4 231 BB GIO GIO DC DC VV O O TO TOca bi toỏn Cauchy cho - vỡKho sỏttatớnh chớnh quy ca nghim nht thc t chỳng mong mun nhn c thụng tin tng th v y hn TRNG TRNG II HC HC s PHM s PHM HH NI NI 2 Lũi mõy u phng trỡnh Nhỡn chung, cỏc nghiờn cu c in trc hoc cha quan tõm ti tớnh ton29 2.2 Tớnh duyHamilton-Jacobi nht ca nghim nht Mc lc Li cm n i tng v v cỏch nghiờn cunghim mt cỏch mm (do bn cc ca hoc cha hiu nghim, Lý chn phm ti cú Cu trỳc v tớnh chớnh quy ca nghim nht cho Biphi toỏn Cauchy phng Hamilton - Jacobi, phng trỡnh vi cc phõn c cht tuyn ca cho phng trỡnhtrỡnh Hamilton-Jacobi, nghim c v in ton ch Vic nghiờn cu phng trỡnh phi tuyn núi chung phng trỡnh vi phng trỡnh Hamilton - Jacobi 36 trng, cụng thc dng Hopf-Lax cho nghim nht tn ti cm mt s lp khỏ cnúi bit), vótv úang nghim suyvn rng Li n i phõn o hm riờng phi tuyn ring l mt rahti scCú cn 3.1 Cụng thc dng Hopf - Lax v c trng 36 Phng phỏp nghiờn cu nhiu nghim suy rng c lnh xutvc nhPhng : Nghim ton Lipschitz, thit5.loi ca gii tớch hin i:óch trỡnh occ hm phi Lun c hon thnh tinghim trng i hc Sthc phm H Ni riờng di s 3.2 Tớnh chớnh quy ca cho bi cụng Hopf-Lax 55 Li cam oan TRN TH PHNG Nghiờn cu lý thuyt, thu thp ti liu, c v phõn tớch, tng hp nhn nghim tớch phõn, nghim nht Bi bỏo ca M.G Crandall v L.c Lions nm tuyn cp ta cú thy hng cỏcScụng cahng rt nhiu hng dn mt ca chỳng thy giỏo TS.th Nguyn Hulot Th giỳptỡnh v dn cỏc tn Lun chng cny hon thnh ti dng trng i phm Trong chỳng ta s cỏc kthc quS tiH liuNi [2],2.[4], [8] TRN TH PHNG c mt nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim nhút ca bi toỏn Cauchy Kt lun 60 1983 ó t nn múng u tiờn cho cỏc nghiờn cu v nghim nht, vv nh toỏn trờnca ththy giúi,trong ttong sut ú Phng ttỡnh HamiltonJacobi ó ang Li m hc utỳc tỡnh, nghiờm quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp Tụi TNH xin camCHNH oan lun QUY l cụng nghiờn cuNHT ca riờngi tụi di hng1 CAtnh NGHIM VIsBI cho trỡnh Hamilton-Jacobi sau úphng ó cú tõm rt nhiu nhng kt qu kinh in v nghim nht i v to c quan nhiu tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi dn ca TS Nguyn Hu Th Ti liu tham kho 61 TON CAUCHY CHO 1.1Tp úng, m Kin thc chun b PHNG TRèNH HAMILTON- úng gúp ca ti nhng nh hng quan trng Phng Hamilton-Jacobi ltrng phng trỡnhnht o hm riờng phi tuyn cp xin byquỏ ttrỡnh lũng n, lũng kớnh sõu lun sc vik thy JACOBI Trong trỡnhbit nghiờn cu v hon thnh i tụi ó tha nhng thnh 1.1 1.1 Tp úng, m Trỡnh by mt cỏch h vgi cu trỳc nghim nhtnht vi chớnh quy ca Vingha mun c tip ti lýNGHIM thuyt v nghim caVI phng nh Cho 1cú cm 1", Êthng >cn 0,CA ta TNH CHNH QUY NHT mt cúmong dng nh sau: Tỏc gi xin trõn trng n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n 1.2 Hm li nghim nht caTON bi toỏn Cauchy chodn phng trỡnhNguyn Hamilton-Jacobi mụchn t bi trỡnh Hamilton-Jacobi, cCAUCHY s hng ca Thy Hu Th, tụi BI CHO PHNG TRèNH 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn lun ó c ch rừ Tụi xin cam oan i rng tinttớch B (+ngnh: xcỏc , thụng ố ) Toỏn := i R" :,dn || Chuyờn -77H(t, gii = 0tớch > , KII" saoTỏc chogi B{X,E) c Ni, ngy 05 thỏng nmphng 2015 1.6 kho Hm sỏt na 10 l t vic cỏclừm bi toỏn bin phõnH vi u mỳt ng Cú nhiu H Ni, ngy 05 thỏng nm 2015 u Mc ớch nghiờn cu Tỏccp gimt cnghiờn tiling ca phng o hm riờng phiphng tuyn 11 LUN VNtrỡnh THC TON HC phỏp c1.7 in cu nghim trn, a S phng ca ỡnh Tỏc gi ny nh n F c Mttỳc " gi l úngnht nu u M \Fbi l m Mụ Tp t cu nghim i:= vúi toỏn Cauchy cho phng trỡnh 1.7.1 Phng ỡnh vi nhng phõn thng trng 11 LUN VN THC S TON lý Cauchy-Kovalevskays l mt nh lý HC uc tiờn núi v s.tn ti, n n Trn Th Phng Tp V -Jacobi M githụng l lõnqua cnc catiling X GR tn ti Ê >quy ( , nht ) ỡ/ Hamilton v nu xột tớnh chớnh cacho nghim 1.7.2 a iu kinvúi biờn 13 nht nghim phng cỏc d kin c t l nhng hm gii ngha Nhim vCho nghiờn nh 1.3 A lcu bt kỡ Mn Kớ hiu {Fj()} eJ l h tt 19 1.7.3 Nghim NGI HNG DN KHOA HC: tớch Cỏc phng phỏp tỏcha bin,phng bin i Legendre,Trn tớch Th phõn ton phn, lý Phng Tng quan v phng phỏp c trng i vi phng tỡnh o hm c cỏc úng cha A TS NGUYN HU TH thuyt c trng Cauchy, ng dng ó gúp phn lm phong ph lnh vc riờng Nghim nht hm Th riờng cp mt Phng phi tuyn cpca phng trỡnh o Trn 21 nghiờn cu v phng trỡnh Hamilton-Jacobi - Mụ t nghim nht cho bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Hamilton22 nhiu bi toỏn yt lý v ng dng, nghim c in, a Tuy nhiờn, Jacobi thụng qua nghim ca phng ỡnh vi phõn c trng phng ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi cha ỏp ng c yờu cu HH NI, 2015 NI, 2015 Chng KinLũi cam oan thc chun b 27 33 35 34 32 41 39 37 50 46 44 45 47 48 42 43 49 51 52 13 16 10 12 11 14 15 68740 19 20 18 23 24 26 22 21 61 60 53 59 55 56 58 57 54 28 31 29 30 17 25 n X )iúng =vngt Ê:)(l{toi xv )liờn ,nh x,tiu M ,do (3.2) xxG l mt ng c trng qua (cú t( xm= ) Theo ngha, egGi l* (t ,(1.1), Xo) Khi nA T (2.9) thit ta cú Cui ta t 0k(t) Tc l rng Po] b Do 0Khi () = ta S dng tớnh n iu ngt ca hm ](t p) ttờn [t, txỏc ]ng thy rng + vúi Biu hng dựng iu thc s ny phộp ú, i ny ch > bin cú 0phn no rng dng i ú thớch u(t, Tng hp x) t vi ( phn ) biờn nh ang lý c quan chng tõm minh Vúi nm gia v t\p\, + h,kh ,0)= (t, x,p) c bi (3.4) Núi v 2: Gi s H = + v (t) khụng i du Hn na [Trng xú, Khi ,2 yT ú ]g(ớCo) cti F ớ, = v F [0,1] () t(II) l ali mt cIi(0, úl ớxphng 00} l ng m c tiling rng h ti xut t (0, ytthc ) ú, Bng cn D cỏc thit thy iu i thớch tip (1.2) hp theo ta suy h /k l hm tc u t cc Tng 1.7.3 tiu t ta im t Nghim (s ,quy V) a phng nờn ot,p) V t cc ti (s ,yp) J) vi vi cựng xnh > ,u(t \y\, cha Êkin ;j(gi |ỗ| R (vi R > 0cc no ú), (t, s) l hm liờn trỡnh vi phõn thng ng tng ch yu nh sau Chỳ ý[p, 3.1.3 y(y) Po o) thỡ l phõn ca hm ti hỡnh thnh nghim trờn thut ca phng phỏp tiờu nht 0trong B 3.1 Cho V 0t(tT nhc mt Xo)) lí ngha < g(t)h(p) D dom nht V M a svi ra: rng nu t ca (2.8) nú, /cho :hp > R c li nu X c ngha 1ti bi n = ((to, xlm trờn {H(r,p)dr tvy X M" khng nh sau ( ,bin z, p) Cõu hi t l: cú th (;c ,bt z, nh th m nh 1.7 f|Ê'|, l mt li, úng v xỏc nh trờn Khi ú f* Khi nh lý D 3.4 Do Xo) ú, ls (lloi D~u(t t,nht ,w(0,;c) XÊo) oca )da l n tr c Nh gi l ta trờn phõn (di phõn) Th thỡ cũn kin p(0) p thỡ sao? T nh lý 2.2 (Tớnh hp nghim nht) Cho uphỏt l mt nu) gX ichng )M" m < ớ* C th ,tng ta cú p p* Bng cỏch nh lý 2.1, chỳng 0R :theo 0= :gi ú (t,x,p) =s x,p) *(p) f nghim Khi ú, (tgn 2ú, 1Hm 66 )lý ,Tip V G cGi ((0, ]lý X M )nh vmhm l u V nhiu = tti cttong vi ỏp iớ/iu (dng cIshii di cphi i0Rtrit hvi uHopfno nht aminh Cho 0iu kt hp vi (2.12), (2.13) dn 3.2Tớnh chớnh ca nghim cho b cụng thc Lax vi q l(t , x 0n) Cho : X = x + f (, qo)dr l ng c trng loi ( t , x, ,xp y( x ), p> ) 0(0,0,0,0) 70 J H(T, p)dr tca ỡ s ỡ 0hiu =úng zgim W)\ n e X tn ti lõn cn \H{x,p) u(x) -a H(x,q)\ z(y(x),s(x)) < c\p-q\ F gi l bao A, kớ A 'Tp ớ{ii)f{x,g(x)) 0{ ( ta cú 1n) X Xột G R l m, b chn, xuv e= 1,2,3, D uÊ([0, (Ngoi t0phng ,:= ) =ltrờn Hm /[, c gi l Lipchitz nu mi X ớo thụng tớn ca gi thit (Ai), d dng thy rng vi (h ,thuc mTa nh, dóy ] 0) ú H(t,p) thuc lp T) X M v (x) G (M m ))kl m)hm li khụng õm, khụng theo s o c theo Gi s u tha (1.5)-(1.6) v X l im c nh no ú u sXCho * ti p : e c du = iu xy kin nu tng A = thớch? hoc A hu hn v ú domf* = v ch f i hu hn ca uli tthy ,6 X ) ti ( t , X Q ) tỡm (1.6) suy ra: v gi s rng kh vi ti im ( t , x (0, oo) M" ta rng X) thuc c (0, ớ*) X M" g ớch ca chỳng ta l dựng h phng trỡnh vi phõn thng c tiling p h n t0cú i2EH nh X = lý x(t, 3.9 y) Gi = y s + cú f H (Ai) ( T , y(y))dr v (^ 2)Trong trng hp ( t,.) l mt Mnh 1.1 Cho , V l cỏc hm xỏc nh trờn mt m ệ M Hamiltonian -D s F(x(s), MPl .0} õy H ( x , p ) hm liờn tc theo X v p 2 (o) p(s) = D z(s), = {z E p(s)) dom*/d*(z) D F(x(s), z(s), p(s)).p(s) v( |(s s0 ,y )2/ := 01phn + |it(oQt vny )-x(-X ớ{ro+ z0 50.(0)(X) + ) ớa?o| (.= ^A) 0n -+ (2.25) v G(y,v(y),Dv(y)) = 0+ |x|pi(x), S-=,pu(x) o ),\)*= >) {) oz(|)X, zX )ta x(x, -A) (>p y-+A + yv{to,p) ,ip(Ps) o))-Ê )trong {.V p0,= t{ty)oG )o= \ ,{(nghiờn (t l/o| )(2.24), n c (Ax (1 = y) \ )< {-ytrong + = (1 |p|) ) )(0,t (y) - Theo 1) u{(HNu ,,to px Hchỳng (s H (-v Tv pa?o - y) < (3.18) (trong -x plý ),ni -xim (H cký r Lipchitz *(s (x p,Brouwer) )hiu Cnh Tchn *( (v ) im - ,y= H , 0x P(1.6) ) - (IM ,ncú {,010) )Êc 1, gtvi tnh {tt)0 ,-do D (k0,e),trờn t))\l(t (2.14) m U ca X cho thu f)l(t u+ta l (Pm)m l b Khi x = ta y cú + J th T mt (Xo)) y(Cho )U ) 0d,p) Tdóy ^ cng ký hiu Khi ú, ti Bng gi thit v 3.3, tt c cỏc t, x) E c, t [0, ) l 0](t 0,hp 0aV, 0H xnh x( nh thit lý cho 1.1 cỏc (nh lý im sau bt ng G Ê > 0, ký hiu * l liờn hp Fenchel y(y ca ) e y(*(t P ,x ,x ) mt ng nm u X vi x r Theo ta u = trờn 0 x Theo lý 3.3, (ti,Xi) ,xo), ú = = vỡvỡ , (I) Do ú Núi cỏch khỏc, trc mt = (yi, , i 0r, = X f H ( T , P O ) ( T 0 D v ( t , x ) P Khi ú nh 3.1 Chỳng ta gi hm u(t, x) c n nu cho bi (3.3) l cụng thc rng 0(1.5)-(1.6) xõy nh dng ngha 1.15 nghim Ta +núi ca bi biờn toỏn du l, H(t c vi ớtlừm ti mi gn im Chn z G x du etn v ti im (ớ , Ê ) (0> Khi ú 0mt 0s hm lừm, ta gi s thờm ,.) l ngt vi hu ht nÊ nh lý 1.3 Mi hm li xỏc nh trờn M v ch nhn giỏ tr M u eớrng (i) Gi hm V t cc tiu (tng ng cc i) ti i/o Ê o Khi ú 0ter Chỳng ta cng xột D*u(t , x ) l gradient ti hn ca u(t, X) ti (t , x ) 0 ( ) ( , X , Ê , p ) < H ( t X , Ê , p ) v i \ x x | < A , n < z{s), Cho / : > tha J(6) u0 z(s) + HM Xp, F(-x(s), uM ,k Du ) e A u p(s)).p(s) =k to ( , oo) X R " , 0(=t , D < vi X , y,p,q E M v hng s c > n { y , P P o ) = v ( p ) v ( p o ) = v(x) v(po) + (y,Z~Po) cho u(t, x) l kh vi liờn tc Tip ú, gi thit cc tiu di ta ch rng n u(x x , ,Ê-1,0) = g{x,x , gn x G VM = v2.1 ( tf, y Ê ) Mt = (y) (tc H'li, ,y hu ,,= ychn )i,: ))khi /xcong: Hx rliờn , (ty,( l ytc ) ))mt dI-ằ Tl lnghim (iv ):= Nu uM cmt thỡ goxJra c(m ( dT) (ớuT=: kỏnh )-c úng s) G Li(0 xny = V+ nim + (rtrng i ,(l y> )thng 2)ca (1.22) nh ngha hm liờn u, b gi nu n(2 Cho /)gi, :l > mt hm hn, /(c u v na (nh P m m cho pca > P 00 -yng Do xvit (nh t ,thỡ xhn )sau lnht na chớnh quy B(x, e) x G R :l || II Lax ta nhn cho M liờn c bi tc, toỏn Pi(o) Cauchy = (3.1) (3.2) Mt im (ớ , Êo) c + Cng vỡ nghim nht ca nờn e ý t (2.21) ta thy ỏnh x gi thit rng phn gn x l phng v nm trờn mt phng {x = 0} Hn > v : M > M thuc lp c cho nthc 02tD 0:t0vnghim Mnh Bng phng 1.3 Cho phỏp Vu(t c :Ds trng K mt hm hm nh li ngha Hn bi na, cụng dng Do ú, (0, T) Cho ,\\ x) l nht ca bi toỏn Cauchy (3.1 )-(3.2) udom (+> )=xl = liờn tc hoc D~v ( ) (tng ng Ê D v ( )) nh sau 0Cauchy, :x 0,, u = ttờn {ớ = 0} X 1", |Ê u ( t , x o) < A, p ( t o)| < A v h.k.n \ t t \ < A Q = (7* {y G ir|cr*(y) < + 00} \(t + S Q ) + {to o) ) + Ê (|z | + M ) Chỳ ý rng ti mt im (t ) G ú u(t, X) l kh vi s cú th cú (c)x(s) = DpF(x(s),z(s),p(s)) Ta xem xột cỏc trng hp sau Q v vit k = {g{t)h (po),p Po) g(t){h(p ) h(p )) Nhng t (2.11) v kh vi x0phng )Xo)) iỡ P( tti,Dv(t 0(ớ, x ) vi Qu,thỡ 0,,x nu (tHm x{x l im u x(Dt)bi tn ti k d khỏc t vxỏc )ca H(x )) /.(>0) (2.17) undo (,x t X+ on )y) + H> (zo, (=tz, =< 0.im 0, = t -(t 0nh 0, Po, ) -d /ol 1*0 -0uvv Sol (e) gG c gn x(x trỡnh fuhm (x,y) =ú 2-> p(2.7) p(t,y) = k y(y) > -dc Po, y) (z-s y) 0.(2.26) ca -tc (2.8) nu: cng liờn trờn R (ifcjZfc) liờn tc di nờn p G l(t ,x tc l Po = PBõy gi, cho m > oo ta cú : liờn tc Lipschitz trờn mi chn ca dom (ii) Nu cỏc na vi phõn ca ti y0+00 l khỏc rng, vi tt ( t, ) = - v ly , = 1,2, ta thy rng (ớfc,Zfc) (0,z ) x, bỏn E Khi mi ỏnh x liờn tc : B(x , e) > B(x , e) t hỡnh 0ú 0cong, 0), l hng s theo ng ta tỡm c giỏ tr ca ti X kkớnh 0C 0khp (i) Gi s V l li u vi hng b c > Kh ú liờn hp Fenchel (r) := max {|pi(a;)|} (r ^ 0) t vi mi s, 0ớ(nh J (t, 0) = h.k.n ban u: (3.3) l mt hm Lipschitz a phng tha (3.1) hu R cht nú l li trờn D c bit, ]{t ,p) = Hopf Lax u(t,x) a phng c ca bi Cauchy (3.1) Cho (p, M X ta núi (p, q) D*u(t , x ) nu ch nu tn ti 0xỏc 0(trựng :r,)y 0cụng G B u 0 X = () Trng Gi s H(t,.) hm li Khi ú, ta ly o nhn c nhiu hn mt ng c trng i qua, tc l X o ) cú th khụng l n tr Tip ( 10 )ti V* v t ( tn0> ) +Po :x nh ngha 1.9 Hm li, proper /y0c gi l0 i hu 00 n{4 hn nu n = {(hp{po),p) P ) 4po)))g{t) >vi t v X gn vi x e > 0 v { s , ) + H ( i / o , D v ( s , i / o ) ) > ong ú A > 0, ( t , x ) G (0, T) X M , V e C' ((0, T) X R ), v nu B(x,r) = { B(x ,r)I x > 7( , ( Xt,x) M (t,s Tớnh nht ca nghim toỏn c phỏt (,-) -tp (*(p) 2u -X= *{p )) n ((,) ớliờn -tc, ))dT (3.15) = x (H-) t< ,;nht ynht = xi + ,x,y H (bi T< y ni ớnh (0q(.) (Dv(t xv )v ,duy xvi G M" Hn na, u(t,x) thuc (V) hp bt k, nu pcho lÊmi (ti tdv(z) ,0H xphõn )T thỡ pu(t, (t, l),(X) tp) ,0 x(l H Chng c hon thnh c gi l k dsl nu im vi p(y) tha (2.7) nờn thit nh (1.23) c v tha phng trỡnh o hm riờng nh lý 1.5 Cho fliờn l proper trờn Khi ú s bti chn kh n+1 nG Xv = x{(ớo -hm e=Êo)} ,ú, +im T , v.ti yminh (q(ổ) y,x ), 0)x) T)X Theo B 1.7.3, cú mt hm nht cho p v b ba Du(t ,x ) = ,x U khụng t )X x(M o) = (t ti Pli, y(/))dr P ( kh 0hm 0c 0g t= 0domf* iu ny chng toy ớ* e (0, T) ng trng qua (Ê*, x), M" l loi y rng õy ta cú th xột to = T - Do (3.2) Khi ú, tn ti (0, t ) cho u(t, X) l kh vi ti im dóy ( t ,x ) c Q\ cho u(t, x) kh vi (t v p(0) q ( y ) , 2(0) = { y ) , x(0) = y (1.17) Kýmt hiu 6(.) l mụ un tc ca Chng minh p dng b trờn cho u vi thay cho M v (t , x ) k k k k k l mt hm na lừm vi hng s na lừm > 0 D theo ta kt qu sau Hny (2ncú +1) phng trỡnh phõn cp ny gi l cỏc phng trỡnhton c DxuX (vi)ằ + Dttỡnh v() ()mt ( +riờng V) () -1 = to to mõu thun ý rng (2.1) cha phng o hm cp mt hon phi Khi ú = v ỏnh = s lm phng du gn im x Chỳ 1.2 Hm li Vỡiu Khi v ú b p chn, : [0, 00) nờn > [0, 00 ) liờn tc, />2(0) = v 0ca 0ớ X 2t , mi Thnh phn ca nghim (3.7) gi l ng c trng xut phỏt biu nh lý (ii) vi V etiờn c ((0, n cho Khi liờn hp Fenchel H (tp pGi )u -() H t ,=Canarsa p )(Ai) -oo) (khỏc, H (R"), ,t p2tng ), ,ztha p -nghim p(thớch )pand >0, ú nh 3.7 s cú v Cho u(t, X) nghim nht ca bi Rừ rj(t ,p) toỏn (3.1)-(3.2) xỏc bi cụng thc dng -cn Lax (3.3) tx 0: Gi 0((cho 0U 0-nh 0: )) (ii) V,0ta hng s na lừm Khi ú l=0 ) t y), tc ng c xỏc nh v 10 Th vo t c (Ta t (0, ((2.14) to=tng ,ny xHamilton-Jacobi ); ()gi tnh ,ytrng )) ,u(x), (X tp-)cú xnmt )h ps|) ,v qim )chỳ ks o0is Hamilton-Jacobi \s u {l tti ,hm )u(h ( lừm xpl y,vi \trong + when \p)bi ttoỏn forward backward, Tr c v ýtip rng (AI): Vi mi ()s xim )kD GA T) ,nghiờn tn ti hng s dng rG k Nu k )hai 01.4 k-ớ/p(r, k cho nh ú, lý 2.3 (h Vi pcho (Tp pX ,im P ox )M" (2.18), ( bi h ( )) l mt Cauchy hng T (2.16) ú, 7y'(ớ, cú p) khụng cng u V t cc i ngt ti (t ,x ) ( 11 ) = trờn A, nh ngha 1.7 Tp M c l " gi l li nu: Cho trc mt (yi, 2/2, , ,0) ta gii h phng trỡnh vi s \ tr sỏnh xhm 7l(t l0x(.) tớch ch nu xcỏc )Ta l n \x -tớnh 1*0 =khụng 0(e), khie (2.24) ỡgii = po iu ny mõu thun vi (3.18) 2tng ong ng ca phỏt biu nh lý sau Cỏc ( (.),z(. ằÊ"()) Chng minh t phn chng minh nh lý 3.1 = +)\a |A(y) -xột xp,cú \tớnh < H (iipH+oo T ,.pnú (ra y> )c )0dyngt T \ r)(ti,p) ap) ,0nghim yhu dU (rt z+ )=^), vtrong cht it[0, m ),po-cc i zqu G gim ]vi ta cú th gi s õy l i phng 7/(0, =Hopf (y ,0ta p) -khp pp }chng -H ((p *, (minh -u, tcr *Du) (p(.) p\M, ),tr ,= gTha quan úmi G dxim *t (M ptrong )ntrờn X ^ (0, oo) X (2.3) -vó Lax v quy ca nghim nht c ]'(t,p) (0, ) Ta suy = ta t M Gi s rng (t:, x) l mt phng 0biu Cú nhiu kt phong phỳ v c sc ó cụng b trờn Po /(ớo, Nu y(y) G (/*(ớ ,tron Xo))\/(ớo thỡ (2.28) rng tn ti Ê T ) cho ỏnh X y I^ y ) vi x { t * ) = y + Q 0ban 0 A: ) oo Do ú, 0 q ( l ) = (1.18) Trong tip theo, ta trung cu tớnh kh vi ca cụng thc Hopf nghiờn vi Cho iu (\h t kin ,x G biờn: (0,ớ*) M" v cho ng thc t cng t c ti m ^vo t cc tiu a ớo úng 2im n,l Trng 0phn hp )Êtng Gi s H (thun t,p) =a g(t)h(p) + ng thc cú th u(t, x) l mt hm Lipschitz phng, thỡ x) Vt, 0(3.16) v nú l mt c gi l nhng c trng Ta cũn gi c trng gc, hỡnh Do ú, A hm liờn t hỡnh cu B'(x0, chớnh Theo viNu mi x,y M", 02: < < T v > 0H r:k(t) > ký t(.) uX {to, xtrỡnh H(x ,px(.) Du(t (2.15) nh ngha 1.16 Nu d + thỡ theo du xỏc nh mt trng vộc t vi G xỏc nh trờn ttc )l 0dc D*u(t, Mt khỏc, t x(s) (x (s),x (s), x(khuụn (s)) cụng thc Hopf Lax c :nh X )t,s = y) = Jgi H (t, y(y)),T, ớe[0,T] (3.8) iu ny cng dn ti chớnh quy húa ca Hamilton-Jacobi Chỳng ta hi vng cho e mụ ớ,bi Ngc li, xột Ci :(i) ÊyV-x(t, = ,,uj(r) y) =y+= Ê0 4f (xnny y0M) ))) )Tng dkh , T0 vi yX) Gnú lhiu *ny, (ớo, Ênh 0qu )l th gii my thp k qua Riờng lun tụi ó (II) ti im ny t vl := * phng ,mõu ]x(t l hm lm mn theo n:y + 1) bin ( t, Khi ú P(T phng trỡnh Hamilton-Jacobi Trong chng ta s dng cỏc kt ĩ Vx, Ê M { + (1 ) y G [0,1]} n n = Xo J (, po)dr fx2\ xta \H -lý 3.3 s cú (Ai) A Semiconcave Ly Mt khỏc (2.24) fnh vi trờn cvtrng kh liờn tc trờn 3.vi Kt hp c 2Gi hp ttờn, cú vi mi G t functions, ]: Cho Xột M l (thỡ t0trờn mt ,)ta xfs )cng := vXp m (vu t ,Khi v )v gi s :t Trong (to M thuc K ,]vi 0),= hm 0kin thỡ 7(x,q) ttrn )thc cp 0) nh Ta lý cú kt Gi (j4i) sup (u u) c >0t: Ê| ^nh h ) (2.19) Khi Gi utng l nghim ca (1.5), tacxbiờn to T bõy gi, gi thờm rng H( t, v (x) thuc cIbi T) Cho ((ớ, xta )M G Psau otnu and yX )Lions G l;(II) {s , xti o ): v(ớ, (to, x\> ộx t X) khỏc, vi t3.2 ts ớo]> c=c l loi x(ớ)) lý ỡ(, 0C 0Cho /* M cú khng nh ú chỳng cn qu sau [3] Crandall G p solutions of HamiltonC h b n ghng m i0) n hthit )+A(ớ+s o[0, (s xcú )-ythc e(|s G t*) xl vcho :,)+e X = Xngha + N (.r ,n pv o) nh dltr ớỡ.thng Ta ký hiu ong (1.10) ú X )na h hphng ny T) s M |ớt=:kt cú ớL., ớch |(< +p) < r)0 v pt \J > v(ớ,a;) := (s ,2/ -(0, + {t So) ( + |z/o| ).pl Vỡ )+4 0(ta 0\lp 0u 07 {x -thỡ ).< (2.29) 1.6Hm lừm (2 12 iu 0o kin thớch ca cỏc kin u (ng xphng )Vo\ (t >= )+00} )Tgn X, 0)l ) < ( -)1 ) (ii) Nu f(t,p) rj(ti,p) < (- (0, P *t Dv > Dv (vy tlun xxsau to Ta gi := {j 1" f(x) l hu hiu ca hm /r nú 0tng v (+ tnh odom/ ,v Xs )e:c +Othỡ H (ớCo, D vqua ttrỡnh Xo)) ( t , t , x , x ) , ta nh ngha 3.2 Cho u = u(t, x) : > M v l(t , x ) G Cho (/, A:) e {(,),-p ) )dr (3.16) 0 3.1 Cụng dng +l2oh, xi -( + k t) -i v u((ttc ặ ) -0)trng PK t hh -i (p, ,) v i m i ( t , x ) e n , t Vthc Ê C (tng l E m suy tt cc =v n gm(t) M c(R) t rnmax{w(ớ, u0 n( tgHopf ILax ))nú úcỏc Vỡdng nú th thay i a phng bng cc i cc, hoc cc i a phng (ớ) l[0, khụng gian na lừm) nu tha tớnh cht: tn s 1.7.1 Phng trỡnh vi phõn u(x thng =>()} v(x ),,thũng c trng t= T]), = X) Khi ú xột yu Do ú ton 2hon S cỏc c lng (2.24), (2.25) (2.28), 0-[0, sau ú cho Ê\y > 0hng dom (7* {q e-hm /*(q) < + 00} l mt (v li) trờn Chỳ ýgiũ 3.1.4 Nu H(t,p) =trong H(p) iu kin (b A2n+trng ), b) ton M > M ó c xỏc nh n hm l uthỡ 00) ằM, uR=> 2chn \ (|z - y\ + (ts) ):v Êtp (la?! \dng )ti , ta lýNúi sau : Bõy ta s dựng h phng trỡnh vi phõn c thit Vi iu kin ban u a = lim sup -1 v nhng thụng tin iu kin (3.16) chỳ ý rng J gc (liờn rX(1.10) )tM" dtrng T trờn ú nghim nht kh vi v(t , v(z) x ) + H(x v(po) Dv(t < ( , , x )) + + (1 A)po P) < t23.1, n tt p dng nh lý ta thy rng u(t X) l kh vi tc (0, cú th khụng tn ti hoc cú tn ti nhng khụng nht, Kt hp vi (2.15) ta c iu phi chng minh e e E ỡ s e Bõy gi ly p l(t ,xo) Nu r}'(t,p) > thỡ : i(t,p) < T ( ,p) < Cũn Hm / c gi l proper nu dom/ v f(x) > 00 vi V w cú ca x thỡ trờn v (t , x M" ) + H(x , mt , lõn Dv(t cn , Xo)) V ca ^ x M vi mi X Ê n mi (t, x) G , < t < t x(t*,y) l n ỏnh v Z(ớ, x) nờn tn ti nht ũng i qua t 0 0 nh [5] lý Ishii 3.5 H., Gi Uniqueness s cú (t4i) of v unbounded (A ) Hn viscosity na, gi solutions thit thờm of Hamiltonrng H, \ hm JuX biờn !(s),p J 2xi / (x, MXo) < U)(t +vi w(t ); v(0,0) t cc ti ,ti x ec ),duy nht R" B 1.1 (iu kin khụng c trng) Tn nghim q(.) V, ca Mt khỏc, O02biờn cho bi: ớ* cú dng cú ngha l: p(s) =,c (p (s), ,p (s)) vÊ,im(t Cho H : )ký H l mt liờn tc theo p) v eo theo t\ hn na X o M, ta hiu (h,k)> 1.7.2 iu kin Vi x ^ l hm theo hng phỏp tuyn (hng ngoi) ca u < ( T-t y V e ngt, hoc cc i ton cc ngt D nhiờn mi quan h tng ng ca cỏc cho vi mi X, z G ầ1, on [x z X + z] v nh lý 1.6 Gi s f : K" > M l hm li, proper v úng Khi ú hm : c T ú (t, x) cliờn vi mi (ớ,(| X) ớỡ tng ng vi (2.3) sau: 1.3Hm tha tc u(t, x), vi = D u=song = (u , ,u ). Tlm Ta st vitc H =ú H(t,x,Ê,p), ú, T *Du nm gia tLipchitz v +eCauchy h+ UD X xột toỏn =ú xnh xớt i 0-l x.+|ớDo Ta cỏc trng hp sau: nghim ca v iu ta B cn xỏc Bõy ta phng ỡnh Hamilton-Jacobi u thỡ ( tlp ,ớ*) X xột o c )(3.19) -)'(ớ,p) ( sngiũ y chỳng )phỏp -(1.5)-(1.6) lun ( to +khụng So) -0bi j riờng y= \gn -nờn Soi *)) Xo jx, H (cho T ,)Py O )mt: quc * )rng ^( (tXgi )rng (* fe=i ,ta Tuy cũn hn ch hi vng cỏc kt lun t kt Nh phng trc, vỡ Po = -y(y) (vit Khi ú tn ti mt Mt khỏc, vỡy E dv(p ) nờn H+ H ( x 0, ^ { % ) + ) < (2.27) c Xột (ớ , Ê 0) (0, ớ*) X Vi mi y G ta t 0chng Cho Ê > 0, ta nhn n Chng minh Ta s dng ký hiu nh phn minh nh lý thuc lp c Ly (ớ , Êo) Ê ỡ v cho C: X = x t ) x +f H (t, y ( y )3.3 )dT v iu ny suy p t < t , t a c ú P o G l ( t , X ) v h n n a ( t , X ) G ( t o , ) " 2\ x x(0) = y , v(0) = ( y ) ; p(0) = y ( y ) , y R (3.6) Bõy gi ta quay tr li hon thin lý thuyt tng quỏt v c trng cho h thc trờn nờn ta cú th nht (hoc nghim nht trờn, liờn hp f*thng cng l hm li, proper v Ngoi m(Êq + /t, al ?0 A;) m(* ,yI ra: X) -mõu ph -thun (g, /g)trong _phng x Jf thay d-mt rú, ngha 0,H0|detZ)f| cho =tnu a, hn (q) Tp)phn ,(x(s)) ephng yL (j )(,r )Xo) dlim ,3.3, ớe[0,T] (3.9) 0tỏc 2.2Tớnh nht ca nghim ti 2.Cỏc Trong [7] cỏc gi ú m chng c gi (M A) v (A s l ti liu tham nghiờn rng phng trỡnh r{p,q,h,k) =phi p*(s) usao tThm v cỏc lp lun phn minh nh lý ta thy n phng t cc a ngt xtp zthit (1.9) Bõy gi gi nh rng x r, x s nm trờn mt rng ỏnh x X > s, li (t.., úng) khụng gian M" xM hm li, ta gi s thờm rng H(t ,.) l mt hm lừm ngt vi hu nh ngha 1.11 Gi s / l mt hm xỏc nh mt X C Khi úx2n)/ ( x + z ) + ( x z ) u ( X ) < C \ , im (ớ u(x) , So v(x) = \x\pi(x) / p (r)dr |x Chỳng ta ch ý rng gi thit ca nh lý trờn l tng ng vi iu sau d{x , ,x ) e W' n m'(t) + inf H ( t , X , u ( t , x ) , D v ( x ) ) ^ x>'(0,T) (2.4) Ly p G ú (t, Xớ) G v il G [0, t ) s kim tra rng [6] Lions P L and Perthame t o > > B., Remarks 0on Hanilton-Jacobi + n phng trỡnh hm cp pTa +th, Po thỡ nghim nht) ca (2.1) bng mt cỏc dng ú vo tnghim ,c p )vit 0(tng Khi ú, mt di c trng toỏn ,xo) nghim ca FTrc Sx ,z\p 0-> F(x,u,Du) (1.5) xtK) gi D (y) (tng (V(riờng pzc ng p)-> )v -H(x (y)) l p(3.1) trờn )(t pvi ) phõn Ly t di viv phõn) lcng mt trng loi (II) ht gi s u00 G Khi C^QO, ú, 00 tn X M ti ) 9tha (1.20) (0, P ỡnh o hm riờng tng ng pcho C c nh eca chn r,t0-0Dv(T, 7, nh 0-u trờn xỏc nh Dv{y).D&{x) Q = X *ti + )^ i/p(r,p*)iZr v hm ang tr l(ny na liờn trờn, ú /c > oo ta(3.2) thy Do ú, ta cú th li c nh sau vx )))t xet -in v ()(x=du p >, \>c p + (1 A)po -Khi P oGú ) )dng mt Chng minh Cho X iD~v Ê)V 0{(x,y) < t tựy ýrng p ÊM" ký n(ti, iu mõu thun chng rng nh lý chng minh Ta thy rng ỏnh {t ,x {t ,x )nghim as e, M thuc lptớnh ,R" c gi l hm Lipchitz (liờn tc Lipchitz) X nu ti mt thc K > xnht ,Vo) pim XHamiltonians, i vi hm proper (chng hn li M" vo M) li ca Tn ti mt c trng loi (I) ti X* cs i qua w (*0 + hng ,p xmeasurable 0Po) +ta )-0 -.){(7*{p) u(ớ ,gi X o,duy )s - hm P t:= h mx -ca (t ,[0, k tn )T] (H {t,p ),pPo) < H(t,p) H(t,p ) p = p Gi s ngc li p t p= fc 0(ớ*, equations with time-dependent > (y,p*(Po)) < (3.17) Vi T c nh, p(0) chỳng p, ( xột = tớnh z x(0) nht nghim nht i vúi bi (1.14) +0tr t 0G (ớ ,sl )minh vp = lim (~H(t q^\x\p )) =lừm tf(ớ(b )-Tc l (p, ) G H(ớ , a?o) v t, to yeR" (3.4) a Lm phng biờn 0hm 0cho ktc ỡ Trong ku p (r)dr hiu Nh yy z(.) cho giỏ tr ca u dc ng cong v p(.) l giỏ ca gradient Chng Cú th gi thit (\x\)2(ớ h phng trỡnh vi phõn (3.5) (3.6) c nh ngha bi ca V (y ) ti y G ệ trng hp thụng thng, D v (y ) hoc D~v cng mt ng c trng i qua im , x ) Bờn cnh ú, c C, l õy c gi l hng s na ca u )núi (2.7) c , nu l loi u liờn (I) ti (9,x(9)) v b chn v thỡ c u l l nghim loi (II) nht vi ca tt c Nhỡn chung, bi toỏn giỏ tr ban u i vi phng trỡnh HamiltonJacobi 0 Bõy gi chỳng ta a rabng nh ngha nghim nht ca bitrỡnh toỏn Cauchy i hoc l nghim nht ca bi toỏn (3.1) >/ |x|h -vn (3.2) Hn na, nu ()1 chung Rt cm n c ó theo dừi lun v0 rt mong c quý T (1.5) suy (3.3) (1.5)-(1.6) xPthc cỏch tớch phng vi phõn thng ;>00 n ú: phng trỡnh :ra Vỡp ,(Ê P ong nờn (ớằ yu).,cụng pgn o 0))gi (ti 0.-im = *() ( 1,n 1)na (MH( ,pkin 0nu thy rng, ng cong x(.) i qua ta phi ũi rng X i-,:= lD sai, tc pIdet )Ơ (*(p) *(p )) iỡ dng 3.1, ta thy x0)inh Mnh ớIú, 0(Vx 0= \ta H {cú t ,1.2 xl , Ê(y,p ,cú ) fhai t0i= ,nhiu yDyf q ) \ \ x y \ + |Ê Ê'l \ p q \ (2.9) )(2.21) ,(1.6) (t ,s ,x ,y ) = max (t,s,x,y) = 0, = Du{0) = kh vi, cú th ng c trng loi (I) hoc (ớ*, | c r (2.10) 0hay 0,< 0w(0) n 0{ 1, , ) = {(hp{Po),PPo) {h{p ) h(p )))g(t) 0thit U + H ( x , D u ) = U + H( X, Du) = (0, T] X M ca hm (t, X , ) t c D thy rng, vi gi (j4i), l(t , X) 7^ m'(t)+ sup H(t, X , u(t, x), Dv(x)) ^ ^'(o, T) (2.5) toỏn giỏ tr biờn (1.5)-(1.6) ti mt lõn cn ca mt phn biờn kt ca Theo thit, r(ớ*, X*) n tr, ú /(ớ*, X*) lsolutions n tr rng, n theo bt ng thc ngc li Chng minh Xột Nguyen Hoang, Regularity of defined by T gi tr ta luụn /p-(1.4)) gi ) eớtthit ,2cng cú iu kin ny Chng minh Cho [0,T] xR ")cng Chỳ ýli, rng nu V l mt hm li, di D~v (x) trựng vi Nh vy, mnh chng minh /gi (1.3) sup c thay th bng y, ta (t.., x) l e(t.., Ên trờn, v theo gi /(Ê*, y) {p(y)} l tr vúi y Rừ enu M lun Vi mi m G N, fi {thit ta \() xuc +t(t (1 ()k= tto]khicúpo H{t (I) ti im nờn im (ớ, G , R thuc lp cho vi K c , gi y G l M hng v s E Lipchitz [0,1] ca / trờn X phng phỏp bin i phng trỡnh o hm riờng thnh mt h phng { ) = u - - p 0 - < J *(p) - p Chng cu trỳc v tớnh chớnh quy ca Nghim nghim nhút cho phng trỡnh Hamilton Chng ca phng trỡnhTi liu tham kho , nht Ket lun Jacobi o hm riờng cp mt e e p t y s 2 0 < J 0 P r f(y) _ , 0: J Q { { e I 0: p e e n S =4 : 00 Q J n u rp 0 e 0 p 1/4 m rp J Vf" / 0 0 0 0 n 0 m m J P = m m 0 Q p m m J t p p n c