BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC THÀNH TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA MIỀN HARTOGS BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC THÀNH TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA MIỀN HARTOGS BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2015 i Lời cám ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Tài Thu Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Ngọc Thành ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Lê Tài Thu Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Ngọc Thành Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy taut 1.1.1 Giả khoảng cách kobayashi 1.1.2 Không gian hyperbolic 1.1.3 Không gian hyperbolic đầy 1.1.4 Không gian Taut 1.2 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi 10 1.2.1 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi đa tạp 10 1.2.2 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 12 1.3 Hàm điều hòa đa điều hòa 12 1.3.1 Hàm điều hòa 12 1.3.2 Hàm đa điều hòa 13 1.4 Tập đa cực 14 1.4.1 Định nghĩa tập đa cực 14 1.4.2 Các tính chất tập đa cực 15 1.5 Miền Hartogs Ωϕ (X) iii 15 iv Chương Tính taut yếu siêu lồi miền Hartogs Banach 16 2.1 Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy Taut không gian phức 17 2.2 Tính taut, siêu lồi miền Hartogs 21 2.2.1 Giả mêtric Sibony không gian tiếp xúc 21 2.2.2 Tính hyperbolic taut không gian phức 23 2.2.3 Tính taut tính siêu lồi miền Hartogs 28 2.3 Tính taut yếu tính siêu lồi miền Hartogs Banach 30 2.3.1 Tính taut yếu miền Hartogs Banach 30 2.3.2 Tính siêu lồi miền Hartogs Banach 39 KẾT LUẬN 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ 20, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic Trong năm gần đây, lý thuyết tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tất ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức Theo quan điểm A Weil, S Lang P Vojta, toán sau có liên quan mật thiết với hình học đại số hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số Một hướng nghiên cứu giải tích phức hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học miền Miền Hartogs nghiên cứu từ lâu giải tích phức Nhiều tính chất đẹp đẽ phương diện giải tích lẫn hình học miền Hartogs chứng minh Trong năm gần đây, miền Hartogs tiếp tục quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Việc nghiên cứu tính chất hình học miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều góc độ giải tích phức hyperbolic, đặc biệt tính hyperbolic đầy khảo sát tương đối chi tiết Tuy nhiên việc khảo sát cách hệ thống tính chất hình học miền Hartogs không gian giải tích Banach chiều vô hạn quan tâm Ta thấy xuất khó khăn lớn mặt kỹ thuật chuyển từ việc nghiên cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô hạn chiều Chẳng hạn miền Hartogs không gian giải tích Banach ta tính compact địa phương không xây dựng khái niệm taut theo kiểu Wu cho lớp miền Với lý trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu tính chất hình học miền Hartogs không gian giải tích Banach Trong đó, tập trung nghiên cứu tính taut tính siêu lồi Với tên đề tài là: “Tính taut yếu siêu lồi miền Hartogs Banach” Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính taut tính siêu lồi miền Hartogs không gian phức sau mở rộng số kết sang không gian giải tích Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy không gian phức Nghiên cứu tính taut tính siêu lồi miền Hartogs không gian phức Nghiên cứu tính taut yếu tính siêu lồi miền Hartogs không gian gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính taut tính siêu lồi miền Hartogs không gian phức Tính taut yếu tính siêu lồi miền Hartogs không gian Banach Phạm vi nghiên cứu miền Hartogs không gian phức miền Hartogs không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp nghiên cứu giải tích Thu thập, tổng hợp báo, công trình nghiên cứu nước Dự kiến kết nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính taut tính siêu lồi miền Hartogs không gian phức 31 Trong trường hợp X vô hạn chiều định lý Kobayashi không nữa, không gian Banach vô hạn chiều tính compact địa phương Vì không gian Banach tính compact địa phương, nên không xây dựng khái niệm taut theo kiểu Wu cho lớp miền Sau đây, mở rộng khái niệm taut sang không gian Banach gọi taut yếu Định nghĩa 2.8 Không gian Banach X gọi taut yếu với dãy fn ⊂ Hol(D, X) thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Tồn dãy {fnk } hội tụ Hol(D, X); ii) Tồn tập rời rạc S D dãy {fnk } cho {fnk |D\S } phân kỳ compact, tức với tập compact K D§và tập compact L Y, tồn k0 ∈ N cho fnk (K) ∩ L = ∅ với k ≥ k0 Định nghĩa 2.9 Giả sử ϕ hàm nửa liên tục trên không gian Banach X Miền Ωϕ (X) xác định bởi: Ωϕ (X) = {(z, λ) ∈ X × C : |λ| < e−ϕ(z) } ⊂ X × C gọi miền Hartogs Banach Sau đây, mở rộng kết Eastwood [3] sang trường hợp không gian Banach Bổ đề Giả sử θ : X → Y ánh xạ chỉnh hình không gian Banach Nếu Y hyperbolic (hyperbolic đầy) với y ∈ Y tồn lân cận V y cho θ−1 (V ) hyperbolic (hyperbolic đầy), 32 X hyperbolic (hyperbolic đầy) Chứng minh Với z ∈ X, đặt θz = w Bởi giả thiết, tìm lân cận V w cho θ−1 (V ) hyperbolic Mặt khác, từ dY xác định tô pô Y, nên tồn lân cận W w cho dY (W, ∂V ) > Giả sử lân cận W có dạng W = U (w, r) = {w ∈ Y : dY (w, w) < r} Đặt W = U (w, r/2) Khi tồn c, s > cho: (∗) dX (p, q) ≥ min{s, cdθ−1 (W ) (p, q)} với p, q ∈ θ−1 (W ) Thật vậy, xét dây chuyền chỉnh hình γ nối p q tập hợp {a1 , a2 , , ak ∈ D; f1 , f2 , , fk ∈ Hol (D, X)} cho f1 (0) = p, fi (ai ) = fi+1 (0) ; fk (ak ) = q Khi có hai trường hợp sau: Trường hợp Tồn j ∈ {1, , k} cho fj (aj ) ∈ / θ−1 (W ) Khi k k dD (0, ) ≥ i=1 dX (fi (0), fi (ai )) i=1 j ≥ dY (θfi (0), θfi (ai )) i=1 ≥ dY (θf1 (0), θfj (aj )) ≥ dY (θfj (aj ), w) − dY (θf1 (0), w) ≥ r − r/2 = r/2 Trường hợp Tồn j ∈ {1, , k} cho fj (aj ) ∈ θ−1 (W ) 33 Khi θfj (aj ) ∈ W với j = 1, , k Mặt khác θfj (0) ∈ W với j = 1, , k, tồn δ > cho θfj (Dδ ) ⊂ W với j = 1, , k Nếu tồn j ∈ 1, , k cho aj ∈ / Dδ/2 , k dD (0, ) ≥ dD (0, δ/2) i=1 Giả sử aj ∈ Dδ/2 với j ∈ 1, , k Dễ thấy tồn c > cho dD (z, w) ≥ cdDδ (z, w) với z, w ∈ ∆δ/2 Vì k k dD (0, ) ≥ c i=1 dDδ (0, ) i=1 k ≥c dθ−1 (W) (fi (0), fi (ai )) i=1 ≥ cdθ−1 (W) (p, q) Vậy (*) chứng minh Bây giờ, chứng minh X hyperbolic Trước hết, chứng minh dX khoảng cách X Cho z, z ∈ X, z = z +) Nếu θz = θz dX (z, z) ≥ dY (θz, θz) > +) Nếu θz = θz = w theo giả thiết tồn lân cận V w cho θ−1 (V ) hyperbolic Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w, r) ⊂ V Do θ−1 (W ) không gian θ−1 (V ) nên θ−1 (W ) hyperbolic Vì vậy, theo (*) ta có:dX (z, z) > Điều chứng tỏ X hyperbolic 34 Bây giờ, chứng tỏ dX xác định tô pô X Giả sử {zn } ⊂ X dX (zn , z0 ) → ∈ X Do Y hyperbolic dY (θzn , θz0 ) ≤ dX (zn , z0 ) nên dãy {θzn } hội tụ tới θz0 Đặt θz0 = w0 theo giả thiết, tồn lân cận V w0 cho θ−1 (V ) hyperbolic Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w0 , r) ⊂ V Đặt W = U (w0 , r/2) Không giảm tính tổng quát, giả sử θ−1 (W ) với n ≥ Do dX (zn , z0 ) → nên tồn n0 ≥ cho dX (zn , z0 ) < s với n > n0 Theo bất đẳng thức (*) ta có dθ−1 (W) (zn , z0 ) → zn → z0 Điều có nghĩa dX xác định tô pô X Cuối cùng, chứng minh X hyperbolic đầy Giả sử {zn } dãy Cauchy X Bởi tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi nên θzn dãy Cauchy Y Do giả thiết Y hyperbolic đầy nên dãy {θzn } hội tụ Y Giả sử {θzn } → w0 ∈ Y Theo giả thiết, tồn lân cận V w0 cho θ−1 (V ) hyperbolic đầy Chọn r đủ nhỏ cho W = U (w0 , r) ⊂ V Không tính tổng quát ta giả sử zn ∈ θ−1 (W ) với n ≥ 1, W = U (w0 , r/2) Vì {zn } dãy Cauchy nên tồn n0 ≥ cho dX (zm , zn ) < s với m, n > n0 Theo bất đẳng thức (*), ta suy dX (zm , zn ) ≥ cdθ−1 (W) (zm , zn ) ≥ cdθ−1 (V) (zm , zn ) với m, n > n0 Điều kéo theo {zn } dãy Cauchy không gian hyperbolic đầy θ−1 (W ) dãy {zn } hội tụ X Vậy X không gian hyperbolic đầy Định lý 2.18 Giả sử X không gian Banach, ϕ : X → [−∞, ∞) 35 hàm nửa liên tục Khi Ωϕ (X) hyperbolic X hyperbolic ϕ bị chặn địa phương X Chứng minh (⇒) Giả sử Ωϕ (X) hyperbolic Do X đẳng cấu với không gian Banach đóng Ωϕ (X) nên X không gian Banach hyperbolic Bây giờ, cần chứng tỏ ϕ bị chặn địa phương X Giả sử ngược lại, tồn z0 ∈ X dãy {zk } hội tụ tới z0 cho ϕ (zk ) → −∞ Cố định (z0 , w0 ) ∈ Ωϕ (X) , w0 = Không tính tổng quát, giả sử |w0 | < e−ϕ(zk ) , ∀k ≥ Khi có: dΩϕ (X) ((z0 , 0), (z0 , w0 )) ≤ dΩϕ (X) ((z0 , 0), (zk , 0)) + dΩϕ (X) ((zk , 0), (zk , w0 )) + dΩϕ (X) ((zk , w0 ), (z0 , w0 )) ≤ dX (z0 , zk ) + dDk (0, w0 ) + dΩϕ (X) ((zk , w0 ), (z0 , w0 )), ∀k ≥ Dk = {z ∈: |z| < e−ϕ(zk ) } Cho k tiến +∞, thu dΩϕ (X) ((z0 , 0), (z0 , w0 )) = Điều mâu thuẫn với tính hyperbolic Ωϕ (X) (⇐) Ngược lại, giả sử X hyperbolic ϕ bị chặn địa phương X Xét phép chiếu π : Ωϕ (X) → X cho π (z, w) = z Do X hyperbolic nên tồn lân cận hyperbolic U z0 rong X cho R = inf ϕ(z) > −∞ Khi z∈U 36 π −1 (U ) = Ωϕ (U ) ⊂ U × {w : |w| < e−R } hyperbolic Theo bổ đề trên, có Ωϕ (X) hyperbolic Định lý 2.19 Giả sử X không gian Banach, ϕ : X → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên X Nếu Ωϕ (X) hyperbolic đầy, X hyperbolic ϕ hàm liên tục, nhận giá trị thực X Chứng minh Do X đẳng cấu với không gian Banach đóng Ωϕ (X) nên X không gian Banach hyperbolic đầy Theo định lý 2.18, ϕ nhận giá trị thực Bây ϕ liên tục X Giả sử ngược lại ϕ không liên tục z0 ∈ X Do ϕ nửa liên tục trên X nên tìm dãy {zk } ⊂ X hội tụ tới z0 cho e−ϕ(z0 ) < r < e−ϕ(zk ) với k ≥ Giả sử λ0 = e−ϕ(z0 ) r , tức |rλ0 | = e−ϕ(z0 ) Vì (z0 , rλ0 ) ∈ / Ωϕ (X) Xét ánh xạ chỉnh hình θ : B(z0 , δ) → Ωϕ (X), cho θ(z) = (z, rλ0 ) Với k ≥ |rλ0 | = e−ϕ(z0 ) < e−ϕ(zk ) , điều suy (zk , rλ0 ) ∈ Ωϕ (X) Khi dΩϕ (X) ((zk , rλ0 ), (zj , rλ0 )) = dΩϕ (X) (θ(zk ), θ(zj )) ≤ dB(z0 ,δ) (zk , zj ) ≤ dB(z0 ,δ) (zk , z0 ) + dB(z0 ,δ) (z0 , zj ) 37 Do {(zk , rλ0 )} dãy Cauchy miền Hartogs Banach đầy Ωϕ (X) {(zk , rλ0 )} hội tụ tới (z0 , rλ0 ) ∈ / Ωϕ (X) Điều vô lý Vậy ϕ liên tục Chú ý 2.3 Điều ngược lại định lý 2.19 không Thật vậy, tồn hàm đa điều hòa liên tục ϕ không = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | < R, |z2 | < R} với R > 0, gian hyperbolic đầy DR ) không hyperbolic đầy Cụ thể sau: Ωϕ (DR Theo M Jarnicki P Pflug (xem [7]) xây dựng hàm g logarit – đa điều hòa (tức logg ∈ PSH( C2 )), liên tục C2 Ngoài ra, z ∈ C2 : g(z) < bị chặn có thành phần liên thông Z cho Z không hyperbolic đầy Khi ta chọn R > cho z ∈ C2 : g(z) < ⊂ DR Xét miền Hartogs Ωϕ (DR ), ϕ = logg Do |1| < g(z) = e− log g(z) = e−ϕ(z) 2 nên {(z, 1) : z ∈ Z} ⊂ Ωϕ (DR ), Ωϕ (DR ) không hyperbolic đầy Định lý 2.20 Giả sử X không gian Banach, ϕ : X → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên X Khi Ωϕ (X) taut yếu X taut yếu ϕ đa điều hòa liên tục Chứng minh (⇒)Giả sử Ωϕ (X) taut yếu, X đẳng cấu với không gian giải tích Banach đóng Ωϕ (X) nên X taut yếu Lấy x0 ∈ X, chọn lân cận U x0 tập giải tích hình cầu đơn vị mở không gian giải tích Banach X Khi Ωϕ|U (U ) taut 38 yếu, Ωϕ|U (U ) thỏa mãn điều kiện lồi đĩa, Ωϕ|U (U ) giả lồi, ϕ|U đa điều hòa (xem [14]) Giả sử ϕ không liên tục, ϕ nửa liên tục trên, nên tồn z0 ∈ X dãy {zj } → z0 cho: e−ϕ(z0 ) < r < e−ϕ(zj ) , ∀j ≥ Chọn δj giảm cho δj r < e−ϕ(x0 ) , ∀j ≥ Với j ≥ 1, xác định hàm chỉnh hình fj : D → Ωϕ (X) xác định fj (λ) = (zj , rλ), ∀λ ∈ D ˙ Ωϕ (X) Khi fj (δk ) = (zj , δk r) → (z0 , δk r) ∈ Ωϕ (X) j → +∞Từ có tính chất Vitali, nên {fj } hội tụ tới f ∈ Hol (D, Ωϕ (X)) f (λ) = (x0 , rλ), λ ∈ D, |rλ| = r|λ| < e−ϕ(z0 ) , λ ∈ D điều không xảy e−ϕ(z0 ) < r (⇐) Ngược lại, giả sử X taut yếu ϕ hàm đa điều hòa liên tục Giả sử dãy {fn } ⊂ Hol (D, Ωϕ (X)), fn = (hn , gn ) , hn ∈ Hol (D, X) , gn ∈ Hol (D, C) Giả sử tồn dãy {hnk } ⊂ {hn } mà hội tụ tới h ∈ Hol (D, X), Từ ϕ liên tục, kéo theo dãy {gnk }là bị chặn Hol (D, C) Vì giả sử {gnk } hội tụ tới g ∈ Hol (D, C) Bởi nguyên lý maximum, có f = (h, g) ∈ Hol (D, Ωϕ (X)) )) dãy {fnk } hội tụ tới f Bây giờ, giả sử {hn } phân kỳ compact D§với S ⊂ D rời rạc Lấy K tập compact D\S L tập compact Ωϕ (X) Chọn n0 cho [hn (K) ∩ L = ∅,, với n > n0 , L = {x ∈ X : ∃λ ∈, (x, λ) ∈ L} 39 Điều kéo theo fn (K) ∩ L = ∅,, với n > n0 Vì fn phân kỳ compact D\S 2.3.2 Tính siêu lồi miền Hartogs Banach Định nghĩa 2.10 Giả sử A miền không gian Banach X A gọi siêu lồi tồn hàm u liên tục đa điều hòa nhận giá trị âm X cho u−1 (−∞, ε)bị chặn chặt A với mọiε < , tức u−1 (−∞, ε) bị chặn ρ(u−1 (−∞, ε), ∂X) > 0, ρ(A, B) = inf{||a − b|| : a ∈ A, b ∈ B} Định lý 2.21 Giả sử X không gian Banach, ϕ : X → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên X Khi Ωϕ (X) siêu lồi thỏa mãn ba điều kiện sau: i) X siêu lồi ii) ϕ đa điều hòa iii) ϕ bị chặn liên tục tập bị chặn chặt X Chứng minh (⇐) Giả sử điều kiện (i), (ii) (iii) Cho u hàm vét cạn bị chặn đa điều hòa liên tục nhận giá trị âm X Đặt ψ (x, λ) = max {u (x) , log|λ| + ϕ (x)} với (x, λ) ∈ Ωϕ (X) Rõ ràng ψ (x, λ) hàm liên tục đa điều hòa nhận giá trị âm Ωϕ (X) Với ε < 0, đặt 40 Kε = {(x, λ) ∈ Ωϕ (X) : ψ(x, λ) < ε} Từ u ϕ bị chặn Kε = {x ∈ X : u(x) < ε}, nên Kε bị chặn Ta cần chứng minh ρ(Kε , ∂Ωϕ (X)) > Giả sử không tìm dãy cho (xn , λn ) ∈ Kε , (x1n , λ1n , ) ∈ ∂Ωϕ (X) cho max(||xn − x1n ||, |λ − λ1n |) → 0, n → ∞ Từ giả thiết ϕ hàm liên tục Kε , nên có lim |ϕ(xn ) − ϕ(x1n )| = n→∞ Do ϕ bị chặn Kε , không tính tổng quát giả sử lim ϕ(xn ) = lim ϕ(x1n ), lim |λn | = lim |λ1n | n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ > ε ≥ lim (log |λn | + ϕ(xn )) = lim (log |λ1n | + ϕ(x1n )) = n→∞ n→∞ Điều xảy (⇒) Ngược lại, giả sử Ωϕ (X) siêu lồi Rõ ràng X siêu lồi Giả sử u hàm vét cạn bị chặn liên tục đa điều hòa nhận giá trị âm X Trước hết chứng minh ϕ bị chặn tập bị chặn chặt X Giả sử ngược lại tìm dãy bị chặn chặt cho 41 lim ϕ(xn ) = −∞ n→∞ điều kéo theo {(xn , λn )} ⊂ Ωϕ (X), λn = e−ϕ(xn )/2 , với n ≥ ψ(xn , λn ) = max ϕ(xn ) , u(xn ) < −1, với n đủ lớn Tuy nhiên dãy {(xn , λn )}là không bị chặn X × C Bây giờ, giả sử ϕ không liên tục tập bị chặn chặt K ⊂ X, tồn hai dãy {xn } x1n K cho lim ||xn − x1n || = inf |ϕ(xn ) − ϕ(x1n )| ≥ δ > n→∞ n≥1 Từ ϕ bị chặn dưới, không tính tổng quát giả sử a = lim ϕ(xn ) < lim ϕ(x1n ) = b n→∞ n→∞ Điều suy K = {(xn , λn )} ⊂ Ωϕ (X), λn = e−ϕ(xn )−b+a với n ≥ Từ ψ xn , e−ϕ(xn )−b+a = max{u(xn ), −ϕ(xn ) − b + a + ϕ(xn ))} ⊂ Ωϕ (X) = max{u(xn ), a − b)} < max{ε, a − b} < ε < chọn cho K ⊂ {x ∈ X : u(x) < ε}, giả thiết có ρ(K, ∂Ωϕ (X)) > Tuy nhiên ρ(K, ∂Ωϕ (X)) ≤ lim max ||xn − x1n ||, |e−ϕ(xn ) − e−ϕ(xn )−b−a | = n→∞ Vậy định lý chứng minh 42 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu tính taut siêu lồi miền Hartogs Banach Luận văn hệ thống lại: Mở rộng kết nghiên cứu Sibony từ đa tạp phức sang không gian phức để nhận biết không gian phức hyperbolic, taut Điều kiện cần đủ tính taut tính siêu lồi miền Hartogs không gian phức Điều kiện cần đủ tính hyperbolic, hyperbolic đầy, taut yếu tính siêu lồi miền Hartogs Banach Các kết nhận luận văn đóng góp có ý nghĩa cho việc nghiên cứu tính chất hình học miền Hartogs Banach Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Ngọc Thành 43 Tài liệu tham khảo [1] T.Barth (1970), “Taut and tight complex manifolds”, Proc Amer Math Soc (24), 429 – 431 [2] T.Barth (1972), “The Kobayashi distance induces the standar topology”, Proc Amer Math Soc (35), 439 – 441 [3] A.Eastwood (1975), "A propos des variétés hyperboliques complètes", C R Acad Sci Paris série A (280), 1071 – 1075 [4] T Franzoni and E Vesentini (1980), Holomorphic Maps and Invariant Distances, North – Holland (69) [5] J E Fornaess and R Narasimhan (1980), “The Levi problem on complex spaces with singularities”, Math Ann (248), 47-72 [6] L H¨omander (1973), An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand [7] M Jarnicki and P Pflug (1991), “A counter – example for the Kobayashi completeness of balanced domains”, Proc Amer Math Soc (112), 973 – 978 44 [8] W Kaup (1968), “Hyperbolischer Complexe Raume”, Ann Inst Fourier (Grenoble) (18), 303 – 330 [9] P J Kiernan (1970), “On the relations between taut, tight and hyperbolic manifolds”, Bull Amer Math Soc (76), 49 – 51 [10] S Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, N Y Dekker [11] S Kobayashi (1976), “Intrinsic distances, measures and geometric function theory”, Bull Amer Math Soc (82), 357 – 416 [12] S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften v 318 [13] J P Rosay (1981), "Un example dóuvert borne de “taut” mais nonhyperbolique complex", Pacific J Math (98), N0 1, 153 – 156 [14] H L Royden (1971), “Remark on the Kobayashi metric in Several Complex Variables”, Lecture Notes in Math (185), 125 – 137 [15] Do Duc Thai and Nguyen Le Huong (1983), “A note on the Kobayashi pseudodistance and the tautnees of holomorphic fiber bundles”, Ann Polon Math LVIII 1, – [16] S Venturini (1996), “The Kobayashi metric on complex spaces”, Math Ann (305), 24 – 44 [17] T Urata (1982), “The hyperbolicity of complex analytic spaces”, Bull Aichi Univ Educ (31) (Natural Sci.), 65 – 75 45 [18] H Wu (1967), “Normal families of holomorphic maps”, Acta Math (119), 193 – 233 [19] H Wu (1977), “The Kobayashi pseudometric on algebraic manifols of general type and in deformations of complex manifolds”, Trans Amer Math Soc (232), 357 – 370 [20] M G Zaidenberg and V Ja Lin (1979), “On bounded domains of holomorphy that are not holomorphically contractible”, Soviet Math Dokl (20), 1262 – 1266 [...]... phân kỳ compact 2.2.3 Tính taut và tính siêu lồi của miền Hartogs Trong phần này, chúng ta sử dụng kết quả mở rộng của Sibony sang không gian phức X, để nghiên cứu sự bất biến của tính taut và tính siêu lồi trong miền Hartogs 2.2.3.1 Tính taut của miền Hartogs Định lý 2.16 Giả sử X là không gian phức và ϕ là hàm đa điều hòa dưới ở trên X thì Ωϕ (X) là taut nếu và chỉ nếu X là taut và ϕ liên tục Chứng... sử X là siêu lồi và hàm u vét cạn đa điều hòa dưới bị chặn, thì max{u(z), log |λ| + ϕ(z)} là hàm vét cạn đa điều hòa dưới bị chặn của Ωϕ (X) Do vậy Ωϕ (X) là siêu lồi 2.3 Tính taut yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs Banach 2.3.1 Tính taut yếu của miền Hartogs Banach Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu và mở rộng các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian phức sang không gian Banach. .. e−ϕ(z) } ⊂ X × C được gọi là miền Hartogs 16 Chương 2 Tính taut yếu và siêu lồi của miền Hartogs Banach Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã đạt được nhiều kết quả Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach vô hạn chiều còn ít được... việc nghiên cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô hạn chiều Chẳng hạn đối với miền Hartogs trong không gian giải tích Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm taut theo kiểu Wu cho lớp miền này Mục đích đầu tiên của chương này là mở rộng các kết quả của Sibony sang trường hợp không gian và nghiên cứu tính taut và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không... nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy, taut 17 yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy và tính taut trong không gian phức 2.1 Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và Taut trong không gian phức Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic,... Kobayashi không còn đúng nữa, vì không gian Banach vô hạn chiều không có tính compact địa phương Vì không gian Banach không có tính compact địa phương, nên chúng ta không xây dựng được khái niệm taut theo kiểu Wu cho lớp miền này Sau đây, chúng ta mở rộng khái niệm taut sang không gian Banach và gọi là taut yếu Định nghĩa 2.8 Không gian Banach X được gọi là taut yếu nếu với mỗi dãy fn ⊂ Hol(D, X) thỏa... π −1 (U ) là taut (do định lý 2.13) Chọn U là lân cận siêu lồi của z ở trong X Khi đó π −1 (U ) = (z, λ) ∈ U × C : |λ| < e−ϕ(z) = Ωϕ (U ) Bởi giả thiết hàm u vét cạn âm đa điều hòa dưới của U Thì hàm v(z, λ) = max{u(z), log |λ| + ϕ(z)} là hàm vét cạn âm đa điều hòa dưới bị chặn của Ωϕ (U ), vì vậy Ωϕ (U ) là siêu lồi, theo hệ quả 2.3 suy ra Ωϕ (U ) là taut 2.2.3.2 Tính siêu lồi của miền Hartogs Định... sử X là không gian phức và ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X thì Ωϕ (X) là siêu lồi nếu và chỉ nếu X là siêu lồi và ϕ liên tục Chứng minh (⇒)Giả sử Ωϕ (X) là siêu lồi thì X cũng là siêu lồi, bởi vì X có thể xem như đồng nhất với {(z, 0) : z ∈ X} là không gian con của Ωϕ (X) Mặt khác từ Ωϕ (X) là Stein và do đó có hàm trơn đa điều hòa dưới chặt Theo hệ quả 2.3 suy ra Ωϕ (X) là taut, bởi định lý 2.16 suy... cận V của a và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : V → [−∞, +∞) sao cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : ϕ (z) = −∞} (E ∩ V = {z ∈ V : ϕ (z) = −∞}) 15 1.4.2 Các tính chất của tập đa cực Tập đa cực có nhiều tính chất, tuy nhiên tính chất sau đây hay được sử dụng Định lý 1.2 Hợp đếm được của các tập đa cực là một tập đa cực 1.5 Miền Hartogs Ωϕ (X) Định nghĩa 1.11 Giả sử ϕ là hàm nửa liên tục trên trên không gian phức X Miền. .. gian phức Nếu Y là taut thì X cũng là taut Zaidenberg [20] đã tổng quát hóa định lý Eastwood [3] như sau: 21 Định lý 2.14 Giả sử f : X → Y là ánh xạ chuẩn tắc giữa các không gian phức Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {Vα } của Y sao cho f −1 (Vα ) hoặc là rỗng hoặc là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy) 2.2 Tính taut, siêu lồi của miền Hartogs Năm 1981