1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH =================================================================== PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A tam giác cân, cạnh AB AC lấy ñiểm M N cho BM = CN Chứng minh ñường trung trực MN qua ñiểm cố ñịnh y Với toán chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm cố ñịnh, làm theo phương pháp tổng hợp trước hết phải dự ñoán ñược ñiểm cố ñịnh, sau ñó chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm ñó Với toán này, gắn tọa ñộ làm theo phương pháp tìm ñiểm cố ñịnh họ ñường thẳng C(0;c) N Vấn ñề gắn trục tọa ñộ vào ñiểm ñể việc tính toán không phức tạp, tạo tham số A M B(b;0) x Nhận thấy ñiểm A có AB AC vuông góc, ta chọn gốc tọa ñộ ñiểm A với hai trục trùng với AB AC Chọn trục Axy cho tia Ax trùng tia AB, tia Ay trùng tia AC Khi ñó ta có: A(0;0); B(b;0); C(0;c) Gọi tọa ñộ ñiểm M(m;0) ñó ≤ m ≤ b, ta ñi tìm tọa ñộ ñiểm N theo m Gọi N(0;yN) (0 ≤ yN ≤ c), suy ra: CN2 = BM2 ⇔ yN = c + m – b  m c+m−b Suy trung ñiểm MN P  ;  , MN = ( −m; c + m − b ) 2  m c+ m−b   Vậy phương trình ñường trung trực MN là: −m  x −  + ( c + m − b )  y − =0 2    m2 ( c + m − b ) − mx + ( c + m − b ) y + − =0 2 Hay b + c − 2mb − 2bc + 2cm ⇔ − mx + ( c + m − b ) y − =0 Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH =================================================================== ⇔ m(−x + y + b − c) + (c − b) (b − c ) y− 2 =0 b−c c−b ; Vậy ñiểm cố ñịnh I     Nhận thấy hoành ñộ tung ñộ I ñối nhau, I thuộc ñường phân giác thứ hai, ñồng thời IB = IC, I giao ñiểm ñường phân giác thứ hai trung trực BC Nếu làm theo phương pháp tổng hợp, ta phải dự ñoán ñược ñiểm cố ñịnh, sau ñó chứng minh ñường thẳng qua ñiểm ñó Với số bài, việc dự ñoán ñiểm cố ñịnh không ñơn giản, phương pháp tọa ñộ tỏ hiệu ñơn giản Ví dụ (Ba lan - 1992): Trong mặt phẳng, cho trước ñiểm A, B Xét ñiểm C thay ñổi nửa mặt phẳng bờ AB Dựng phía tam giác hình vuông ACED BCFG Chứng minh DG ñi qua ñiểm cố ñịnh C thay ñổi Giải Chọn hệ trục tọa ñộ với sở hai ñiểm cố ñịnh A B Do vai trò A, B nhau, ta chọn A làm gốc tọa ñộ y F G E Chọn hệ trục Axy, tia Ax trùng tia AB, tia Ay nằm phía chứa ñiểm C C D Suy ra: A(0;0); B(b;0); C(x0;y0) (y0 > 0) A B Các ñiểm lại ñiểm sinh ra, ta tính ñược tọa ñộ ñiểm D ñiểm G theo tọa ñộ A, B, C Có D(-y0;x0); G(b + y0; b - x0) Vậy phương trình ñường thẳng DG là: x + y0 y − x0 = b + y0 b − x0 Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh x PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH =================================================================== ⇔ ( b − x ) x0 + ( b − y ) y0 + b ( x − y ) = b b Suy ñiểm cố ñịnh mà DG ñi qua I  ;  2 2 Nhận thấy ñiểm I ñiểm nhìn AB tam giác vuông cân ñỉnh C Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH =================================================================== Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ñường tròn ñường kính AB, ñường thẳng (d) vuông góc với AB ñiểm C cố ñịnh H ñiểm thay ñổi (d) AH BH cắt ñường tròn D E Chứng minh DE ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài 2: Cho góc Axy vuông ñiểm A ðiểm B cố ñịnh thuộc Ax, C thay ñổi thuộc Ay ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với Ay BC D E Chứng minh ñường thẳng DE ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Xét ñiểm D cạnh AB ñiểm E cạnh BC cho hình chiếu DE BC có ñộ dài nửa BC Chứng minh ñường thẳng vuông góc với DE E ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O) M ñiểm thay ñổi BC không chứa A Gọi H, K hình chiếu A MB MC a) Chứng minh KH ñi qua ñiểm cố ñịnh M thay ñổi b) Gọi P, Q ñiểm ñối xứng M qua AB, AC Chứng minh PQ ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài 5: Cho ñường tròn (O) ñiểm I cố ñịnh nằm ñường tròn Hai dây cung AB CD thay ñổi qua vuông góc I Gọi M, N trung ñiểm AC BD Chứng minh MN ñi qua ñiểm cố ñịnh Bài 6: Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB T ñiểm cố ñịnh ñoạn OB ñường thẳng (d) qua T vuông góc với AB M ñiểm di chuyển (O) cho MA < MB MA MB cắt ñường thẳng (d) P Q BP cắt (O) N Chứng minh MN ñi qua ñiểm cố ñịnh Trần Mạnh Sang – Lê Hồng Phong – Nam ðịnh