i Mc lcV O TO B GIO DC TRNG I HC s PHM H NI Mc lc M u Chng Li Licam cmoan n Mt s phng phỏp lp c in Phng phỏp Jacobi 3 V TH VUI thnhphỏp Lun hon ti trng i hc S phm H Ni di s Giic thiu phng V TH VUI ca Bỡnh hng dniu ca TS thyH giỏo H Bỡnh Minh S giỳp v hng dn tn kin hi tTS.Minh Tụi xinVớcam lunha cụngquỏ trỡnh nghiờn riờng tỡnh, nghiờm tỳcoan ca thy trongl sut trỡnh thccu hinca lun vntụi ny ó giỳp d s minh PHNG PHP LP GII H PHNG TRèNH TUYEN TNH trỡnh nghiờn cu v hon thnh thaTụi nhng tụi Trong trngquỏ thnh hn rt nhiu cỏch tiplun cn mt tụi vnókmi xin Phng phỏp Gauss - Seidel S CHIU LN thnh nh khoasõu hc ngi nghip vi s trõn trng v by t qu lũngkhoa bit hc n, ca lũngcỏc kớnh trng scvnht vi thy Gii thiu phng phỏp bitTụi n.xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 1.2.2.iu kin hi t Tụi xinSau cam cỏc thụng tintrong trớch nh dn trng lun , ó c ch 2, phũng ioan hc,rng cỏc thy cụ giỏo ó giỳp to iu ngnh: d s minh Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 1.2.3.Vớ Chuyờn rừ ngun kin thungc li cho tụi hc tp.TRèNH TUYEN TNH PHNG PHP LP sut GIIquỏ Htrỡnh PHNG Chng phng phỏp Krylovngi thõn, bn bố ó giỳp , ng Tụi xin2.chõnCỏc thnh cm n gia S ỡnh, CHIU LN thiukin thun li tụi hon thnh khúa hc Thc s cng nh viờn v Gii to iu H Ni, ngy 09 thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi hon thnh lun phỏp ny Phng Gradient liờn hp Gii thiu phng phỏp 2.2.2 Vớ dH s minh 09 thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Ni, ngy LUN VN THC S TON HC Phng phỏp GMRES Gii thiu phng phỏp V Th Vui VN THC S TON HC 2.3.2.Vớ d s minh LUN 2.4 Phng phỏp QMR Ngi hng dn khoa hc: TS H Bỡnh Minh 2.4.1.Gii thiu phng phỏp V Th Vui 2.4.2.Vớ d s minh 6 2 Phng phỏp Bi-CGSTAB Gii thiu phng phỏp 2.5.2.Vớ d s minh H Ni - 2015 2 ii231 dng ca khụng phng phỏp lp k chiu Mt s phng phỏp nghim Ax b gian Krylov Chngca h ng 39 M u CHNG lp3.1 thuc lpdng ny phi k n l: phng phỏp gradient liờn hp ca Hestenes 39 ng gii phng trỡnh Poisson v Stiefel (1952) cho h tuyn tớnh cú ma trn A i xng xỏc nh dng; 41 3.2 Vớ d s minh phng phỏp GMRES ca Saad v Schultz (1986); phng phỏp QMR ca Mt s phng phỏp lp c in 43 Kt lun Lớ chn ti Freund v Nachtigal (1991); v phng phỏp Bi-CGSTAB ca van der Vorst 44 Ti liu tham kho Ph lc (1992) Nhiu bi toỏn thc t ũi hi phi gii h phng trỡnh tuyn tớnh Ni dung ca chng ny c tham kho ch yu t cỏc ti liu [II12] 45 c ln cú dng Ax b, ú A l ma trn cú s chiu ln v tha (tc l Mc nghiờn cu 0) Chng hn, nhng h phng trỡnh ny ch cúớch mtvsnhim ớt cỏcv phn t khỏc 1.1.xut hin Phng phỏp ta gii biJacobi toỏn biờn ca phng trỡnh o hm riờng bng cỏc Kho cu mt s phng phỏp lp dựng gii h phng trỡnh tuyn tớnh c phng phỏp ri rc húa, nh phng phỏp sai phõn hoc phng phỏp phn 1.1.1 Gii thiu phng phỏp s cho phng trỡnh o hm riờng ln, v ỏp dng nghim t hu hn Nhng phng phỏp c in gii h phng trỡnh tuyn tớnh, Xột hn h phng trỡnh tuyn chng nh phng phỏp tớnh kh Gauss, s rt khú cú th ỏp dng gii nhng h ny Lý dovilnghin vỡ phng i tng v phm cu phỏp kh Gauss c ỏp dng cho ma trn Ax 6, (1.1) c v ỏp dng cho ma trn tha s lm cho s phộp toỏn tr nờn rt ln, H phng trỡnh tuyn tớnh ln,tớnh phng vi phõn hm khụng th thc i vicmỏy thụngtrỡnh thng Hno na, s riờng lng b c khai trin hin di ni dng sau: nh s dng cho phng phỏp Gauss cng tr nờn rt ln Vi nhng lý nờu trỡnh tuyn tớnh X gii h phng bi Phng phỏp nghiờn cutrờn, phng phỏp lp i c ln c nghiờn 21 cu 22 t -lõu r r Theo phng phỏp ny, bt u t mt vector 2n x2 ^ MATLAB, S dng cỏc phng phỏp gii s, ngụn ng lp trỡnh to ta s sinh mt dóy cỏc vector "n đn2 " r *;!> X n bn úng gúp mi ca ti hi t n Quỏ lp trỡnhJacobi, sinh vector s dngnghim phngX.phỏp ta gi thit rng t mavector trn Ascúdng tớnh chộo phộp nhõn nh ma trn vi mt vector no ú Phộp nhõn ny rt tit kim tri, c ngha nh p dng phng phỏp lpsau: gii h phng trỡnh tuyn tớnh cừ ln, sau ú l ma trn tha v ch cn s ớt b nh lu tr Hai phng phỏp lp c trỡnh,1.1.1 thc(Ma hintrn cỏc chộo phng phỏp bng phn mm MATLAB nhlp ngha tri) Many trn A c gi l cú tớnh chộo bit n nhiu nht theo hng ny l phng phỏp Jacobi v phng phỏp tri nu giỏ tr tuyt i ca cỏc phn t nm trờn ng chộo chớnh Gauss-Seidel ln hn tng cỏc giỏ tr tuyt i ca cỏc phn cũn i nm trờn cựng Bờn cnh ú, mt lp cỏc phng phỏp lp c phỏt trin thi gian hng, tc l gn õy l lp cỏc phng phỏp Krylov c trng ca lp cỏc phng phỏp n ny quỏ trỡnh lp s hi t n bc kj| ? x < n f , da trờn phng trỡnh (1.3), c th nh sau: Phng phỏp lp Jacobi: u vo: Ma trn A, b u ra: Dóy , x'^ n \ Vi B , g xỏc nh bi (1.3), ta chn vector to v xỏc nh cỏc phn t ca dóy , x^ n \ theo cỏc bc sau: Bc 1: Tớnh Bx^ Bc 2: Tớnh g Bc k: Tớnh x'^ + Bx1^ +- g iu kin hi t 1.1.2 Mt phộp lp Jacobi ch em li hiu qu vector x' y k ^ hi t n nghim chớnh xỏc X* iu kin mt dóy sinh bi phộp lp Jacobi hi t c nờu nh lý 1.1.1 nh lớ 1.1.1 Xột phng trỡnh X Bx H- g v vector to cho truc Nu \B\ < vi mt chun no ú, thỡ s tn ti X* cho xr lim x'^ l nghim chớnh xỏc ca (1.1) Hn na, vector x'^ k - f - |-x> _ phộp lp ; X i) Bx[) + g, Bx^ -- g, X x,k) _ Bx[k-i)+g^ s hi t ti nghim nht X* Hn na, sai s gia X ^ v nghim chớnh xỏc X* c ỏnh giỏ bng cỏc cụng thc sau: \B\ X \B\ K k ) - X (1.4) hoc \x[k}-xe\ $ \B\k - \B\ (1.5) Ta s ỏp dng nh lý trờn cho phộp lp Jacobi Trong phộp lp Jacobi, ma trn B c cho bi 12 ll 21 a22 B - - đ1 n n n Ta thy rng nu A l ma trn chộo tri thỡ n IB : = max V \bij\ = max V j-l I I j+i I "I max tng hng th a,; < 1, nờn theo nh lý 1.1.1 phộp lp Jacobi l hi t Nh vy, iu kin cn Phng phỏp lp Jacobi hi t l l ma trn chộo tri 1.1.3 Vớ d s minh Vớ d 1.1.2 Tỡm nghim gn ỳng ca h phng trỡnh sau: 4xi + 0.24x2 0.08x3 0.092! < 3x 0.15x3 04^1 -|- 0.08a:2 4x 20 \ Cỏc ma trn tham s ca h Ax b tng ng l: A- 0.0 0.0 0.2 -0.08 0.0 -4 -0.15 , b- Bc 1: Kim tra tớnh chộo tri ca ma trn A Dờ thy A l ma trn chộo tri vỡ I ^ |l21 1^131 0.32, |ô221 > |2l| |đ231 v ss > |ô3l| +- |ô321- Bc 2: a h v dng X Bx + g nh sau: X X x3 _ -0.03 -0.01 's 0.06 0.0 X i 0.0 X 0.02 _ *3 -V _ B ' Bx + g Bc 3: Kim tra iu kin hi t \B |x> < 1: \B |j - max(0 + 0.06 + 0.02; 0.03 + + 0.05; 0.01 +0.02 + 0) max(0.08; 0.08; 0.03) 0.08 < Vy iu kin hi t c tha Bc : Chn vector to x'^ = , ri tớnh x^ l \x^ \ theo Phng phỏp lp Jacobi, ta c bng kt qu sau: X u> X X (.2) X .3) 1.92 1.9094 1.909228 3.19 3.1944 3.194948 5.04 5.0446 5.044794 ỏnh giỏ sai s: gi s ta xem X k ^ l nghim gn ỳng cn tỡm, ta s ỏnh giỏ sai s gia X < K - ^ v nghim chớnh xỏc x r ' theo cụng thc (1.4) nh sau: |x^3) - x r L \B\ x^ - x^2} L 1- \B\ V 0.08 < max(0.000172; 0.000548; 0.000194) - 0.08 - 0.0000476 ^ X 10-5 < 1.2 Phng phỏp Gauss - Seidel 1.2.1 Gii thiu phng phỏp Tng t nh phng phỏp lp Jacobi, ta bin i h (1.1) v dng sau: Xi X x2 Xn j Xj bi j Xj + b_ 0>ii ii 00 &21 bnl bn2 , Xl x X n (1.6) + X i 0 r ' &2n x2 9 X n n 0 0 ệ 12 r r r b l n 1 X BX + B2X -|- g iJ>2 (1.7) ú 9i B [pijYi l ma trn tam giỏc di vi bj ^h a j < i B ipij) l ma trn tam giỏc trờn vi bij aij j ^ i, j > i Y tng ca phng phỏp lp Gauss-Seidel l tớnh dóy cỏc vector x'^, x^\ , x'^ n \ , da trờn phng trỡnh (1.7), nh sau: Phng phỏp lp Gauss-Seidel: u vo: Ma trn A, b u ra: Dóy x'^, x ^ , , X' k Ti ) Vi B, B , g cho bi (1.7), ta chn vector to v xỏc nh cỏc phn t tip theo ca dóy nh sau: Bc 1: Tớnh BX^ + B2X^ -\- g Bc 2: Tớnh BX^ + B2X^ -\- g Bc k: Tớnh BX^ + g Trong bc th k, Bi l ma trn tam giỏc di nờn phộp nhõn BX^ ch liờn quan n k phn t t n Nh vy, phng phỏp Gauss - Seidel ci tin phng phỏp Jacobi bng cỏch dựng nhng kt qu va tớnh c cho cỏc thnh phn tip theo 1.2.2 iu kin hi t Phng phỏp Gauss-Seidel s hi t ma trn A l chộo tri Ta cú nh lý sau: nh lớ 1.2.1 Nu ma trn A cú tớnh chộo tri thỡ phng phỏp GaussSeidel s hi t Chng minh Vỡ ma trn cú tớnh chộo tri, nờn \B\ B - vi j 0, bij \ jj ^ O , ô = j, i ^ j < 1, ú 10 12 1113 a v dng BiX + B X(1.3) +g nh sau:X* nht pBc dng nh lýh 1.1.1 suy raX phng trỡnh cú nghim Nhn xột: V2: max max(0.08; 0.0515463; 0) 0.08 P i ỏnhNh giỏ vy sai s, X ta xột hiu 000 X iu kin l hi t ca phng phỏp lp Gauss-Seidel cng ging vi i x bixf^1} xd +-Xỡ bix'f ~x^x lpJacobi Phng -0.03 0phỏp x2 phng Gauss-Seidel chung hi t 0,08 - j) v*ô> -l{w'-i))TAvV Pk +1 Ltô'*)T^W Pk+1 - 30 Cho ^ k 1, t gi thit quy np v nh ngha ca ta c -L(yi>)TV*> - ak{w'^) T v , ' k ^ - ft(uiằ)V*_1>J Pk -1 Pktl _ -L^y^ớn-I) + Pk-1 atW M + e{W ,i-i) } _ ^(/oyv4-1*] ? L(i-i-i(^ fc) ) V i ' K) H- ai{v'''k))Tw'Kè} + ei{v'{'k))Tw'''i~1)) Pk-tl - Suy { w ' ^ ) Pk vi i < k 1, v cho k 1, t nh ngha +l -1 Pkừk-l)\ 0Pk Chng minh tng t ta c [v'- i } ) T w' K - k ~ i ~ ' f vi mi ^ k t v k : T L ^ I , , V ] \ , W : [ w u , W ] , v cỏc ma trn ng chộo D : dag ( i , , k), h thc (2.11) tng ng vi phng trỡnh wv D m ^ J-ym Suy rank V rank W m m m Vy cỏc vector v^\ , v' AV k ý'' t ) |2 - |r;o> - V i + T t r k ) la - ú *-1* \VM{pộl) - fk'ằ)\2 |_1,1, - - -, 0jT - R ^ Nh vy tỡm vector y^ ta s gii bi toỏn bỡnh phng ti thiu sau õy: mn - k y)\ y (2.13) Sau tỡm c vector y'^ k \ ta s tớnh nghim xp x theo cụng thc + V T ú ta cú thut toỏn QMR nh sau: Thut toỏn QMR: u vo: Ma trn A, b u ra: Dóy x' k \ , x < y - n \ Khi to: Cho ý= 0, t /3 |n0^ |2, Cho k - 1,2, : Bc 1: Thc hin thut toỏn Lanczos tớnh Vfc,Tjt,Tfc w'^ nV/3 32 33 Bc 2: Tỡm vector l nghim ca bi toỏn bỡnh phng ti thiu k=2: p^ - ky) | y 0.078 -0.4355 " " 6.6933 0.6603 , T22.46 Bcv 23:_ Tớnh0.704 X'k) - x'đ + 14 ý r- 1.4882 -31.8797 31.5027 6.693 T Vớ - 0.704 , Ti0.704 2.462 [1} 6.693 1.680 Nhn xột: ti Ti k X - 3,3thut toỏn, ydng- li v nghim ca h phng trỡnh xw 0.1315 1.1842 1.1842 11 34 2.5 Phng phỏp Bi-CGSTAB 2.5.1 Gii thiu phng phỏp Thut toỏn Bi-CG (Biconjugate Gradient) l s m rng trc tip ca thut toỏn Gradient liờn hp Khỏc vi thut toỏn Gradient liờn hp ch hn ch cho ma trn A l xỏc nh dng, thut toỏn Bi-CG cú th gii h Ax b vi ma trn A thc khụng i xng Thut toỏn Bi-CG liờn quan n thut toỏn song trc giao húa Lanczos (1950) v c Fletcher a nm 1976 Ta ký hiu {v,w) V T W v \v I (v,v )1/ớ2 l chun Euclide tng ng Thut toỏn Bi-CG c cho di dng sau: Thut toỏn Bi-CG: u vo: Ma trn A, b u ra: Dóy x' - ^ r[k-1-1) r[k) f{k-1-1) [k) _ akATpykK f { k - HI) y,^Ar-t-l)\ Bc 2: b : -k) >k)j ằ p{k+l) r[k- H) _|_ hkplk^ pvk-\-\) nh l _ (ikAplk)^ [k- 1-1) _|_ 2.5.1 Gi s A l ma trn thc khụng suy bin n X n chiu v b Ê R n Gi e R n l vector to v vi 7^ , r ^ : b Ax^\ cỏc vector x'^k\p^,p^k\ r'^k\ c sinh bi thut toỏn Bi-CG cú cỏc tớnh cht sau: Cú mt ch s m u tiờn vi m ^ n cho _ hoc {p^, Ap (Ak+ 1) ỳng 7^ vi i < k v song trc giao, tc l vi < j < k, v cỏc vector r^, r^\ , , , k 1, c lp tuyn tớnh Rn Do ú k ^ n cú mt ch s m u tiờn vi m ^ n cho {r^ m \ r hoc { m \Ap m ) ) - Tuy nhiờn, thut toỏn Bi-CG li chy khụng n nh, ln ca phn d |r^ I rt tht thng i tng lờn: Thụng thng chỳng dao ng rt nhiu trc gim dn v Ngoi ra, chớnh xỏc ca cỏc vector r^ k \ f - \p^ k \ p < y - k \ v x'^ b nh hng sai s lm trũn mt t[ k cỏc thnh phn yk\r^k)) {fk\Ap-k)) I^A) I \rW 15 |p^) I |yp^) I rt nh S hi t ca phn d r^ thut toỏn Bi-CG cú th c ci thin thut toỏn Bi-CGSTAB c xut bi van der Vost (1992) 38 3637 (r^V^ 2.5.2 Vớ Bi-CGSTAB d O s _minh Thut toỏn c cho di dng sau: Vớ d 2.5.1 Ta tỡm nghim ca h phng trỡnh sau bng phng phỏp Bipl 2) _ fớ.2) -I- 61[pớ-1^ c2v) -0.0871 -0.0170 0.1268 Thut toỏn Bi-CGSTAB: CGSTAB: X A ^ u * vo: Matrn A, b i (fớ.O) fớ.2)\ k Kn x Dóy X \ , x8 \ u - ,1ra: n , r_rou 5.9536, V - A p - -0.1572 -0.0089 0.0718 _ *3 pW) Khi(n>, to: A Cho t Mn Chn 0vi 9Ax^ 7^ b T -14 " t Mn s rr { k ) a A p ^ 10 0.4552 0.0951 -0.1110 V < cho {r \ 13f^0>) 7^ v " r^ \ Cho k TM 0,1, t- As - 10 0.0517, 0.0815 0.0649 0.1832 , v i bAx ^ 9 Khi to: C :h o 0 , u - [t,t) T + a2p2 + 03s Tớnh Chn vi = ( r ^ , r1^1) 7^ v t p p^ ớf(o> a Bc < 63 A p[k) -14 V APK s 1r' 10 K* ,0) 0.4131 0.0615 -0.2057 t As, s ớf^0) r-0)) \fW I = 4.6552 X 10 ^ aApKk\ -7 81 41 a0 0.1494, V -Ap-} k=0: 5, t ) Bc :xột: U)k^i Nhn Ti k i ta cú Ir^"1"1^ I =5? nờn thut toỏnT dng li v T = IrW akApk) = s r 2.0458 -3.1017 2.8744 ,[k+- 1) ^{k) _|_ fcpớ.fc) -|- cfc+1s, s c^iớ, T X 111 l nghim ca h phng trỡnh (M) t As Dng - 0.1445, , C0i li, -21.9395 nu r^1^21.7266 I nh 7.1934 Nu khụng thỡ chuyn sang Bc ^è) _ 2^0) _|_ p [ 0) _|_ WiS _ 0.4450 0.8965 1.7579 Bc 3: Tớnh T ak 1.0006 0.0680 -0.2646 UD I - 1.0430, , \fW k ' [0> j ) *0 - pra- - p{k+l) --ô f[k-t 1) _| _ fU> -|- 2) ( J j i v ) 0.9968 0.0811 -0.2795 Bi-CGSTAB l thut toỏn mnh vic gii c h c ln Ax b vi k=l: ma trn A tha v khụng i xng Tuy nhiờn, mc dự s n nh ca Bif - nhiu )\ CGSTAB l ớý^o) tt hn so vi Bi-CG nhng nú1.9126 khụng0.3691 n nh bng 3.8662 - - - Ap phng phỏp QMR T s df-Ap^ 1.0430 0.0750 -0.1909 t = As = 2.0110 0.4093 4.4513 + Clip+ W2S = r< ) -S-U2 - T , w2 = (M) - 0.0532, 0.4815 0.8990 1.7551 T 0.9360 0.0533 -0.4278 ,l^i.2) |r-2) I - 1.0305, 39 C H N G ng dng ca phng phỏp lp Ni dung ca chng ny c tham kho ch yu t ti liu |2], mc 8.4, v tham kho thờm ti liu H 3.1 ng dng gii phng trỡnh Poisson Xột bi toỏn biờn Dirichlet cho phng trỡnh Poisson nh sau: -U x x -Uyy = f{z,y), < x,y < 1, u{x,y) 0, vi (x,y) e ú Q ( ( x , y ) | < x,y < 1\ ]R2 Gi s f(x,y) liờn tc trờn ta gii (3.1) bng phng phỏp li (cũn gi l phng phỏp sai phõn) Trc ht, ta ph li x-X-.-h, y - y j : - j h , i,j -0,1,'" ,N --1, h : , N ^ l s nguyờn, N +-1 lờn Giao im ca cỏc ng thng ú gi l im li {i,j) [xi,yj) im k ca (Xi,jj ) l cỏc im [xi ,2/j) v {x,yji) Tp cỏc im v cỏc im biờn {{Xi^y^ i,j = 1,2, , N\, d h { { X i , y j ) , [ x , V j i ) \ i , j - 0, + lf Ta s tỡm gn ỳng nghim u ti cỏc im ca Nu li cng mau thỡ nghim gn ỳng cho ta hỡnh dung nghim ca bi toỏn liờn tc cng chớnh xỏc hn 40 Sai phõn húa iu kin biờn ta cú U j - - u x ^ y ^ , i , j - 0, + Tip theo ta thay toỏn t vi phõn bng toỏn t sai phõn T cụng thc Tay lo r Ui j Uii suy duj l,0d2Uii h3 d3Uii h4 d4Uii + h + dx 2! dx 3! dx 4! dx A d U j U j 2Uj U I j h2 dx2 Tng t uj l l ý t2ilj I U _j + 0{h2) - h2 iV + 0{h2) Thay cỏc o hm (3.1) bng sai phõn tng ng, b qua s hng { h ) ta c phng trỡnh sai phõn sau: 4iớjj U I j U - - i j U j U j - - i h /, , ) e ú f i j f{x,yj) Vỡ iu kin biờn U j vi [ x, 2/jt Qhi ú U i j , ^ ^ N l nghim ca h phng trỡnh tuyn tớnh cú dng U j U I j U j1 Uj-- h fij, , J 1, , N, u0j - UN+J - ui0 - UN^ - vi i,j - , , , N + - (3.2) (3.3) t u { u n , u i , " ' , U N , U , ' " , U N , - ' , U N , ' " , U N N ) T, b h2{fn,' - , fN , ' " , fN, " ' , /NN)T , ta c (3.3) tng ng vi h phng trỡnh tuyn tớnh cú dng Au b (3.4) 41 42 vi ma trn N X N : 4443 hay ô1 0 A n0 A 20 0 0.0039 1 Kt lun Ti liu tham kho A ô2 A0 - - A 21 0 0 0.0078 (3.5) 1 1 A N -IN 22 ^3 0 0 0 0.0117 1 AN,N- A N N U\ 0 0 0.0078 Kvic phng phỏp [1] Phm Anh,nghiờn (2000),cu Gii tớch s, NXBlp itrong hc Quc gia H Vi vic h Ni phng trỡnh gii -ta thu - u l h-1 phng 0 U 0.0156 Gii trỡnh (3.4) c nghim gn ỳng ca h ln, lun ó 1trỡnh by cú h thng cỏc tuyn tớnh s chiu liờn 22 [2] J Stoer, R Bulirsch, R Bartels, w Gautschi, c Witzgall, (2002), -1 trỡnh (3.1) 0 U 0.0234 phng quan n phng phỏp 1lp 32 Introduction - Springer ô1 0 to-1numerical 0 analysis, 0.0117 phỏp lp cho h phng Lun ó trỡnh by c phng trỡnh tuyn -1 0 J Farlow, 0 (1982), 0.0234 [3] Stanley Partial Differential Equations for phng 1trỡnh Poisson, s dng 3.2 tớnh s Vớ chiu d s ln minh vha cho Matlab chy mt vi 0 0 0 0.0352 Scientists and Engineers, 1Wiley vớ d s Tuy nhiờn, lun cũn cú mt s hn ch3 nh: h thng vớ d a Vớ d 3.2.1 Gii phng trỡnh Poisson sau: cha dng v cũntrờn nbng ginphng Gii h a phng trỡnh phỏp gradient liờn hp ta c u đ chõn ^ ^ J thnh y ^ -^5cm n cỏc thy, cụ ging dy Cui cựng, mt ln^XX^yy na em Jxin 0.0061 0.0103 0.0098 0.0103 0.0176 0.017 0.0098 0.017 0.0173 u{x,y) 0, cụ vi {x,y) E i chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, cỏc thy phũng Sau hc trng i hc 2 M M S phm Ni 2.ukin Em xin chõn Sai phõn húa iu biờn tabi cúthnh th caH nghim c cho Hỡnh cm 3.1 n thy TS H Bỡnh Minh ó tn tỡnh hng dn ny Em,4 xin by t s cm n U i jem u [hon x y ) thnh - 0,bni , lun j - 0,1, u úng gúp ca cỏc thy giỳphu lunhn c hon chnh hn S dng phng trỡnhcụsaióphõn U--ij " h 4uj Uj U j-- h ^ %) J s * , ú f j f { x , y j ) X j j , h 1/4 0.25, ta c h phng trỡnh n sau: 4iớn U21 U12 u u 0.0039 + 4U I u u 2 = 0.0078 -U21 + 4m3i - u2 0.0117 Un+ 4ô12 U22 U13 0.0078 -u - ô12-I- 4m - U32 - U23 -u - U 22 + 4m32 - u 3 - = 0.0156 0.0234 Hỡnh 3.1: th4iới3 ca nghim ỳng u -M12 - U23 gn0.0117 U13 4^23 ^33 0.25 nờn - ch thu 0.0234 Do ta gii h phngU22 trỡnh trờn vi-I-bc li- bng c - u 3chớnh + 4wxỏc - 0.0352 nghim xp x, mun cú c -ô32 nghim hn ta phi chia li nh hn 33 45 Ph lc Thut toỏn gradient liờn hp function [x.numlter]=ConGrad(A,b,x,epsilon) / Input: Matrix A \in R'{n*n}, vector b \in R~n / A: xac dinh duong %tol: dieu kien dung, cho epsilon=10'"9~0 y o xO \in R~n: Init vector %output:solution x \in R~n % numlter = number of iterations carried out % if nargin == 3; epsilon = 1.0e-9; end %save x_i,i=0,l to var x r=bA*x;/0save r_i,i=0,l to var r p=r;/oSave p_i,i=0,l to var p n=lengtli(b); for numlter=0:n if sqrt(dot(p,p)) errtol)) k=k+l; v(:,k+l)=A*v(:,k); for j=l:k h(j,k)=v(:,k+l)*v(:,j); V(:,k+l)=v(:,k+l)-h(j,k)*v(:,j); end h(k+l,k)=norm(v(:,k+l)) if(h(k+l,k) ~= 0) v(:,k+l)=v(:,k+l)/h(k+l,k) end y=li(l :k+l, 1: k)\ (beta*eye(k+1,1)) roh=norin(beta*eye(k+l, 1) - h(l: k+1,1: k) *y) end V h Thut toỏn Lanczos ớunction [v,w,alpha,beta,gama]=Lanczos(A,r0,k) "/.output v, w / V * W = I n=size(A,1); 48 V=zeros(n,k+l); w=v ; v(:,2)=r0/norm(r 0); w ( : , 2) = V ( : , 2) ; alpha=zeros(k+1, 1); beta=alpha; gama=beta; v(:,1)=0 ; w(:,1)=0 ; for j =2 :k+1 S=A*V(:,j); z=transpose(A)*w(:,j); alpha(j)=dot(w(:,j),s) ; vtemp=s-alpha(j)*v(:,j)-beta(j1)*v(:,j-1); wtemp=z-alpha(j)*w(:,j)gama(j-1)*w(:,j-1); gama(j)=norm(vtemp); V(:,j+l)=vtemp/gama(j); beta(j)=dot(wtemp,V(:,j+ 1)); w(:,j+l)=wtemp/beta(j); end v=v(:,2 :k+1); w=w( : , :k+1 ); alpha=alpha(2:k+ 1); beta=beta(2:k+l) 50 49 Thut toỏn Bi-CGSTAB Thut toỏn QMR cl ea /o r Su cl du c ng A= ;m b= La ; nc x0 zo =; s n=length(b); dkdung = tr 10^5; kmax = 20; x=x0; on rho=zeros(kmax+1,1); g r=b-A*x; rh0=r; La k=0; rho(l)=l; ak=l; nc wk=l; v=zeros(n,1); zo p=zeros(n,1); s rho(2)=rh0*r; m chuan=norm(rhO); cl while((chuan > dkdung) & (k < ea r kmax)) display(k) k=k+l; if cl k==l c beta=(rho(k+1)/rho(k))*(ak A= /wk); p=r+beta*(p - wk*v); ; else b= beta=(rho(k+1)/rho(k))*(ak ; /wk) p=r+beta*(p - wk*v) x0 end [...]... 2 giải -ta thu - u là — 0 hệ- 1 phương 0 4 0 0 U 0.0156 Giải trình (3.4) được nghiệm gần đúng của hệ 1 lớn, luận 1 văn đã 1trình bày có hệ thống các vấn tuyến tính số chiều đề liên 22 [2] J Stoer, R Bulirsch, R Bartels, w Gautschi, c Witzgall, (2002), -1 0 trình 0 (3.1) 0 4 0 0 U 0.0234 phương 1 quan đến phương pháp 1lặp 32 Introduction - Springer «1 0 0 0 to-1numerical 0 0 analysis, 4 0 0.0117 1 pháp. .. 0 0.0117 1 pháp lặp cho 3 hệ phương Luận văn đã trình bày được phương trình tuyến -1 2 0 0 J Farlow, 0 0 (1982), 0 4 0.0234 [3] Stanley Partial Differential Equations for 1 phương 1trình Poisson, sử dụng 3 3.2 tính số Ví chiều dụ số lớn minh vàhọa cho Matlab chạy một vài 3 0 0 0 0 0 0 4 0.0352 Scientists and Engineers, 1Wiley 1 ví dụ số Tuy nhiên, luận văn còn có một số hạn chế3 như: hệ thống ví dụ... xấp xỉ x'^ t -|- Kk[r^\ A) với phần dư nhỏ nhất Phương pháp QMR sẽ được mô tả trong mục 2A 4) Phương pháp Bi-CGSTAB: Phương pháp Bi-CGSTAB được áp dụng trong trường hợp ma trận A là tùy ý Phương pháp này được đề xuất bởi Van der Vost (1992) và được mô tả trong mục 2.2 Phương pháp Gradient liên hợp 2.2.1 Giới thiệu phương pháp 2.5 Xét hệ phương trình tuyến tính Ax — 6, (2.1) với Ả là ma trận thực, xác...15 Một số đặc điểm của các phương pháp Krylov: • Do có sai số luôn xảy ra trong quá trình tính toán (làm tròn số thực, phép nhân, chia số thực, ) nên trên thực tế các phương pháp này không thể kết thúc sau hữu hạn bước Điều này dẫn đến câu hỏi về tốc độ hội tụ của phương pháp là bao nhiêu • Khối lượng tính toán trên mỗi phép lặp tương đương với khối lượng tính toán của phép nhân ma... lặp Phương pháp này đâyPhương m là ch pháp số Nếu đầu tiên vớiliên p l ợ chuyển ^ —hội 0 :sang nghiệm Khởi tạo: Chọn £ Mn, và đặt b — Ax^ ữ K TPK— l sử dụng và đặt b0yl[-kJr1^ — thường được cho bài do1đó hết đượcresidual n bước p^ Phương vớiAx'^ 0 ^ pháp ỉ— < toán j ^ GMRES k ,lớn, là of[r^) A~ b .tính minimum 1(generalized 1không thể chạy • (1) Bước 5: ĩv^/hk-ịIfc Cho k - 0 , 1 , : T lặp Trong tính. .. với hệ phương trình tuyến tính có dạng Au — b (3.4) 41 42 với ma trận N X N : 4443 hay «1 4 0 0 A n0 A ị 20 0 0 0.0039 1 1 1 Kết luận Tài liệu tham khảo A «2 A0 - - A 21 4 0 0 0 0 0.0078 (3.5) 1 1 1 1 A N -IịN 22 ^3 0 0 0 0 0 0 0.0117 1 1 AN,N- 1 A N N 1 4 U\ 0 0 4 0 0 0 0.0078 1 Kỳviệc 1 phương 1 pháp [1] Phạm Anh,nghiên (2000),cứu Giải tích số, NXBlặp Đạitrong học Quốc gia Hà Với việc hệ Nội phương. .. sinh ra từ ma trận xác định dương A Theo phương pháp này, ở bước thứ k ta sẽ đi tìm x'^ sao cho: xlk) ^xlo) +Kk{r[0\A), \x^ — X*\A — min \Z—X*\AZ'^x'^+Kit (r'-0\j4) Chúng tôi sẽ mô tả phương pháp này trong mục 2.2 2) Phương pháp GMRES (generalized minimum residual method): Phương pháp GMRES được áp dụng trong trường hợp ma trận A không suy biến Theo phương pháp này, ở bước thứ k ta sẽ đi tìm sao cho:... 0lýi được < -j 1^chứng m r^ > 0 vxớ2 i j—< 771.1 2 , (r^) - 1minh Xét hệ phương trình tính tính tuyến hịỵ {v^)Tu (ỉ) Như vậy, — b Định — Ax'^ với 0 i khẳng -^1m 1 định rằng x 3phương pháp 1 Gradient liên hợp sẽ lý|2.2.l| _ Thuật toán Gradient liên hợp: Axhịkv^ = b, và hỵ^i ỵ • Bước 3: Tính w'^ u —" XÌ *_1 I w'y^ | 2 tính ra được của phương trình việc Ax — sau phép nhiềuquy nhất Chứng minh.nghiệm Chúng... |6 — Azị2 Phương pháp GMRES sẽ được mô tả trong mục 2^ 16 3) Phương pháp QMR ( quasi-minimal residual method): Phương pháp QMR được áp dụng trong trường hợp ma trận A thưa (tức là ma trận có nhiều phần tử bằng 0) Phương pháp này dựa trên thuật toán song trực giao hóa Lanczos để xây dựng cơ sở không trực giao ,v'^ cho không gian Krylov Kỵ[r^ ữ \ A) k chiều Sử dụng hệ cơ sở này, ta có thể tính toán... A), 1 ^ k ^ ra 0.3333 0.4714 0 Tuy nhiên, điểm khác biệt của phương pháp QMR 2.3.2 Ví dụ số minh họa |6 0.4714 — Ax 2.1667 |2 —>■ 0.8660 min so với phương pháp - toán song trực giao Lanczos thay vì thuật toán trực GMRES là sử dụng Ня thuật О T 0.8660 2.5000 l k Do p ẽ^> [1,0, e R ^,V và sau bắt Ví dụ 2.3.1 nghiệm của hệk phương bằngđầu phương pháp v w - ạvTa k ^ \tìm + 1 V k ^ - J, giao hóa Arnoldi Thuật