov L I thuộc trường đại học tổng hợp Belarus áp dụng thành công cho nhóm toán vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu khai thác nhiều toán cụ thể, phương pháp toán tử tỏ phương pháp trội hẳn phương pháp truyền thống như:  Đơn giản hóa việc tính toán yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân hàm đặc biệt Trong suốt trình tính toán, ta sử dụng phép biến đổi đại số chương trình tính toán Maple, Mathematica,…để tự động hóa trình tính toán  Cho phép giải hệ học lượng tử với trường có cường độ Với phương pháp toán tử, bước đầu giải phần khó khăn phương pháp Vật lý lý thuyết, góp phần vào phát triển không ngừng khoa học kỹ thuật toàn cầu SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Lí chọn đề tài Hiện nay, học lượng tử, có số toán có lời giải xác cho phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng, là: toán hạt hố vuông góc, dao động tử điều hòa toán nguyên tử hydro (chuyển động hạt trường xuyên tâm) Đây hệ lí tưởng hóa gặp tự nhiên Việc nghiên cứu hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu đầy đủ phương pháp học lượng tử Ngoài kết thu có tầm quan trọng đặc biệt, gần đó, chúng phản ánh tính chất hệ thực tương ứng Trong toán nguyên tử hydro toán quan trọng vật lý lượng tử Mặc dù toán có lời giải xác toán nguyên tử hydro toán phức tạp Để giải toán phải xây dựng hệ thống kiến thức toán tử momen xung lượng hệ tọa độ cầu; xét tính chất, trị riêng hàm riêng toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; lượng tử hóa không gian, phân bố electron tính chẵn lẻ hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất toán tử tương ứng với đại lượng vật lý qua toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử cho kết bước đầu đáng tin cậy đưa lời giải cho giá trị trường kết hợp với phương pháp nhiễu loạn Tính lượng nguyên tử hydro phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi bậc bổ hội tụ Nếu muốn tăng độ xác lượng, điều chỉnh thông số biến phân toán tử sinh hủy thêm bổ bậc cao đạt kết xác Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm bổ bậc cao giảm nhanh Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm phương pháp để thu lượng hội tụ giá trị xác nhanh tính số máy tính, mà không cần phải tính đến bổ bậc cao điều chỉnh thông số biến phân Chúng tới ý tưởng xây dựng sơ đồ vòng lặp, mà sau vòng lặp thu giá trị lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để giá trị gần Quá trình lặp tiếp, giá tri SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa sau khác giá trị trước khoảng sai số mong muốn dừng lại Kết cuối thu hội tụ giá trị, giá trị lượng cần tìm ứng với sai số chọn Nội dung khóa luận trình hai hướng tiếp cận toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro Mục tiêu đề tài Trong luận văn này, tiếp cận phương pháp toán tử công cụ với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu phương pháp toán tử: sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức lượng nguyên tử hydro  Tìm hiểu vai trò thông số biến phân đưa vào toán tử sinh, hủy khảo sát phụ thuộc lượng nguyên tử hydro theo thông số biến  Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức lượng nguyên tử hydro từ so sánh tốc độ hội tụ hai hướng tiếp cận toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro Từ nhận định xem hướng tiếp cận tốt để lựa chọn cho toán có phức tạp Phương pháp nghiên cứu dự kiến kết đạt Từ khó khăn lý thuyết nhiễu loạn giải toán nguyên tử hydro trường trung bình ưu điểm vượt trội phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử phương pháp sử dụng trình thực khóa luận Lập trình ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức lượng nguyên tử hydro từ so sánh tốc độ hội tụ hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân sơ đồ vòng SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro Dự kiến kết đạt được:  Tính bổ bậc hai cho mức lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử  Thấy vai trò tham số tự đưa vào toán tử sinh hủy việc tính mức lượng nguyên tử hydro Dùng lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức lượng nguyên tử hydro tính tới bổ bậc hai  Tính toán số máy tính mức lượng nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp Qua thấy hội tụ tính ưu hướng tiếp cận so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro Cấu trúc luận văn Từ mục tiêu dự kiến kết đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm phần chính:  Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu dự kiến kết đạt đuợc  Phần nội dung: gồm chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương trình bày kết mà học luợng tử đạt đuợc toán nguyên tử hydro: lượng, hàm sóng… Giới thiệu phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức lượng nguyên tử hydro chưa có bổ Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Tính bổ lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Vai trò thông số biến phân việc ứng dụng phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro Khảo sát phụ thuộc lượng nguyên tử hydro theo thông số biến phân Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích sơ đồ lặp Thiết lập sơ đồ vòng lặp Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức lượng nguyên tử hydro Nhận xét kết thu  Phần kết luận: tóm tắt lại kết đạt đuợc luận văn, huớng phát triển tới đề tài SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa NỘI DUNG Chương PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải xác cho toán nguyên tử hidro[2], [4], [6] 1.1.1 Phương trình Schrodinger nguyên tử hydro Thế hạt khối lượng mo chuyển động trường lực đối xứng xuyên tâm phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r) Do hamilton hạt có dạng:  2 Hˆ    U (r ) 2mO (1.1) Trong nguyên tử hydro, tương tác electron hạt nhân phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 chúng Như biết từ học giải tích, toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút toán chuyển động hạt có khối lượng rút gọn  trường lực U(r) Trong trường hợp nguyên tử hydro   me m p me  m p với mp, mn tương ứng khối lượng proton electron Vì m p  me nên   me Nếu bỏ qua kích thước proton, nguyên tử hydro coi gồm hạt electron chuyển động trường Coulomb gây tâm đứng yên Chọn gốc tâm hạt nhân gọi r khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron tương tác electron hạt nhân là: U (r )   Ze2 (CGS) r (1.2) Trong đó: Ze điện tích hạt nhân U(r) phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên nguyên tử hydro phương trình Schrodinger phương trình dừng SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải toán tọa độ cầu Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt trường hợp có dạng:   me  E  U (r )  2 (1.3) Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng  , r2     r   r  r r  r    r   ,     2   sin   sin      sin      r  (1.4) 1     2 sin     r sin      sin   Thay vào ta được:   2m (r )   ,  e  E  U (r )   r r r r  Do  ,   (1.5) Lˆ2 ta viết lại sau: 2 2m   Lˆ2 ( r )    e  E  U (r )   2 r r r r  (1.6) Trước hết chứng minh rằng, chuyển động trường đối xứng xuyên tâm, định luật bảo toàn lượng, hai định luật bảo toàn nữa, định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần định luật bảo toàn hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý không gian Muốn ta xét điều kiện giao hoán toán tử Lˆ2 Lˆz với Hˆ Trong trường hợp Hˆ có dạng: 2   Lˆ2 Hˆ   ( r )   U (r ) 2 r r r 2me r Ta thấy SVTT: Mai Thị Đắc Khuê ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  ; HL HL Z Z (1.7) (1.8) Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Vì toán tử tác động lên biến góc  ,  nên giao hoán với toán tử lấy vi phân theo r Như giống học cổ điển, chuyển động trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: lượng, bình phương mômen Lˆ2 hình chiếu mômen LˆZ Do khảo sát trạng thái với giá trị cho ba đại lượng Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm phương trình dạng (1.9)  nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  ) Năng lượng hạt đặc trưng số lượng tử n, trị riêng toán tử đặc trưng số lượng tử quĩ đạo l số lượng tử từ m Thay (1.2) (1.6) vào phương trình (1.9) ý ˆ   2l (l  1)Y ta tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R (r ) LY lm lm nl hàm sóng  nlm (r , , ) : d  dR  2me  Ze  l  l  1  r  E     R(r )    r dr  dr  2  r 2me r  (1.10) 1.1.2 Năng lượng nguyên tử hydro Từ kết học lượng tử ta có công thức tính lượng nguyên tử hydro En   E   me4 Z 2 n (CGS) (1.11) Trong hệ không thứ nguyên m  e    thì: En   E   Z2 2n2 (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định lượng electron nguyên tử hydro Theo (1.11) lượng gián đoạn tỉ lệ nghịch với bình phương số nguyên Tính gián đoạn hệ điều kiện hữu hạn hàm sóng vô cực Ứng với n = 1, lượng có giá trị thấp E1  13, 6eV Khi n tăng mức En liên tiếp gần Khi n   En  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Một số mức lượng kích thích: E2  3, 4eV ; E3  1,5eV ;  Đối với Coulomb, Z hữu hạn, ta có số vô hạn trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với lượng  m Z 2e kết thúc ứng với lượng 2  Ứng với giá trị cho n (số lượng tử chính) l có giá trị l = 0, 1, 2, , n- Như có tất n giá trị l ; l gọi lượng tử số quỹ đạo xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13)  Ba số nguyên n, l, m xác định hàm riêng  nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi ba số lượng tử, m gọi số lượng tử từ Ứng với giá trị cho l m nhận giá trị m  l , l  1, , 1, 0,1, , l  1, l Tất có  2l  1 giá trị m Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trục z Lz  m Như vậy, ứng với mức lượng En có nhiều trạng thái khác  nlm , ta nói có suy biến Đối với giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có giá trị lượng En n 1   2l  1  n (1.14) l 0 Nếu không tính đến spin, mức lượng E1 không suy biến, mức kích thích thứ E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc Nếu tính spin có hai giá trị tổng số trạng thái suy biến n 1.1.3 Hàm sóng nguyên tử hydro Hàm sóng chuẩn hóa nguyên tử hydro có dạng:  nl m  r, ,   Rnl  r  Ylm  ,  Với 2Zr 2  ao  nao me SVTT: Mai Thị Đắc Khuê (1.15) Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa a0: bán kính Bohr thứ Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  nl m  r , ,   hệ giống hydro ứng với giá trị n=1, 2, 3,… n l m 0 0  nl m  r , ,   ( Z / a ) / exp(  Zr / a )  ( Z / a ) / (1  Z r / a ) exp(  Z r / a ) 2 2 1   ( Z / a ) / ( Z r / a ) exp(  Z r / a ) cos  ( Z / a ) / ( Zr / a ) exp(  Zr / a0 ) sin  exp(  i ) ( Z / a0 ) 3/ (1  Zr / 3a0  Z r / 27 a02 ) exp( Zr / 3a0 ) 3 2 ( Z / a0 )3/ (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos  27  1  3 1 81 6  2 (Z / a0 )3/ (1  Zr / 6a0 )(Zr / a0 )exp(Zr /3a0 )sin  ei 27  81  2 162  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê ( Z / a )3 / ( Z r / a 02 ) exp(  Zr / 3a )(3 cos   1) ( Z / a0 )3/ ( Z r / a02 ) exp(  Zr / 3a0 ) sin  cos  e  i ( Z / a ) / ( Z r / a 02 ) exp(  Zr / 3a ) sin  e  i Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp 1.2 GVHD: Nguyễn Văn Hoa Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro[12] Xét toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro hệ SI có dạng:  2  Ze2   Δψ(r )   (r )  E (r ) 2m 4 r (1.16) Trong m, e – khối lượng điện tích điện tử; Z số điện tích Ta viết phương trình theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x , y  a0 y , z  a0 z với a0  4  / me bán kính Bohr Khi phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên: Z      Δ   ψ(r )   ( r ) r  (1.17) Với tọa độ lượng có đơn vị a0 ma02 /  Ta viết dạng tường minh sau: Hˆ ( x, y, z )    ( x, y, z ) Với:  2 2 2  Z Hˆ         x y z  x2  y2  z (1.18) (1.19) Ta định nghĩa toán tử sinh huỷ dạng:     a      ,          a           (1.20) với   x, y, z ,  tham số thực dương, ta xác định sau Dễ dàng thấy  a  , a      (1.21) (Phụ lục1trang 51) Các giao hoán công cụ cho tính toán đại số Ta viết lại thành phần hamilton Hˆ biểu thức (1.19) qua biểu diễn toán tử sinh huỷ SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1.2.1 Toán tử động  2 2 2  T ˆ H     2  x y z  2   (1.22) Từ (1.20) ta có:  a   a    Suy 2      a   a           a  a      a  a   2  a  a   1  2a a  (1.23)     2      Ta thay (1.23) vào (1.22) ta 2  Hˆ T      a   a    2a  a     (1.24)    a  , A (1.25)  Đặt     a  , A      a  a  N 2  Thay (1.25) vào (1.24), ta được: 1 Hˆ T    1  Nˆ       Aˆ  Aˆ    (1.26) với   x, y, z 1.2.2 Toán tử Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb toán tử sinh huỷ nằm mẫu số dấu cần phải đưa dạng chuẩn để sử dụng tính toán Dùng phép biến đổi laplace ta viết thành phần dạng: Hˆ U   Z x2  y2  z Z     dt et ( x t 2  y z ) (1.27) (Phụ lục trang 51) Từ ta có thành phần viết dạng: Z Hˆ nU,k    SVTT: Mai Thị Đắc Khuê   dt Sˆ    Sˆ   t   '   (1.28) Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa với: 0 Sˆx  : toán tử chứa số hạng trung hòa, toán tử Sˆx  khi tác dụng lên vector trạng thái thu trạng thái không đổi  m 2i m    1 m ˆ m  2i ˆ i ˆi   1 2i m ˆ i ˆ m ˆ i  Sx  x Nx   2x Ax Ax   x x Ax Nx Ax  1  1 2x  m1 m! i1  i! i,m1  i! m!   il l i ˆ0 (1.29) Sˆx' : toán tử chứa số hạng trung hòa, toán tử Sˆ x' khi tác dụng lên vector trạng thái làm thay đổi trạng thái xét Sˆx'  ml l i  1 l ˆl   1 i ˆi    1  l m ˆ m ˆl xx Nx Ax  x Ax   x Ax  1 2x ml, 1 m!l! l1 l! i1 i! (1.30)  1 il ˆi ˆl 1 i m ˆi ˆ m 1    il m ˆ i ˆ m ˆ l   x Ax Ax   xx Ax Nx   x x Ax Nx Ax  i,l1 i!l! i,m1 i!m! i,l,m1 i!l!m!  li li  il  im ilm  (Phụ lục trang 53) 1.2.3 Toán tử hamilton Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được: 1 Z  Hˆ   12Nˆ   Aˆ  Aˆ   dt Sˆ  Sˆ' 4 4  t  1 Z    12Nˆ   Aˆ Aˆ   dt Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz0 Sˆx 0 Sˆy0 Sˆz' Sˆx0 Sˆy' Sˆz0 4 4  t    Sˆx  Sˆy' Sˆz' Sˆx' Sˆy  Sˆz  Sˆx' Sˆy  Sˆz' Sˆx' Sˆy' Sˆz  Sˆx' Sˆy' Sˆz' 0 0 (1.31)  Toán tử hamilton toán nguyên tử hydro chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ  Vˆ (1.32)  Thành phần toán tử chứa toán tử trung hòa, xem loại toán tử  toán không nhiễu loạn, với: hamilton H Z Hˆ    (2 Nˆ   1)    x, y , z  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê   ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0) ( S x S y S z ) dt t (1.33) Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa  Thành phần toán tử chứa toán tử không trung hòa, xem loại toán tử nhiễu loạn V , với:   2 Z SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz Sˆx SˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz Vˆ    a   a    dt 4   0 t  ' '    ' ' ' ' 0 ' ' ' 0 ' ' ' (1.34) Dùng toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ qua trình tính toán ta tính H nk  n Hˆ k yếu tố ma trận Hˆ :  2i (-1) m m m  i 2i-1 Sˆn(0)  {1+  k   [ ( k   ) (k  2i   )]1/2          , k m! (i!) m=1 i=1  =0  =1 2i   n ,k (-1) 2i i 2i-1 (-1) m 1/2   [ ( k   ) ( k  i   )] ( k  2i) m }        2 i=1 (i!) m=1 m!  =0  =1  k  Suy  2k | S |2k   m  l  (2k )!  2i  i )!( i !)   (2k i 0 (1  2 ) k (1.35) k , k   1/ (1  2 ) 2l-1 (-1) m (-1) l Sˆ'  {    [(k  )]1/2 (k  2l )m  n ,k 2l m! l! m=0 l=1  =0 (-1)i i  (-1)m m m 2i    k [(k  )]1/2 n ,k 2i   i! m! i=1 m=0  =1   2i (-1)i i  (-1)m m  (-1)l l 2l-1      [(k  )]1/2 (k -2l)m[(k  2l  )]1/2 n ,k 2 l2i }   l! 1+2 i=1 i! m=0 m! l=1  =0  =1   (Phụ lục trang 58) (1.36) Suy min( k ,n )  2n Sˆ ' 2k  i 0 1/ k  n 2 i  (2k )! (1)   (k  i)!(n  i)!  (2i)!  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê (1  2 ) k n k  , n  2 k  n 1/  (2n )! k  n  2i  (2i)!     (1  2 )1/ Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức lượng nguyên tử hydro chưa có bổ  000  000 E0(0)  000 H   N   000   x, y ,z  000 Sˆx0 Sˆ y0 Sˆz0 000 Z  dt  0 1/ t  (1  2 )    x, y,z Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức lượng bậc không trở thành: Z E0(0)     Ta đặt       t  t 1       Z t  dt  2 d  E0(0)    2     dt  2  1 d  (1  2 )     E0(0)     Suy (1.37) Vì mức mức lượng thấp nên ta tiến hành cực tiểu hóa lượng: dE0(0) Z 16 0  0   0.56588424210451677 d 9   Thay   16 vào E0(0) ta được: 9 E0(0)   SVTT: Mai Thị Đắc Khuê  -0.42441318157838759 3 (1.38) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Chương SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10] Phương trình Schrodinger phương trình vi phân tuyến tính với đạo hàm riêng phần hệ số biến đổi Nghiệm xác tìm số tương đối nhỏ trường hợp đơn giản như: nguyên tử hydro, toán dao động tử điều hòa, chuyển động hố vuông góc,… Sự phức tạp việc giải phụ thuộc vào dạng số chiều không gian toán cần giải Phần lớn toán học lượng tử dẫn tới phương trình phức tạp mặt toán học, giải cách xác Do thường phải ứng dụng phương pháp gần để giải toán, nghĩa phải tìm cách gần trị riêng hàm riêng Một phương pháp gần quan trọng để giải toán học lượng tử lý thuyết nhiễu loạn Nội dung lý thuyết nhiễu loạn sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử hamilton toán thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ  Vˆ (2.2) Trong đó: Thành phần Hˆ toán tử hamilton có nghiệm riêng xác Hˆ 0 n   n n (2.3) Thành phần Vˆ lại gọi nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 19 [...]... 1.2 GVHD: Nguyễn Văn Hoa Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12] Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:  2  Ze2   Δψ(r )   (r )  E (r ) 2m 4 0 r (1.16) Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x , y ... Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể... Năng lượng của nguyên tử hydro Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hydro En   E   me4 Z 2 2 2 n 2 (CGS) (1.11) Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì: En   E   Z2 2n2 (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên Tính gián... chính xác Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn Nội dung lý thuyết nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử hamilton của bài toán thành... ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng (1.9)  nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  ) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng ˆ   2l (l  1)Y ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R (r ) của LY lm lm nl hàm... Sˆx  Sˆy' Sˆz' Sˆx' Sˆy  Sˆz  Sˆx' Sˆy  Sˆz' Sˆx' Sˆy' Sˆz  Sˆx' Sˆy' Sˆz' 0 0 0 0 0 (1.31)  Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (1.32)  Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử  0 trong bài toán không nhiễu loạn, với: hamilton H 1 Z Hˆ 0    (2 Nˆ   1)  4   x, y , z  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê... các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  ,  nên giao hoán với các toán tử lấy vi phân theo r Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình phương mômen Lˆ2 và hình chiếu mômen LˆZ Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của. .. Thay   16 vào E0(0) ta được: 9 E0(0)   SVTT: Mai Thị Đắc Khuê 4  -0.42441318157838759 3 (1.38) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10] Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi... một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng  m Z 2e 4 và kết thúc ứng với năng lượng 0 2 2  Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1 Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13)  Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng... y, z , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau Dễ dàng thấy rằng  a  , a    1   (1.21) (Phụ lục1trang 51) Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số Ta viết lại các thành phần trong hamilton Hˆ trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các toán tử sinh huỷ này SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1.2.1 Toán tử động