M CL C M U Ch CÁC ng NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I U CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B TR 1.1 1.1.1 BƠi toán t i u đa m c tiêu 1.1.2 Nghi m h u hi u đ a ph 1.1.3 Nón ti p n vƠ nón radial dưy 1.1.4 1.1.5 o hƠm Dini – o hƠm Hadamard M t s k t qu b tr CÁC 1.2 ng NH LÝ LUÂN PHIÊN 11 1.3 I U KI N CHệNH QUY VÀ CÁC I U KI N C N T I 1.4 PH I U KI N C N KKT M NH CHO NGHI M H U HI U A NG 23 Ch U 18 ng I U KI N KARUSH ậ KUHN - TUCKER M NH QUA D PHÂN SUY R NG I VI 2.1 CÁC KHÁI NI M 28 2.2 CÁC I U KI N KKT M NH 36 2.2.1 i u ki n c n 37 2.2.2 i u ki n đ 42 2.2.3 M t s u ki n quy khác vƠ m i quan h gi a u ki n 44 2.2.4 i u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng bu c đ ng th c vƠ b t đ ng th c 49 K T LU N 55 TÀI LI U THAM KH O 56 M U V i bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c, u ki n t i u Fritz John ch đ m b o nhơn t Lagrange không đ ng th i b ng 0; u ki n t i u Karush – Kuhn – Tucker đ m b o nhơn t Lagrange t ng ng v i hƠm m c tiêu khác ThƠnh ph n nƠo c a nhơn t Lagrange t ng ng v i hƠm m c tiêu khác thƠnh ph n t m t u ki n c n t i u Ng ng ng c a hƠm m c tiêu có i ta mong mu n t t c thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu đ u có m t u ki n c n t i u, có ngh a lƠ t t c nhơn t Lagrange t ng ng v i thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu lƠ khác Khi đó, u ki n Karush – Kuhn – Tucker (KKT) đ c g i lƠ m nh T.Maeda ([6],1994) đư xét u ki n quy đ nh n đ c u ki n KKT m nh cho bƠi toán v i hƠm kh vi Fréchet V Preda – I Chitescu ([7],1999) đư m r ng k t qu c a Maeda cho bƠi toán v i hƠm bán kh vi D.V Luu – N.M Hung ([5],2009) đư thi t l p u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p v i hƠm kh vi Gơteaux M Golestani – S Nobakhtian ([3],2012) đư d n u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c b t đ ng th c d i ngôn ng d i vi phơn suy r ng Lu n v n trình bƠy u ki n KKT m nh c a Luu – Hung [5] vƠ c a M Golestani – S Nobakhtian [3] cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c Lu n v n bao g m ph n m đ u, hai ch ng, k t lu n vƠ tƠi li u tham kh o Ch ng trình bƠy k t qu nghiên c u c a Luu – Hung [5] v đ nh lý luơn phiên cho m t h g m b t đ ng th c, đ ng th c vƠ m t t p xác Thang Long University Libraty đ nh, lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên Tucker c n ch ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng đ ng th i, c phát tri n đ i v i nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u không gian đ nh chu n mƠ nhơn t Lagrange t d ng ng v i t t c thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu đ u ng Ch ng trình bƠy k t qu Nobakhtian [3] N i dung ch nghiên c u c a M Golestani – S ng nƠy đ c p u ki n quy vƠ u ki n c n t i u Kuhn – Tucker m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu không tr n có rƠng bu c b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p Công c c a ch nƠy lƠ khái ni m d i vi phơn suy r ng Trong ch ng ng nƠy, tác gi c ng trình bƠy thêm m t u ki n đ vƠ m i quan h gi a u ki n quy M c 2.2.4 lƠ k t qu m i c a tác gi v u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p Nhơn d p nƠy, xin chơn thƠnh c m n Ban ch nhi m Khoa Toán – Tin, tr h c ng i h c Th ng Long th y cô đư tham gia gi ng d y khóa c bi t, xin g i l i c m n sơu s c đ n th y PGS.TS t n tình h V n L u đư ng d n, giúp đ hoƠn thƠnh lu n v n nƠy HƠ N i, tháng n m 2016 Tác gi Mai Thanh V n Ch CÁC ng NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I Ch U ng trình bƠy k t qu nghiên c u c a D.V.Luu – N.M.Hung ([5],2009) v đ nh lý luơn phiên cho m t h g m b t đ ng th c, đ ng th c vƠ m t t p xác đ nh Tucker c n đ ó lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên ng th i, ch ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng c phát tri n đ i v i nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u không gian đ nh chu n mƠ nhơn t Lagrange t hƠm m c tiêu đ u d 1.1 ng ng v i t t c thƠnh ph n c a ng CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B TR 1.1.1 BƠi toán t i u đa m c tiêu Gi s lƠ không gian n tính đ nh chu n; lƠ ánh x t r ng c a Nh v y, vƠo , , lƠ m t t p khác , , , Xét bƠi toán t i u đa m c tiêu: , Ký hi u T p đ c g i lƠ t p ch p nh n đ c c a bƠi toán Thang Long University Libraty Chú ý: Tr , ta có bƠi toán t i u đ n m c tiêu cho hƠm ng h p nhi u bi n Ví d 1.1: Xét bƠi toán: v i u ki n:    lƠ đ T p ch p nh n ng cong hypebol n m góc ph n t th nh t : 1.1.2 Nghi m h u hi u đ a ph nh ngh a 1.1: i m n ut nt i toán ng nghi m h u hi u đ a ph ng c a  , cho v i m i  c-t ng không âm c a  hình c u m tâm , bán , kính  Ví d 1.2: 1) Xét Khi     ơy lƠ khái ni m c c ti u đ a ph ng thông th ng 2) Xét Ta có Suy Do có tr  (Ký hi u I II III vƠ IV l n l  ng h p: t lƠ góc ph n t c a m t ph ng t a đ ) I      II        IV       Trong t t c tr Tóm l i, cho ng h p, có nh t m t lƠ nghi m h u hi u đ a ph ng c a bƠi toán n ut nt i  th a mưn Thang Long University Libraty v i nƠo thu c vƠ 1.1.3 Nón ti p n vƠ nón radial dưy nh ngh a 1.2: Nón ti p n (hay g i nón ti p liên) c a t p t p sau đây: t i nh ngh a 1.3: Nón ph radial dãy) c a ng n tính dãy (hay g i nón t p sau đây: t i Chú ý:  C nón nƠy đ u khác  Nón  ch a m đóng, có th không l i  o hƠm Dini ậ 1.1.4 , ta ch n dưy Th t v y, Do đó, o hƠm Hadamard nh ngh a 1.4: i) o hàm Dini d ic a t i theo ph ng đ c đ nh t i theo ph ng đ c đ nh ngh a nh sau: ii) lim inf o hàm Dini c a ngh a nh sau: lim s�� nh ngh a 1.5: i) o hàm Hadamard d ic a t i theo ph ng đ c t i theo ph ng đ c đ nh ngh a nh sau: ii) lim inf lim s�� o hàm Hadamard c a đ nh ngh a nh sau: Chú ý: ta ký hi u giá tr chung lƠ  N u ơy lƠ đ o hƠm theo ph ng thông th ng c a t i theo ph ng : lim lƠ ánh x n tính liên t c ta nói  N u Gơteaux t i ng th i, lƠ đ o hƠm Gơteaux c a phi m hƠm n tính vƠ lƠ giá tr c a t i Ví d 1.3: Cho hƠm đ c xác đ nh nh sau: n � sin o hƠm Dini vƠ d t i kh vi ic a n � l nl t i t lƠ Thang Long University Libraty lim s�� Do đó, t i lim s�� lim inf lim inf , đ o hƠm Dini t n t i vƠ lƠ ánh x n tính liên t c theo D th y vƠ sin sin nên kh vi Gơteaux t i Suy  N u kh vi Fréchet t i v i đ o hƠm Fréchet thì ta ký hi u giá tr chung lƠ  N u Khi , t c lƠ c ng lƠ đ o hƠm Hadamard c a t i theo ph 1.1.5 M t s k t qu b tr t t n t i, ta đ t V im i ng t n t i, ta đ t V im i Do tính thu n nh t d d lƠ m t nón Ký hi u ng Dini vƠ Hadamard lƠ nón có đ nh t i vƠ i, ta có Cho ng c a đ o hƠm theo ph có đ nh t i lƠ nón đ i ng u c a :   , lƠ không gian đ i ng u tôpô c a Khi đó, lƠ nón l i đóng y u M t s k t qu sau đơy [4] c n dùng đ ch ng minh k t qu c a ch ng nƠy: M nh đ 1.1: Gi s nón l i đóng y u , đóng y u Khi đó, M nh đ 1.2 (đ nh lý Dubovitskii ậ Mylyutin): Gi nón l i có đ nh t i Khi đ ng th i b ng n u ch n u t n t i  cho    ; s m không 10 Thang Long University Libraty Khi M t khác, ta có d i vi phơn suy r ng c a vƠ t i nh sau : g Do đó, co Tuy nhiên,  2.2.2 H n n a, lƠ m c c ti u toƠn c c c a bƠi toán cho co co i u ki n đ nh lý 2.2: Cho m t t p l i Gi s r ng t al it i m t m ch p nh n c a toán -gi l i t i v im i N ut nt i v im i (t ng ng:  là - )   cho :   co  co 42 Thang Long University Libraty m t nghi m h u hi u y u (t toán ng ng: nghi m h u hi u) toàn c c c a không ph i lƠ nghi m h u hi u y u (t Ch ng minh : Gi s ng: nghi m h u hi u) toƠn c c c a Khi t n t i m t m ch p nh n (t cho ng ng: Vì m i thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu lƠ   ta có � ng ng )  -t a l i c a , ta nh n đ ,  Do v i m i  -gi l i nên  M t khác, đ i v i m ch p nh n Do tính ) c  co  vƠ co         i u nƠy mơu thu n vƠ ch ng minh đ c hoƠn thƠnh 43 ta có ng 2.2.3 M t s u ki n quy khác vƠ m i quan h gi a u ki n , ph n nƠy, ta b sung thêm m t NgoƠi u ki n quy s u ki n quy khác vƠ khai thác m i quan h gi a chúng lƠ m t m ch p nh n c a bƠi toán Cho u tiên, ta có hai u ki n sau đ c g i lƠ u ki n quy ki u Abadie:   Hai u ki n quy sau có th đ c xem xét nh d ng không tr n c a u ki n quy Cottle: V im i , �à NgoƠi ra, ta m t u ki n quy sau đơy: ; v i m i  V i m i vƠ  , không đ ng th i b ng , ta có   co  co M nh đ sau nêu rõ m i quan h gi a u ki n quy đư đ thi u c gi i 44 Thang Long University Libraty M nh đ 2.1: V i u ki n quy đ trên, m i quan h sau c th a mãn : 1)  2)  3)  4) th a mãn ch th a mãn 5) th a mãn ch th a mãn Ch ng minh : 1) Vì  nên rõ rƠng 2) Theo Do kéo theo , ta có ,v im i Nh v y, 3) Theo kéo theo , ta có ,v im i Xét B ng tính toán đ n gi n, ta có vƠ ta suy r ng  45 cl cl cl nên kéo theo ): Ch ng minh t  4) (  cl ng t ph n 2), ta có M t khác, t p Do  Theo vƠ đ c xác đ nh nh sau : ,v im i , ta có nên  , t c lƠ Suy ( ): Gi s ng  kéo theo không th a mưn Khi đó, t n t i c l i, cho Vì lƠ t p đóng nên cl cl 46 Thang Long University Libraty  cl cl cl  cl M t khác, theo , ta có ,v im i Suy  cl i u nƠy t o mơu thu n Do th a mưn th a mưn vƠ ch V y  5) ( th a mưn : Theo , ta có ,v im i Do nên Vì  Vì , ta có co    nên   Vì , ta có co   nên  , ta có  Suy v i m i ; v i m i , không đ ng th i b ng , ta có 47 vƠ    Do    th a mưn n u  co  co      i u nƠy mơu thu n v i ( ): Bơy gi , ta cho  M t khác, co  co ph i c a th a mưn Khi lƠ t p compact, l i vƠ lƠ t p đóng vƠ l i Theo đ nh lý tách, t n t i lƠ t p đóng Vì v y, v cho         Vì v y, co co co 48 Thang Long University Libraty Do đó, th a mưn Tóm l i, m i quan h gi a u ki n quy đ c tóm t t b ng s đ sau: Hình 2.1 : M i quan h gi a u ki n quy 2.2.4 i u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i bu c đ ng th c vƠ b t đ ng th c u đa m c tiêu v i rƠng Bơy gi , ta xét bƠi toán t i u đa m c tiêu sau :  = vƠ , ; vƠ lƠ hƠm giá tr th c v i vƠ 49 lƠ t p l i c a t co co co co co nh ngh a 2.13 ( i u ki n quy Mangasarian ậ Fromovitz ): Ta nói r ng u ki n quy Mangasarian – Fromovitz t ng quát th a mưn t i n uv im i , 50 Thang Long University Libraty D d i đơy lƠ k t qu v d ng u ki n c n KKT m nh g n v i n a i vi phơn suy r ng quy trên: nh lý 2.3: Cho Gi s d � vƠ  có d  ng y u c a bƠi toán ng t i ; , , có b ch n i vi phơn suy r ng bán quy b th a mưn t i r N u ch n t n t i  cho  co  co Ch ng minh : T lƠ hƠm Lipschitz đ a ph i vi phơn suy r ng bán quy ;  vƠ , lƠ nghi m h u hi u đ a ph ý r ng  co lƠ nghi m h u hi u c a bƠi toán    ta d dƠng suy Vì nên , v i u ki n , gi thi t c a đ nh lý 2.1 đ c th a mưn nên theo đ nh lý, ta có t n t i      cho   co q,  co  co 51  T ng t nên , v i u ki n , gi thi t c a đ nh lý 2.1 đ c th a mưn nên theo đ nh lý, ta có t nt i      cho  co   co  co  vƠ T  suy  co       co  co  t      ,    vƠ ta nh n đ  , ta có   Nh v y     lƠ nghi m h u hi u đ a ph H qu 2.1: Cho Gi s vƠ , t i ; đ ng th i , ch n ; ch n   c k t lu n c a đ nh lý lƠ hƠm Lipschitz đ a ph có d r N u ng y u c a bƠi toán ng vƠ kh vi Gơteaux i vi phơn suy r ng � vƠ có d , b i vi phơn suy r ng th a mưn t i t n t i b  cho 52 Thang Long University Libraty  co   co Ch ng minh : Vì  co kh vi Gơteaux t i nên t n t i đ o hƠm Dini t i đó, t c lƠ HƠm có d i vi phơn suy r ng nên  s��   s��  Suy i u nƠy có ngh a lƠ ch n c a lƠ d i vi phơn suy r ng bán quy b t i Ch ng minh m t cách t quy b ch n c a quy b ch n c a ng t , lƠ d i vi phơn suy r ng bán vƠ lƠ d i vi phơn suy r ng bán t i t i Do đó, gi thi t c a đ nh lý 2.3 đ c th a mưn nên áp d ng đ nh lý, ta có k t lu n c a h qu i u ki n đ cho nh lý 2.4: Cho m t t p l i Gi s r ng đ c phát bi u nh sau: vƠ lƠ m t m ch p nh n c a bƠi toán lƠ -gi l i t i 53 v im i vƠ , lƠ lƠ -t a l i t i ng:  ),   v im i vƠ   co  N ut nt i , (t ng sao cho :  co  co lƠ m t nghi m h u hi u y u (t ng ng: nghi m h u hi u) c a bƠi toán Ch ng minh: Áp d ng đ nh lý 2.2 cho bƠi toán   vi t d i d ng:  T gi thi t c a đ nh lý 3.2 tr thƠnh t i lƠ -gi l i t i v im i ,  co  vƠ v i m i lƠ , -t a l i  co  co  co   i u nƠy có ngh a r ng gi thi t c a đ nh lý 2.2 đ m t nghi m h u hi u y u c a bƠi toán Tr ng h p nghi m h u hi u đ c ch ng minh t c th a mưn nên lƠ ng t 54 Thang Long University Libraty K T LU N Lu n v n đư trình bƠy k t qu c a D.V.Luu – N.M.Hung (2009) vƠ M.Golestani – S Nobakhtian (2012) v u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c, bao g m:  Các đ nh lý luơn phiên;  i u ki n c n cho nghi m h u hi u qua đ o hƠm Dini vƠ Hadamard; u ki n quy ki u Abadie;  i u ki n c n KKT m nh cho nghi m h u hi u đ a ph ng d i ngôn ng đ o hƠm Gơteaux;  i u ki n c n cho nghi m h u hi u đ a ph i vi phơn suy r ng; u ki n quy Mangasarian – Fromovitz; qua d  ng y u không gian i u ki n đ cho nghi m h u hi u y u toƠn c c c ng nh nghi m h u hi u toƠn c c qua d i vi phơn suy r ng;  M i quan h gi a u ki n quy;  NgoƠi ra, tác gi lu n v n c ng ch ng minh l i m t cách chi ti t m nh đ 2.1 ch 2.1 đ n 2.6  ng vƠ cho ví d 1.1, 1.2 vƠ 1.3 ch ch ng vƠ ví d t ng a k t qu m i v u ki n KKT (đ nh lý 2.3, h qu 2.1 vƠ đ nh lý 2.4) cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p Các u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu lƠ đ tƠi đ c nhi u tác gi quan tơm nghiên c u 55 TÀI LI U THAM KH O TƠi li u ti ng Vi t [1] V n L u vƠ Phan Huy Kh i (2000), Gi i tích l i, NhƠ xu t b n Khoa h c vƠ K thu t [2] V n L u (1999), Lý thuy t u ki n t i u, NhƠ xu t b n Khoa h c vƠ K thu t TƠi li u ti ng Anh [3] M Golestani and S Nobakhtian (2012), “Convexificators and strong Kuhn – Tucker conditions”, Computers and Mathematics, 64, 550-557 [4] I.V Girsanov (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extrenum Problems, Springer-Verlag, Berlin Heidenberg [5] D.V Luu and N.M Hung (2009), “On alternative theorems and necessary conditions for efficiency”, Optimization, 58 (1), 49-62 [6] T Maeda (1994), Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case, J Optim Theory Appl, 80, 483500 [7] V Preda and I Chitescu (1999), On constraint qualification in multiobjective optimization problems : Semidifferentiable case, J Optim Theory Appl, 100, 417-433 56 Thang Long University Libraty [...]... h m theo ph  là nghi m h u hi u đ a ph liên t c t i ; v i m i ng c a bài toán , t n t i các và ng Dini 22 Thang Long University Libraty H n n a, gi s đi u ki n chính quy m i , Ch ng minh: ch ng minh t 1.4 ng t đ nh lý 1.3 I U KI N C N KKT M NH CHO NGHI M H U HI U PH NG Xét bƠi toán v i đúng t i Khi đó, v i đ o h m Gi s r ng các h m A kh vi Gơteaux t i Gơteaux vƠ các h m  liên t c Khi đó, v i m. .. sao cho , sao cho Do tính liên t c c a  21  , M t khác, do lƠ nghi m h u hi u đ a ph , t n t i ng c a sao  th a m n cho v i nƠo đó thu c T ch ng minh trên ta suy ra t n t i s t nhiên sao cho  , ta có Do đó, v i , Vì v y, i u nƠy m u thu n v i V y, v i m i T đúng , ng t đ nh lý 1.3, bơy gi n u v i m i theo ph t n t i các đ o h m thì v i vƠ ng Dini , ta đ t m i nh lý 1.4 : Gi s ; các h m đ... t v i ký hi u t p ch p nh n đ c c a bƠi toán ng Hadamard i u ki n c n cho nghi m h u hi u: nh lý 1.3: Gi s , các h m  đ o h m theo ph là nghi m h u hi u đ a ph liên t c t i ; v i m i t n t i các và ng Hadamard H n n a, gi s đi u ki n chính quy m i ng c a bài toán đúng t i Khi đó, v i , 20 Thang Long University Libraty Ch ng minh: Gi s ng c l i, t n t i sao cho T đó suy ra t n t i B i vì , ta suy... h m Dini d i vƠ trên t i theo ph ng ng ng nh sau : lim inf lim s�� nh ngh a 2.4: H m r ng trên  t i đ s�� i  t i đ inf   t i s��  nh ngh a 2.6: H m r ng chính quy trên đ c g i là có m t d n u ,  c g i là có m t d i vi phân suy là đóng và v i m i n u  ,  nh ngh a 2.5: H m r ng d i vi phân suy là đóng và v i m i n u  c g i là có m t d 31 , i vi phân suy là đóng và v i m i Ví d 2.3: Cho h m đ... - gi l i , ta có Th t v y, v i nh ng  m  không bé h n 2.2 CÁC I U KI N KKT M NH Ph n nƠy trình bƠy các đi u ki n c n KKT m nh t i m t đi m lƠ nghi m h u hi u đ a ph ng nh n đ c tính d ng c a các nhơn t g n v i h m m c tiêu, m t đi u ki n chính quy suy r ng s đ c đ a vƠo Ta xét bƠi toán t i u đa m c tiêu sau: min trong đó  vƠ vƠ lƠ t p con l i c a lƠ các h m giá tr th c v i vƠ t co 36 Thang Long... suy ra    ó lƠ đi u ph i ch ng minh Nh n xét: N u thay nón b ng nón 1.6 v n đúng 27 , các đ nh lý 1.5 vƠ Ch ng 2 I U KI N KARUSH ậ KUHN - TUCKER M NH QUA D Ch I VI PHÂN SUY R NG ng 2 trình bƠy k t qu nghiên c u c a M Golestani – S Nobakhtian ([3],2012) N i dung ch ng nƠy đ c p các đi u ki n chính quy vƠ đi u ki n c n t i u Kuhn – Tucker m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu không tr n Công c chính... Do đó, , ta có , do Do đó, lim inf lim inf lim Nh v y, Vì v y, T đúng ta suy ra 19 sao cho  M nh đ đ c ch ng minh Chú ý: Chi u ng c l i c a các bao h m th c vƠ nói chung không đúng i u ki n chính quy ki u Abadie : d n đi u ki n c n cho nghi m h u hi u c a bƠi toán (MP), ta đ a vƠo các đi u ki n chính quy ki u Abadie sau :   , t n t i các đ o h m theo ph N u v i m i vƠ trong đó , ta đ t v i ký... t c a đ nh lý 1.1 đ c th a m n Vì v y ta suy ra đi u ph i ch ng minh Chú ý: Trong tr , t đ nh lý 1.2, ta nh n đ ng h p dim Kuhn – Tucker c đi n nh m t tr ng h p đ c bi t Khi đó, hai kh ng đ nh sau t H qu 1.2: Gi s đ c đ nh lý ng ng: (i) V i m i (ii) T n không có nghi m ,h t i  ,  sao cho : 17 ,     Ch ng minh: , ta có V i dim Do đó, ,v im i vƠ H n n a, b i vì lƠ m t nón l i đóng khác , Vì... s v i đ nh t i và , (ii) T n ng đ , t p c a đóng ng: không có nghi m ,h t i  sao cho là m t nón con l i khác đóng; v i m i Khi đó, các phát bi u sau là t (i) V i m i có đ nh t i ,  ,  đúng Ch ng minh: 16 Thang Long University Libraty B i vì dim , ta có dim dim vƠ các tôpô m nh, y u, y u trùng nhau Theo m nh đ 1.1, ta suy ra v i m i trong     :   T đó suy ra Vì v y, theo gi thi t, t p h p... vì max nh ngh a 2.7: H m r ng chính quy d �à  lƠ m t d  s�� ho c i  t i inf  đ i vi phơn suy r ng c g i là có m t d i vi phân suy là đóng và v i m i n u ,  nh ngh a 2.8: H m r ng bán chính quy trên m i  đ c g i là có m t d t i n u đ c g i là có m t d là đóng và v i ,  s��  nh ngh a 2.9: H m r ng bán chính quy d m i i vi phân suy  i t i i vi phân suy là đóng và v i n u ,  Nh n xét: Rõ rƠng m