TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ThS Phạm Thị Hải Châu GIÁO TRÌNH TOÁN CƠ SỞ (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) Vinh 2011 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn giáo trình biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm non có trình độ đại học (hệ đào tạo từ xa) khoa Giáo dục, trường Đại học Vinh Giáo trình cung cấp số kiến thức toán học, dùng tài liệu tham khảo cho người dạy người học Nội dung giáo trình gồm có ba chương Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ Chương giới thiệu khái niệm tập hợp phép toán tập hợp, quan hệ tập hợp, khái niệm liên quan đến ánh xạ Bên cạnh đó, chương đưa số tính chất quan trọng khái niệm Chương II: Số tự nhiên Chương đưa khái niệm tính chất liên quan đến số tự nhiên như: số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên, Sau đưa khái niệm đó, chương giới thiệu quan hệ thứ tự phép toán tập hợp số tự nhiên Chương III: Các hình hình học Chương giới thiệu khái niệm hình hình học, hình hình học mặt phẳng không gian số tính chất chúng Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo trình có đưa ví dụ minh họa tập nhằm củng cố khắc sâu nội dung lý thuyết Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp giúp đỡ góp ý để tác giả hoàn thành giáo trình Giáo trình có thiếu sót Tác giả mong nhận dẫn góp ý bạn đọc Tác giả Chương I : TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ A NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp thuật ngữ dùng rộng rãi toán học Chúng ta thường nói tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp, tập hợp đồ chơi lớp mẫu giáo, Tập hợp (thường nói gọn tập) khái niệm toán học, dùng làm sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác thân không định nghĩa qua khái niệm đơn giản Ta hiểu tập hợp tạo thành cá thể (các đối tượng), cá thể tạo thành tập hợp gọi phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp nghiệm phương trình (x-1) (x-4) = tập hợp tạo thành hai phần tử 4; tập hợp số tự nhiên có chữ số tập hợp tạo thành mười phần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Một tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa : A, B, C, X, Y, ; phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ thường: a, b, c, x, y, Để a phần tử tập A ta viết a A (đọc a thuộc A), a không phần tử tập A ta viết a A (đọca không thuộc A) Ví dụ: 1) Ở chương trình toán phổ thông ta biết: N tập hợp số tự nhiên, Z tập hợp số nguyên, Q tập hợp số hữu tỉ, R tập hợp số thực Thế thì: 5N; 5Z; 5Q; 5R; -3N; -3Z; -3Q; -3R; 2,5N; 2,5Z; 2,5Q; 2,5R; N; Z; Q; R 2) Nếu A tập hợp tất số tự nhiên lẻ 3A, 4A 1.2 Sự xác định tập hợp Một tập hợp coi xác định ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay không Để xác định tập hợp ta thường dùng hai phương pháp sau: a) Phương pháp liệt kê phần tử tập hợp Ta liệt kê đầy đủ tất phần tử tập hợp, tập hợp thường có không nhiều phần tử Khi phần tử viết {}, phần tử cách phần tử dấu phẩy Ví dụ: Nếu A tập hợp ước số dương ta viết A = {1, 2, 4} Tuy nhiên, có tập hợp có vô số phần tử ta liệt kê số phần tử đại diện đủ để nhận biết phần tử có thuộc tập hợp hay không Ví dụ: Nếu B tập hợp số tự nhiên chia hết cho B = {0, 3, 6, 9, } b) Phương pháp rõ tính chất đặc trưng Chỉ thuộc tính phần tử mà dựa vào thuộc tính ta nhận biết đối tượng có thuộc tâp hợp hay không (các thuộc tính gọi tính chất đặc trưng) Nếu A tập hợp tất phần tử x có tính chất đặc trưng P ta viết A ={x x có tính chất P} hay A ={x P(x)} Ví dụ: 1)Nếu A tập hợp số nguyên chẵn ta viết A = {nZn chẵn} 2) Nếu B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà tổng hai chữ số 10 B = {xNx có hai chữ số, tổng hai chữ số 10}, nhờ tính chất đặc trưng này, ta biết phần tử có thuộc B hay không, chẳng hạn 37  B 52  B 1.3 Tập rỗng, tập đơn tử a) Tập rỗng Ta gọi tập rỗng tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu  Ví dụ: Tập hợp nghiệm dương phương trình x + = tập rỗng b) Tập đơn tử Tập hợp có phần tử gọi tập đơn tử, tập đơn tử có phần tử a ta viết {a} Ví dụ: Tập hợp nghiệm (thực) phương trình x + = 0, tập hợp đường thẳng qua hai điểm cho trước, … tập đơn tử 1.4 Minh hoạ tập hợp hình vẽ Một tập hợp thường minh hoạ đường cong khép kín Mỗi phần tử thuộc tập hợp bx biểu diễn dấu gạch chéo bên x đường cong, phần tử không thuộc tập hợp a biểu thị dấu gạch chéo bên đường A xc cong Trên hình bên, ta có : a, b  A; c  A BÀI TẬP Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau: a) A tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị b) B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà tổng hai chữ số 12 a)Hãy tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp sau: A = {3, 6, 9, 12, 15}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, C = {1, 4, 9, 16, 25} b) Hãy thêm vào tập hợp phần tử mà không làm thay đổi tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Hãy liệt kê phần tử tập hợp A gồm chữ số x cho số tự nhiên 17 x chia hết cho §2 QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 2.1 Quan hệ bao hàm - Tập Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói A tập (hay phận) B phần tử A phần tử B, ký hiệu A  B Khi A  B ta nói A bao hàm B (hay A B) B bao hàm A (hay B chứa A) Quan hệ A  B gọi quan hệ bao hàm Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp học sinh nữ lớp B tập hợp học sinh lớp A  B 2) Giả sử C tập hợp nghiệm phương trình x - = D tập hợp nghiệm phương trình x2 - 5x + = 0, ta có C  D 3) Gọi T tập hợp tứ giác V tập hợp hình vuông mặt phẳng, V  T Chú ý: - Không phải hai tập có quan hệ bao hàm, chẳng hạn hai tập hợp A = {a, b, c, d} B = {a, b, e, f, g} quan hệ bao hàm - Ta quy ước  tập tập hợp 2.2 Hai tập hợp Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi A  B B  A, ký hiệu A = B Nói cách khác, hai tập hợp A B phần tử A phần tử B ngược lại Như vậy, để chứng minh A = B ta phải chứng minh: x  A xB x  B x  A Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp nghiệm phương trình x2 - 3x + = B={1, 2} A = B 2) Cho A = {n  N n  6} B = { n  N n  n  3} Ta thấy: - Nếu n  A tức n  mà ước 6, n  n  Điều có nghĩa n  B - Nếu n  B, tức n  n  Ta thấy nguyên tố nên n chia hết cho tích chúng, nghĩa n  6, hay n  A Theo định nghĩa A = B 2.3 Một số tính chất quan hệ bao hàm Định lý Quan hệ bao hàm có tính chất sau: a) Với tập A ta có A  A (tính chất phản xạ), b) Nếu A  B B  A A = B (tính chất phản xứng), c) Nếu A  B B  C A  C (tính chất bắc cầu) Chứng minh Tính chất a) suy trực tiếp từ định nghĩa tập Tính chất b) có từ định nghĩa hai tập hợp Bây ta chứng minh tính chất c) Giả sử x phần tử tùy ý thuộc A Vì A  B nên x  B, mặt khác B C nên ta lại có x  C Vậy với x  A ta suy x  C, tức A  C Tính chất a) chứng tỏ tập hợp tập Như tập hợp khác  có hai tập  nó, hai tập gọi tập tầm thường, tập không tầm thường gọi tập thực 2.4 Tập hợp tập tâp hợp Cho tập hợp A Ký hiệu P(A) tập hợp tất tập A, nghĩa P(A) = {X X  A} Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp học sinh lớp P(A) = {X X tập hợp nhóm học sinh lớp} 2) Cho B = {1,2} P(B) = {, {1}, {2}, {1, 2}} BÀI TẬP Viết tất tập tập hợp sau đây: a) A = {a} b) B = {1, 2, 3} Hãy xét quan hệ tập hợp A, B đây: a) A = {n  Nn + 10  15}, B = {n  Nn2  9} b) A tập hợp bội tự nhiên 3, B tập hợp bội tự nhiên Chứng minh đẳng thức A = B với: A tập hình bình hành có hai đường chéo nhau, B tập hình bình hành có góc vuông §3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 3.1 Phép hợp Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Hợp A B tập hợp tất phần tử thuộc hai tập đó, ký hiệu A  B Ta viết: A  B = {x x A x B} hay x  A  B  x  A x  B B Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A  A B Ví dụ: 1) Nếu A = {a, b, c, d} B = {a, b, e} A  B = {a, b, c, d, e} 2) Gọi A tập hợp số tự nhiên lẻ, B tập hợp số tự nhiên chẵn, A  B = N 3) Nếu A tập hợp nghiệm phương trình x2- = B tập hợp nghiệm phương trình x2- 5x + = A  B = {-2, 1, 2, 4} Chú ý: Theo định nghĩa, x  A  B  x  A x  B Do xAB x không thuộc tập số hai tập A B, tức x  A  B  x  A x  B 3.2 Phép giao Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Giao A B tập hợp tất phần tử đồng thời thuộc A B, ký hiệu A  B Ta viết: B A  B = {x x A x B} hay x  A  B  x  A x  B A Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A  B Ví dụ: 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} B tập hợp số tự nhiên lẻ, AB = {1, 3, 5} 2) Gọi A tập hợp nghiệm phương trình f(x) = B tập hợp nghiệm phương trình g(x) = A  B tập hợp nghiệm hệ phương f( x) trình  g( x)  3) Nếu A tập hợp bội tự nhiên B tập hợp bội tự nhiên A  B tập hợp bội chung tự nhiên 3, tức bội chung tự nhiên Chú ý: - Nếu A B phần tử chung (phần tử vừa thuộc A B), tức A  B = , ta nói A B rời - Theo định nghĩa, x  A  B  x  A x  B Do x  A  B x không thuộc đồng thời A B, nghĩa x không thuộc hai tập A B, hay x  A x  B Như x  A  B  x  A x  B 3.3 Một số tính chất phép hợp, phép giao Định lý Với tập A, B, C tùy ý ta có: 1) Tính giao hoán: A  B = B  A (của phép hợp), A  B = B  A (của phép giao) 2) Tính kết hợp: ( A  B )  C = A  ( B  C ) (của phép hợp), ( A  B )  C = A  ( B  C ) (của phép giao) Các tính chất chứng minh đễ dàng cách sử dụng trực tiếp định nghĩa phép hợp, phép giao tập hợp Chú ý: - Từ tính chất kết hợp phép hợp phép giao ta dùng ký hiệu A  B  C (gọi hợp ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A  B )  C A ( B  C ), dùng ký hiệu A  B  C (gọi giao ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A  B )  C A  ( B  C ) - Tương tự, ta mở rộng tính chất cho hợp giao nhiều tập hợp 3.4 Liên hệ phép hợp phép giao Định lý Với tập A, B, C tùy ý ta có: A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) (1), A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) (2) Chứng minh (1) Giả sử x  A  ( B  C ), tức x  A x  B  C Do x  B  C có nghĩa x  B x  C nên ta có: x  A x  B x  A  B, x  A x  C x  A  C Điều có nghĩa x  A  B x  A  C, tức x  ( A  B )  ( A  C ) Ngược lại, giả sử x  ( A  B )  ( A  C ) Theo định nghĩa phép hợp suy x  A  B x  A  C Mặt khác, theo định nghĩa phép giao ta có: x  A  B x  A x  B, x  A  C x  A x  C Như ta có x  A x thuộc hai tập B, C, hay xA x  B  C Điều có nghĩa x  A  ( B  C ) Tương tự ta chứng minh đẳng thức (2) Công thức (1) cho thấy phép giao phân phối phép hợp, công thức (2) cho thấy phép hợp phân phối phép giao 3.5 Phép trừ Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Hiệu A B tập hợp tất phần tử thuộc A không thuộc B, ký hiệu A\ B A – B Ta viết: A\ B = {x x  A x  B} hay x  A\ B  x  A x  B B Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A\ B Ví dụ: A 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x  N x ước 30} A\B = {4} B \ A = {6, 10, 15, 30} 2) Nếu A tập hợp tam giác vuông, B tập hợp tam giác cân A\ B tập hợp tam giác vuông mà không cân, B \ A tập hợp tam giác cân mà không vuông Chú ý: 10 3) Phép cộng tập hợp số tự nhiên ánh xạ từ tập hợp NNN Ánh xạ ứng cặp số tự nhiên (x, y) với số x + y: NNN (x, y)  x + y 4) Cho tập hợp X Tương ứng phần tử x  X với ánh xạ từ tập X đến tập X Ánh xạ thường ký hiệu 1X hay idX gọi ánh xạ đồng nhất: 1X : X  X x  x 5) Tương ứng phần tử x thuộc tập hợp số thực R với phần tử 2x+1 ánh xạ từ R đến R: RR x  2x + Chú ý: - Một phép tương ứng phần tử X với phần tử Y không ánh xạ từ X đến Y có phần tử X phần tử tương ứng Y, có phần tử X ứng với hon phần tử Y - Trong ánh xạ, phần tử thuộc nguồn có ảnh nhất, nghĩa f : X  Y ánh xạ x1 = x2 (x 1, x2  X) phải có f(x1) = f(x2), từ f(x 1)  f(x2) ta phải có x1  x - Mỗi phần tử nguồn có ảnh hai hay nhiều phần tử nguồn có chung ảnh Ngoài ra, có phần tử tập đích không ảnh phần tử tập nguồn 5.2 Ảnh tạo ảnh a) Định nghĩa Cho ánh xạ f : X  Y - Giả sử A  X Tập Y gồm tất ảnh phần tử thuộc A gọi ảnh A qua ánh xạ f, ký hiệu f(A): f(A) = { f(x) x  A} - Giả sử B  Y Tập X gồm tất tạo ảnh phần tử thuộc B gọi tạo ảnh toàn phần B qua ánh xạ f, ký hiệu f1 (B): f-1(B) = { x  X f(x)  B} Ví dụ: Cho ánh xạ f : R  R , x  2x + 1 Giả sử A = {-1, 0, , 2} B = {0, 1, 2} 20 Khi đó: f(A) = {-1, 1, , 5}, 1 f-1(B) = {- , 0, } 2 b) Định lý Cho ánh xạ f : X  Y - Với hai tập tùy ý A, B X ta có: f ( A  B ) = f ( A )  f( B ) f ( A  B )  f ( A )  f ( B ) - Với hai tập tùy ý A, B Y ta có: f-1 ( A  B ) = f-1 ( A)  f-1 ( B ) f-1( A  B ) = f-1 ( A )  f-1 ( B ) Ta chứng minh đẳng thức cách dễ dàng BÀI TẬP Giả sử X tập hợp tất người trái đất (kể người chết) Các quy tắc sau có phải ánh xạ từ X đến X không? a) Quy tắc ứng người với mẹ đẻ b) Quy tắc ứng người với anh trai c) Quy tắc ứng người với đẻ 2) Cho T tập hợp tất tam giác O tập hợp đường tròn a) Quy tắc ứng tam giác với đường tròn ngoại tiếp có phải ánh xạ từ T đến O không? b) Quy tắc ứng đường tròn với tam giác nội tiếp có phải ánh xạ từ O đến T không? Giải thích quy tắc ánh xạ từ R đến R: a) Quy tắc ứng số với nghịch đảo b) Quy tắc ứng số với bậc hai a) Quy tắc “Lấy số tự nhiên nhân với 4, trừ 10” có phải ánh xạ từ N đến N không? Vì sao? b) Muốn cho quy tắc trở thành ánh xạ từ N phải thay đổi tập đích (miền giá trị) nào? 21 c) Muốn cho quy tắc trở thành ánh xạ đến N phải thay đổi tập nguồn (miền xác định) nào? Cho ánh xạ f : N  N n  4n +5 a) Tìm f(1), f(5), f(25) b) Tìm f-1(4), f-1(9), f-1(15) Cho ánh xạ f : R  R x  x2 – 3x + Hãy tìm: a) f(0), f(1) f(-1) b) f([-1, 2]) c) f-1(1) f-1(-1) d) f-1([-1,1] §6 CÁC ÁNH XẠ ĐẶC BIỆT TÍCH CÁC ÁNH XẠ - ÁNH XẠ NGƯỢC 6.1 Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh Cho ánh xạ f : X  Y Trong trường hợp chung, xảy tình sau: - Hai nhiều phần tử X có chung ảnh Y (1) - Có phần tử Y không ảnh phần tử thuộc X (2) Trong mục ta xét trường hợp đặc biệt mà tình không xảy a) Đơn ánh Khi tình (1) không xảy f gọi đơn ánh Định nghĩa Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh với hai phần tử khác x1, x2 X ta có f(x1)  f(x2) Định nghĩa phát biểu cách khác : f : X  Y gọi đơn ánh từ f(x1) = f(x2) ta có x1 = x2 Ví dụ: 1) Dễ thấy ánh xạ đồng 1X : X  X , x  x đơn ánh 2) Ánh xạ f : R  R , x  x đơn ánh với x1  x2 f(x1)  f(x2) 3) Ánh xạ g : R  R , x  x2 đơn ánh với –x x có ảnh x2 b) Toàn ánh: Khi tình (2) không xảy f gọi toàn ánh 22 Định nghĩa Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh với y  Y tồn x  X cho f(x) = y Ví dụ: 1) Ánh xạ đồng 1X : X  X , x  x toàn ánh 2) Ánh xạ f : R  R , x  x3 toàn ánh y  Y có x = y  X f(x) = ( y )3 = y 3) Ánh xạ g : R  R , x  x toàn ánh số thực âm bình phương số thực Nếu ta thay tập đích R+ (tập hợp số thực không âm) g toàn ánh c) Song ánh Định nghĩa Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh nếu vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Như vậy, f song ánh với y  Y có x  X cho f(x) = y Song ánh f : X  Y gọi ánh xạ – từ X lên Y Ví dụ: Qua ví dụ phần a) b) ta thấy ánh xạ đồng 1X : X  X x x ánh xạ f : R  R , x  x song ánh 6.2 Tích ánh xạ a) Định nghĩa Cho hai ánh xạ f : X  Y g : Y  Z Tích hai ánh xạ f g ánh xạ h : X  Z xác định sau: h(x) = g(f(x)), x  X Tích ánh xạ f g ký hiệu g o f gf, ta có (g o f)(x) = g(f(x)), x  X Ta có hình minh họa sau: f x  g  h(x)=g(f(x))  y=f(x) Y X Ví dụ: 1) Với ánh xạ f : X  Y h ta có f o 1X = 1Y o f = f 2) Cho f : R  R g : R  R 23 Z x  x2 x  x + 2x + Khi (g ò f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x4 + 2x2 + 3, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2x + 3) = (x2 + 2x + 3)2 Chú ý: - Tích ánh xạ nói chung tính chất giao hoán: f o g  g o f - Ta mở rộng tích ánh xạ cho nhiều ánh xạ b) Một số tính chất Định lý Tích ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa f : X  Y, g : Y  Z h : Z  T h o ( go f) = (h o g) o f Chứng minh Với x  X ta có [ho (g o f)] (x) = h o ((g o f) (x)) = h(g(f(x)) = (h o g)(f(x)) = [(h o g) o f] (x) Vậy h o (g o f) = (h o g) o f Từ tính chất kết hợp ánh xạ, thay cho h o (g o f) (h o g) o f ta viết h o g o f gọi tích ba ánh xạ f, g, h Định lý Cho ánh xạ f : X  Y g : Y  T Khi đó: 1) Nếu f g đơn ánh g o f : X  T đơn ánh, 2) Nếu f g toàn ánh g o f : X  T toàn ánh, 3) Nếu f g song ánh g o f : X  T song ánh Chứng minh 1) Giả sử f, g đơn ánh Để chứng minh h đơn ánh ta phải chứng minh với x1  x thuộc X phải có h(x1)  h(x 2) Thật vậy, f đơn ánh nên từ x1  x2 ta có f(x1)  f(x2) Vì g đơn ánh nên từ f(x1)  f(x2) ta có g(f(x1))  g(f(x 2)), nghĩa h(x1)  h(x2) 2) Giả sử f, g toàn ánh Để chứng minh h toàn ánh ta phải chứng minh t  T tồn x  X cho h(x) = t Thật vậy, g toàn ánh nên t  T tồn y  Y cho g(y) = t Vì f toàn ánh nên có x  X cho y = f(x) Suy tồn x  X cho h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(y) = t 6.3 Ánh xạ ngược 24 a) Định nghĩa Cho f : X  Y song ánh Với y  Y tồn phần tử x  X cho f(x) = y Ánh xạ f-1 : Y  X đặt tương ứng phần tử y với phần tử x gọi ánh xạ ngược f Như f-1(y) = x  f(x) =y Dễ thấy ánh xạ ngược f-1 song ánh f song ánh Ví dụ: 1) Dễ dàng thấy hai ánh xạ x 3 f : R  R , x  2x + g : R  R , x  hai ánh xạ ngược 2) Hai ánh xạ f : R  R+ , x  ax g : R+  R , x  logax (trong a > 0, a  1) hai ánh xạ ngược Thật vậy, x  R+: (f o g) (x) = f(g(x)) = f(logax) = a log x = x, a x  R: (g o f) (x) = g(f(x)) = g(ax) = loga(ax) = x b) Một số tính chất Định lý 1) (f-1)-1 = f, 2) Nếu f : X  Y song ánh f o f-1 = 1Y , f-1 o f = 1X Chứng minh 1) Suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ ngược 2) Với x  X, đặt y = f(x) Ta có f-1(y) = x  f-1(f(x)) = x  (f-1 o f) (x) = 1X(x) Vậy f-1 o f = 1X Theo 1) (f-1)-1 = f nên f o f-1 = (f-1)-1 o f-1 = 1Y Định lý Giả sử g : Y  X g : Y X ánh xạ ngược f : X  Y Khi g = g  Chứng minh 25 Vì g g  ánh xạ ngược f nên g o f = 1X , f o g  = 1Y Từ ta có g = g o 1Y = g o (f o g  ) = (g o f) o g  = 1X o g  = g  Như vậy, ánh xạ f có ánh xạ ngược ánh xạ ngược BÀI TẬP 1) Giả sử X tập hợp tất người trái đất (kể người chết) Các quy tắc sau có phải ánh xạ từ X đến X không? Nếu ánh xạ chúng có phải đơn ánh, toàn ánh, song ánh không? a) Quy tắc f ứng người với mẹ đẻ b) Quy tắc g ứng người với anh trai Trong ánh xạ sau, ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh : a) f1 : N  N n  2n b) f2 : N  N n n+ c) f3 : R  R x  x2 d) f4 : R  R x  x Cho ánh xạ: a) f : R  R g:RR x  5x +1 x  x2 - b) f : R  R g:RR x  x +3x - x  sinx Hãy tìm ánh xạ g o f f o g Tìm ánh xạ ngược ánh xạ f : R  R x  3x + 26 B HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG I I MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương I đề cập đến sở lý thuyết tập hợp nhằm mục đích sau: 1) Cung cấp cho người học khái niệm kiến thức lý thuyết tập hợp như: khái niệm tập hợp, phép toán tập hợp, quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ, số khái niệm giải tích tổ hợp (chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) để họ tiếp thu kiến thức môn toán PPDH toán; đồng thời qua đó, bước đầu trang bị cho người học số quan điểm tư tưởng lý thuyết tập hợp – ngành toán học đại, đem lại cho họ tầm nhìn rộng sâu sắc nội dung phương pháp môn toán trường phổ thông nói chung bậc học sở nói riêng 2) Rèn luyện cho người học sử dụng xác thành thạo ký hiệu ngôn ngữ lý thuyết tập hợp Cùng với ký hiệu ngôn ngữ logic toán, ký hiệu ngôn ngữ lý thuyết tập hợp trước hết giúp cho người học đọc hiểu tài liệu toán học, sau giúp cho họ trình bày cách xác, sáng sủa dễ hiểu kiến thức toán học học môn toán bậc đại học giảng dạy môn toán trường phổ thông sau Với mục đích nêu trên, tự học chương I, người học cần ý số điểm sau: a Người học phải học cách tự giác, phải đào sâu suy nghĩ để hiểu chất khái niệm b Phải phát biểu cách xác định nghĩa, định lý; sau phải trình bày cách xác chứng minh toán học c Để thực hai yêu cầu trên, người học phải rèn cho thói quen sử dụng cách nghiêm túc xác ký hiêu toán học ngôn ngữ tự nhiên trình bày vấn đề toán học II NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ Để tự đọc hiểu khái niệm kiến thức trình bày chương I sau tự tìm tòi, học hỏi để hiểu sâu khái niệm kiến thức đó, người tự học cần ôn tập lại số khái niệm kiến thức sau chương trình môn toán trường phổ thông 27 Số tự nhiên tính chất số tự nhiên (xem sách giáo khoa Toán bậc tiểu học Số học lớp 6) Số nguyên, số hữu tỉ, số thực tính chất số nguyên, số hữu tỉ, số thực (xem chương trình môn toán lớp 6, 7, 8, 9) Những kiến thức hàm số sơ cấp học chương trình môn toán bậc PTCS, PTTH Những khái niệm kiến thức hình học phẳng hình học không gian (lớp 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) III YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT Người học cần phải nắm vững khái niệm sau đây: a) Tập hợp con, quan hệ bao hàm hai tập hợp b) Các phép toán tập hợp (phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu) c) Cặp thứ tự, tích Descartes d) Quan hệ hai tập, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự e) Ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh, tích ánh xạ, ánh xạ ngược f) Chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp  Chú ý: Ba khái niệm: quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (trong có ba loại ánh xạ đặc biệt đơn ánh, toàn ánh, song ánh) khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng toán học đại, đồng thời lại khái niệm trừu tượng khó hiểu người làm quen với lý thuyết tập hợp Để nắm vững khái niệm trên, người học phải nghiên cứu kỹ lý thuyết phải nắm khái niệm có trước thông qua việc đào sâu, suy nghĩ tự giải tập có liên quan đến ba khái niệm Những tính chất công thức quan trọng cần phải nắm vững: Người học phải phát biểu cách xác chứng minh tính chất sau đây: a) Ba tính chất quan hệ bao hàm (phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu) b) Một số tính chất phép toán tập hợp (§1-7.4) c) Một số tính chất lớp tương đương (phần quan hệ tương đương: §2-2.2) d) Một số tính chất ảnh tạo ảnh (xem định lý §3-4.2) e) Tính chất đơn ánh, toàn ánh song ánh (xem định lý §36.1) 28 f) Điều kiện tồn ánh xạ ngược tính chất ánh xạ ngược Các công thức tính số chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp IV CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Khi tự học §1 (Tập hợp), người học cần ý số vấn đề sau: a) Trong hai cách (hay phương pháp) thường sử dụng để xác định tập hợp cách “chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng” hay sử dụng toán học Chẳng hạn, gọi A, B, C, D theo thứ tự tập số (tự nhiên) chẵn, lẻ, bội 6, ước 24, người ta thường viết: A = x  N | x = 2k, k N =  2k, k N B = x  N | x = 2k + 1, k N =  2k + 1, k N C = x  N | x = 6k, k N =  6k , k N D = x  N | x | 12 Khi ta viết: X = x | x có tính chất T điều có nghĩa là: x  X  x có tính chất T b) Khi tự học để tìm hiểu khái niệm tập con, quan hệ bao hàm, hai tập nhau, người học nên dùng số ký hiệu logic toán , , ,  cách diễn đạt định nghĩa trở nên ngắn gọn, sáng sủa dễ hiểu Chẳng hạn viết: A  B  (x, x  A  x  B) A = B  (x, x  A  x  B)  A  B B  A A phận thực B  A B A  B c) Khi tự học để tìm hiểu định nghĩa phép toán , ,  (phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu tập hợp), người học phải suy nghĩ kỹ để hiểu định nghĩa sau biết vận dụng định nghĩa vào việc chứng minh đẳng thức tập hợp + Phép hợp: A  B = x | x  A x  B nghĩa là: x  A  B  x  A x  B 29 đó: x  A  B  x  A x  B + Phép giao: A  B = x | x  A x  B nghĩa là: x  A  B  x  A x  B đó: x  A  B  x  A x  B + Phép lấy hiệu: A - B = x | x  A x  B nghĩa là: x  A - B  x  A x  B đó: x  A - B  x  A x  B Để rèn luyện cho phương pháp lực suy luận logic, người học nên tự chứng minh số đẳng thức tập hợp (xem chứng minh số tính chất định lý §1-7.4 hướng dẫn giải tập chương I – tập 11) d) Khái niệm cặp thứ tự tích Đề-các người học khó, người học phải ý để nắm vững, hai khái niệm có liên quan chặt chẽ với khái niệm quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự Khi tự học §2 (Quan hệ), người học cần ý số vấn đề sau: a) Khái niệm quan hệ hai tập hợp khái niệm khó hiểu người học Ở người ta gọi tập S bình phương Đề-các X2 (hay tích Đề-các XxX) quan hệ hai tập X tập S XxX hoàn toàn xác định quan hệ phần tử X Để nắm quan hệ hai tập, người học sau nghiên cứu kỹ lý thuyết, cần tự giải tập 14, 15, 16 b) Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương quan hệ hai (trong tập hợp) có vai trò đặc biệt quan trọng toán học Để nắm vững khái niệm quan hệ tương đương, người học phải nắm vững: - Định nghĩa tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu quan hệ hai tập - Định nghĩa ví dụ quan hệ tương đương - Khái niệm lớp tương đương - Khái niệm tập tương đương 30 Sau nghiên cứu ký lý thuyết, người học thiết phải tự giải tập 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 (chương I) c) Quan hệ thứ tự Cũng quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự loại quan hệ hai (trong tập) có vai trò đặc biệt quan trọng toán học Khi tự học để nắm vững khái niệm quan hệ thứ tự, người học cần lưu ý số điểm sau: - Trong định nghĩa quan hệ thứ tự (quan hệ hai tập X có tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu, gọi quan hệ thứ tự), người ta dùng ký hiệu  để quan hệ thứ tự người ta quy ước đọc ký hiệu  “nhỏ bằng” Ta cần hiểu ký hiệu  tổ từ “nhỏ bằng” bắt chước ký hiệu tên gọi ký hiệu tập số quen biết Vì ký hiệu  tổ từ “nhỏ bằng” trường hợp tổng quát không mang ý nghĩa thông thường ký hiệu cách đọc ký hiệu Để tránh nhầm lẫn số tác giả dùng ký hiệu , , để quan hệ thứ tự tùy ý Tuy vậy, sau đưa vào định nghĩa sau quan hệ < (đọc “nhỏ hơn” ): x < y  x  y x  y Người ta lại dễ dàng chứng minh rằng: x  y  x < y x = y ký hiệu  tổ từ “nhỏ bằng” lại mang ý nghĩa thông thường ta biết quan hệ thứ tự  thông thường tập số - Trong tập X, có quan hệ thứ tự  ta gọi X tập thứ tự Đôi ta ký hiệu tập thứ tự X với quan hệ thứ tự  (còn gọi thứ tự  ) (X, ) - Trong tập hợp X đó, có nhiều quan hệ thứ tự Chẳng hạn tập N* có hai quan hệ thứ tự, quan hệ thứ tự  thông thường quan hệ thứ tự “chia hết” (|) Ta dùng hai ký hiệu (N*, ) (N*, |) để hai tập thứ tự khác Cần đặc biệt quan tâm đến khái niệm quan hệ thứ tự toàn phần tập thứ tự toàn phần Một quan hệ thứ tự  tập X gọi quan hệ thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện:  x,y  X, ta có x  y y  x Ta chứng minh điều kiện tương đương với điều kiện sau:  x,y  X, ta có x < y, x = y, x > y 31 Nếu  quan hệ thứ tự toàn phần X ta gọi tập thứ tự (X, ) tập thứ tự toàn phần - Người học cần nắm vững khái niệm khác như: phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên, chặn đặc biệt khái niệm tập thứ tự tốt - Đối với khái niệm chặn nhỏ nhất, chặn lớn nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu, người học đọc thêm để biết, qua hiểu sâu thêm quan hệ thứ tự - Cuối cần lưu ý chương trình môn toán tiểu học, dạy cho học sinh quan hệ < (đọc “nhỏ hơn” hay “bé hơn”) tập N số tự nhiên Với quan hệ  thông thường N ta hiểu quan hệ < sau: a < b  a  b a  b Vì lý sư phạm tâm lý, nên chưa thể dạy cho học sinh tiểu học quan hệ  Chẳng hạn viết 1 học sinh tiểu học chưa thể hiểu được, mà ta phải viết 1< Rõ ràng quan hệ nhỏ N (và tập thứ tự bất kỳ) có tính chất phản đối xứng bắc cầu tính chất phản xạ - Người học cần phải giải tập 23, 24, 25, 26, 27 để nắm vững quan hệ thứ tự khái niệm có liên quan Khi tự học §3 (Ánh xạ), người học cần ý số vấn đề sau: a) Khái niệm ánh xạ khái niệm mở rộng từ khái niệm hàm số + Định nghĩa khái niệm ánh xạ: Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x  X với phần tử y  Y Trong định nghĩa trên, cụm từ “một phần tử” thay cụm từ khác có ý nghĩa tương đương: “một phần tử nhất” “một phần tử hoàn toàn xác định” Khi ta hiểu là: có ánh xạ f: X  Y với x1, x  X, ta có: x1 = x2 kéo theo f(x1) = f(x2) để nắm vững định nghĩa khái niệm ánh xạ, sau đọc kỹ lý thuyết người học phải tự giải tập 28, 29, 30 (chương I) b) Khái niệm ảnh tạo ảnh: - ảnh tập A ( hay “qua”) ánh xạ f: Có cách xác định tập f(A): f(A) = y  Y |  x  A cho f(x) = y f(A) = f( x) | x  A  32 ta có: y  f(A)   x  A cho y = f(x) - Tạo ảnh toàn phần tập B  Y f (B) =  x  X | f( x)  B Từ đó: x  f 1(B)  f(x)  B Tạo ảnh toàn phần phần tử b  Y: f 1(B) = f 1(b) = x  X | f(x) = b Khái niệm ảnh tạo ảnh toàn phần tập khái niệm khó người học Vì vậy, người học phải nghiên cứu kỹ định nghĩa ví dụ minh họa, sau tự nêu ví dụ cụ thể giải tập 31, 32, 33 (chương I) c) Đơn ánh, toàn ánh, song ánh loại ánh xạ đặc biệt, có vai trò quan trọng toán học đại - Có ba định nghĩa (tương đương nhau) khái niệm đơn ánh: + Ánh xạ f: X  Y gọi đơn ánh với x1, x  X, ta có x  x2 kéo theo f(x1)  f(x2) + Ánh xạ f: X  Y gọi đơn ánh với x1, x  X, ta có f(x1) = f(x2) kéo theo x1 = x2 + Ánh xạ f: X  Y gọi đơn ánh y  Y có không tạo ảnh x  X qua ánh xạ f Chú ý cum từ “có không một” thay cụm từ có nghĩa sau đây: “có không nhiều một” “có tối đa một” Chẳng hạn phát biểu định nghĩa khái niệm đơn ánh sau: Ánh xạ f: X  Y gọi đơn ánh y  Y có tối đa phần tử x  X cho y = f(x) - Có hai định nghĩa (tương đương nhau) khái niệm toàn ánh: + Ánh xạ f: X  Y gọi toàn ánh f(X) = Y + Ánh xạ f: X  Y gọi toàn ánh phần từ y Y có tạo ảnh x  X f ( nghĩa có phần tử x  X cho y = f(x)) Định nghĩa thứ hai phát biểu sau: + Ánh xạ f: X  Y toàn ánh  y  Y,  x  X, y = f(x) - Khái niệm song ánh có hai định nghĩa tương đương: + Ánh xạ f: X  Y gọi song ánh f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh 33 + Ánh xạ f: X  Y gọi song ánh phần tử y  Y có tạo ảnh x  X f (nghĩa với y  Y tồn phần tử x  X cho y = f(x)) Chú ý: từ định nghĩa thứ khái niệm song ánh, ta suy mệnh đề sau: + Ánh xạ f: X  Y không song ánh  f đơn ánh f toàn ánh - Ta thường vận dụng định nghĩa nêu ba khái niệm đơn ánh, toàn ánh, song ánh chứng minh toán học định lý nói khái niệm (xem chứng minh định lý 26.1, §3- chương I; tập 37 (chương I) - Ta phải vận dụng định nghĩa để chứng minh ánh xạ cho (hoặc không là) đơn ánh, toàn ánh, song ánh (xem lời giải tập 34, 36 – chương I) Khi tự học §4 (Giải tích tổ hợp), người học cần ý số vấn đề sau: a) Người học phải nắm vững khái niệm: chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp Để nắm vững khái niệm thiết phải nắm cách chứng minh định lý công thức tính Fkn (số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử); Akn (số chỉnh hợp chập k n phần tử); Ckn (số tổ chập k n phần tử); P n (số hoán vị n phần tử) Do đó, người học phải tự giải tập 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 b) Người học nên đọc thêm số sách tham khảo giải tích tổ hợp c) Người học cần nắm công thức khai triển nhị thị thức Newton để vận dụng Người học nên vận dụng công thức tính Fkn Akn vào việc giải số tập số chữ 4-5 34 [...]... niệm và kiến thức cơ bản sau đây trong chương trình môn toán ở trường phổ thông 27 1 Số tự nhiên và tính chất của số tự nhiên (xem sách giáo khoa Toán bậc tiểu học và Số học lớp 6) 2 Số nguyên, số hữu tỉ, số thực và những tính chất của số nguyên, số hữu tỉ, số thực (xem chương trình môn toán lớp 6, 7, 8, 9) 3 Những kiến thức về các hàm số sơ cấp đã được học trong chương trình môn toán bậc PTCS, PTTH... nghĩa, định lý; sau đó phải trình bày một cách chính xác các chứng minh toán học c Để thực hiện được hai yêu cầu trên, người học phải rèn cho mình một thói quen sử dụng một cách nghiêm túc và chính xác các ký hiêu toán học và ngôn ngữ tự nhiên trong khi trình bày một vấn đề của toán học II NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ Để có thể tự đọc và hiểu những khái niệm và kiến thức trình bày trong chương I và... ngữ của lý thuyết tập hợp Cùng với các ký hiệu và ngôn ngữ của logic toán, các ký hiệu và ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp trước hết sẽ giúp cho người học đọc và hiểu các tài liệu toán học, sau đó giúp cho họ trình bày một cách chính xác, sáng sủa và dễ hiểu những kiến thức toán học trong khi học môn toán ở bậc đại học và giảng dạy môn toán ở trường phổ thông sau này Với những mục đích đã nêu trên, khi... thể tiếp thu được những kiến thức của bộ môn toán và PPDH toán; đồng thời qua đó, bước đầu trang bị cho người học một số quan điểm và tư tưởng của lý thuyết tập hợp – một ngành của toán học hiện đại, đem lại cho họ một tầm nhìn rộng hơn và sâu sắc hơn đối với nội dung và phương pháp của môn toán ở trường phổ thông nói chung và ở bậc học cơ sở nói riêng 2) Rèn luyện cho người học sử dụng chính xác và... những cơ sở của lý thuyết tập hợp nhằm những mục đích sau: 1) Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản của lý thuyết tập hợp như: khái niệm tập hợp, các phép toán trên tập hợp, quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ, một số khái niệm của giải tích tổ hợp (chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) để họ có thể tiếp thu được những kiến thức của bộ môn toán và... = A \ ( A  B ) b) A  ( B\ C ) = ( A  B )\ C 5 Cho hai tập tùy ý A, B Chứng minh rằng: a) A  B = A khi và chỉ khi A  B b) A  B = B khi và chỉ khi A  B 6 Thống kê tình hình tự bồi dưỡng trình độ trong 100 giáo viên cho thấy: 33 người học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồi dưỡng chuyên môn Trong số đó có 8 người vừa học ngoại ngữ vừa học tin học, 10 người vừa bồi dưỡng chuyên môn vừa... niệm và kiến thức về hình học phẳng và hình học không gian (lớp 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) III YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT 1 Người học cần phải nắm vững những khái niệm cơ bản sau đây: a) Tập hợp con, quan hệ bao hàm và hai tập hợp bằng nhau b) Các phép toán trên các tập hợp (phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu) c) Cặp sắp thứ tự, tích Descartes d) Quan hệ hai ngôi trong một tập, quan hệ tương đương, quan hệ thứ... phải nắm vững: Người học phải phát biểu một cách chính xác và chứng minh được các tính chất sau đây: a) Ba tính chất của quan hệ bao hàm (phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu) b) Một số tính chất cơ bản của các phép toán trên tập hợp (§1-7.4) c) Một số tính chất của lớp tương đương (phần quan hệ tương đương: §2-2.2) d) Một số tính chất của ảnh và tạo ảnh (xem định lý trong §3-4.2) e) Tính chất của đơn ánh,... tập bằng nhau, người học nên dùng một số ký hiệu của logic toán như , , ,  để cho cách diễn đạt các định nghĩa trở nên ngắn gọn, sáng sủa và do đó dễ hiểu Chẳng hạn như viết: A  B  (x, x  A  x  B) A = B  (x, x  A  x  B)  A  B và B  A A là bộ phận thực sự của B  A B và A  B c) Khi tự học để tìm hiểu định nghĩa của phép toán , ,  (phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu trên các tập... các khái niệm chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu, người học đọc thêm để biết, qua đó hiểu sâu thêm về quan hệ thứ tự - Cuối cùng cần lưu ý rằng trong chương trình môn toán ở tiểu học, chúng ta chỉ dạy cho học sinh quan hệ < (đọc là “nhỏ hơn” hay “bé hơn”) trong tập N các số tự nhiên Với quan hệ  thông thường trong N ta cũng hiểu quan hệ < như sau: a < b  a 