BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TẠ NGỌC HỒNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM ẨN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Quang Huy HÀ NỘI, 2015 i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phò ng Sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Tạ Ngọc Hồng ii Lời cam đoan Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích đề tài “Tính ổn định hàm ẩn đa trị không gian Banach” hoàn thành nhận thức tác giả không trùng với luận văn khác Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với tôn trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Tạ Ngọc Hồng iii MỤC LỤC Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng kí hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Dưới vi phân Clarke hàm liên tục Lipschitz Chương 2: Tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin 19 2.1 Tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson 21 2.2 Tính chất Lipschitz kiể u Aubin 27 Chương 3: Mối quan hệ tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lip schitz kiểu Aubin 30 3.1 Sự không tương đương tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin 30 3.2 Mối quan hệ tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv Bảng kí hiệu viết tắt : Chuẩn không gian Banach X * : Không gian đối ngẫu X trang bị topo yếu w * B X , B X : Hình cầu đóng đơn vị không gian X không * gian đối ngẫu X * , : Tích vô hướng B(x,  ) : Hình cầu tâm x , bán kính  dom F : Miền hữu hiệu F gphF : Đồ thị F f ( x ) : Dưới vi phân Clarke f x Int  : Phần  D *F (x , y ) : Đối đạo hàm Clarke F ( x , y ) Mở đầu Lý chọn đề tài Các tính chất thú vị hàm ẩn đa trị, chẳng hạn tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, tính chất Lipschitz kiểu Aubin, tính qui khoảng cách, tính mở tính khả vi suy rộng nghiên cứu nhiều tác giả năm gần Mordukhovich đưa điều kiện cần đủ cho tính chất Lip schitz kiểu Aubin ( ALlp ) cho số dạng đặc biệt hàm ẩn đa trị; Xem [15,16] tài liệu tham khảo Tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson ( Rmr ) hàm ẩn đa trị nghiên cứu [5,13,14,17,18,20 ] Gần đây, Ledyaev Zhu [17], Ngai Théra [14] thiết lập điều kiện đủ cho tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson hàm ẩn đa trị dựa khái niệm đối đạo hàm Fréchet Các điều kiện đủ cho tính chất tương ứng trình bày dựa khái niệm đối đạo hàm Mordukhovich thiết lập Lee, T am, Yen [18] Yen, Yao [13] Gần hơn, mối liên hệ tính chất Lipschitz kiểu Aubin tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson hàm ẩn đa trị trình bày [10] Chúng ta thấy hầu hết kế t thiết lập bị hạn chế không gian Asplund Trong [12], tác giả đưa điều k iện đủ cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson hàm ẩn đa trị mối quan hệ hai tính chất không gian Banach tổng quát dựa khái niệm vi phân đối đạo hàm Clarke Đề tài “Tính ổn định hàm ẩn đa trị không gian Banach” nhằm tìm hiểu Lý thuyết đối đạo h àm kết đạt [12] Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu Lý thuyết đối đạo hàm áp dụng nghiên cứu tính ổn định hàm ẩn đa trị không gian Banach 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Điều kiện đủ cho tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lip schitz kiểu Aubin hàm ẩn đa trị, nguyên lý biến phân Ekeland, vi phân đối đạo hàm Clarke Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson, tính chất Lipschitz kiểu Aubin mối quan hệ chúng Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá Nhưng đóng góp đề tài Hệ thống lại, đưa ví dụ minh họa để kiểm tra điều kiện đủ cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson hàm ẩn đa trị không gian Banach tổng quát Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị Trong chương ký hiệu X,Y,Z không gian Banach thực với chuẩn (chuẩn khác tùy theo không gian) Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ đa trị) Cho không gian X,Y F: X ⇉ Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y (được kí hiệu Y ) Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như với x  X , F(x) tập hợp Y Không loại trừ khả số phần tử x  X ta có F ( x ) tập rỗng Ta ký hiệu F : X ⇉ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y Cho F: X ⇉ Y ánh xạ đa trị, ta định nghĩa đồ thị F ký hiệu gphF  X Y xác định sau   gphF  (x ,y)|y  F (x ) Miền hữu hiệu F ký hiệu domF cho   domF : x  X |F (x )   Ví dụ 1.2 Ánh xạ đa trị F : R ⇉ 2R , F ( x )  co(sin x , cosx ) Định nghĩa 1.3 (Tính nửa liên tục ánh xạ đa trị) C h o ánh xạ đa trị F: X  Y , F gọi nửa liên tục x  X với tập mở V  Y F (x )  V tồn lân cận mở U  X x cho F (x ) V , x U Ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục x  X với tập mở V  Y thỏa mãn F ( x)  V   tồn lân cận mở U  X x cho F (x ) V  , x U Ví dụ 1.4 Ánh xạ đa trị F: R ⇉ R 0 , x   F ( x )  1,1, x   1 , x  nửa liên tục R Ví dụ 1.5 Ánh xạ đa trị  0 , x  0,1, x   F (x )   ánh xạ đa trị F nửa liên tục x  Định nghĩa 1.6 Hàm f : X  R gọi Lipschitz lân cận x  X với số Lipschitz k , tồn   cho |f (x )  f ( y )| k ||x  y ||, x , y  B (x ,  ) 23 f ( x ,v )  inf (u ,z )( x ,0)  ( B X B Z ) f (u , z )  t   Lấy k  cho 1 k   ;1  tk  t c (2.7) Theo nguyên lý biến phân Ekeland ta có (u , z )  ( x ,0)   ( B X  BZ ) cho   f ( u, z )  f ( x, v), (u , z  ) (x ,v )  , K (2.8) f (u , z )  f (u , z )  t (u , z )  (u , z ) K , (u , z )  ( x ,0)   ( B X  B Z ) (2.9) Từ suy z  F y (u ), z  v , (u , z )  ( x ,v ) k   ,  (2.10) Và z  z  t (u , z )  (u , z ) , (2.11) k (u , z )  gphF y  ( x ,0)   ( B X  B Z ) điều u  B (x ,  )  B ( x , r ) z   BZ  rBZ Suy  F y (u ) (2.12) Ngược lại, giả sử  F y (u ) , z  Xét hàm 1 (u , z ) : z ; 2 (u , z ) : t (u , z )  (u , z ) k , 24  0,(u , z )  gphF y    3 (u , z ) :  Từ (2.11) (u , z ) điểm cực tiểu (1  2  3 ) X  Z , theo Định lý 1.15 ta có  (1  2  3 )(u , z ) Ta thấy 1 ,2 lồi Lipschitz liên tục X  Z Từ Mệnh đề 1.13 ta có  1 (u , z )  2 (u , z )  3 (u , z ) (2.13) Điều có nghĩa tồn ( x 1* , z 1* )  1 (u , z ) ( x 2* , z 2* )  2 (u , z ) ( x 3* , z 3* )  3 (u , z ) cho x 1*  x 2*  x 3*  0; z1*  z 2*  z 3*  (2.14) Từ định nghĩa 1 3 ta nhận thấy x 1*  0; z1*   (z ) , ( x 3* , z 3* )  N ((u , z ), gphFy ) (2.15) (2.16) Với z  , từ (2.15) [1, Mệnh đề 2] ta có z1*  1, z1* , z  z (2.17) Từ định nghĩa 2 ta có x 2*  Thực vậy, ta cần k z 2*  t (2.18) 25   (.,.) u ( z, ) u( z, )  u(* z,* ) X*  Z* K  :u*   z*  1.(2.19) k  Từ [1, Mệnh đề 2] ta có    (.,.)  (u , z ) (u , z )  (u * , z * )  X *  Z * : (u * , z * )  , k    max u (u )  z (z ) : max  u ,k z   1 (2.20) (u * , z * )  max (u * , z * )(u , z ) : (u , z ) k  * * Xét vế phải   1   max u (u ) : u  1  max  z (z ) : k z  1 (2.21) max u * (u )  z * (z ) : max  u ,k z * * Xét vế, lấy u0  X ; z  Z thỏa mãn điều kiện u0  1;k z      u * (u0 )  max u * (u ) : u  , z * (z )  max z * (z ) : k z  Chọn u0'  u0 ; z 0'  z Giả sử u * (u0 )  0, z * (z )  u * (u0 )  z * ( z0 )  u* (u0 )  z* ( z0 )      max u * (u ) : u   max z * (z ) : k z  Do  max u * (u )  z * (z ) : max  u , K z     1    max u * (u ) : u   max z * (z ) : K z  Từ (2.20)  (2.22) ta khẳng định  (u * , z * )  max u * (u )  z * (z ) : max  u ,k z   1 (2.22) 26        max u * (u ) : u   max z * (z ) : k z   max u * (u ) : u    u*  k k   max z * (k z ) : kz  z* Kết hợp với (2.19) ta (2.18) T (2.14), (2.15) (2.18) x 3*  t Từ (2.14), (2.17) (2.18) ta có z 3*   z 3*  z1*  z 3*  z1*  tk Kết hợp với (2.7) ta có x 3* z *  t c  tk x 3* * z 3* Đặt x  * ; z  * , từ (2.16) ta z3 z3 * x *  D *Fy (u , z )(z * ), z *  1; x *  c , mâu thuẫn với điều kiện (ii) chứng tỏ giả sử sai nên (2.12) Ta có  Fy (u ) u  G( y ) kết hợp với (2.8) ta dist ( x ,G ( y ))  x  u  Cho     c ta thu dist ( x ,G ( y ))   , c điều kiện (2.6), định lý chứng minh 27 2.2 Tính chất Lipschitz kiểu Aubin Định lý 2.6 Cho X, Z không gian Banach, Y không gian mêtric Cho ánh xạ đa trị F : X Y  Z G: Y  X ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1),(2.2) tương ứng Giả sử w : (x , y ,0)  gphF , Fy (.) : F (., y ) c  0, l  , r  cho (i) gphFy  ( x ,0)  r ( B X  BZ ) đóng y  B ( y , r ) (ii) x  B (x , r ); y , y '  B ( y , r ) ta có F (x , y ' )  rBZ  F (x , y )  l y '  y B Z (iii) (x , y )  B (x , r )  B ( y , r );0  F ( x , y ) ta có   c  inf x * : x *  D *Fy (x , z )(z * ), z  Fy (x )  rBZ , z *  Khi G gọi Lipschitz kiểu Aubin với modun l c lân cận ( y , x ) Chứng minh Chọn điểm   0,   cho     c   r , (2.23) từ (i) (iii), theo Định lý 2.5 ta có dist ( x ,G ( y ))  dist (0, F ( x , y )) c (2.24) với x  B (x ,  ), y  B ( y ,  ) thỏa mãn dist (0, F (x , y ))   ta có G ( y ')  B ( x ,  )  G ( y )  l y ' y B X , y , y '  B ( y ,  ) (2.25) c 28 Thật vậy, lấy tùy ý điểm x G ( y ')  B (x ,  ) Từ (2.24) (ii) ta có l dist ( x ,G ( y ))  dist (0, F (x , y )  y  y ' , y ', y  B ( y ,  ) c c Do đó, x G ( y )  l y  y ' B X ; y , y '  B ( y ,  ) c Vậy G Lipschitz kiểu Aubin với số hạng l lân c cận ( y , x ) Định lý chứng minh Hệ 2.7 Cho  : X  Y ánh xạ đa trị, cho (x , y )  gph , giả sử  đóng ( x , y ) tồn c > , r > cho x  B (x , r ) y  B ( y , r ) với y  (x ) ,   c  inf x * : x *  D * (x , y ')(y* ),y ' B (y ,r  )  (x ), y*  Ta có điều sau (a) Nếu tồn số 1  cho với   0, 1  int B ( y ,c )  B (x , ) (b) Nếu tồn   2  cho dist ( x ,  1 ( y ))  dist ( y , ( x )) với x  B (x , 2 ), y  B ( y , 2 ) c thỏa mãn dist ( y , (x ))   1 (c)  tính chất Lipschitz kiểu Aubin ( y , x ) Chứng minh Z : Y , F ( x, y) : ( x)  y , G ( y ) :  x  X : 0 F (x , y) ,(x ,y  ) X Y 29 Cho (x , y )  ghp  , ta kiểm tra giả thiết Định lý 2.6 cố định F w : (x , y ,0) , hiển nhiên ta có G ( y )  1 ( y ) dist (0, F (x , y ))  dist ( y , ( x )) Chọn   0,   cho     c   r từ Định lý 2.5 ta suy l dist ( x ,  1 ( y ))  dist ( y , ( x )) , c (2.26) với x  B (x ,  ), y  B ( y ,  ) thỏa mãn dist ( y , (x ))   Ta thử lại kết luận hệ (a) Chọn 1  cho c 1   , ta có B ( y ,c 1 )  B ( y ,  ) từ suy y  (x ) Từ (2.26) ta suy dist ( x ,  1 ( y ))  dist ( y , ( x ))  c dist ( y , ( x )  dist ( y , ( x )  c Hiển nhiên suy int B ( y ,c )  ( B ( x , )) Chứng minh b) ta thay 2   từ (2.26) suy điều phải chứng minh Chứng minh c) từ giả thiếu (ii) Định lý 2.6 giữ cố định ánh xạ F với modun l = Kết luận suy từ Định lý 2.6 ta có điều phải chứng minh 30 Chương Mối quan hệ tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin 3.1 Sự không tương đương tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin Trong mục này, ví dụ chứng tỏ hàm ẩn đa trị, nói chung tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin không tương đương Ví dụ 3.1   Cho X  Y  Z  R F ( x , y )  x  y , (x , y )  (0,0)  X Y , ta có G ( y )  y  , y Y Hiển nhiên, theo ( ALlp ) cố định G lân cận ( y , x ) Nếu ( Rmr ) đúng,   0,   0,U  N (x ) V  N ( y ) cho x  y   x  y , x U , y V , x  y   31 Do đó, G qui khoảng cách theo nghĩa Robinson Ví dụ cho ta thấy ( ALlp ) ⇏ ( Rmr ) Ví dụ 3.2  Cho X  Y  Z  R F ( x , y )  x ( y  1)  y  Hiển nhiên, G( y)  (1  y) 1 y 3 ,y Y  , (x , y )  (0,0)  X Y \1 0 G(1)   Khi , G qui khoảng cách theo nghĩa Robinson quanh ( x , y ,0) Thực vậy,  1 Cho U  X ,V    ,  ,      2 ta có U  N ( x0 ),V  N ( y0 )  d (0, F ( x , y )  d ( x ,G ( y ))   x ( y  1)  y  x  (1  y )1.y  x U , y V Theo ( Rmr ) cố định G lân cận ( x , y ,0) (ALlp) lại không giữ G lân cận ( y , x ) Thực vậy, nói cách khác, l  cho y k , y k  0, y k  y k ta có 1 (1  y k )1 y k  (1  y k )1 y k  l y k  y k Với số k đủ lớn, cho y k  0, y k  k3 ta có (1  k 3 )1.k 1  lk 3  (1  k 3 ).k  l 32 Với k đủ lớn điều vô lý Do đó, G Lipschitz kiểu Aubin lân cận ( y , x ) Ví dụ ta thấy ( Rmr ) ⇏ ( ALlp ) 3.2 Mối quan hệ tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin Xét ánh xạ đa trị H : X  Y cho công thức sau H (x ) : y Y |0  F (x , y ) Ta cần định nghĩa tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson (tính chất Lipschitz kiểu Aubin) cho H lân cận điểm (x , y ,0)  gphF ( (x , y )  gphH ) tương tự ta định nghĩa cho G Bổ đề 3.3 [7, Định lý 3.1] Giả sử H qui khoảng cách theo nghĩa Robinson quanh điểm w  (x , y ,0)  gphF Khi đó, G Lipschitz kiểu Aubin, G qui khoảng cách theo nghĩa Robinson quanh điểm w Chúng ta biết điều kiện đủ để ( ALlp )  ( Rmr ) Định lý 3.4 Giả sử X,Y , Z không gian Banach Ánh xạ đa trị F : X  Y  Z; G : Y  X ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1) (2.2) Giả sử w0  ( x0 , y0 ,0)  gphF ; Fx (.) : F ( x,.) ; tồn c  0, r  cho 33 (i’) gphF  ( y0 ,0)  r ( BX  BZ ) đóng x  B( x0 , r ) (ii’) ( x, y)  B( x0 , r )  B( y0 , r ),0  F ( x, y) thỏa mãn y c  inf *  : y*  D*Fx ( y, z )( z* ), z  Fx ( y)  rBZ , z*  Khi ( ALlp )  ( Rmr ) Chứng minh Giả sử H : X  Y ánh xạ đa trị cho công thức H (x ) : y Y |0  F (x , y ) Từ (i’) (ii’) ta khẳng định theo Định lý 2.5 H qui khoảng cách theo nghĩa Robinson lân cận điểm w Kết luận định lý lấy trược tiếp từ Bổ đề 3, ta có điều phải chứng minh Định lý 3.5 Cho không gian Banach X,Y,Z Ánh xạ đa trị F : X Y  Z ; G: Y  X ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1) (2.2) Tương ứng cho w  (x , y ,0)  gphF , giả sử tồn l > 0, r > cho x  B (x , r ); y , y '  B ( y , r ) F (x , y ')  rBZ  F (x , y )  l y ' y BZ Khi ( Rmr )  ( ALlp ) Chứng minh Kết luận định lý từ chứng minh Định lý 2.6 Từ Định lý 3.4 Định lý 3.5 ta rút hệ sau 34 Hệ 3.6 Cho không gian Banach X,Y,Z Ánh xạ đa trị F : X Y  Z ; G:Y  X ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1) (2.2), lấy w  (x , y ,0)  gphF Fx (.) : F (x ,.) cho (i’) gphFx  ( y ,0)  r ( B X  BZ ) đóng x  B (x , r ) (ii’) (x , y )  B (x , r )  B ( y , r ),0  F ( x , y ) thỏa mãn   c  inf y * : y *  D *Fx ( y , z )(z * ), z  Fx ( y )  rB Z , z *  (iii’) x  B (x , r ); y , y '  B ( y , r ) ; F (x, y')  rBZ  F (x, y)  l y' y BZ Khi ( ALlp )  ( Rmr ) 35 Kết luận Tính ổn định hàm ẩn đa trị không gian Banach nghiên cứu luận văn, cụ thể điều kiện đủ cho tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin hàm ẩn đa trị không gian Banach Mối quan hệ tính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson tính chất Lipschitz kiểu Aubin hàm ẩn đa trị 36 Tài liệu tham khảo [1] Alekseev, V.M., Tikhomirov, V.M., Fomin, S.V.: Optimal Control Consultants Bureau, New York (1987) [2] Aubin, J.-P.: Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Math Oper Res 9(1984), 87–111 [3] Chuong, T.D.: Lipschitz-like property of an implicit multifunction and its applications, Nonlinear Anal 74(2011), 6256–6264 [4] Clarke, F.H.: Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley New York (1983) [5] Chieu, N.H., Yao, J.-C., Yen, N.D.: Relationships between Robinson metric regularity and Lipschitzlike behavior of implicit multifunctions, Nonlinear Anal 72, 3594–3601 [6] Dontchev, A.L., Quicampoix, M., Zlateva, N.: Aubin criterion for metric regularity, J Convex Anal 13(2006), 281–297 [7] Dontchev, A.L., Rockafellar, R.T.: Implicit Functions and Solution Mappings, A View from Variational Analysis Springer Dordrecht (2009) [8] Durea, M.: Openness properties for parametric setvalued mappings and implicit multifunctions, Non linear Anal 72(2010), 571–579 [9] Durea, M.: Quantitative results on openness of setvalued mapping and implicit multifunction theorems, Pac J Optim 6(2010), 533–549 [10] Huy, N.Q., Yao, J.-C.: Stability of implicit multifunctions in Asplund spaces, Taiwan J Math 13(2006), 47–65 37 [11] Huy, N.Q., Giang, N.D., Yao, J.-C.: Subdifferential of optimal value functions in nonlinear infinite programming Appl Math Optim 65(2012), 91–109 [12] Huy, N.Q., Kim, D.S., Ninh, K.V.: Stability of implicit multifunction in Banach spaces, J Optim theory Appl 155(2012), 558-571 [13] Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D.: Normal coderivative for multifunction and implicit function theorems, J Math Anal Appl 338(2008), 11- 22 [14] Ledyea, Y.S., Zhu, Q.J.: Implicit multifunction theorems, Set-Valued Anal 7(1999), 209-238 [15] Mordukhovich, B.S.: Conderivative analysis of variational systems, J Glob Optim 28(2004), 347-362 [16] Mordukhovich, B.S.: Conderivative calculus and robust lipschitzian stability for variational systems, J Convex Anal 13(2006), 799-822 [17] Mordukhovich, B.S.: Variational Analysis and Generalized Differentiation, vol I: Basic Theory Springer, Berlin (2006) [18] Ngai, H V., Théra, M.: Error bounds and implicit multifunction in smooth Banach spaces and applications to optimization, Set-Valued Anal 12(2004), 195-223 [19] Robinson, S.M.: Stability theory for systems of inequalities, II Differentiable nonlinear systems SIAM J Numer Anal 13(1976), 497–513 [20] Yen, N.D., Yao, J.-C.: Pointbased sufficient conditions for metric regularity of implicit multifunctions, Nonlinear Anal 70(2009), 2806-2815 [...]... 20 Hàm ẩn đa trị G : Y  X liên kết với (2.1) là ánh xạ đa trị được xác định bởi G ( y )  x  X : 0  F (x , y ) (2.2) Định nghĩa 2.3 Cho  là tập con của không gian mêtric X Khoảng cách từ u  X tới  được định nghĩa bởi dist (u , ) : inf x  u x  dist( u, ) :  nếu    Định nghĩa 2.4 a) Cho  : X  Y là ánh xạ đa trị ( x , y )  gph   được gọi là có tính chất Lipschitz kiểu Aubin trong. .. giữ cố định ánh xạ F với modun l = 1 Kết luận được suy ra từ Định lý 2.6 ta có điều phải chứng minh 30 Chương 3 Mối quan hệ giữa tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin 3.1 Sự không tương đương của tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin Trong mục này, chúng tôi chỉ ra các ví dụ chứng tỏ hàm ẩn đa trị, nói chung tính chính... được dist ( x ,G ( y ))  x  u  Cho     c ta thu được dist ( x ,G ( y ))   , c là điều kiện trong (2.6), định lý đã được chứng minh 27 2.2 Tính chất Lipschitz kiểu Aubin Định lý 2.6 Cho X, Z là các không gian Banach, Y là không gian mêtric Cho ánh xạ đa trị F : X Y  Z G: Y  X là các ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1),(2.2) tương ứng Giả sử w 0 : (x 0 , y 0 ,0)  gphF , Fy (.) : F (.,... 0 (ALlp) nếu tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho (x 1 ) V  (x 2 )  l x 1  x 2 BY , x 1 , x 2 U b) Cho F : X  Y  Z là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach thỏa mãn công thức (2.1) và G : Y  X là hàm ẩn đa trị liên kết với (2.1), cho w 0 : (x 0 , y 0 ,0)  gphF G được gọi là chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson ( Rmr ) trong lân cận của w 0 với modun c > 0 nghĩa là... tại x  X Mệnh đề 1.12 Cho f : X  R là hàm Lipschitz trong lân cận của x với hằng số Lipschitz k Với mỗi   R , ta có (f )(x )  f (x ) Chứng minh Vì f là hàm Lipschitz trong lân cận của x với hằng số Lipschitz k nên  f là hàm Lipschitz trong lân cận của x với hằng số Lipschitz  k Hiển nhiên   0 , (f 0 )  f 0 Xét   0 , không làm mất tính tổng quát ta xét   1 Với mỗi   X * ,... x )  f '(x ) (Điều phải chứng minh) Định lý 1.15 (Mô hình không trơn của qui tắc Fermat ) Cho X là không gian Banach và  : X  R là ánh xạ sao cho  là hữu hạn tại x Nếu x là cực tiểu địa phương của  thì 0   ( x ) Định lý 1.16 (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho ( X,d ) là không gian mêtric đủ ,  : X  R   là hàm nửa liên tục dưới , bị chặn dưới trong X Khi đó, nếu x thỏa mãn  ( x )...6 Ví dụ 1.7 Hàm f ( x)  x2  5 là Lipschitz với hằng số k = 1 1.2 Dưới vi phân Clarke của hàm liên tục Lipschitz Định nghĩa 1.8 Cho f : X  R là hàm Lipschitz Đạo hàm suy rộng của f tại x theo hướng v , ký kiệu f 0 ( x ,v ) Được định nghĩa như sau f 0 ( x ,v )  lim sup y x ,t 0 f ( y  tv )  f ( y ) , t trong đó y là vectơ trong X , t >0 Dưới vi phân Clarke của f tại x , là tập hợp... cho dist (x ,G ( y ))  c dist (0, F (x , y )), x  B1 , y  B2 thỏa mãn dist (0, F (x , y ))   (2.3) 21 2.1 Tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson Định lý 2.5 Cho X , Z là các không gian Banach, Y là không gian mêtric Cho ánh xạ đa trị F: X  Y  Z; G: Y  X là các ánh xạ đa trị thỏa mãn công thức (2.1) và (2.2) Lấy w0 : ( x0 , y0 ,0)  gphF và đặt Fy (.)  F (., y) Giả sử tồn tại c >0,... x , ( x )) là phần tử cực đại trong M, nên bất đẳng thức ( x ,( x ))  ( x ,( x )) là sai Do đó (x )  (x )  d (x , x )  0 , hay  (x )  (x )  d (x , x )  0  Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng 19 Chương 2 Tính chính qui khoảng cách theo nghĩa Robinson và tính chất Lipschitz kiểu Aubin Trong chương này, chúng ta kí hiệu X,Y,Z là các không gian Banach thực Định nghĩa 2.1 Cho   X là tập... , kí hiệu T ( x , ) được xác định bởi     T ( x , )  {x  X | x k  , x k  x ,  t k  (0,  ),t k  0,    v k  X ,v k  v , x k  t kv k  , k } Nón pháp tuyến Clarke của  tại x , kí hiệu N ( x, ) , được định nghĩa bởi công thức   N (x , )  x *  X * | x * ,v  0, v T (x , ) Đinh nghĩa 2.2 Cho F : X Y ⇉ Z là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach và bất đẳng thức suy rộng