Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán quỹ tích trong đề thi HSG được giải quyết theo hướng tọa độ hóa. Có một số quỹ tích không là đường thẳng hoặc đường tròn thì giải phải này là hiệu quả hơn hẳn. Xin gửi đến thầy cô và các em học sinh chuyên đề
Sử dụng phương pháp tọa ñộ giải toán quỹ tích Các toán quỹ tích toán không ñơn giản Việc tìm quỹ tích ñiểm thường phải dự ñoán ñược quỹ tích, sau ñó chứng minh ñiểm thuộc quỹ tích Với toán sử dụng phương pháp hình học tổng hợp, chủ yếu hay gặp toán mà quỹ tích ñường thẳng ñường tròn, quỹ tích ñường khác (chẳng hạn elip, hypebol, parabol hay số ñường ñặc biệt…) việc dùng phương pháp hình học tổ hợp khó khăn Chúng ta nghĩ ñến phương pháp tọa ñộ ðể thấy ñược hiệu phương pháp, xét ví dụ ñơn giản thứ Ví dụ (Việt Nam 2007): Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có B, C cố ñịnh, A thay ñổi Gọi G H theo thứ tự trọng tâm trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích ñỉnh A, biết trung ñiểm GH nằm BC y Giải A Các bạn nghĩ ñến việc sử dụng phương pháp hình học tổng hợp Nhưng gặp phải khó khăn tìm quỹ tích ñiểm A mà ñiểm A sinh ñiểm G, H, ñiều kiện toán lại liên quan ñến ñiểm G, H ðiều kiện trung ñiểm GH thuộc BC khó ñưa ñiều kiện ñể tìm ñiều kiện ñiểm A G I B C Chúng ta xem xét phương pháp tọa ñộ ñể giải toán Việc gắn tọa ñộ phải theo ñiểm cố ñịnh, cụ thể ñây B C H Chọn hệ trục Bxy cho tia Bx trùng tia BC, tia By vuông góc Bx x + c y0 ; Trong hệ Bxy, ta có: B(0;0); C( c ;0); A ( x0 ; y0 ) ñó y0 ≠ Suy G 3 Do AH vuông góc BC nên tọa ñộ H có dạng H ( x0 ; yH ) thỏa mãn: BH AC = ⇔ x0 ( c − x0 ) + yH ( − y0 ) = ⇔ yH = x x0 ( c − x0 ) y0 x0 + c x0 ( c − x0 ) + y02 Suy trung ñiểm I GH có tọa ñộ: I ; 6 y0 x0 ( c − x0 ) + y02 I thuộc BC =0 y0 ⇔ x0 ( c − x0 ) + y02 = ⇔ y02 − x02 + 3c.x0 = c c 3c c 3c ⇔ y − x0 − 2.x0 + = ⇔ y0 − x0 − = ( *) 4 Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn phương trình (*), ñây phương trình Hyperbol Nếu theo phương pháp hình học tổng hợp thật khó khăn… Và ñến chưa thấy có lời giải Qua ví dụ 1, thấy ñược hiệu phương pháp tọa ñộ việc giải toán quỹ tích ðể thấy ñược rõ sức mạnh phương pháp, ta xét ví dụ Một số ví dụ áp dụng Bài : Cho △ ABC , M ñiểm di ñộng cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuông góc song song với AB ( N∈ AB, Q∈ BC ) Gọi P hình chiếu Q AB, I tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I M chạy cạnh AB Bài : Cho ñường tròn ( C ) có ñường kính AB không ñổi, ñiểm M di ñộng ( C ) Gọi H hình chiếu M AB Tìm quỹ tích trung ñiểm I MH Bài : Cho △ ABC , M ñiểm di ñộng cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuông góc song song với AB ( N∈ AB, Q∈ BC ) Gọi P hình chiếu Q AB, I tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I M chạy cạnh AB Giải : Hướng dẫn : - Gọi O chân ñường cao hạ từ C xuống AB Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy cho A∈ ox, oy qua BC Tìm toạ ñộ N, Q, I theo toạ ñộ ñiểm A, B, C, M Tìm mối liên hệ tung ñộ hoành ñộ ñiểm I y ñiều kiện ñiểm M Lời giải : - Gọi O chân ñường cao hạ từ C xuống AB x y =1 + a h - Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy ( hình vẽ ) Giả sử toạ ñộ ñỉnh A, B, C : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > Phương trình ñường thẳng AB theo ñoạn chắn : Phương trình ñường thẳng BC theo ñoạn chắn : x y = Giả sử MQ có phương trình y = m (0 ≤ m ≤ h ) + b h Toạ ñộ ñiểm Q nghiệm hệ phương trình y = m y=m a ⇒ Q ( ( h − m ); m) ⇔ a y x h a + h = x = h ( h − m ) Tương tự ta có : M ( b a ( h − m ); m) Toạ ñộ ñiểm P P( ( h − m );0) h h Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Suy I trung diẻm MP ( a + b )( h − m ) x = ( x + x ) = (1) I M P 2h Khi ñó ⇒ m y = ( y + y ) = (2) I M p 2 Từ (1) suy m = h(1− xI ) a+b (2) suy m = 2yI Vì ≤ m ≤ h nên xI Y + I = (*) a+b h 2 a−b xI x ≤ ≤ I ) ≤ h ≤ h(1− a b + (**) ⇔ c 0 ≤ y ≤ h 0 ≤ y ≤ I I Từ (*) (**) suy quỹ tích tâm I hình chữ nhật MNPQ ñoạn KH, ñây K, H trung ñiểm OC AB (ñpcm) Chú ý : Mọi lập luận ñây không phụ thuộc vào hình dáng △ ABC Bài : Cho ñường tròn ( C ) có ñường kính AB không ñổi, ñiểm M di ñộng ( C ) Gọi H hình chiếu M AB Tìm quỹ tích trung ñiểm I MH Giải : Hướng dẫn : - ðể phương trình ñường tròn ñơn giản ta chọn hệ trục toạ ñộ có gốc O trùng với tâm O ñường tròn - Trục Ox ñi qua AB - Tìm toạ ñộ trung ñiểm I MH theo toạ ñộ ñiểm M - Tìn mối liên hệ tung ñộ hoành ñộ ñiểm I Lời giải : - Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy ( hình vẽ ) - ðặt R = AB , R không ñổi ðường tròn ( C ) có phương trình : x2 + y = R2 Xét ñiểm M ( x0; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ x0 + y0 = R (1) H hình chiếu M AB ⇒ H ( x0; ) xI = x0 x0 = xI y ⇒ ⇒ I ( x0 ; ) I trung ñiểm MH ⇒ y0 y0 = yI yI = xI yI Thay vào (1) ⇒ xI + yI = R hay ⇒ + =1 (2 R ) R 2 xI yI Chứng tỏ quỹ tích I elip (E) : + = ñộ dài trục lớn 2R, trục bé R (2 R) R