BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ ANH SƠN THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ ANH SƠN THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Trần Vĩnh Đức HÀ NỘI, NĂM 2015 LỜI CẢM ƠN Lời em xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Trần Vĩnh Đức, thầy tận tình bảo hƣớng dẫn em suốt trình nghiên cứu đề tài để em hoàn thành tốt luận văn mình! Tiếp đến em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo Phòng sau Đại học, thầy giáo, cô giáo trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội thầy giáo, cô giáo thỉnh giảng từ trƣờng Đại học địa bàn Thủ đô Hà Nội nhiệt tình truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho em suốt năm học trƣờng Em xin chân thành biết ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ động viên em suốt trình học tập, nghiên cứu làm việc Trân trọng cảm ơn! Đại học Sƣ phạm Hà Nôi Ngày tháng 12 năm 2015 Đỗ Anh Sơn LỜI CAM ĐOAN Tô xin cam đoan: a) Những nội dung luận văn thực dƣới hƣớng dẫn trƣợc tiếp Tiến sĩ Trần Vĩnh Đức b) Mọi tham khảo dùng luận văn đƣợc trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố c) Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy tắc đào tạo, hay gian dối, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Xuân Hòa, tháng 12 năm 2015 TÁC GIẢ Đỗ Anh Sơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU………………………………………………… …………………1 NỘI DUNG………………………………………………………………… CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ……………………………………3 1.1 Một số khái niệm ……………………… ……………….3 1.2 Hành trình, chu trình đƣờng đi……….…………… … …… 1.3 Cây ………………… ………………………… …………… 1.4 Đồ thị phẳng…… .……………………………….….… 1.5 Biểu diễn đồ thị ma trận……………………………………13 1.5.1 Biểu diễn đồ thị ma trận kề……………………….… ….13 1.5.2 Biểu diễn đồ thị ma trận liên thuộc………… ………….14 CHƢƠNG 2: TÔ MÀU ĐỒ THỊ……………………………………………16 2.1 Định nghĩa số kết bản……………………… … 16 2.2 Đa thức tô màu……………………………… ……… ……… 20 2.3 Thuật toán tham lam tô màu đồ thị………………………………23 2.4 Một số toán………………………….… ………… ……….25 2.4.1 Bài toán điều khiển đèn hiệu nút giao thông ……………… 25 2.4.2 Bài toán lập lịch thi………………………………………… 28 2.4.3 Bài toán phân chia tần số…… …………………………… 29 2.4.4 Bài nữ sinh Kirkman…………………………………… 31 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG… ……………………….…………………… 33 3.1 Bài toán lập thời khóa biểu……………………………… …… 33 3.2 Mô hình toán đồ thị……………………… …… 36 3.3 Siêu đồ thị…………… ………………………………….…… 41 3.3.1 Khái niệm siêu đồ thị ………………………………………….41 3.3.2 Tô màu siêu đồ thị ………………………………………….….43 3.4 Mô hình toán siêu đồ thị……………………… ….… 46 3.5 Xếp thời khóa biểu………………… ………………… ….… 51 3.6 Kết luận chƣơng 3.………………… ………………… ….… 57 KẾT LUẬN………… …………………………………………………… 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… …….59 KÍ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu LTĐT THCS CN GDCD TBK Từ đƣợc viết tắt Lý thuyết đồ thị Trung học sở Công nghệ Giáo dục công dân Thời khóa biểu DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Tên bảng Khoảng cách đài phát Gán màu theo bậc đỉnh Môn học khối lƣợng tiết học tuần Phân công chuyên môn 30 giáo viên Phân công chuyên môn giáo viên Môn học ứng với đỉnh đồ thị Tô màu đỉnh tƣơng ứng Bậc đỉnh cạnh liên thuộc Số hóa tiết học môn tuần Mã số tiết dạy giáo viên ký hiệu Đỉnh đồ thị H màu tô tƣơng ứng Tham chiếu màu tô đỉnh với siêu cạnh A, B, C, , AA, AB, , AE Trang 30 31 33, 34 34, 35 36 37, 38 39 43 47 48, 49 53, 54 55, 56, 57 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 Tên hình vẽ Đồ thị G = (V, E) Hai đồ thị đẳng cấu Đồ thị Petersen Một rừng gồm Đồ thị phẳng đồ thị không phẳng Ví dụ đồ thị phẳng G Đồ thị đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc Biểu diễn đồ thị G Đồ thị G G e Tô màu đồ thị G Đồ thị mô pha điều khiển giao thông Đồ thị mô môn thi Đồ thị mô đài phát Đồ thị môn dạy giáo viên Tô màu đồ thị môn dạy giáo viên Siêu đồ thị H Hàng xóm đỉnh vn+1 Trang 11 12 14 22 25 27 28 30 38 40 42 45 MỞ ĐẦU Có thể nói, Leonhard Euler ngƣời nghiên cứu lý thuyết đồ thị (LTĐT) Bài báo ông Bảy Cây Cầu thành phố Königsberg đƣợc xem nhƣ xuất LTĐT Đến nay, LTĐT có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều lĩnh vực khác nhƣ kinh tế tài chính, công nghiệp, công nghệ thông tin LTĐT thực bắt đầu đƣợc nghiên cứu rộng rãi từ năm 60 kỷ trƣớc phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử Một cách không hình thức, đồ thị gồm hai loại đối tƣợng: tập đỉnh quan hệ tập đỉnh Không bất ngờ, mô hình tự nhiên cho phép mô hình hóa hiệu toán thực tế Các toán thực tế thƣờng đƣợc chuyển cách tự nhiên thành toán đồ thị, từ dễ dàng thiết kế thuật toán để giải máy tính Ngƣợc lại, nhiều khái niệm đồ thị đƣợc lấy từ thực tế Ví dụ, khái niệm đƣờng đi, cây, rừng Quan hệ hai chiều làm cho LTĐT trở thành lĩnh vực hấp dẫn không cho nhà lý thuyết mà cho ngƣời làm thực hành Một toán quan trọng LTĐT toán tô màu Tô màu đồ thị cách gán giá trị màu cho đỉnh cho hai đỉnh kề có màu khác Khái niệm tô màu đồ thị cho phép mô hình toán lập lịch, phân công công việc, toán thỏa mãn ràng buộc Tìm cách tô màu đồ thị số màu toán khó, nhƣng vô quan trọng Lợi ích tƣơng ứng thực tế lời giải cho vấn đề lập lịch công việc tối ƣu, phân công công việc hợp lý Mục đích luận văn “Thuật toán tô màu đồ thị ứng dụng” nghiên cứu thuật toán tô màu đồ thị ứng dụng vào toán xếp thời khóa biểu Trƣờng THCS Trƣng Vƣơng, Mê Linh, Hà Nội Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết đồ thị tìm hiểu thuật toán tô màu đồ thị để giải toán xếp thời khóa biểu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết đồ thị, toán vận dụng thuật toán tô màu đồ thị giải toán thực tế lập thời khóa biểu cho giáo viên, học sinh trƣờng phổ thông Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng đƣợc nghiên cứu cụ thể lý thuyết đồ thị, toán tô màu đồ thị ứng dụng thực tế lập thời khóa biểu Trong phạm vi giới hạn đề tài, luận văn nghiên cứu giải số toán thực tế mô hình lập lịch thời khóa biểu trƣờng Trung học sở Trƣng Vƣơng huyện Mê Linh Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc, phân tích tổng hợp tài liệu Giả thuyết khoa học Phần nghiên cứu lý thuyết cung cấp cách nhìn tổng quát lý thuyết đồ thị thuật toán đồ thị Kết nghiên cứu áp dụng cho trƣờng học phổ thông Cấu trúc luận văn: Ngoài chƣơng mở đầu kết luận, luận văn gồm chƣơng:  Chƣơng đƣa số khái niệm lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị số thuật toán liên quan đến đồ thị  Chƣơng đƣa khái niệm tô màu đồ thị, đa thức tô màu trình bày thuật toán tham lam tô màu đồ thị, vài ứng dụng đơn giản  Chƣơng trình bày ứng dụng tô màu đồ thị để giải toán lập thời khóa biểu trƣờng THCS Trƣng Vƣơng, Mê Linh, Hà Nội 45 Mệnh đề 3.8 Thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H dùng nhiều ( H ) + màu Chứng minh Đặt P(n) mệnh đề “ Thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H với n đỉnh dùng nhiều ( H ) + màu.” Bƣớc sở: P(1) siêu đồ thị có đỉnh tô màu Bƣớc quy nạp: Giả sử P(n) Bây ta chứng minh P(n+1) Thật vậy, xét siêu đồ thị H với n + đỉnh Ta đỉnh H theo thứ tự v1, v2,…,vn+1 Bây giờ, ta xóa đỉnh vn+1 H ta đƣợc siêu đồ thị H’ với n đỉnh Theo quy nạp, thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H’ ( H )   ( H )  màu Tiếp theo, ta thêm đỉnh vn+1 siêu cạnh liên quan vào lại H’ để đƣợc H Ta thấy rằng: Đỉnh vn+1 có không ( H ) hàng xóm Vậy tồn màu hợp lệ nhỏ c {1, 2, …, ( H ) + 1} tô màu cho vn+1 Từ suy thuật toán tham lam tô màu siêu đồ thị H dùng không ( H ) + □ màu vn+1            Hình 3.4: Hàng xóm đỉnh vn+1 46 Hệ 3.9 Cho G đồ thị với đỉnh có bậc không vượt k, thuật toán tham lam tô màu cho G dùng không k + màu Chứng minh Với đồ thị G, ta có (G)  k Theo Mệnh đề 3.8 G tô k + màu □ 3.4 Mô hình toán siêu đồ thị Xét toán toán nêu đầu chƣơng Căn vào Bảng 3.2 phân công chuyên môn 30 giáo viên cụ thể hóa tiết dạy môn học tuần dãy số tự nhiên từ đến 315 thể Bảng 3.7 Ở chi tiết môn đến tiết học môn học nhiều ngày tuần Ví dụ: môn Văn lớp 6A1 Bảng 3.7 đƣợc mã hóa tiết Văn 1, 2, 3, 47 TT Môn học 6A1 6A2 6A3 7A1 7A2 7A3 8A1 8A2 8A3 9A1 9A2 9A3 Văn 26 29 51 54 76 79 103 106 130 133 157 160 184 187 211 214 238 242 264 268 290 294 Sử 30 55 80, 81 107, 108 134, 135 161 188 215 243 269 295 Địa 31 56 82, 83 109, 110 136, 137 162 189 216 244 270 296 GDCD 32 57 84 111 190 217 245 271 297 Toán 11 33 36 58 61 85 88 112 115 139 142 164 167 191 194 218 221 246 249 272 275 298 301 Lý 12 37 62 98 116 168 195 222 250, 251 276, 277 302, 303 Hóa 169, 170 196, 197 223, 224 252, 253 278, 279 304, 305 Sinh 13 14 38, 39 63, 64 90, 91 117, 118 144, 145 171, 172 198, 199 225, 226 254, 255 280, 281 306, 307 Tin 15 16 40, 41 65, 66 92, 93 119, 120 146, 147 173, 174 200, 201 227, 228 256, 257 282, 283 308, 309 10 Công nghệ 17 18 42, 43 67, 68 94, 95 121, 122 148, 149 175, 176 202, 203 229, 230 258 284 310 11 Tiếng Anh 19 21 44 46 69 71 96 98 123 125 150 152 177 179 204 206 231 233 259, 260 285, 286 311, 312 12 Thể dục 22, 23 47, 48 72, 73 99, 100 126, 127 153, 154 180, 181 207, 208 234, 235 261, 262 287, 288 313, 314 13 Mỹ Thuật 24 49 74 101 128 155 182 209 236 263 289 315 14 Âm nhạc 25 50 75 102 129 156 183 210 237 138 143 163 Bảng 3.7: Số hóa tiết học môn tuần 48 Từ Bảng 3.2 Bảng 3.7 xây dựng bảng thể môn dạy giáo viên đƣợc mã số ký hiệu giáo viên thể Bảng 3.8 dƣới TT Giảng dạy tiết Giáo viên Số tiết Ký hiệu nhóm tiết Ngọc Lời 264, , 268, 290, , 294 13 A Phạm Hoa 157, , 160, 184, , 187, 245, 271, 297 11 B Phạm Hằng 12 C Nguyễn Bích 15 D 16 E 169, 170, 196, 197, 223, 224, 252, 253, 278, 279, 304, 305 98, 116, 143, 250, 251, 276, 277, 302, 303, 175, 176, 202, 203, 229, 230 126, 127, 153, 154, 180, 181, 207, Lê Thái 208, 234, 235, 261, 262, 287, 288, 313, 134 Trần Hằng 211, 212, 213, 214 F Đỗ Thao 139, 140, 141, 142 G Trần Dung 130, , 133, 238, , 242 H Phạm Nguyệt 15 I 10 Mỹ Dung 26, , 29, 51, , 54 J 11 Nguyễn Ngọc 8, , 11, 33, , 36, 58, , 61 12 K 12 Kiều Hà 246, , 249, 272, , 275, 298, , 301 12 L 13 Lƣu Hƣng 85, , 88, 99, 100, 112, , 115 10 N 14 Hải Duơng 162, 189, 216, 244, 270, 296 M Nguyễn 12, 37, 62, 94, 95, 121, 122, 148, 149, Giang 168, 195, 222 12 O 12 P 15 16 Hoàng Hoa 1,.,4, 76,.,79, 103,., 106, 258, 284, 310 90, 91, 117, 118, 144, 145, 254, 255, 280, 281, 306, 307 49 13, 14, 17, 18, 38, 39, 63, 34, 171, 17 Lê Hƣơng 18 Nguyễn Mai 19 172, 198, 199, 225, 226 Nguyễn 190, 217, 243, 269, 295 5, 30, 55, 67, 68, 161, 188, 215 Huyền 20 Đàm Nguyên 21 Đoàn Thu 22 Đỗ Thuỷ 23 Đoàn Thoan 24 Lƣu Sơn 25 57, 80, 81, 107, 108, 134, 135, 163, 22, 23, 47, 48, 72, 73, 285, 286, 310, 312 96, 97, 98, 17, 178, 179, 204, 205, 206 69, 70, 71, 231, 232, 233 7, 32, 92, 93, 119, 120, 146, 147, 256, 257, 282, 283, 308, 309 15, 16, 40, 41, 65, 66, 173, 174, 200, 201, 227, 228 Nguyễn 24, 49, 74, 101, 128, 155, 182, 209, Chung 136, 263, 289, 315 25, 50, 75, 102, 129, 156, 183, 210, 14 Q 13 R S 10 T U V 14 X 12 Y 12 Z AA 26 Nguyễn Lan 27 Trần Tiến 164, , 167, 191, , 194, 218, , 221 12 AB 28 Nguyễn Hoa 6, 31, 56, 82, 83, 109, 110, 136, 137 AC 29 Lê Hà 42, 43, 123, 124, 125, 150, 151, 152 AD 30 Trần Anh 19, 20, 21, 44, 45, 46, 259, 260 AE 237 Tổng số tiết 315 Bảng 3.8: Mã số tiết dạy giáo viên ký hiệu Chúng mô hình toán xếp thời khóa biểu ban đầu dùng siêu đồ thị Ta xây dựng siêu đồ thị TKB = (V, E) 50  V tập môn học (tính theo tiết)  Tập cạnh E hợp tập môn lớp môn đƣợc dạy giáo viên Ví dụ 3.10 Siêu đồ thị dƣới phần siêu đồ thị cho toán ban đầu Tập đỉnh V = {5, 6, 7, 30, 31, 55} Căn vào Bảng 3.7 Bảng 3.8 xác định đƣợc tập cạnh E = {{5, 6, 7}, {5, 30, 55}, {30, 31}, {6, 31}}  Cạnh {5, 6, 7} môn học Sử, Địa, GDCD lớp 6A1 (Bảng 3.7 dòng 2, 4)  Cạnh {5, 30, 55} tƣơng ứng tiết Sử lớp 6A1, 6A2 6A3 giáo viên Nguyễn Huyền giảng dạy (Bảng 3.8 dòng 19)  Cạnh {30, 31} môn học Sử, Địa lớp 6A2 (Bảng 3.7 dòng 3)  Cạnh {6, 31} tƣơng ứng tiết Địa lớp 6A1, 6A2 giáo viên Nguyễn Hoa giảng dạy (Bảng 3.8 dòng 28) Cuối ta vẽ đƣợc mô hình siêu đồ thị biểu diễn hình sau 55 31 30 51 3.5 Xếp thời khóa biểu Bài toán xếp thời khóa biểu cho Trƣờng THCS Trƣng Vƣơng với 12 lớp học 30 giáo viên giảng dạy quy toán tô màu siêu đồ thị TBK = (V,E) nhƣ nêu Đồ thị có 315 đỉnh 12 + 30 = 42 siêu cạnh Tập môn học lớp tên lớp, tập môn dạy giáo viên lần lƣợt ký hiệu (A,B, C,…, X, Y, Z, AA, AB, AC, AD, AE) Ta đƣợc siêu đồ thị với tập đỉnh V = {1,2, 3,…, 314, 315} tập cạnh E = {9A1, 9A2, 9A3, 8A1, 8A2, 8A3, 7A1, 7A2, 7A3, 6A1, 6A2, 6A3, A, B, C,…, X, Y, Z, AA, AB, AC, AD, AE} Thuật toán chạy chi tiết nhƣ sau Bƣớc 1: Xét siêu cạnh 9A1, 9A2, …, 6A2, 6A3, A, B, …, X, Y, Z, AA, AB, AC, AD, AE Sắp xếp đỉnh siêu cạnh theo thứ tự 1, 2, 3,…, 314, 315 Bƣớc 2: Nhận xét 2: Từ Bảng 3.7 ta thấy giáo viên dạy môn Âm nhạc dạy tất lớp lớp tiết Vậy ƣu tiên tô trƣớc để số màu lớn không dùng cho ngƣời Việc tô màu cho cạnh 6A1, 6A2,…, 9A2, 9A3 đƣợc thực lần lƣợt theo quy tắc duyệt ngƣợc xuôi xen kẽ tránh số màu cao dồn môn Bƣớc 3: Tô màu cho đỉnh thuộc cạnh AA, gán màu cho môn 25, gán màu cho môn 50, gán màu cho môn 75, màu gán cho môn 102, màu gán cho môn 129, màu gán cho môn 156, màu gán cho môn 210, màu gán cho môn 237 Duyệt ngƣợc cạnh 6A1, gán màu nhỏ cho môn 24 màu 2, màu cho môn 23 nhƣ màu 25 đƣợc gán cho môn Duyệt xuôi cạnh 6A2, gán màu nhỏ cho môn 26, màu nhỏ chƣa tô cho đỉnh cho môn 27, nhƣ gán màu nhỏ cho môn 52 nhƣng phải xét đến việc màu tô cho hàng xóm đỉnh chƣa Tƣơng tự duyệt xuôi xen kẽ duyệt ngƣợc siêu cạnh đồ thị Nếu bƣớc tô màu đỉnh thuộc cạnh mà không đủ số màu tối thiểu để tô đỉnh ta làm thêm bƣớc duyệt lại từ đầu dãy xem có hoán vị đƣợc màu xét hay không trƣớc sang tô màu cạnh Hoán vị gặp màu thỏa mãn điều kiện chƣa dùng cho cạnh liên quan khác, không thỏa mãn hoán vị, tiếp tục chọn màu dùng đỉnh đạt mục đích (đây kỹ thuật để giúp cho ngƣời chia lịch bớt phần công đoạn làm mƣợt TKB) Sau hữu hạn số bƣớc ta tô đƣợc màu cho đỉnh siêu đồ thị đƣợc thể Bảng 3.9 nhƣ sau: 53 TT 6A1 Màu 6A2 Màu 6A3 Màu 7A1 Màu 7A2 Màu 7A3 Màu 1 25 26 51 25 76 103 27 130 2 24 27 52 24 77 104 26 131 3 23 28 53 23 78 105 21 132 4 22 29 54 22 79 106 20 133 5 21 30 55 18 80 107 25 134 6 20 31 56 17 81 108 24 135 7 19 32 57 16 82 109 23 136 10 8 18 33 58 21 83 110 22 137 11 9 17 34 10 59 20 84 10 111 19 138 10 10 16 35 11 60 19 85 11 112 18 139 11 11 15 36 12 61 14 86 12 113 17 140 12 12 12 14 37 13 62 15 87 13 114 16 141 13 13 13 13 38 14 63 11 88 14 115 15 142 14 14 14 12 39 15 64 10 89 15 116 14 143 16 15 15 11 40 16 65 13 90 16 117 13 144 15 16 16 10 41 17 66 12 91 17 118 12 145 18 17 17 42 18 67 92 18 119 11 146 17 18 18 43 19 68 93 20 120 10 147 21 19 19 44 20 69 94 19 121 148 20 20 20 45 21 70 95 21 122 149 22 21 21 46 22 71 96 22 123 150 23 22 22 47 23 72 97 23 124 151 24 23 23 48 24 73 98 24 125 152 25 24 24 49 25 74 99 25 126 153 26 25 25 50 75 100 26 127 154 27 26 101 27 128 155 19 27 102 129 156 54 TT 8A1 Màu 8A2 Màu 8A3 Màu 9A1 Màu 9A2 Màu 9A3 Màu 157 27 184 211 27 238 264 26 290 2 158 26 185 212 26 239 21 265 291 159 25 186 213 25 240 26 266 292 160 24 187 214 23 241 267 23 293 161 23 188 215 24 242 268 20 294 162 22 189 216 19 243 269 17 295 163 21 190 10 217 13 244 270 12 296 164 20 191 218 22 245 10 271 11 297 165 19 192 219 18 246 272 16 298 24 10 166 13 193 11 220 17 247 273 15 299 25 11 167 12 194 14 221 15 248 11 274 14 300 26 12 168 18 195 12 222 11 249 12 275 13 301 18 13 169 10 196 13 223 16 250 13 276 22 302 11 14 170 11 197 15 224 12 251 18 277 21 303 12 15 171 17 198 18 225 21 252 14 278 19 304 20 16 172 16 199 19 226 20 253 17 279 18 305 21 17 173 15 200 22 227 14 254 19 280 10 306 14 18 174 14 201 23 228 255 20 281 307 22 19 175 202 17 229 10 256 15 282 308 13 20 176 203 20 230 257 16 283 24 309 23 21 177 204 21 231 258 284 310 15 22 178 205 25 232 259 23 285 311 16 23 179 206 27 233 260 24 286 25 312 19 24 180 207 16 234 261 22 287 313 25 181 208 24 235 262 25 288 314 10 26 182 209 26 236 263 289 315 17 27 183 210 237 Bảng 3.9: Đỉnh đồ thị H màu tô tƣơng ứng 55 Sau tô màu xong đỉnh siêu đồ thị, xếp quy chiếu đỉnh đƣợc tô màu theo siêu cạnh A, B, C, …, Y, Z, AA, AB, …, AE đƣợc trình bày Bảng 3.10 dƣới Cạnh/ Các đỉnh thuộc siêu cạnh màu tô tƣơng ứng màu tô A 266 267 268 290 291 292 293 294 23 20 157 158 159 160 184 185 186 187 271 297 27 26 25 24 169 170 196 197 223 224 225 253 278 279 304 305 Màu 10 11 13 15 16 D 98 116 143 250 251 276 277 302 303 175 176 202 229 230 Màu 24 14 16 13 18 10 126 127 153 154 180 181 207 208 234 235 261 262 26 27 211 212 213 214 27 26 25 23 139 140 141 142 27 26 25 24 130 131 132 133 Màu B Màu C E Màu F Màu G Màu H 264 265 26 1 2 12 22 21 21 16 17 11 24 11 19 12 18 20 22 21 17 25 287 288 238 239 240 241 242 Màu 21 26 I 76 77 78 79 103 104 105 106 Màu 25 24 23 22 27 26 21 20 J 26 27 28 29 51 52 53 54 Màu 25 24 23 22 K 10 11 33 34 35 36 58 59 60 61 Màu 18 17 16 15 10 11 12 21 20 19 14 246 247 248 249 L 272 273 274 275 298 299 300 301 258 284 310 15 56 Màu 11 12 16 15 N 85 86 87 88 99 100 112 113 114 115 Màu 11 12 13 14 25 26 162 189 216 244 270 296 Màu 22 19 12 O 12 37 62 94 95 Màu 14 13 15 19 21 P 90 91 117 118 144 145 254 255 280 281 306 307 Màu 16 17 13 12 15 18 19 20 10 Q 13 14 17 18 38 39 63 34 171 172 198 199 225 226 Màu 13 12 14 15 11 10 17 19 21 R 57 80 81 107 108 134 135 163 190 217 243 269 295 Màu 16 25 24 S 30 55 67 68 161 188 215 Màu 21 18 23 T 22 23 47 48 72 73 Màu 23 24 U 96 97 98 17 Màu 22 23 24 V 69 70 71 231 Màu X 32 92 93 119 120 146 147 256 257 282 283 308 309 Màu 19 18 20 11 10 17 13 Y 15 16 40 41 65 66 173 174 200 201 227 228 Màu 11 10 16 17 13 12 15 Z 24 49 74 101 128 155 182 209 136 263 289 315 Màu 25 27 AA 25 50 75 102 Màu 166 167 M AB 164 165 14 18 13 17 24 16 25 26 18 15 121 122 148 149 168 195 222 9 20 21 22 10 18 16 13 12 14 18 11 22 17 20 24 285 286 310 312 25 15 19 178 179 204 205 206 21 25 27 232 233 19 21 14 26 15 22 10 16 23 14 24 17 129 156 183 210 237 191 192 193 194 218 219 220 221 23 57 Màu 20 19 13 12 AC 31 56 82 83 109 110 136 137 Màu 20 17 23 AD 42 43 123 124 Màu 18 19 23 24 AE 19 20 21 44 45 46 259 260 Màu 20 21 22 23 11 22 14 10 22 18 17 15 11 125 150 151 152 25 24 Bảng 3.10: Tham chiếu màu tô đỉnh với siêu cạnh A, B,…,Y, Z, AA, AB,…, AE Nhận xét So sách màu đƣợc tô cho đỉnh biểu diễn Bảng 3.9 đƣợc quy chiếu sang cạnh ràng buộc biểu diễn Bảng 3.10 môn học đƣợc tô màu môn học có màu đƣợc xếp để học thấy siêu cạnh không tồn hai đỉnh đƣợc tô màu, chứng tỏ trùng giờ, trùng tiết giáo viên lớp học Điều cho thấy kết luận cách dùng thuật toán tham lam tô màu đồ thị nhƣ ta xếp đƣợc lịch trƣờng với số lƣợng lớp, giáo viên không nhỏ Bảng 3.10 sở cho ngƣời chia lịch theo tiết dạy tuần cho lớp học mà không cần tính đến trƣờng hợp trùng giờ, trùng tiết 3.6 Kết luận chƣơng Thuật toán tham lam mô tả mục 3.3.2 chƣa thể đƣợc ƣu siêu đồ thị toán Thực chất thuật toán tƣơng đƣơng với thuật toán Welsh Powell chƣơng Tuy tính toán liệu chƣơng phƣơng pháp tính toán siêu cạnh phù hợp với toán số đỉnh lớn (315 đỉnh) nhƣng số siêu cạnh (42 siêu cạnh) Quan sát cần đƣợc nghiên cứu thêm để cải thiện tốc độ thuật toán 58 KẾT LUẬN Một số kết trình nghiên cứu đề tài: Hệ thống đƣợc kiến thức lý thuyết đồ thị, tô màu đồ thị hiểu sâu định nghĩa, định lí, thuật toán, toán tô màu đồ thị Đƣa đƣợc toán khác vận dụng thuật toán tô màu đồ thị để giải toán thực tế nhƣ lập lịch thi, toán nút giao thông, toán phân chia tần số, Trong toán lập thời khóa biểu cho trƣờng THCS Trƣng Vƣơng toán lớn nghiều khó khăn Vận dụng thuật toán tô màu đồ thị để lập thời khóa biểu Luận văn đƣợc viết với mong muốn hiểu sâu kiến thức đồ thị ứng dụng đồ thị vào thực tế Cụ thể, khái niệm tô màu đồ thị tô màu siêu đồ thị đƣợc sử dụng để mô hình hóa toán lập thời khóa biểu cho trƣờng THCS Trƣng Vƣơng Với mô hình đƣa đƣợc thời khóa biểu thô thỏa mãn điều kiện ràng buộc Hƣớng phát triển luận văn: Các phƣơng pháp sử dụng luận văn đƣợc mở rộng cho toán lập lịch có nhiều ràng buộc Các thuật toán nên đƣợc cài đặt phát triển thành phần mềm để sử dụng thuận tiện thực tế 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Berge C (1971), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Kenneth H Rosen (2007), Toán học rời rạc Ứng dụng Tin học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội (Bản dịch Tiếng Việt) [4] Bảng khối lƣợng tiết học tuần, Bảng phân công chuyên môn học kỳ I năm học 2015 - 2016, Trƣờng THCS Trƣơng Vƣơng, Mê Linh, Hà Nội Tiếng Anh [5] C Berge Hypergraphs (1989), North-Holland, Amsterdam [6] Douglas B West (2001), Introduction to Graph Theory Prentice Hall [7] R Diestel (2000), Graph Theory, Springer [8] Welsh D.J anh Powell M.B (1967), An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems, The coputer journal 10, Issue 1, 85-86 [...]... đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k thì tô màu đó cũng đƣợc gọi là k -tô màu Tập tất cả các đỉnh đƣợc tô bởi cùng một màu trong một tô màu của đồ thị đƣợc gọi là lớp đỉnh đồng màu của tô màu đó Nhƣ vậy, một k -tô màu phân hoạch tập đỉnh của đồ thị thành k lớp đỉnh đồng màu Định nghĩa 2.2 Sắc số của một đồ thị G, ký hiệu là  (G) , là số tự nhiên k nhỏ nhất để G có một k -tô màu Đồ thị G đƣợc gọi là đồ thị k -tô. .. dụng bởi thuật toán Định lý 2.19 Nếu mọi đỉnh trong đồ thị G đều có bậc không vượt quá d thì thuật toán Welsh-Powell dùng không quá d + 1 màu Ví dụ 2.20 Thuật toán Welsh-Powell tô màu các đỉnh của đồ thị G = (V, E) trong Hình 2.2 Đầu tiên, thuật toán chọn đỉnh v1 và v5 để tô màu xanh Tiếp 25 theo, thuật toán chọn tập đỉnh v2 và v4 để tô màu vàng Cuối cùng thuật toán chọn đƣợc v3 và v6 để tô màu đỏ v1... 16 CHƢƠNG 2 TÔ MÀU ĐỒ THỊ Trong chƣơng này chúng ta sẽ trình bày một vài kết quả cơ bản về tô màu đỉnh của đồ thị Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa số màu có thể tô một đồ thị và bậc của đỉnh, liên hệ giữa đa thức tô màu và sắc số Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một thuật toán tham lam cho phép tô màu với số màu hợp lý, và cuối cùng sử dụng thuật toán này để giải một vài bài toán đơn giản... thị rỗng Ta cũng giả sử rằng V1 và V2 là các phần của G Ta tô các đỉnh của V1 bằng một màu và tô các đỉnh của V2 bằng một màu khác Khi đó ta nhận đƣợc một 2 -tô màu của G vì G là đồ thị 2-phần Mặt khác, G không có 1 -tô màu vì nó là đồ thị khác đồ thị rỗng Vậy  (G)  2 và G là đồ thị 2-sắc (b)  (c): Giả sử G = (V, E) là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng với các phần là V1 và V2 Ta cũng giả sử rằng C = v1v2... bằng tô màu đồ thị 2.1 Định nghĩa và một số kết quả cơ bản Trong mục này chúng ta xem xét định nghĩa về tô màu đỉnh đồ thị và một vài kết quả liên quan đến một số ƣớc lƣợng của sắc số Định nghĩa 2.1 Một tô màu đỉnh của một đồ thị, mà ta sẽ đơn giản gọi là một tô màu, là một phép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà ta dùng để tô trong một tô màu. .. 2-phần khác đồ thị rỗng; (c) G là đồ thị khác đồ thị rỗng và mọi chu trình trong G đều có độ dài chẵn Chứng minh (a)  (b): Giả sử G là đồ thi 2-sắc Ta cũng giả sử rằng V1 và V2 là hai lớp đỉnh đồng màu của G trong một 2 -tô màu nào đó Khi đó dễ thấy rằng G là đồ thị 2-phần với các phần là V1 và V2 Vì G là 2-sắc nên hiển nhiên nó không là đồ thị rỗng (b)  (a): Giả sử G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng... không đồng thời giao thông, và cho phép đồng thời lƣu thông những tuyến không xung khắc Ta mô hình hóa bài toán bằng đồ thị và đƣa về bài toán tô màu đồ thị nhƣ sau: Các đỉnh của đồ thị là các tuyến đƣờng, và hai tuyến kề nhau khi và chỉ khi chúng xung khắc Ta tô màu các đỉnh đồ thị sao cho các đỉnh kề nhau không cùng màu Ta coi mỗi màu đại diện cho một pha điều khiển đèn báo: các tuyến cùng màu đó... là nếu một đồ thị có cấp bằng n thì cỡ m của nó thỏa mãn n 0  m    Đồ thị cấp n và cỡ m = 0 đƣợc gọi là n -đồ thị rỗng hay n -đồ thị  2 hoàn toàn rời rạc và đƣợc ký hiệu là On hay En Còn đồ thị cấp n và cỡ n m    đƣợc gọi là n -đồ thị đầy đủ và thƣờng đƣợc ký hiệu Kn  2 Định nghĩa 1.4 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với V  n Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu G , là đồ thị với tập... sử v1 và v2 là hai đỉnh đầu mút của cạnh e và f : V (G  e)  Nk là một k -tô màu nào đó của đồ thị G - e Khi đó xảy ra một trong hai trƣờng hợp sau đây: (a) f (v1 )  f (v2 ) , tức là v1 và v2 đƣợc tô khác màu; (b) f (v1 )  f (v2 ) , tức là v1 và v2 đƣợc tô cùng màu Nếu ta goi P là tập các k -tô màu của G - e, Pa là tập các k -tô màu của G - e với v1 và v2 đƣợc tô khác màu, còn Pb là tập các k -tô màu. .. đồ thị G1 và G2 trên Hình 1.7 là các đồ thị đẳng cấu với độ chính xác tới đỉnh bậc 2 13 Chèn đỉnh bậc 2 Xóa đỉnh bậc 2 G1 G2 Hình 1.7 Đồ thị đẳng cấu với độ chính xác tới đỉnh bậc 2 Định lý 1.27 (Kuratowski - Poutragin, 1930) Một đồ thị là đồ thị phẳng khi và chỉ khi nó không chứa một đồ thị con nào mà đẳng cấu với độ chính xác tới các đỉnh bậc hai với đồ thị K5 hoặc đồ thị K3,3 1.5 Biểu diễn đồ thị