B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă TR NGă IăH CăTH NGăLONG - HOĨNGăTH ăTHÙYăLINH BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁNă FERMAT ậ TORRICELLI CHO CÁCăHỊNHăC UăEUCLID LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C HƠăN iă- N mă2016 B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă TR NGă IăH CăTH NGăLONG - HOĨNGăTH ăTHÙYăLINH BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁNăFERMATậ TORRICELLIăCHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C CHUYÊNăNGĨNHă:ăPH NGăPHÁPăTOÁNăS ăC Pă MẩăS ă:ă60ă46ă01ă13 NG IăH NGăD NăKHOAăH C PGS.ăTS.ă ăV NăL U HƠăN iăậ N mă2016 Thang Long University Libraty L iăc mă n Tr PGS.TS.ăă cătiên,ăemăxinăbƠyăt ălòngăbi tă năchơnăthƠnhăvƠăsơuăs cănh tăt iă V năL uăậ Ng iăTh yăđưăluônăgiúpăđ ăvƠăh ngăd năemătrongă su tăh căt păvƠălƠmălu năv nănƠy Emăxinăc mă năt iătr ngă iăh căTh ngăLongăHƠăN i.ăEmăxinăc mă nă t iăcácăGiáoăs ,ăTi năs ăvƠăcácăTh y,ăcôăgiáoătrongăb ămônăToánăđưăgi ngăd yă choăemănh ngăki năth căc ăb n,ăn năt ngăquýăbáuătrongăth iăgianăh căcaoăh c Emăxinăc mă năphòngăQu nălýăSauăđ iăh căđưăt oăđi uăki năthu năl iă đ ăemăhoƠnăthƠnhăkhóaălu nănƠy C mă năcácăb nătrongăl păcaoăh căToánăK3ă chuyênăngƠnhăPh iăh căTh ngăLong,ă ngăphápătoánăs ăc p,ăđưăluônăthơnăthi năvƠănhi tătìnhă giúpăđ ătôiătrongăth iăgianăh căt păv aăqua Tôiăc mă nănh ngăng iăthơnăyêuătrongăgiaăđìnhăvƠăcácăb năbèăluônă ngăh ,ăđ ngăviênăvƠălƠăch ăd aătinhăth năv ngăch cătrongăsu tăquáătrìnhăh că t păvƠăth iăgianălƠmălu năv n Tácăgi HoƠngăTh ThùyăLinh M CăL C Trang M ăđ u Ch ngă 1:ă CÁCă KI Nă TH Că C ă B Nă V ă HĨMă L Iă VĨă D Iă VIăPHỂNăHĨMăL I 1.1.ăăăăăT păl iăvƠănónăl i 1.1.1.ăăT păl i 1.1.2.ăăNónăl i 1.2.ăăăăăHƠmăl i 1.2.1.ăăHƠmăl i 1.2.2.ăăCácăphépătoánăv ăhƠmăl i .14 1.3.ăăăăăD iăviăphơnăhƠmăl i 17 D iăviăphơnăhƠmămax 23 1.4 Ch ngă 2:ă BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLIăCHOăHỊNHăC UăEUCLID 2.1.ăăăăăăKháiăni măvƠăđ nhăngh a .25 2.2.ăăăăăăBƠiătoánăSylvesterăchoăhìnhăc uăEuclid 26 2.2.1.ăăăS ăt năt i,ăduyănh tănghi măvƠăđi uăki năt iă u 26 2.2.2.ăăăBƠiătoánăSylesterăsuyăr ngăchoăbaăhìnhăc u 32 2.3.ăăăăăăBƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uăEuclid 49 2.3.1.ăăăS ăt năt iăvƠăduyănh tănghi măc aănghi măt iă u 49 2.3.2.ăăăC uătrúcănghi m .56ăăă K TăLU N .63 TĨIăLI UăTHAMăKH O 64 Thang Long University Libraty M ă U Lýădoăch năđ tƠi Gi iătíchăl iăchoătaăm tălýăthuy tăphongăphúăvƠăđ păđ ăv ăhƠmăl iă vƠă ngăd ngătrongăt iă uăhóaăv iănhi uăk tăqu ăn iăti ngăch ngăh nănh :ă B tăđ ngăth căJensen,ă nhălýăFenchelăậ Moreauăv ăhƠmăliênăh p,ă lýăMoreauăậ Rockafellarăv ăd iăviăphơnăhƠmăl i,ă nhă nhălýăKuhnăậ Tucker choăbƠiătoánăt iă uăl iăcóărƠngăbu c,…Cóăth ănóiăt păl i,ăhƠmăl iăcácăđ iă t ngăđ pătrongăt iă uă hóa.V iă cácă bƠiă toánă l iătaă cóă cácă uăki năđ că tr ngăchoănghi măc aăbƠiătoánăđóăd iăngônăng ăd iăviăphơnăc aăhƠmă l i Trongă toánă s ă c pă nhi uă bƠiă toánă đ că phátă bi uă v iă cácă hƠmă l i.ă V iăcácăbƠiătoánăc cătr ,ăhƠmăl iăđóngăm tăvaiătròăr tăquanătr ng.ăC cătr ă đ aăph ngăc aăhƠmăl iătrênămi năl iăc ngălƠăc căti uătoƠnăc c,ăc căđ iăc aă m tăhƠmăl iătrênăm tăđaăgiácăl iăđ tăt iăm tătrongăcácăđ nhăc aăđaăgiácăđó.ă Nhi uă bƠiă toánă s ă c pă hayă đ că phátă bi uă theoă h Sylvesteră choă cácă hìnhă c uă Euclidă đ ngă nƠy.ă BƠiă toánă căphátăbi uă nh ăsau:ă “ă Choăhaiă h ă h uăh năcácăhìnhăc uăEuclid.ăTìmăm tăhìnhăc uăEuclidănh ănh tăch aăcácă hìnhă c uă c aă h ă th ănh tăvƠă c tă t tă c ă cácă hìnhă c uă c a h ăth ă hai”.ă BƠiă toánăFermatăậ Torricelliăchoăcácăhìnhăc uăEuclidăđ căphátăbi uănh ăsau:ă“ă Choă haiă h ă cácă hìnhă c uă Euclid.ă Hưyă tìmă m tă mă lƠmă c că ti uă t ngă kho ngăcáchăxaănh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ănh tăvƠăkho ngăcáchăg nă nh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ăhai”.ăCácă bƠiătoánăđóăđ cănghiênăc uă b ngăcôngăc ăgi iătíchăl iătrongă[3].ăăChínhăvìăv y,ătôiăch năđ ătƠiăă“BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLI CHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID ” N iădungăđ tƠi Lu năv nătrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăhƠmăl i,ăd iăviăphơnă hƠmăl iăvƠăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăduyănh tănghi m,ăđi uăki năt iă uăvƠă cáchăgi iăchoăăbƠiătoánăSylvesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăc aăN.ăM.ă Nam,ăN.ăHoangăvƠăN.ăT.ăAnăđ ngătrênăt păchíăJ.ăOptim.ăTheoryăAppl.ă160ă (2014)ăb ng ph ngăphápăgi iătíchăl i Lu năv năbaoăg măph năm ăđ u,ăhaiăch ng,ăk tălu năvƠădanhăm că cácătƠiăli uăthamăkh o Ch ngă1:ă“Cácăki năth căc ăb năvêăhƠmăl iăvƠăd iăviăphơnăhƠmăl i” TrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăt păl i,ănónăl i,ăhƠmăl iăvƠăcácăphép toánăv ăhƠmăl i,ăd Ch iăviăphơnăhƠmăl iăvƠăd iăviăphơnăc aăhƠmămax.ă ngă2:ă“ăBƠiătoánăSylesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uă Euclid” TrìnhăbƠyăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăvƠăduyănh tăănghi m,ăđi uăki nă t iă uăvƠăcáchăgi iăc aăNamăậ Hoang ậ Ană(2014)ăchoăbƠiătoánăSylesteră v iăcácăhìnhăc uăEuclidăvƠă bƠiătoánăFermată ậ Torricelliăv iăbaăhìnhăc uă Euclid.ăTr ngăh păquanătr ngăc aăbƠiătoánăSylesterăv iăbaăhìnhăc uăvƠă m iăquanăh ăv iăbƠiătoánăApolloniusăc ngăđ cătrìnhăbƠyătrongăch ngă nƠy Thang Long University Libraty Ch ngă1 CÁCăKI NăTH CăC ăB NăV ăHĨMăL IăVĨăD IăVIăPHỂNă HĨMăL I Ch ngă1ătrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăt păl i,ănónăl i,ăhƠmăl iăvƠă cácă phépătoánăv ă hƠmăl i,ăd iăviăphơnăc aă hƠmăl iăvƠă d max.ăCácăki năth cătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠyăđ iăviăphơnăc aă hƠmă căthamăkh oătrongă[1],ă[2] 1.1.ăăT PăL IăVĨăNịNăL I 1.1.1.ăT păl i Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính,ăRălƠăt păcác s ăth c nhăngh aă1.1 T pA  Xđ c g i l i, n u:  x1, x2  A,    R :      x1 + (1 -  ) x2  A Gi ăs A  X; x1, x2  A nhăngh aă1.2 o n n i x1, x2 đ c đ nh ngh a nh sau: [x1, x2] = { x  A : x =  x1 + (1 -  ) x2,    1} nhăngh aă1.3 Vect x  X đ i  ( i = 1, , m), c g i t h p l i c a vect x1, , xm  X , n u m m i 1 i 1  i = 1, cho x =  i xi Nh năxétă1.1 T păAălƠăl i,ăn u:ă  x1, x2  A  [x1, x2]  A Víăd ă1.1 Cácăn aăkhôngăgianălƠăcácăt păl i.ăCácătamăgiácăvƠăhìnhătrònătrongăm tă ph ngălƠăcácăt păl i.ăHìnhăc uăđ năv ătrongăkhôngăgianăBanachălƠăt păl iă M nhăđ ă1.1 Gi s A   X (   I) t p l i, v i I t p ch s b t k Khi đó, t p A= A   I c ng l i T ăđ nhăngh aă1.1ătaănh năđ căcácăm nhăđ ăsau: M nhăđ ă1.2 Gi s t p Ai  X l i, i  R ( i = 1, , m) Khi đó, 1 A1 + + 2 A2 t p l i M nhăđ ă1.3 Gi s Xi không gian n tính, t p Ai  Xi l i ( i = 1, , m) Khi đó, tích A1   Am t p l i X1   Xm M nhăđ ă1.4 Gi s X, Y không gian n tính, T : X  Y toán t n tính Khi a) A  X l i  T(A) l i; b) B  Y l i  Ngh ch nh T –1(B) c a B t p l i nhălýă1.1 Gi s t p A  X l i; x1, , xm  A Khi đó, A ch a t t c t h p l i c a x1, , xm 1.1.2.ăăNónăl i Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính nhăngh aă1.4 T pK  Xđ c g i nón có đ nh t i , n u: Thang Long University Libraty  x  K,  > Kđ   x  K c g i nón có đ nh t i x0, n u K – x0 nón có đ nh t i nhăngh aă1.5 Nón K có đ nh t i đ c g i nón l i, n u K m t t p l i, có ngh a là:  x, y  K ,  ,  >   x +  y  K Víăd ă1.2 Cácăt păsauăđơyătrongăRn : {( 1 , ,  n )  Rn : i  0, i = 1, , n}, {( 1 , ,  n )  Rn : i > 0, i = 1, , n} lƠăcácănónăl iăcóăđ nhăt iă0.ă M nhăđ ă1.5 Gi s Khi đó,  I K (   I ) nón l i có đ nh t i x0 v i I t p ch s b t k K nón l i có đ nh t i x0 Víăd ă1.3 n X = Rn , b  R (   I ).ăKhiăđó: K = { x  Rn : < x , b >  0,   I } lƠăm tănónăl iăb iăvìăKă=ăă  I K ,ătrongăđó:ăăăăăăăăăăăăăă K = { x  Rn : < x , b >  0} lƠănónăl i nhălýă1.2 T p K  X m t nón l i có đ nh t i ch khi:  x, y  K,  >  x + y  K,  x  K Ch ngăminh a)ăGi ăs ăKălƠănónăl i.ăKhiăđó,ădoăKălƠăt păl i,ătaăcó: z= (x + y)  K DoăKălƠănónăcóăđ nhăt iă0,ătaăl iăcó: x + y = 2z  K b)ăNg căl i,ăv iă  x  K,  >ă0ătaăcóă  x  K,ăv yăKălƠăm tănónăcóăđ nhăt iă 0.ăV iă0ă ng c a m  x K i 1 i i H ăqu ă1.2 Gi s A t p b t k X, K t p t t c t h p n tính d ng c a A Khi đó, K nón l i nh nh t ch a A nhăngh aă1.6 T ng giao c a t t c nón l i (có đ nh t i 0) ch a t p A m m t nón l i đ c g i nón l i sinh b i A, ký hi u KA nhăngh aă1.7 T ng giao c a t t c không gian n tính ch a t p A đ c g i bao n tính c a t p A, ký hi u lin A Nh năxétă1.2 lin A = KA - KA M nhăđ ă1.7 a) KA = KconvA , b) N u A t p l i : Thang Long University Libraty V iăb tăk ăuă  ,ăkíăhi u: A(u) := {i  {1, 2, 3} | u  i } M nhăđ ă2.12 Gi s |A(x*)| = Khi x* m t nghi m t i u c a (2.13) n u ch n u x* nghi m c a toán Fermat – Torricelli sinh b i tâm c a hình c u: b1, b2, b3 Ch ngăminh Gi s r ng |A(x*)|ă=ă0ăvƠăx* lƠăm t nghi m t iă uăc aă(14).ăKhiăđóăx*  i v i i = 1, 2, Ch n  > cho cácăđi u ki năsauăđơyăđúngăv i m i x   i 1 x*  bi -  si = inf2 i 1 xR i =  v iăiă=ă1,ă2,ă3.ăKhiăđóă (x*;  ) (x) = (x*;  ): (x*)  (x) =  i 1 x  bi - s i 1 i Nh ăv y,ăx* lƠăc căti uăc aăbƠiătoán Min (x) :=  i 1 x  bi , x Vìăth ănóăc ngălƠăc căti uătoánăc căc aăbƠiătoánăđóăb iăvìă lƠăm tăhƠmăl i.ăDoă đó,ă x* lƠă nghi mă c aă Fermată ậ Torricelliăsinhăb iăb1, b2, b3.ă i uăng că l iăd ă dƠngăch ngăminh.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă B ăđ ă2.1 Gi s S t p nghi m c a (2.13) Gi s t n t i x*  S cho A(x*) =  Khi S t p m t m, c th S = {x*} Ch ngăminh Gi ăs ăA(x*) =  ,ăăvƠăt năt iăy*  Săv iăx*  y*.ăăB iăvìăA(x*) =  , ta cóăx*  i v iăiă=ă1,ă2,ă3.ăKhiăđóăx * lƠănghi măc aăbƠiătoánăFermatăậ Torricelli sinhăb iătơmăc aăcácăhìnhăc uăb1, b2 vƠăb3 ăB iăvìăSălƠăl iă,ătaăcóă[x*, y*]  S 53 Thang Long University Libraty Nh ăv y,ăcóăth ătìmăđ căz*  x* , z*  S,ăvƠăăz*  i v iăiă=ă1,ă2,ă3.ăKhiăđóăz* c ngălƠănghi măc aăbƠiătoánăFermată ậ Torricelliăsinhăb iăcácătơmăc aăcácăhìnhă c u.ă i uănƠyălƠămơuăthu năb iăvìăbƠiătoánănƠyăcóănghi măduyănh t.ăăăăă B ăđ ă2.2 V i b t k  > 0, a, b  E := {x  2 v i a  b, xét t p h p: | ||x – a|| + ||x – b|| =  } Gi s r ng||a – b|| <  V i x, y  E x  y, ta có x y a + x y b <  , x y  E nói riêng, Ch ngăminh Taăcó: x y x y a +  b = (||x ậ a + y ậ a|| + ||x ậ b + y ậ b||) 2  Gi ăs ăng (||x ậ a|| + ||y ậ a|| + ||x ậ b|| + ||y ậ b||) =  căl i: x y x y a + b =  2 i uănƠyăngh aălƠă (2.14) x y  E.ăDoăm tătínhăch tăc aăchu năEuclid,ătaăcó: x ậ a = k(y ậ a) vƠăxăậ b = m(y ậ b), v iăcácăs ăk,ămănƠoăđóătrongă(0,  ) \ {1}ăb iăvìăxă  y.ă i uănƠyăkéoătheo: a= 1 k m x xy  L(x,ăy)ăăăvƠăăăăbă=ă y  L(x, y) 1 k 1 m 1 k 1 m B iăvìă  > ||a ậ b||,ăd ăch ăraăr ngăx,ăyă  L(x, y) \ [a,ăb].ăTaăc ngăcóă 54 x y  [a,ăb].ăTh tăv y,ăgi ăs ăch ngăh n,ăth ăt ăcácăđi mălƠ:ăx,ă x y ,ăa,ăb,ăy.ăKhiăđó: x y x y a +  b < ||x ậ a|| + ||x ậ b|| =  2 i uănƠyămơuăthu năv iă(2.14).ăVìă x y  [a,ăb],ătaăcó: x y x y a +  b = ||a ậ b|| <  2 ơyălƠăm tămơuăthu n.ăTaăđưăch ngăminhăđ Nh ăv y,ă căr ngăă x y x y a + b <  2 x y  E Gi ăs ă  lƠăm tăt păconăc aă n ăTaănóiăr ngă  lƠăl iăch tăn uăv iăm iăx,ă y  v iăxă  yăvƠăv iăb tăk ătă  (0, 1),ătaăcóătxă+ă(1ăậ t)y  int  Trong B ăđ ă 2.2,ăt p:ă E := {x  | ||x ậ a|| + ||x ậ b||   } lƠăl iăch t.ă B ăđ ă2.3 Gi s S t p ngh m c a (2.13) Gi s r ng t n t i x*  S cho A(x*) = {i} x*  [bj, bk], i, j, k ch s phân bi t {1, 2, 3} Khi S m t t p m t m, c th S = {x*} Ch ngăminh Gi ăs ăr ngăA(x*)ă=ă{1}.ăKhiăđóăx*  1 , x*   , x*  3 vƠăx*  [b2, b3] Gi ăs : 55 Thang Long University Libraty  := ||x* - b2|| + ||x* - b3|| = inf xR2 (x) + s2 + s3 Khiăđóă  > ||b2 ậ b3||.ăKíăhi u: E := { x  RõărƠng, x*  E | ||x ậ b2|| + ||x ậ b3|| =  } 1 Gi ăs ăng căl iăr ngăSăkhôngălƠăt păm tăđi m.ăKhiă đóăt năt i y*  SăvƠăy*  x* B iăvìăSălƠăl i,ă [x* , y*]  S.ăTaăcóăth ăch năz*  [x* , y*]ăđ ăchoănóălƠăđ ăg năvƠăphơnăbi tăv iăx * cho [x* , z*] [x* , z*] 3 =  ăTr  =  vƠă căh tătaăch ăraăz*  1 ăTh tăv y,ăgi ăs ăz*  1 Khiăđóă D(z* ; 1 )ă=ă0,ăvƠăvìăth : (z*) = inf xR2 (x) = D(z* ;  ) + D(z* ; 3 ) = ||z* - b2|| - s2 + ||z* - b3|| - s3 i uă đóă kéoă theoă z*  E B iă vìă Să vƠă 1 lƠă l i,ă x*  z*  S 1 ă H nă n a,ă x*  z* x z x z   vƠă * *  3 ăTaăl iăcóă * *  E.ă i uănƠyăkhôngăth ăx yăraă 2 theoăB ăđ ă2.2.ăTaăđưăch ăraăr ngăz*  SăvƠăA(z*) =  ă i uăđóămơuăthu năv iă B ăđ ă2.1 Doăđó,ăSăph iălƠăt păm tăđi m.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă B ăđ ă2.4 Gi s S t p nghi m c a (2.13) Gi s x*  S A(x*) = {i, j}  {1, 2, 3} Khi x*  bd( i  j ) Ch ngăminh Gi ăs ăA(x*)ă=ă{1,ă2}.ăKhiăđóăx*  1 2 vƠăx*  3 ăGi ăs ăng x* inf( 1 2 ).ăKhiăđóăt n t i  > v i (x* ; 3 ) vƠ  := ||x* - p|| > Gi s ậ p|| < ||x* - p|| = D(x* ; 3 ).ăKhiăđó: 56 căl iă (x* ;  )  1 2 Gi s p := q  [x* , p] (x* ;  )ăăth aămưnă||qă (q) =  D ( q;  ) = D(q; 3 )  ||q ậ p|| < ||x* - p|| = D(x* ; 3 ) i i 1 =  D( x ;  ) * i 1 i = (x*) ơyălƠămơuăthu năv iăs ăki n x*  S nhălýă2.3 Gi s i1 i =  Khi (2.13) có nhi u h n m t nghi m n u ch n u tòn t i m t t p [bi , bj]  k , v i ch s phân bi t i, j, k  {1, 2, 3}, mà ch a m t m u thu c ph n c a  k |A(u)| = Ch ngăminh Gi ăs ă[b1 , b2]ăch aăm tăđi măuămƠăthu căvƠoăph nătrongăc aă 3 vƠă|A(u)|ă=ă1.ă Khiăđóăuă  1 vƠăuă   ăTaăcóăth ăch năvă  u, v  [b1 , b2], v  1 , v   vƠăvă  int 3 ăKhiăđóă|A(v)|ă=ă1.ăTr bƠiătoán.ăTh tăv y,ătrongătr căh tătaăch ngăminhăuălƠăm tănghi măc aă ngăh pănƠy,ă (u) = D(u ; 1 ) + D(u ;  ) + D(u ; 3 ) = ||b1 ậ b2|| - s1 ậ s2 (u ;  ) Ch n  > cho  3 V i m i x  1 =  vƠă (u ;  )  =  vƠă (u ;  ) (u ;  )ă,ătaăcó:ă (x) = D(x ;  ) + D(x ; 3 ) = ||x ậ b1|| + ||x ậ b2|| - s1 ậ s2  ||b1 ậ b2|| -s1 ậ s2 = (u) i uănƠyăkéoătheoăuălƠăc căti uăđ aăph ngăc aă ti uătoƠnăc căb iăvìă (u)ălƠăl i.ăM tălýălu năt Vìăv yănóăc ngălƠăm tăc că ngăđ ngăcóăth ăápăd ngăv iăv.ă Khiăđóău,ăvă S Bơyăgi ătaăgi ăs ăSăcóănhi uăh năm tăph năt ăGi ăs ăx * , y* lƠăhaiăph nă 57 Thang Long University Libraty t ă riêngă bi tă c aă S.ă Khiă đóă [x* , y*]  Să theoă m nhă đ ă 2.11.ă N uă t nă t iă m tă nghi mămƠăkhôngăthu căvƠoă i v iăm iăiă  {1,ă2,ă3},ăthì Săquiăv ăm tăt păm tă m,ăđi uăđó lƠămơuăthu n.ăTaăcóăth ăgi ăs ăr ngă 1 ch aăvôăh nănghi m.ăKhiă đóă int 1 c ngă ch aă vôă h nă nghi mă doă tínhă l iă ch tă c aă 1 N uă t nă t iă m tă nghi măuănh ăv yăv iăA(u)ă=ă{1}ăthì u  int 1 vƠ u khôngăthu căvƠoă 2 , 3 Nh ăv y,ăuă  [b2, b3],ăb iăvì,ăn uăkhông,ănghi m đóăph iăduyănh tădoăb ăđ ă2.3 Doăđó,ăk tălu năđúng.ăGi ăs ă|A(u)|ă=ă2ăv iăm iănghi mămƠăthu căvƠoăint 1 Khi đóăcóăvôăh nănghi măn m trongăt ngăgiaoăc aăhaiăt p, lƠăl iăch tătrongătr h pănƠy.ăVìăv yăcóăm tănghi mă mƠă thu că vƠoăph nătrongăc aăt ngă ngăgiaoănƠy, uăđóălƠămơuăthu nădoăB ăđ ă2.4 Víăd ă2.1.ăTrongăhìnhă11,ăchoăbƠiătoánăFermată ậ Torricelliăsuyăr ngăcóăvôăh nă nghi măb iăvìă [b1, b2]ăc tăph nătrongăc aă 3 ,ăvƠă|A(u)|ă=ă1ăv iăm iăuă  (B, C) Th tăv y,ăt pănghi mălƠăSă=ă[B,ăC] b3 B C b1 b2 Hìnhă11.ăăăM tăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăsuyăr ngăv iăvôăh nănghi m Gi ăs ăVk := [bi , bj] int  k v iăcácăch ăs ăphơnăbi tăi,ăj,ăkă  {1, 2, 3} 58 Nh ăm tăh ăqu ătr căti păc aăđ nhălýă2.3,ătaăcóăh ăqu ăsau: H ăqu ă2.1 Gi ăs ăă i1 i =  Khiăđóă(2.13)ăcóănghi măduyănh tăn uăvƠăch ă n uăsuyălu năsauălƠăđúngăv iăb tăk ăkă  {1, 2, 3}: [Vk   ] H ăqu ăd  i đơyăchoătaăđi uăki năđ ăđ ă(2.13)ăcóănghi măduyănh t H ăqu ă2.2 Gi ăs ăă [bi , bj] [|A(u)|ă=ă2ăv iăm iăuă  Vk] i1 i =  ăKhiăđóă(2.13)ăcóăm tănghi măduyănh tăn uă  k ch aănhi u nh tăm tăđi măv iăcácăch ăs ăphơnăbi tăi,ăj,ăkă  {1, 2, 3} Ch ngăminh Gi ăs ăng căl iă(2.13)ăcóănhi uăh năm tănghi m.ăDoăđ nhălýătr c,ăt nă t iăm tăkho ng,ăch ngăh nă[b1 , b2],ămƠănóăch a m tăđi măthu căph nătrongăc aă 3 ăKhiăđóă[b1, b2] 3 ch aăvôăh năđi m,ăđi uăđóălƠăm tămơuăthu n.ăăă 2.3.2 Xơyăd ng nghi m Trongă ă m că nƠy,ă chúngă taă trìnhă bƠyă m tă ph ngă phápă xơyă d ngă nghi mă c aă (2.13)ăv iăbaăhìnhăc uă i , i  J = {1, 2, 3} M nhăđ ă2.13 M t ph n t x* m t nghi m t i u c a (2.13) n u ch n u: -  iJ \ A( x* ) ei := ei   iA( x* ) [N ( x* ; i ) B] , (2.15) x*  bi x*  bi Ch ngăminh Theoăcôngăth căd iăviăphơnăFermată(3)ăvƠăcôngăth căd 59 iăviăphơnă(5),ăx * Thang Long University Libraty lƠăm t nghi măt iă uăc aă(2.13)ăn uăvƠăch ăn u: 0   D( x ;  ) =  (x*) = * iJ Khiăđóăk tălu năđ i iJ \ A( x* ) D( x* ; i ) +  iA( x* ) D( x* ; i ) căsuyăraăt ăk tăqu ăc aăm nhăđ ă2.1 M nhăđ ă2.14 Xét (2.13) Gi s r ng i1 i   Khi đó: i S= i1 Ch ngăminh C ăđ nhăx*  i1 i   ăKhiăđóă inf2 xR Ng (x*)ă=ă0,ăvƠăvìăv yăx*  Săb iăvìă (x)  căl i,ăv iăb tăk ăxă  S,ătaăcóă (x)  (x*)ă=ă0.ăNh ăv y,ăD(xă;ă i ) = 0, v iăiă=ă1,ă2,ă3.ă i uănƠyăkéoătheoăxă  i v iăiă=ă1,ă2,ă3,ăho căt i1 ngăđ ngăxă  i   T ăđơyătaăch ăxétătr ngăh pă i1  j =  ăKhiăđóă|A(x*)|ă[...]... uă bƠiă toán Fermat ậ Torricelli suyăr ngănh ăsau: Cho haiăh ăh uăh n các hình c u Euclid, ă tìmăm tăđi mălƠmăc căti uăt ngăkho ngăcáchăxaănh tăđ n các hình c uăc aăh ăth ă nh tăvƠăkho ngăcáchăg nănh tăđ n các hình c uăc aăh ăth ăhai Taăb tăđ uăm cănƠyăv i các côngăth căđ năgi năđ ătínhăkho ngăcáchăđ nă hình c u Euclid trongă n c ngănh ăd iăviăphơn M nhăđ ă2.1 Gi s  = (c; r), trong đó c  n và r ... 2.2.ăăăBĨIăTOÁN SYLVESTER CHO HỊNHăC U EUCLID 2.2.1.ăS ăt năt i,ăduyănh tănghi măvƠăđi uăki năt iă u Trongă ch ngă nƠyă chúngă taă nghiênă c uă bƠiă toán Sylvester suyă r ngă vƠă 29 Thang Long University Libraty m iăquanăh ăc aănóăv iăbƠi toán Apollonius: Cho haiăh ăh uăh n các hình c uă Euclid, ăhưyătìmăm t hình c u Euclid nh ănh tăch a các hình c uăc aăh ăth ănh tă vƠă c tă t tă c ă các hình c uă... i i  I N u x là nghi m t i u c a (2.1), thì t n t i các t p ch s I1  I và J1  J v i 1 < |I1| + |J 1|  n + 1 sao cho x là nghi m c a bài toán Sylvester suy r ng v i t p m c tiêu i , i  I1, và  j , j  J 1 2.2.2.ăăBƠi toán Sylvester suyăr ngăba hình c u Trongăph nănƠy,ăchúngătaănghiênăc uăbƠi toán Sylvester suyăr ng cho tr ngăh pă ba hình c u Euclid trongăkhôngăgianăhaiăchi u.ăT ăm nhăđ ă2.2,ătaăth... VìăgălƠăhƠmăl i, cho nênăgăchínhăquyăt iă h  x (đ nhălíă2.3(ii) [2]).ăKhiăđóă(1.13) cóăd uăb ngăvƠăăf chínhăquyăt iă x 27 Thang Long University Libraty Ch ngă2 BĨIăTOÁN SYLVESTER VĨăBĨIăTOÁN FERMAT ậ TORRICELLI CHO HỊNHăC U EUCLID Ch ngă2ătrìnhăbƠy các k tăqu ănghiênăc uăm iăc aăN M Nam, N Hoang, N.ăT.ăAnă(ă[3],ă2014ă)ăv ăs ăt năt iăvƠăduyănh tănghi m,ăđi uăki năt iă uăvƠăcáchă gi iă cho bƠiă toán Sylvester ... c ngănóiăr ngăhai hình c uăgiaoăch tăn uăchúngăc tăt iănhi uăh năm tăđi m,ăvƠă giaoăti păxúcăn uăchúngăc tăt iăđúngăm tăđi m Bài toán ba hình c u: Mô hình I Mô hình th ănh tăchúngătaănghiênăc uătrongă ph nănƠyăđ căphátăbi uănh ăsau: cho ba hình c uătùyăýă i = (ai ; ri)ăăv iăiă=ă1,ă 2,ă3ătrongăm tăph ng Euclid, ăhưyă d ng hình c uănh ănh tăch aăđ hình c uăđư cho. ăTrongătr căt tăc các ngăh pănƠy,ăIă=ă{1,ă2,ă3},ăJă=ă... Sylvester vƠă bƠiă toán Fermat ậ Torricelli v iă các hình c uă Euclid b ngăcôngăc ăd iăviăphơnăhƠmăl i.ăTr toán Sylvester v iăba hình c uăc ngăđ qu ătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠyăđ 2.1.ăKHÁIăNI MăVĨă ngăh păriêngăquanătr ngăc aăbƠi cătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠy. Các k tă căthamăkh oătrongă[3]ăậ [6] NHăNGH A Gi ăs ăIăvƠăJălƠăhaiăt păch ăs ăh uăh năsao cho |I| + |J| > 1,ătrongăđóă|I|ălƠă lƠ hình c uăđ năv... I,  j := đ (bj; sj) (sj  0)ăv iăjă  J, lƠăhaiăt păh các hình c uăđóngătrong n cătrangăb ăchu nă||ă.ă||ă V iăm tăt păl iăđóngăb ăch năQ,ăhƠmăkho ngăcáchăxaănh tăvƠăhƠmăkho ngă cáchăđ năQăđ c cho b i: M (x; Q) := sup {||x ậ q|| | q  Q}, vƠă D (x; Q) := inf {||x ậ q|| | q  Q} BƠi toán Sylvester suyăr ng cho các hình c uăEuclideanăquiăv ă bƠi toán t iă uă sauăđơy: min (x) := max { trongăđó 28 (x),... nhăđ ă2.2,ătaăth yăr ngăđơyă lƠătr ngăh păquanătr ngănh tăb iăvìănóăcóăth ăquiăv ăbƠi toán baoăhƠmăm tăs ă l n các hình c uăquiăt ăbƠi toán đóăv ăbƠi toán ba hình c uăho căítăh n.ăQuan sát nƠy đ că s ă d ngă nh ă m tă ýă t ng chính cho nhi uă thu tă gi iă đ ă gi iă các bƠiă toán hình c uăc căti uăc ăđi n V iăhai hình c u (a;ăr)ăvƠă (b; s), taănóiăr ng n u (b; s)  xúcă (b; s) n u (a;ăr)ăch aăng t... u nóăc tăt tăc các hình c u.ăH năn a,ătrongătr h păIă=ă  đưăđ đ nhălýăd căxétătrongă[18].ăNh ăv y,ătaălo iăb ăđ cătr ngă ngăh pănƠyătrongă iăđơy nhălýă2.2 Gi s r ng I   v i ri > 0 v i m i i  I M t ph n t x là nghi m t i u c a (2.1) n u và ch n u m t trong các đi u ki n sau đây đúng: (i) ( x ), trùng v i k hình c u trong các i v i i  I, k  1, ( x ; r), r = ( x ; r) ch a các hình c u khác trong... k x  D(x;  ) = đ và M(x;  ) = ||x – c|| + r ò H n n a, x D( x ;  ) = x đ x và  M( x ;  ) = x x V ib tk x n , ta kí hi u: K(x) := {i  I | M(x;  i) = (x)} và L(x) := {j  J | D(x;  j ) = 30 (x)} ò n , ta có: T p các ch s tích c c A(x) đ ràng v i m i x  n c cho b i h p r i nhau A(x) = K(x) L(x) Rõ , ta có 1  |A(x)|  |I| + |J| nh lý sau đây thi t l p đi u ki n c n và đ cho tính duy nh t c